Theorem dih0bN 37089

Description: A lattice element is zero iff its isomorphism is the zero subspace. (Contributed by NM, 16-Aug-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
dih0b.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
dih0b.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dih0b.o	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
dih0b.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dih0b.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dih0b.z	⊢ 𝑍 = (0g‘𝑈)
dih0b.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dih0b.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
dih0bN	⊢ (𝜑 → (𝑋 = 0 ↔ (𝐼‘𝑋) = {𝑍}))

Proof of Theorem dih0bN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dih0b.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		dih0b.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
3	1	simpld 482	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ HL)
4		hlop 35169	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
5		dih0b.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
6		dih0b.o	. . . . 5 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
7	5, 6	op0cl 34991	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 0 ∈ 𝐵)
8	3, 4, 7	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐵)
9		dih0b.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
10		dih0b.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
11	5, 9, 10	dih11 37073	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵) → ((𝐼‘𝑋) = (𝐼‘ 0 ) ↔ 𝑋 = 0 ))
12	1, 2, 8, 11	syl3anc 1476	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘𝑋) = (𝐼‘ 0 ) ↔ 𝑋 = 0 ))
13		dih0b.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
14		dih0b.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (0g‘𝑈)
15	6, 9, 10, 13, 14	dih0 37088	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐼‘ 0 ) = {𝑍})
16	1, 15	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘ 0 ) = {𝑍})
17	16	eqeq2d 2781	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘𝑋) = (𝐼‘ 0 ) ↔ (𝐼‘𝑋) = {𝑍}))
18	12, 17	bitr3d 270	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 = 0 ↔ (𝐼‘𝑋) = {𝑍}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  {csn 4317  ‘cfv 6030  Basecbs 16064  0_gc0g 16308  0.cp0 17245  OPcops 34979  HLchlt 35157  LHypclh 35791  DVecHcdvh 36886  DIsoHcdih 37036

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219  ax-riotaBAD 34759

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-iin 4658  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-tpos 7508  df-undef 7555  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7900  df-map 8015  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-4 11287  df-5 11288  df-6 11289  df-n0 11500  df-z 11585  df-uz 11894  df-fz 12534  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-0g 16310  df-preset 17136  df-poset 17154  df-plt 17166  df-lub 17182  df-glb 17183  df-join 17184  df-meet 17185  df-p0 17247  df-p1 17248  df-lat 17254  df-clat 17316  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-submnd 17544  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-sbg 17635  df-subg 17799  df-cntz 17957  df-lsm 18258  df-cmn 18402  df-abl 18403  df-mgp 18698  df-ur 18710  df-ring 18757  df-oppr 18831  df-dvdsr 18849  df-unit 18850  df-invr 18880  df-dvr 18891  df-drng 18959  df-lmod 19075  df-lss 19143  df-lsp 19185  df-lvec 19316  df-oposet 34983  df-ol 34985  df-oml 34986  df-covers 35073  df-ats 35074  df-atl 35105  df-cvlat 35129  df-hlat 35158  df-llines 35305  df-lplanes 35306  df-lvols 35307  df-lines 35308  df-psubsp 35310  df-pmap 35311  df-padd 35603  df-lhyp 35795  df-laut 35796  df-ldil 35911  df-ltrn 35912  df-trl 35967  df-tendo 36563  df-edring 36565  df-disoa 36837  df-dvech 36887  df-dib 36947  df-dic 36981  df-dih 37037

This theorem is referenced by: (None)