Theorem dih0bN 41843

Description: A lattice element is zero iff its isomorphism is the zero subspace. (Contributed by NM, 16-Aug-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
dih0b.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
dih0b.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dih0b.o	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
dih0b.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dih0b.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dih0b.z	⊢ 𝑍 = (0g‘𝑈)
dih0b.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dih0b.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
dih0bN	⊢ (𝜑 → (𝑋 = 0 ↔ (𝐼‘𝑋) = {𝑍}))

Proof of Theorem dih0bN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dih0b.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		dih0b.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
3	1	simpld 497	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ HL)
4		hlop 39924	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
5		dih0b.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
6		dih0b.o	. . . . 5 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
7	5, 6	op0cl 39746	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 0 ∈ 𝐵)
8	3, 4, 7	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐵)
9		dih0b.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
10		dih0b.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
11	5, 9, 10	dih11 41827	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵) → ((𝐼‘𝑋) = (𝐼‘ 0 ) ↔ 𝑋 = 0 ))
12	1, 2, 8, 11	syl3anc 1382	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘𝑋) = (𝐼‘ 0 ) ↔ 𝑋 = 0 ))
13		dih0b.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
14		dih0b.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (0g‘𝑈)
15	6, 9, 10, 13, 14	dih0 41842	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐼‘ 0 ) = {𝑍})
16	1, 15	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘ 0 ) = {𝑍})
17	16	eqeq2d 2763	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘𝑋) = (𝐼‘ 0 ) ↔ (𝐼‘𝑋) = {𝑍}))
18	12, 17	bitr3d 283	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 = 0 ↔ (𝐼‘𝑋) = {𝑍}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1550   ∈ wcel 2132  {csn 4572  ‘cfv 6506  Basecbs 17217  0_gc0g 17440  0.cp0 18425  OPcops 39734  HLchlt 39912  LHypclh 40546  DVecHcdvh 41640  DIsoHcdih 41790

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-rep 5217  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5312  ax-pr 5380  ax-un 7703  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-riotaBAD 39515

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-nel 3052  df-ral 3067  df-rex 3077  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-pss 3915  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-tp 4577  df-op 4579  df-uni 4856  df-int 4896  df-iun 4941  df-iin 4942  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-tr 5198  df-id 5531  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-pred 6273  df-ord 6334  df-on 6335  df-lim 6336  df-suc 6337  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-riota 7338  df-ov 7384  df-oprab 7385  df-mpo 7386  df-om 7832  df-1st 7955  df-2nd 7956  df-tpos 8190  df-undef 8237  df-frecs 8246  df-wrecs 8277  df-recs 8326  df-rdg 8365  df-1o 8421  df-er 8662  df-map 8794  df-en 8913  df-dom 8914  df-sdom 8915  df-fin 8916  df-pnf 11204  df-mnf 11205  df-xr 11206  df-ltxr 11207  df-le 11208  df-sub 11402  df-neg 11403  df-nn 12197  df-2 12266  df-3 12267  df-4 12268  df-5 12269  df-6 12270  df-n0 12468  df-z 12555  df-uz 12826  df-fz 13499  df-struct 17155  df-sets 17172  df-slot 17190  df-ndx 17202  df-base 17218  df-ress 17239  df-plusg 17271  df-mulr 17272  df-sca 17274  df-vsca 17275  df-0g 17442  df-proset 18298  df-poset 18317  df-plt 18332  df-lub 18348  df-glb 18349  df-join 18350  df-meet 18351  df-p0 18427  df-p1 18428  df-lat 18436  df-clat 18503  df-mgm 18646  df-sgrp 18725  df-mnd 18741  df-submnd 18790  df-grp 18950  df-minusg 18951  df-sbg 18952  df-subg 19137  df-cntz 19329  df-lsm 19648  df-cmn 19794  df-abl 19795  df-mgp 20159  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-oppr 20354  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-dvr 20418  df-drng 20749  df-lmod 20898  df-lss 20968  df-lsp 21008  df-lvec 21139  df-oposet 39738  df-ol 39740  df-oml 39741  df-covers 39828  df-ats 39829  df-atl 39860  df-cvlat 39884  df-hlat 39913  df-llines 40060  df-lplanes 40061  df-lvols 40062  df-lines 40063  df-psubsp 40065  df-pmap 40066  df-padd 40358  df-lhyp 40550  df-laut 40551  df-ldil 40666  df-ltrn 40667  df-trl 40721  df-tendo 41317  df-edring 41319  df-disoa 41591  df-dvech 41641  df-dib 41701  df-dic 41735  df-dih 41791

This theorem is referenced by: (None)