Theorem dih0bN 40754

Description: A lattice element is zero iff its isomorphism is the zero subspace. (Contributed by NM, 16-Aug-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
dih0b.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
dih0b.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dih0b.o	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
dih0b.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dih0b.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dih0b.z	⊢ 𝑍 = (0g‘𝑈)
dih0b.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dih0b.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
dih0bN	⊢ (𝜑 → (𝑋 = 0 ↔ (𝐼‘𝑋) = {𝑍}))

Proof of Theorem dih0bN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dih0b.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		dih0b.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
3	1	simpld 494	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ HL)
4		hlop 38834	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
5		dih0b.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
6		dih0b.o	. . . . 5 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
7	5, 6	op0cl 38656	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 0 ∈ 𝐵)
8	3, 4, 7	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐵)
9		dih0b.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
10		dih0b.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
11	5, 9, 10	dih11 40738	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵) → ((𝐼‘𝑋) = (𝐼‘ 0 ) ↔ 𝑋 = 0 ))
12	1, 2, 8, 11	syl3anc 1369	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘𝑋) = (𝐼‘ 0 ) ↔ 𝑋 = 0 ))
13		dih0b.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
14		dih0b.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (0g‘𝑈)
15	6, 9, 10, 13, 14	dih0 40753	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐼‘ 0 ) = {𝑍})
16	1, 15	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘ 0 ) = {𝑍})
17	16	eqeq2d 2739	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘𝑋) = (𝐼‘ 0 ) ↔ (𝐼‘𝑋) = {𝑍}))
18	12, 17	bitr3d 281	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 = 0 ↔ (𝐼‘𝑋) = {𝑍}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  {csn 4629  ‘cfv 6548  Basecbs 17180  0_gc0g 17421  0.cp0 18415  OPcops 38644  HLchlt 38822  LHypclh 39457  DVecHcdvh 40551  DIsoHcdih 40701

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-riotaBAD 38425

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-tpos 8232  df-undef 8279  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-fz 13518  df-struct 17116  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-ress 17210  df-plusg 17246  df-mulr 17247  df-sca 17249  df-vsca 17250  df-0g 17423  df-proset 18287  df-poset 18305  df-plt 18322  df-lub 18338  df-glb 18339  df-join 18340  df-meet 18341  df-p0 18417  df-p1 18418  df-lat 18424  df-clat 18491  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-submnd 18741  df-grp 18893  df-minusg 18894  df-sbg 18895  df-subg 19078  df-cntz 19268  df-lsm 19591  df-cmn 19737  df-abl 19738  df-mgp 20075  df-rng 20093  df-ur 20122  df-ring 20175  df-oppr 20273  df-dvdsr 20296  df-unit 20297  df-invr 20327  df-dvr 20340  df-drng 20626  df-lmod 20745  df-lss 20816  df-lsp 20856  df-lvec 20988  df-oposet 38648  df-ol 38650  df-oml 38651  df-covers 38738  df-ats 38739  df-atl 38770  df-cvlat 38794  df-hlat 38823  df-llines 38971  df-lplanes 38972  df-lvols 38973  df-lines 38974  df-psubsp 38976  df-pmap 38977  df-padd 39269  df-lhyp 39461  df-laut 39462  df-ldil 39577  df-ltrn 39578  df-trl 39632  df-tendo 40228  df-edring 40230  df-disoa 40502  df-dvech 40552  df-dib 40612  df-dic 40646  df-dih 40702

This theorem is referenced by: (None)