Theorem dih0bN 40884

Description: A lattice element is zero iff its isomorphism is the zero subspace. (Contributed by NM, 16-Aug-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
dih0b.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
dih0b.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dih0b.o	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
dih0b.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dih0b.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dih0b.z	⊢ 𝑍 = (0g‘𝑈)
dih0b.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dih0b.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
dih0bN	⊢ (𝜑 → (𝑋 = 0 ↔ (𝐼‘𝑋) = {𝑍}))

Proof of Theorem dih0bN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dih0b.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		dih0b.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
3	1	simpld 493	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ HL)
4		hlop 38964	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
5		dih0b.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
6		dih0b.o	. . . . 5 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
7	5, 6	op0cl 38786	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 0 ∈ 𝐵)
8	3, 4, 7	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐵)
9		dih0b.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
10		dih0b.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
11	5, 9, 10	dih11 40868	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵) → ((𝐼‘𝑋) = (𝐼‘ 0 ) ↔ 𝑋 = 0 ))
12	1, 2, 8, 11	syl3anc 1368	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘𝑋) = (𝐼‘ 0 ) ↔ 𝑋 = 0 ))
13		dih0b.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
14		dih0b.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (0g‘𝑈)
15	6, 9, 10, 13, 14	dih0 40883	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐼‘ 0 ) = {𝑍})
16	1, 15	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘ 0 ) = {𝑍})
17	16	eqeq2d 2736	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘𝑋) = (𝐼‘ 0 ) ↔ (𝐼‘𝑋) = {𝑍}))
18	12, 17	bitr3d 280	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 = 0 ↔ (𝐼‘𝑋) = {𝑍}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {csn 4630  ‘cfv 6549  Basecbs 17183  0_gc0g 17424  0.cp0 18418  OPcops 38774  HLchlt 38952  LHypclh 39587  DVecHcdvh 40681  DIsoHcdih 40831

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-riotaBAD 38555

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-tpos 8232  df-undef 8279  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-fz 13520  df-struct 17119  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-ress 17213  df-plusg 17249  df-mulr 17250  df-sca 17252  df-vsca 17253  df-0g 17426  df-proset 18290  df-poset 18308  df-plt 18325  df-lub 18341  df-glb 18342  df-join 18343  df-meet 18344  df-p0 18420  df-p1 18421  df-lat 18427  df-clat 18494  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-submnd 18744  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-sbg 18903  df-subg 19086  df-cntz 19280  df-lsm 19603  df-cmn 19749  df-abl 19750  df-mgp 20087  df-rng 20105  df-ur 20134  df-ring 20187  df-oppr 20285  df-dvdsr 20308  df-unit 20309  df-invr 20339  df-dvr 20352  df-drng 20638  df-lmod 20757  df-lss 20828  df-lsp 20868  df-lvec 21000  df-oposet 38778  df-ol 38780  df-oml 38781  df-covers 38868  df-ats 38869  df-atl 38900  df-cvlat 38924  df-hlat 38953  df-llines 39101  df-lplanes 39102  df-lvols 39103  df-lines 39104  df-psubsp 39106  df-pmap 39107  df-padd 39399  df-lhyp 39591  df-laut 39592  df-ldil 39707  df-ltrn 39708  df-trl 39762  df-tendo 40358  df-edring 40360  df-disoa 40632  df-dvech 40682  df-dib 40742  df-dic 40776  df-dih 40832

This theorem is referenced by: (None)