Theorem dih0bN 39500

Description: A lattice element is zero iff its isomorphism is the zero subspace. (Contributed by NM, 16-Aug-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
dih0b.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
dih0b.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dih0b.o	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
dih0b.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dih0b.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dih0b.z	⊢ 𝑍 = (0g‘𝑈)
dih0b.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dih0b.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
dih0bN	⊢ (𝜑 → (𝑋 = 0 ↔ (𝐼‘𝑋) = {𝑍}))

Proof of Theorem dih0bN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dih0b.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		dih0b.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
3	1	simpld 495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ HL)
4		hlop 37580	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
5		dih0b.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
6		dih0b.o	. . . . 5 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
7	5, 6	op0cl 37402	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 0 ∈ 𝐵)
8	3, 4, 7	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐵)
9		dih0b.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
10		dih0b.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
11	5, 9, 10	dih11 39484	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵) → ((𝐼‘𝑋) = (𝐼‘ 0 ) ↔ 𝑋 = 0 ))
12	1, 2, 8, 11	syl3anc 1370	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘𝑋) = (𝐼‘ 0 ) ↔ 𝑋 = 0 ))
13		dih0b.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
14		dih0b.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (0g‘𝑈)
15	6, 9, 10, 13, 14	dih0 39499	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐼‘ 0 ) = {𝑍})
16	1, 15	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘ 0 ) = {𝑍})
17	16	eqeq2d 2748	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘𝑋) = (𝐼‘ 0 ) ↔ (𝐼‘𝑋) = {𝑍}))
18	12, 17	bitr3d 280	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 = 0 ↔ (𝐼‘𝑋) = {𝑍}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  {csn 4571  ‘cfv 6465  Basecbs 16982  0_gc0g 17220  0.cp0 18211  OPcops 37390  HLchlt 37568  LHypclh 38203  DVecHcdvh 39297  DIsoHcdih 39447

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5238  ax-nul 5245  ax-pow 5303  ax-pr 5367  ax-un 7628  ax-cnex 11000  ax-resscn 11001  ax-1cn 11002  ax-icn 11003  ax-addcl 11004  ax-addrcl 11005  ax-mulcl 11006  ax-mulrcl 11007  ax-mulcom 11008  ax-addass 11009  ax-mulass 11010  ax-distr 11011  ax-i2m1 11012  ax-1ne0 11013  ax-1rid 11014  ax-rnegex 11015  ax-rrecex 11016  ax-cnre 11017  ax-pre-lttri 11018  ax-pre-lttrn 11019  ax-pre-ltadd 11020  ax-pre-mulgt0 11021  ax-riotaBAD 37171

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4268  df-if 4472  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-tp 4576  df-op 4578  df-uni 4851  df-int 4893  df-iun 4939  df-iin 4940  df-br 5088  df-opab 5150  df-mpt 5171  df-tr 5205  df-id 5507  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5562  df-we 5564  df-xp 5613  df-rel 5614  df-cnv 5615  df-co 5616  df-dm 5617  df-rn 5618  df-res 5619  df-ima 5620  df-pred 6224  df-ord 6291  df-on 6292  df-lim 6293  df-suc 6294  df-iota 6417  df-fun 6467  df-fn 6468  df-f 6469  df-f1 6470  df-fo 6471  df-f1o 6472  df-fv 6473  df-riota 7272  df-ov 7318  df-oprab 7319  df-mpo 7320  df-om 7758  df-1st 7876  df-2nd 7877  df-tpos 8089  df-undef 8136  df-frecs 8144  df-wrecs 8175  df-recs 8249  df-rdg 8288  df-1o 8344  df-er 8546  df-map 8665  df-en 8782  df-dom 8783  df-sdom 8784  df-fin 8785  df-pnf 11084  df-mnf 11085  df-xr 11086  df-ltxr 11087  df-le 11088  df-sub 11280  df-neg 11281  df-nn 12047  df-2 12109  df-3 12110  df-4 12111  df-5 12112  df-6 12113  df-n0 12307  df-z 12393  df-uz 12656  df-fz 13313  df-struct 16918  df-sets 16935  df-slot 16953  df-ndx 16965  df-base 16983  df-ress 17012  df-plusg 17045  df-mulr 17046  df-sca 17048  df-vsca 17049  df-0g 17222  df-proset 18083  df-poset 18101  df-plt 18118  df-lub 18134  df-glb 18135  df-join 18136  df-meet 18137  df-p0 18213  df-p1 18214  df-lat 18220  df-clat 18287  df-mgm 18396  df-sgrp 18445  df-mnd 18456  df-submnd 18501  df-grp 18649  df-minusg 18650  df-sbg 18651  df-subg 18821  df-cntz 18992  df-lsm 19310  df-cmn 19456  df-abl 19457  df-mgp 19789  df-ur 19806  df-ring 19853  df-oppr 19930  df-dvdsr 19951  df-unit 19952  df-invr 19982  df-dvr 19993  df-drng 20065  df-lmod 20197  df-lss 20266  df-lsp 20306  df-lvec 20437  df-oposet 37394  df-ol 37396  df-oml 37397  df-covers 37484  df-ats 37485  df-atl 37516  df-cvlat 37540  df-hlat 37569  df-llines 37717  df-lplanes 37718  df-lvols 37719  df-lines 37720  df-psubsp 37722  df-pmap 37723  df-padd 38015  df-lhyp 38207  df-laut 38208  df-ldil 38323  df-ltrn 38324  df-trl 38378  df-tendo 38974  df-edring 38976  df-disoa 39248  df-dvech 39298  df-dib 39358  df-dic 39392  df-dih 39448

This theorem is referenced by: (None)