Theorem dih0rn 37447

Description: The zero subspace belongs to the range of isomorphism H. (Contributed by NM, 27-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dih0rn.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dih0rn.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dih0rn.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dih0rn.o	⊢ 0 = (0g‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
dih0rn	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → { 0 } ∈ ran 𝐼)

Proof of Theorem dih0rn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2778	. . 3 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
2		dih0rn.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		dih0rn.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
4		dih0rn.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5		dih0rn.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
6	1, 2, 3, 4, 5	dih0 37443	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐼‘(0.‘𝐾)) = { 0 })
7		eqid 2778	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
8	7, 2, 3	dihfn 37431	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐼 Fn (Base‘𝐾))
9		hlop 35525	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
10	9	adantr 474	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐾 ∈ OP)
11	7, 1	op0cl 35347	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ OP → (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
12	10, 11	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
13		fnfvelrn 6622	. . 3 ⊢ ((𝐼 Fn (Base‘𝐾) ∧ (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝐼‘(0.‘𝐾)) ∈ ran 𝐼)
14	8, 12, 13	syl2anc 579	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐼‘(0.‘𝐾)) ∈ ran 𝐼)
15	6, 14	eqeltrrd 2860	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → { 0 } ∈ ran 𝐼)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  {csn 4398  ran crn 5358   Fn wfn 6132  ‘cfv 6137  Basecbs 16266  0_gc0g 16497  0.cp0 17434  OPcops 35335  HLchlt 35513  LHypclh 36147  DVecHcdvh 37241  DIsoHcdih 37391

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351  ax-riotaBAD 35116

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-iin 4758  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-tpos 7636  df-undef 7683  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-oadd 7849  df-er 8028  df-map 8144  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-nn 11380  df-2 11443  df-3 11444  df-4 11445  df-5 11446  df-6 11447  df-n0 11648  df-z 11734  df-uz 11998  df-fz 12649  df-struct 16268  df-ndx 16269  df-slot 16270  df-base 16272  df-sets 16273  df-ress 16274  df-plusg 16362  df-mulr 16363  df-sca 16365  df-vsca 16366  df-0g 16499  df-proset 17325  df-poset 17343  df-plt 17355  df-lub 17371  df-glb 17372  df-join 17373  df-meet 17374  df-p0 17436  df-p1 17437  df-lat 17443  df-clat 17505  df-mgm 17639  df-sgrp 17681  df-mnd 17692  df-submnd 17733  df-grp 17823  df-minusg 17824  df-sbg 17825  df-subg 17986  df-cntz 18144  df-lsm 18446  df-cmn 18592  df-abl 18593  df-mgp 18888  df-ur 18900  df-ring 18947  df-oppr 19021  df-dvdsr 19039  df-unit 19040  df-invr 19070  df-dvr 19081  df-drng 19152  df-lmod 19268  df-lss 19336  df-lsp 19378  df-lvec 19509  df-oposet 35339  df-ol 35341  df-oml 35342  df-covers 35429  df-ats 35430  df-atl 35461  df-cvlat 35485  df-hlat 35514  df-llines 35661  df-lplanes 35662  df-lvols 35663  df-lines 35664  df-psubsp 35666  df-pmap 35667  df-padd 35959  df-lhyp 36151  df-laut 36152  df-ldil 36267  df-ltrn 36268  df-trl 36322  df-tendo 36918  df-edring 36920  df-disoa 37192  df-dvech 37242  df-dib 37302  df-dic 37336  df-dih 37392

This theorem is referenced by:  dih0sb  37448  dihlsprn  37494  doch0  37521  djh01  37575  djh02  37576  dochsatshp  37614  dochshpsat  37617