Theorem dih0rn 42481

Description: The zero subspace belongs to the range of isomorphism H. (Contributed by NM, 27-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dih0rn.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dih0rn.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dih0rn.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dih0rn.o	⊢ 0 = (0g‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
dih0rn	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → { 0 } ∈ ran 𝐼)

Proof of Theorem dih0rn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . 3 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
2		dih0rn.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		dih0rn.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
4		dih0rn.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5		dih0rn.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
6	1, 2, 3, 4, 5	dih0 42477	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐼‘(0.‘𝐾)) = { 0 })
7		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
8	7, 2, 3	dihfn 42465	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐼 Fn (Base‘𝐾))
9		hlop 40559	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
10	9	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐾 ∈ OP)
11	7, 1	op0cl 40381	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ OP → (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
12	10, 11	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
13		fnfvelrn 7088	. . 3 ⊢ ((𝐼 Fn (Base‘𝐾) ∧ (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝐼‘(0.‘𝐾)) ∈ ran 𝐼)
14	8, 12, 13	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐼‘(0.‘𝐾)) ∈ ran 𝐼)
15	6, 14	eqeltrrd 2864	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → { 0 } ∈ ran 𝐼)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  {csn 4587  ran crn 5655   Fn wfn 6541  ‘cfv 6546  Basecbs 17399  0_gc0g 17622  0.cp0 18607  OPcops 40369  HLchlt 40547  LHypclh 41181  DVecHcdvh 42275  DIsoHcdih 42425

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-cnex 11266  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-pre-mulgt0 11287  ax-riotaBAD 40150

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4838  df-uni 4870  df-int 4910  df-iun 4955  df-iin 4956  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-om 7885  df-1st 8008  df-2nd 8009  df-tpos 8254  df-undef 8301  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8487  df-er 8728  df-map 8860  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-sub 11553  df-neg 11554  df-nn 12346  df-2 12415  df-3 12416  df-4 12417  df-5 12418  df-6 12419  df-n0 12617  df-z 12704  df-uz 12976  df-fz 13650  df-struct 17337  df-sets 17354  df-slot 17372  df-ndx 17384  df-base 17400  df-ress 17421  df-plusg 17453  df-mulr 17454  df-sca 17456  df-vsca 17457  df-0g 17624  df-proset 18480  df-poset 18499  df-plt 18514  df-lub 18530  df-glb 18531  df-join 18532  df-meet 18533  df-p0 18609  df-p1 18610  df-lat 18618  df-clat 18685  df-mgm 18828  df-sgrp 18920  df-mnd 18936  df-submnd 18991  df-grp 19159  df-minusg 19160  df-sbg 19161  df-subg 19345  df-cntz 19543  df-lsm 19862  df-cmn 20008  df-abl 20009  df-mgp 20373  df-rng 20387  df-ur 20420  df-ring 20473  df-oppr 20579  df-dvdsr 20599  df-unit 20600  df-invr 20630  df-dvr 20643  df-drng 20994  df-lmod 21149  df-lss 21219  df-lsp 21259  df-lvec 21390  df-oposet 40373  df-ol 40375  df-oml 40376  df-covers 40463  df-ats 40464  df-atl 40495  df-cvlat 40519  df-hlat 40548  df-llines 40695  df-lplanes 40696  df-lvols 40697  df-lines 40698  df-psubsp 40700  df-pmap 40701  df-padd 40993  df-lhyp 41185  df-laut 41186  df-ldil 41301  df-ltrn 41302  df-trl 41356  df-tendo 41952  df-edring 41954  df-disoa 42226  df-dvech 42276  df-dib 42336  df-dic 42370  df-dih 42426

This theorem is used by:  dih0sb  42482  dihlsprn  42528  doch0  42555  djh01  42609  djh02  42610  dochsatshp  42648  dochshpsat  42651