Theorem dih0rn 38944

Description: The zero subspace belongs to the range of isomorphism H. (Contributed by NM, 27-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dih0rn.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dih0rn.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dih0rn.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dih0rn.o	⊢ 0 = (0g‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
dih0rn	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → { 0 } ∈ ran 𝐼)

Proof of Theorem dih0rn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2739	. . 3 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
2		dih0rn.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		dih0rn.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
4		dih0rn.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5		dih0rn.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
6	1, 2, 3, 4, 5	dih0 38940	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐼‘(0.‘𝐾)) = { 0 })
7		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
8	7, 2, 3	dihfn 38928	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐼 Fn (Base‘𝐾))
9		hlop 37022	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
10	9	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐾 ∈ OP)
11	7, 1	op0cl 36844	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ OP → (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
12	10, 11	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
13		fnfvelrn 6861	. . 3 ⊢ ((𝐼 Fn (Base‘𝐾) ∧ (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝐼‘(0.‘𝐾)) ∈ ran 𝐼)
14	8, 12, 13	syl2anc 587	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐼‘(0.‘𝐾)) ∈ ran 𝐼)
15	6, 14	eqeltrrd 2835	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → { 0 } ∈ ran 𝐼)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {csn 4517  ran crn 5527   Fn wfn 6335  ‘cfv 6340  Basecbs 16589  0_gc0g 16819  0.cp0 17766  OPcops 36832  HLchlt 37010  LHypclh 37644  DVecHcdvh 38738  DIsoHcdih 38888

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5233  ax-pr 5297  ax-un 7482  ax-cnex 10674  ax-resscn 10675  ax-1cn 10676  ax-icn 10677  ax-addcl 10678  ax-addrcl 10679  ax-mulcl 10680  ax-mulrcl 10681  ax-mulcom 10682  ax-addass 10683  ax-mulass 10684  ax-distr 10685  ax-i2m1 10686  ax-1ne0 10687  ax-1rid 10688  ax-rnegex 10689  ax-rrecex 10690  ax-cnre 10691  ax-pre-lttri 10692  ax-pre-lttrn 10693  ax-pre-ltadd 10694  ax-pre-mulgt0 10695  ax-riotaBAD 36613

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3401  df-sbc 3682  df-csb 3792  df-dif 3847  df-un 3849  df-in 3851  df-ss 3861  df-pss 3863  df-nul 4213  df-if 4416  df-pw 4491  df-sn 4518  df-pr 4520  df-tp 4522  df-op 4524  df-uni 4798  df-int 4838  df-iun 4884  df-iin 4885  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5532  df-rel 5533  df-cnv 5534  df-co 5535  df-dm 5536  df-rn 5537  df-res 5538  df-ima 5539  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7130  df-ov 7176  df-oprab 7177  df-mpo 7178  df-om 7603  df-1st 7717  df-2nd 7718  df-tpos 7924  df-undef 7971  df-wrecs 7979  df-recs 8040  df-rdg 8078  df-1o 8134  df-er 8323  df-map 8442  df-en 8559  df-dom 8560  df-sdom 8561  df-fin 8562  df-pnf 10758  df-mnf 10759  df-xr 10760  df-ltxr 10761  df-le 10762  df-sub 10953  df-neg 10954  df-nn 11720  df-2 11782  df-3 11783  df-4 11784  df-5 11785  df-6 11786  df-n0 11980  df-z 12066  df-uz 12328  df-fz 12985  df-struct 16591  df-ndx 16592  df-slot 16593  df-base 16595  df-sets 16596  df-ress 16597  df-plusg 16684  df-mulr 16685  df-sca 16687  df-vsca 16688  df-0g 16821  df-proset 17657  df-poset 17675  df-plt 17687  df-lub 17703  df-glb 17704  df-join 17705  df-meet 17706  df-p0 17768  df-p1 17769  df-lat 17775  df-clat 17837  df-mgm 17971  df-sgrp 18020  df-mnd 18031  df-submnd 18076  df-grp 18225  df-minusg 18226  df-sbg 18227  df-subg 18397  df-cntz 18568  df-lsm 18882  df-cmn 19029  df-abl 19030  df-mgp 19362  df-ur 19374  df-ring 19421  df-oppr 19498  df-dvdsr 19516  df-unit 19517  df-invr 19547  df-dvr 19558  df-drng 19626  df-lmod 19758  df-lss 19826  df-lsp 19866  df-lvec 19997  df-oposet 36836  df-ol 36838  df-oml 36839  df-covers 36926  df-ats 36927  df-atl 36958  df-cvlat 36982  df-hlat 37011  df-llines 37158  df-lplanes 37159  df-lvols 37160  df-lines 37161  df-psubsp 37163  df-pmap 37164  df-padd 37456  df-lhyp 37648  df-laut 37649  df-ldil 37764  df-ltrn 37765  df-trl 37819  df-tendo 38415  df-edring 38417  df-disoa 38689  df-dvech 38739  df-dib 38799  df-dic 38833  df-dih 38889

This theorem is referenced by:  dih0sb  38945  dihlsprn  38991  doch0  39018  djh01  39072  djh02  39073  dochsatshp  39111  dochshpsat  39114