MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pco0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pco0 23911
Description: The starting point of a path concatenation. (Contributed by Jeff Madsen, 15-Jun-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
pcoval.2 (𝜑𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
pcoval.3 (𝜑𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
Assertion
Ref Expression
pco0 (𝜑 → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)‘0) = (𝐹‘0))

Proof of Theorem pco0
StepHypRef Expression
1 0re 10835 . . . 4 0 ∈ ℝ
2 0le0 11931 . . . 4 0 ≤ 0
3 halfge0 12047 . . . 4 0 ≤ (1 / 2)
4 halfre 12044 . . . . 5 (1 / 2) ∈ ℝ
51, 4elicc2i 13001 . . . 4 (0 ∈ (0[,](1 / 2)) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 0 ∧ 0 ≤ (1 / 2)))
61, 2, 3, 5mpbir3an 1343 . . 3 0 ∈ (0[,](1 / 2))
7 pcoval.2 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
8 pcoval.3 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
97, 8pcoval1 23910 . . 3 ((𝜑 ∧ 0 ∈ (0[,](1 / 2))) → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)‘0) = (𝐹‘(2 · 0)))
106, 9mpan2 691 . 2 (𝜑 → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)‘0) = (𝐹‘(2 · 0)))
11 2t0e0 11999 . . 3 (2 · 0) = 0
1211fveq2i 6720 . 2 (𝐹‘(2 · 0)) = (𝐹‘0)
1310, 12eqtrdi 2794 1 (𝜑 → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)‘0) = (𝐹‘0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1543  wcel 2110   class class class wbr 5053  cfv 6380  (class class class)co 7213  cr 10728  0cc0 10729  1c1 10730   · cmul 10734  cle 10868   / cdiv 11489  2c2 11885  [,]cicc 12938   Cn ccn 22121  IIcii 23772  *𝑝cpco 23897
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-po 5468  df-so 5469  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-er 8391  df-map 8510  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-2 11893  df-icc 12942  df-top 21791  df-topon 21808  df-cn 22124  df-pco 23902
This theorem is referenced by:  pcohtpylem  23916  pcoass  23921  pcorevlem  23923  pcophtb  23926  om1addcl  23930  pi1xfrf  23950  pi1xfr  23952  pi1xfrcnvlem  23953  pi1coghm  23958  connpconn  32910  sconnpht2  32913  cvmlift3lem6  32999
  Copyright terms: Public domain W3C validator