MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pco0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pco0 23545
Description: The starting point of a path concatenation. (Contributed by Jeff Madsen, 15-Jun-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
pcoval.2 (𝜑𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
pcoval.3 (𝜑𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
Assertion
Ref Expression
pco0 (𝜑 → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)‘0) = (𝐹‘0))

Proof of Theorem pco0
StepHypRef Expression
1 0re 10631 . . . 4 0 ∈ ℝ
2 0le0 11726 . . . 4 0 ≤ 0
3 halfge0 11842 . . . 4 0 ≤ (1 / 2)
4 halfre 11839 . . . . 5 (1 / 2) ∈ ℝ
51, 4elicc2i 12790 . . . 4 (0 ∈ (0[,](1 / 2)) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 0 ∧ 0 ≤ (1 / 2)))
61, 2, 3, 5mpbir3an 1333 . . 3 0 ∈ (0[,](1 / 2))
7 pcoval.2 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
8 pcoval.3 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
97, 8pcoval1 23544 . . 3 ((𝜑 ∧ 0 ∈ (0[,](1 / 2))) → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)‘0) = (𝐹‘(2 · 0)))
106, 9mpan2 687 . 2 (𝜑 → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)‘0) = (𝐹‘(2 · 0)))
11 2t0e0 11794 . . 3 (2 · 0) = 0
1211fveq2i 6666 . 2 (𝐹‘(2 · 0)) = (𝐹‘0)
1310, 12syl6eq 2869 1 (𝜑 → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)‘0) = (𝐹‘0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1528  wcel 2105   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7145  cr 10524  0cc0 10525  1c1 10526   · cmul 10530  cle 10664   / cdiv 11285  2c2 11680  [,]cicc 12729   Cn ccn 21760  IIcii 23410  *𝑝cpco 23531
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-2 11688  df-icc 12733  df-top 21430  df-topon 21447  df-cn 21763  df-pco 23536
This theorem is referenced by:  pcohtpylem  23550  pcoass  23555  pcorevlem  23557  pcophtb  23560  om1addcl  23564  pi1xfrf  23584  pi1xfr  23586  pi1xfrcnvlem  23587  pi1coghm  23592  connpconn  32379  sconnpht2  32382  cvmlift3lem6  32468
  Copyright terms: Public domain W3C validator