Theorem pco0 23221

Description: The starting point of a path concatenation. (Contributed by Jeff Madsen, 15-Jun-2010.)

Hypotheses

Ref	Expression
pcoval.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
pcoval.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))

Assertion

Ref	Expression
pco0	⊢ (𝜑 → ((𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺)‘0) = (𝐹‘0))

Proof of Theorem pco0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 10378	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		0le0 11483	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 0
3		halfre 11596	. . . . 5 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
4		halfgt0 11598	. . . . 5 ⊢ 0 < (1 / 2)
5	1, 3, 4	ltleii 10499	. . . 4 ⊢ 0 ≤ (1 / 2)
6	1, 3	elicc2i 12551	. . . 4 ⊢ (0 ∈ (0[,](1 / 2)) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 0 ∧ 0 ≤ (1 / 2)))
7	1, 2, 5, 6	mpbir3an 1398	. . 3 ⊢ 0 ∈ (0[,](1 / 2))
8		pcoval.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
9		pcoval.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
10	8, 9	pcoval1 23220	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ∈ (0[,](1 / 2))) → ((𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺)‘0) = (𝐹‘(2 · 0)))
11	7, 10	mpan2 681	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺)‘0) = (𝐹‘(2 · 0)))
12		2t0e0 11551	. . 3 ⊢ (2 · 0) = 0
13	12	fveq2i 6449	. 2 ⊢ (𝐹‘(2 · 0)) = (𝐹‘0)
14	11, 13	syl6eq 2829	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺)‘0) = (𝐹‘0))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1601   ∈ wcel 2106   class class class wbr 4886  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922  ℝcr 10271  0cc0 10272  1c1 10273   · cmul 10277   ≤ cle 10412   / cdiv 11032  2c2 11430  [,]cicc 12490   Cn ccn 21436  IIcii 23086  *_𝑝cpco 23207

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-op 4404  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-po 5274  df-so 5275  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-er 8026  df-map 8142  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-2 11438  df-icc 12494  df-top 21106  df-topon 21123  df-cn 21439  df-pco 23212

This theorem is referenced by:  pcohtpylem  23226  pcoass  23231  pcorevlem  23233  pcophtb  23236  om1addcl  23240  pi1xfrf  23260  pi1xfr  23262  pi1xfrcnvlem  23263  pi1coghm  23268  connpconn  31816  sconnpht2  31819  cvmlift3lem6  31905