Theorem pco0 25047

Description: The starting point of a path concatenation. (Contributed by Jeff Madsen, 15-Jun-2010.)

Hypotheses

Ref	Expression
pcoval.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
pcoval.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))

Assertion

Ref	Expression
pco0	⊢ (𝜑 → ((𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺)‘0) = (𝐹‘0))

Proof of Theorem pco0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11263	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		0le0 12367	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 0
3		halfge0 12483	. . . 4 ⊢ 0 ≤ (1 / 2)
4		halfre 12480	. . . . 5 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
5	1, 4	elicc2i 13453	. . . 4 ⊢ (0 ∈ (0[,](1 / 2)) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 0 ∧ 0 ≤ (1 / 2)))
6	1, 2, 3, 5	mpbir3an 1342	. . 3 ⊢ 0 ∈ (0[,](1 / 2))
7		pcoval.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
8		pcoval.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
9	7, 8	pcoval1 25046	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ∈ (0[,](1 / 2))) → ((𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺)‘0) = (𝐹‘(2 · 0)))
10	6, 9	mpan2 691	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺)‘0) = (𝐹‘(2 · 0)))
11		2t0e0 12435	. . 3 ⊢ (2 · 0) = 0
12	11	fveq2i 6909	. 2 ⊢ (𝐹‘(2 · 0)) = (𝐹‘0)
13	10, 12	eqtrdi 2793	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺)‘0) = (𝐹‘0))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℝcr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   · cmul 11160   ≤ cle 11296   / cdiv 11920  2c2 12321  [,]cicc 13390   Cn ccn 23232  IIcii 24901  *_𝑝cpco 25033

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-2 12329  df-icc 13394  df-top 22900  df-topon 22917  df-cn 23235  df-pco 25038

This theorem is referenced by:  pcohtpylem  25052  pcoass  25057  pcorevlem  25059  pcophtb  25062  om1addcl  25066  pi1xfrf  25086  pi1xfr  25088  pi1xfrcnvlem  25089  pi1coghm  25094  connpconn  35240  sconnpht2  35243  cvmlift3lem6  35329