Theorem pco0 24537

Description: The starting point of a path concatenation. (Contributed by Jeff Madsen, 15-Jun-2010.)

Hypotheses

Ref	Expression
pcoval.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
pcoval.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))

Assertion

Ref	Expression
pco0	⊢ (𝜑 → ((𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺)‘0) = (𝐹‘0))

Proof of Theorem pco0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11218	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		0le0 12315	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 0
3		halfge0 12431	. . . 4 ⊢ 0 ≤ (1 / 2)
4		halfre 12428	. . . . 5 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
5	1, 4	elicc2i 13392	. . . 4 ⊢ (0 ∈ (0[,](1 / 2)) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 0 ∧ 0 ≤ (1 / 2)))
6	1, 2, 3, 5	mpbir3an 1341	. . 3 ⊢ 0 ∈ (0[,](1 / 2))
7		pcoval.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
8		pcoval.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
9	7, 8	pcoval1 24536	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ∈ (0[,](1 / 2))) → ((𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺)‘0) = (𝐹‘(2 · 0)))
10	6, 9	mpan2 689	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺)‘0) = (𝐹‘(2 · 0)))
11		2t0e0 12383	. . 3 ⊢ (2 · 0) = 0
12	11	fveq2i 6894	. 2 ⊢ (𝐹‘(2 · 0)) = (𝐹‘0)
13	10, 12	eqtrdi 2788	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺)‘0) = (𝐹‘0))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  ‘cfv 6543  (class class class)co 7411  ℝcr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   · cmul 11117   ≤ cle 11251   / cdiv 11873  2c2 12269  [,]cicc 13329   Cn ccn 22735  IIcii 24398  *_𝑝cpco 24523

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-2 12277  df-icc 13333  df-top 22403  df-topon 22420  df-cn 22738  df-pco 24528

This theorem is referenced by:  pcohtpylem  24542  pcoass  24547  pcorevlem  24549  pcophtb  24552  om1addcl  24556  pi1xfrf  24576  pi1xfr  24578  pi1xfrcnvlem  24579  pi1coghm  24584  connpconn  34295  sconnpht2  34298  cvmlift3lem6  34384