Theorem pco0 25060

Description: The starting point of a path concatenation. (Contributed by Jeff Madsen, 15-Jun-2010.)

Hypotheses

Ref	Expression
pcoval.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
pcoval.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))

Assertion

Ref	Expression
pco0	⊢ (𝜑 → ((𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺)‘0) = (𝐹‘0))

Proof of Theorem pco0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11260	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		0le0 12364	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 0
3		halfge0 12480	. . . 4 ⊢ 0 ≤ (1 / 2)
4		halfre 12477	. . . . 5 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
5	1, 4	elicc2i 13449	. . . 4 ⊢ (0 ∈ (0[,](1 / 2)) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 0 ∧ 0 ≤ (1 / 2)))
6	1, 2, 3, 5	mpbir3an 1340	. . 3 ⊢ 0 ∈ (0[,](1 / 2))
7		pcoval.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
8		pcoval.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
9	7, 8	pcoval1 25059	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ∈ (0[,](1 / 2))) → ((𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺)‘0) = (𝐹‘(2 · 0)))
10	6, 9	mpan2 691	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺)‘0) = (𝐹‘(2 · 0)))
11		2t0e0 12432	. . 3 ⊢ (2 · 0) = 0
12	11	fveq2i 6909	. 2 ⊢ (𝐹‘(2 · 0)) = (𝐹‘0)
13	10, 12	eqtrdi 2790	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺)‘0) = (𝐹‘0))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1536   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5147  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430  ℝcr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   · cmul 11157   ≤ cle 11293   / cdiv 11917  2c2 12318  [,]cicc 13386   Cn ccn 23247  IIcii 24914  *_𝑝cpco 25046

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-po 5596  df-so 5597  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-er 8743  df-map 8866  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-2 12326  df-icc 13390  df-top 22915  df-topon 22932  df-cn 23250  df-pco 25051

This theorem is referenced by:  pcohtpylem  25065  pcoass  25070  pcorevlem  25072  pcophtb  25075  om1addcl  25079  pi1xfrf  25099  pi1xfr  25101  pi1xfrcnvlem  25102  pi1coghm  25107  connpconn  35219  sconnpht2  35222  cvmlift3lem6  35308