Theorem pw2ltdivmuls2d 28437

Description: Surreal less-than relationship between division and multiplication for powers of two. (Contributed by Scott Fenton, 23-Feb-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
pw2ltdivmuls2d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
pw2ltdivmuls2d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
pw2ltdivmuls2d.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0s)

Assertion

Ref	Expression
pw2ltdivmuls2d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 /su (2s↑s𝑁)) <s 𝐵 ↔ 𝐴 <s (𝐵 ·s (2s↑s𝑁))))

Proof of Theorem pw2ltdivmuls2d

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pw2ltdivmuls2d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2		pw2ltdivmuls2d.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
3		2no 28399	. . 3 ⊢ 2s ∈ No
4		pw2ltdivmuls2d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0s)
5		expscl 28411	. . 3 ⊢ ((2s ∈ No ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → (2s↑s𝑁) ∈ No )
6	3, 4, 5	sylancr 588	. 2 ⊢ (𝜑 → (2s↑s𝑁) ∈ No )
7		2nns 28398	. . . . 5 ⊢ 2s ∈ ℕs
8		nnsgt0 28319	. . . . 5 ⊢ (2s ∈ ℕs → 0s <s 2s)
9	7, 8	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 0s <s 2s
10		expsgt0 28417	. . . 4 ⊢ ((2s ∈ No ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s ∧ 0s <s 2s) → 0s <s (2s↑s𝑁))
11	3, 9, 10	mp3an13 1455	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0s → 0s <s (2s↑s𝑁))
12	4, 11	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 0s <s (2s↑s𝑁))
13		pw2recs 28418	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0s → ∃𝑥 ∈ No ((2s↑s𝑁) ·s 𝑥) = 1s )
14	4, 13	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ No ((2s↑s𝑁) ·s 𝑥) = 1s )
15	1, 2, 6, 12, 14	ltdivmuls2wd 28180	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 /su (2s↑s𝑁)) <s 𝐵 ↔ 𝐴 <s (𝐵 ·s (2s↑s𝑁))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062   class class class wbr 5086  (class class class)co 7358   No csur 27591   <s clts 27592   0_s c0s 27785   1_s c1s 27786   ·_s cmuls 28086   /_su cdivs 28167  ℕ_0scn0s 28292  ℕ_scnns 28293  2_sc2s 28390  ↑_scexps 28392

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-ot 4577  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-2o 8397  df-oadd 8400  df-nadd 8593  df-no 27594  df-lts 27595  df-bday 27596  df-les 27697  df-slts 27738  df-cuts 27740  df-0s 27787  df-1s 27788  df-made 27807  df-old 27808  df-left 27810  df-right 27811  df-norec 27918  df-norec2 27929  df-adds 27940  df-negs 28001  df-subs 28002  df-muls 28087  df-divs 28168  df-seqs 28264  df-n0s 28294  df-nns 28295  df-zs 28359  df-2s 28391  df-exps 28393

This theorem is referenced by:  bdayfinbndlem1  28447