Theorem pw2ltdivmuls2d 28527

Description: Surreal less-than relationship between division and multiplication for powers of two. (Contributed by Scott Fenton, 23-Feb-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
pw2ltdivmuls2d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
pw2ltdivmuls2d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
pw2ltdivmuls2d.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0s)

Assertion

Ref	Expression
pw2ltdivmuls2d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 /su (2s↑s𝑁)) <s 𝐵 ↔ 𝐴 <s (𝐵 ·s (2s↑s𝑁))))

Proof of Theorem pw2ltdivmuls2d

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pw2ltdivmuls2d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2		pw2ltdivmuls2d.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
3		2no 28489	. . 3 ⊢ 2s ∈ No
4		pw2ltdivmuls2d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0s)
5		expscl 28501	. . 3 ⊢ ((2s ∈ No ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → (2s↑s𝑁) ∈ No )
6	3, 4, 5	sylancr 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (2s↑s𝑁) ∈ No )
7		2nns 28488	. . . . 5 ⊢ 2s ∈ ℕs
8		nnsgt0 28409	. . . . 5 ⊢ (2s ∈ ℕs → 0s <s 2s)
9	7, 8	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 0s <s 2s
10		expsgt0 28507	. . . 4 ⊢ ((2s ∈ No ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s ∧ 0s <s 2s) → 0s <s (2s↑s𝑁))
11	3, 9, 10	mp3an13 1472	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0s → 0s <s (2s↑s𝑁))
12	4, 11	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 0s <s (2s↑s𝑁))
13		pw2recs 28508	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0s → ∃𝑥 ∈ No ((2s↑s𝑁) ·s 𝑥) = 1s )
14	4, 13	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ No ((2s↑s𝑁) ·s 𝑥) = 1s )
15	1, 2, 6, 12, 14	ltdivmuls2wd 28270	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 /su (2s↑s𝑁)) <s 𝐵 ↔ 𝐴 <s (𝐵 ·s (2s↑s𝑁))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ∃wrex 3085   class class class wbr 5099  (class class class)co 7392   No csur 27681   <s clts 27682   0_s c0s 27875   1_s c1s 27876   ·_s cmuls 28176   /_su cdivs 28257  ℕ_0scn0s 28382  ℕ_scnns 28383  2_sc2s 28480  ↑_scexps 28482

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-ot 4590  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-se 5599  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-2o 8433  df-oadd 8436  df-nadd 8631  df-no 27684  df-lts 27685  df-bday 27686  df-les 27786  df-slts 27828  df-cuts 27830  df-0s 27877  df-1s 27878  df-made 27897  df-old 27898  df-left 27900  df-right 27901  df-norec 28008  df-norec2 28019  df-adds 28030  df-negs 28091  df-subs 28092  df-muls 28177  df-divs 28258  df-seqs 28354  df-n0s 28384  df-nns 28385  df-zs 28449  df-2s 28481  df-exps 28483

This theorem is referenced by:  bdayfinbndlem1  28537