Theorem 2nns 28513

Description: Surreal two is a surreal natural. (Contributed by Scott Fenton, 23-Jul-2025.)

Assertion

Ref	Expression
2nns	⊢ 2s ∈ ℕs

Proof of Theorem 2nns

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1p1e2s 28511	. 2 ⊢ ( 1s +s 1s ) = 2s
2		1nns 28444	. . 3 ⊢ 1s ∈ ℕs
3		peano2nns 28445	. . 3 ⊢ ( 1s ∈ ℕs → ( 1s +s 1s ) ∈ ℕs)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ ( 1s +s 1s ) ∈ ℕs
5	1, 4	eqeltrri 2861	1 ⊢ 2s ∈ ℕs

Syntax hints:   ∈ wcel 2144  (class class class)co 7398   1_s c1s 27901   +_s cadds 28054  ℕ_scnns 28408  2_sc2s 28505

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-ot 4593  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-se 5603  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-1o 8439  df-2o 8440  df-nadd 8638  df-no 27709  df-lts 27710  df-bday 27711  df-les 27811  df-slts 27853  df-cuts 27855  df-0s 27902  df-1s 27903  df-made 27922  df-old 27923  df-left 27925  df-right 27926  df-norec 28033  df-norec2 28044  df-adds 28055  df-negs 28116  df-subs 28117  df-n0s 28409  df-nns 28410  df-2s 28506

This theorem is referenced by:  2no  28514  2ne0s  28515  pw2gt0divsd  28540  pw2ge0divsd  28541  pw2ltdivmulsd  28545  pw2ltmuldivs2d  28546  pw2ltdivmuls2d  28552  halfcut  28553  addhalfcut  28554  pw2cut  28555  pw2cutp1  28556  bdaypw2n0bndlem  28558  bdayfinbndlem1  28562  z12bdaylem1  28565  z12bdaylem2  28566  z12addscl  28572  z12sge0  28578  1reno  28592