Theorem 2nns 28428

Description: Surreal two is a surreal natural. (Contributed by Scott Fenton, 23-Jul-2025.)

Assertion

Ref	Expression
2nns	⊢ 2s ∈ ℕs

Proof of Theorem 2nns

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1p1e2s 28426	. 2 ⊢ ( 1s +s 1s ) = 2s
2		1nns 28359	. . 3 ⊢ 1s ∈ ℕs
3		peano2nns 28360	. . 3 ⊢ ( 1s ∈ ℕs → ( 1s +s 1s ) ∈ ℕs)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ ( 1s +s 1s ) ∈ ℕs
5	1, 4	eqeltrri 2834	1 ⊢ 2s ∈ ℕs

Syntax hints:   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7362   1_s c1s 27816   +_s cadds 27969  ℕ_scnns 28323  2_sc2s 28420

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-ot 4577  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-se 5580  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7813  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-2o 8401  df-nadd 8597  df-no 27624  df-lts 27625  df-bday 27626  df-les 27727  df-slts 27768  df-cuts 27770  df-0s 27817  df-1s 27818  df-made 27837  df-old 27838  df-left 27840  df-right 27841  df-norec 27948  df-norec2 27959  df-adds 27970  df-negs 28031  df-subs 28032  df-n0s 28324  df-nns 28325  df-2s 28421

This theorem is referenced by:  2no  28429  2ne0s  28430  pw2gt0divsd  28455  pw2ge0divsd  28456  pw2ltdivmulsd  28460  pw2ltmuldivs2d  28461  pw2ltdivmuls2d  28467  halfcut  28468  addhalfcut  28469  pw2cut  28470  pw2cutp1  28471  bdaypw2n0bndlem  28473  bdayfinbndlem1  28477  z12bdaylem1  28480  z12bdaylem2  28481  z12addscl  28487  z12sge0  28493  1reno  28507