Theorem 2nns 28432

Description: Surreal two is a surreal natural. (Contributed by Scott Fenton, 23-Jul-2025.)

Assertion

Ref	Expression
2nns	⊢ 2s ∈ ℕs

Proof of Theorem 2nns

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1p1e2s 28430	. 2 ⊢ ( 1s +s 1s ) = 2s
2		1nns 28363	. . 3 ⊢ 1s ∈ ℕs
3		peano2nns 28364	. . 3 ⊢ ( 1s ∈ ℕs → ( 1s +s 1s ) ∈ ℕs)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ ( 1s +s 1s ) ∈ ℕs
5	1, 4	eqeltrri 2838	1 ⊢ 2s ∈ ℕs

Syntax hints:   ∈ wcel 2121  (class class class)co 7360   1_s c1s 27820   +_s cadds 27973  ℕ_scnns 28327  2_sc2s 28424

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-ot 4567  df-uni 4842  df-int 4881  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-nadd 8596  df-no 27628  df-lts 27629  df-bday 27630  df-les 27731  df-slts 27772  df-cuts 27774  df-0s 27821  df-1s 27822  df-made 27841  df-old 27842  df-left 27844  df-right 27845  df-norec 27952  df-norec2 27963  df-adds 27974  df-negs 28035  df-subs 28036  df-n0s 28328  df-nns 28329  df-2s 28425

This theorem is referenced by:  2no  28433  2ne0s  28434  pw2gt0divsd  28459  pw2ge0divsd  28460  pw2ltdivmulsd  28464  pw2ltmuldivs2d  28465  pw2ltdivmuls2d  28471  halfcut  28472  addhalfcut  28473  pw2cut  28474  pw2cutp1  28475  bdaypw2n0bndlem  28477  bdayfinbndlem1  28481  z12bdaylem1  28484  z12bdaylem2  28485  z12addscl  28491  z12sge0  28497  1reno  28511