Theorem q1pcl 24313

Description: Closure of the quotient by a unitic polynomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
q1pcl.q	⊢ 𝑄 = (quot1p‘𝑅)
q1pcl.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
q1pcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
q1pcl.c	⊢ 𝐶 = (Unic1p‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
q1pcl	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → (𝐹𝑄𝐺) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem q1pcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2824	. . 3 ⊢ (𝐹𝑄𝐺) = (𝐹𝑄𝐺)
2		q1pcl.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (quot1p‘𝑅)
3		q1pcl.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
4		q1pcl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
5		eqid 2824	. . . 4 ⊢ ( deg1 ‘𝑅) = ( deg1 ‘𝑅)
6		eqid 2824	. . . 4 ⊢ (-g‘𝑃) = (-g‘𝑃)
7		eqid 2824	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
8		q1pcl.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (Unic1p‘𝑅)
9	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	q1peqb 24312	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → (((𝐹𝑄𝐺) ∈ 𝐵 ∧ (( deg1 ‘𝑅)‘(𝐹(-g‘𝑃)((𝐹𝑄𝐺)(.r‘𝑃)𝐺))) < (( deg1 ‘𝑅)‘𝐺)) ↔ (𝐹𝑄𝐺) = (𝐹𝑄𝐺)))
10	1, 9	mpbiri 250	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → ((𝐹𝑄𝐺) ∈ 𝐵 ∧ (( deg1 ‘𝑅)‘(𝐹(-g‘𝑃)((𝐹𝑄𝐺)(.r‘𝑃)𝐺))) < (( deg1 ‘𝑅)‘𝐺)))
11	10	simpld 490	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → (𝐹𝑄𝐺) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   ∧ w3a 1113   = wceq 1658   ∈ wcel 2166   class class class wbr 4872  ‘cfv 6122  (class class class)co 6904   < clt 10390  Basecbs 16221  ._rcmulr 16305  -_gcsg 17777  Ringcrg 18900  Poly₁cpl1 19906   deg₁ cdg1 24212  Unic_1pcuc1p 24284  quot_1pcq1p 24285

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2390  ax-ext 2802  ax-rep 4993  ax-sep 5004  ax-nul 5012  ax-pow 5064  ax-pr 5126  ax-un 7208  ax-inf2 8814  ax-cnex 10307  ax-resscn 10308  ax-1cn 10309  ax-icn 10310  ax-addcl 10311  ax-addrcl 10312  ax-mulcl 10313  ax-mulrcl 10314  ax-mulcom 10315  ax-addass 10316  ax-mulass 10317  ax-distr 10318  ax-i2m1 10319  ax-1ne0 10320  ax-1rid 10321  ax-rnegex 10322  ax-rrecex 10323  ax-cnre 10324  ax-pre-lttri 10325  ax-pre-lttrn 10326  ax-pre-ltadd 10327  ax-pre-mulgt0 10328  ax-pre-sup 10329  ax-addf 10330  ax-mulf 10331

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2604  df-eu 2639  df-clab 2811  df-cleq 2817  df-clel 2820  df-nfc 2957  df-ne 2999  df-nel 3102  df-ral 3121  df-rex 3122  df-reu 3123  df-rmo 3124  df-rab 3125  df-v 3415  df-sbc 3662  df-csb 3757  df-dif 3800  df-un 3802  df-in 3804  df-ss 3811  df-pss 3813  df-nul 4144  df-if 4306  df-pw 4379  df-sn 4397  df-pr 4399  df-tp 4401  df-op 4403  df-uni 4658  df-int 4697  df-iun 4741  df-iin 4742  df-br 4873  df-opab 4935  df-mpt 4952  df-tr 4975  df-id 5249  df-eprel 5254  df-po 5262  df-so 5263  df-fr 5300  df-se 5301  df-we 5302  df-xp 5347  df-rel 5348  df-cnv 5349  df-co 5350  df-dm 5351  df-rn 5352  df-res 5353  df-ima 5354  df-pred 5919  df-ord 5965  df-on 5966  df-lim 5967  df-suc 5968  df-iota 6085  df-fun 6124  df-fn 6125  df-f 6126  df-f1 6127  df-fo 6128  df-f1o 6129  df-fv 6130  df-isom 6131  df-riota 6865  df-ov 6907  df-oprab 6908  df-mpt2 6909  df-of 7156  df-ofr 7157  df-om 7326  df-1st 7427  df-2nd 7428  df-supp 7559  df-tpos 7616  df-wrecs 7671  df-recs 7733  df-rdg 7771  df-1o 7825  df-2o 7826  df-oadd 7829  df-er 8008  df-map 8123  df-pm 8124  df-ixp 8175  df-en 8222  df-dom 8223  df-sdom 8224  df-fin 8225  df-fsupp 8544  df-sup 8616  df-oi 8683  df-card 9077  df-pnf 10392  df-mnf 10393  df-xr 10394  df-ltxr 10395  df-le 10396  df-sub 10586  df-neg 10587  df-nn 11350  df-2 11413  df-3 11414  df-4 11415  df-5 11416  df-6 11417  df-7 11418  df-8 11419  df-9 11420  df-n0 11618  df-z 11704  df-dec 11821  df-uz 11968  df-fz 12619  df-fzo 12760  df-seq 13095  df-hash 13410  df-struct 16223  df-ndx 16224  df-slot 16225  df-base 16227  df-sets 16228  df-ress 16229  df-plusg 16317  df-mulr 16318  df-starv 16319  df-sca 16320  df-vsca 16321  df-tset 16323  df-ple 16324  df-ds 16326  df-unif 16327  df-0g 16454  df-gsum 16455  df-mre 16598  df-mrc 16599  df-acs 16601  df-mgm 17594  df-sgrp 17636  df-mnd 17647  df-mhm 17687  df-submnd 17688  df-grp 17778  df-minusg 17779  df-sbg 17780  df-mulg 17894  df-subg 17941  df-ghm 18008  df-cntz 18099  df-cmn 18547  df-abl 18548  df-mgp 18843  df-ur 18855  df-ring 18902  df-cring 18903  df-oppr 18976  df-dvdsr 18994  df-unit 18995  df-invr 19025  df-subrg 19133  df-lmod 19220  df-lss 19288  df-rlreg 19643  df-psr 19716  df-mvr 19717  df-mpl 19718  df-opsr 19720  df-psr1 19909  df-vr1 19910  df-ply1 19911  df-coe1 19912  df-cnfld 20106  df-mdeg 24213  df-deg1 24214  df-uc1p 24289  df-q1p 24290

This theorem is referenced by:  r1pcl  24315  r1pid  24317  dvdsq1p  24318  dvdsr1p  24319  ply1rem  24321  fta1glem1  24323  fta1glem2  24324  ig1pdvds  24334