Theorem bitsinvp1 16487

Description: Recursive definition of the inverse of the bits function. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
bitsinv.k	⊢ 𝐾 = ◡(bits ↾ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
bitsinvp1	⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) = ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0)))

Proof of Theorem bitsinvp1

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzonel 13714	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 𝑁 ∈ (0..^𝑁)
2	1	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ¬ 𝑁 ∈ (0..^𝑁))
3		disjsn 4710	. . . . . 6 ⊢ (((0..^𝑁) ∩ {𝑁}) = ∅ ↔ ¬ 𝑁 ∈ (0..^𝑁))
4	2, 3	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((0..^𝑁) ∩ {𝑁}) = ∅)
5	4	ineq2d 4219	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∩ ((0..^𝑁) ∩ {𝑁})) = (𝐴 ∩ ∅))
6		inindi 4234	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∩ ((0..^𝑁) ∩ {𝑁})) = ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∩ (𝐴 ∩ {𝑁}))
7		in0 4394	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∩ ∅) = ∅
8	5, 6, 7	3eqtr3g 2799	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∩ (𝐴 ∩ {𝑁})) = ∅)
9		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
10		nn0uz 12921	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
11	9, 10	eleqtrdi 2850	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
12		fzosplitsn 13815	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘0) → (0..^(𝑁 + 1)) = ((0..^𝑁) ∪ {𝑁}))
13	11, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0..^(𝑁 + 1)) = ((0..^𝑁) ∪ {𝑁}))
14	13	ineq2d 4219	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1))) = (𝐴 ∩ ((0..^𝑁) ∪ {𝑁})))
15		indi 4283	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∩ ((0..^𝑁) ∪ {𝑁})) = ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∪ (𝐴 ∩ {𝑁}))
16	14, 15	eqtrdi 2792	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1))) = ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∪ (𝐴 ∩ {𝑁})))
17		fzofi 14016	. . . . 5 ⊢ (0..^(𝑁 + 1)) ∈ Fin
18	17	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0..^(𝑁 + 1)) ∈ Fin)
19		inss2 4237	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ⊆ (0..^(𝑁 + 1))
20		ssfi 9214	. . . 4 ⊢ (((0..^(𝑁 + 1)) ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ⊆ (0..^(𝑁 + 1))) → (𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ Fin)
21	18, 19, 20	sylancl 586	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ Fin)
22		2nn 12340	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ
23	22	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → 2 ∈ ℕ)
24		inss1 4236	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ⊆ 𝐴
25		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐴 ⊆ ℕ0)
26	24, 25	sstrid 3994	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ⊆ ℕ0)
27	26	sselda 3982	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
28	23, 27	nnexpcld 14285	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → (2↑𝑘) ∈ ℕ)
29	28	nncnd 12283	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → (2↑𝑘) ∈ ℂ)
30	8, 16, 21, 29	fsumsplit 15778	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))(2↑𝑘) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∩ (0..^𝑁))(2↑𝑘) + Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∩ {𝑁})(2↑𝑘)))
31		elfpw 9395	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↔ ((𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ⊆ ℕ0 ∧ (𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ Fin))
32	26, 21, 31	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
33		bitsinv.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = ◡(bits ↾ ℕ0)
34	33	bitsinv 16486	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) = Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))(2↑𝑘))
35	32, 34	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) = Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))(2↑𝑘))
36		inss1 4236	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ 𝐴
37	36, 25	sstrid 3994	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0)
38		fzofi 14016	. . . . . . 7 ⊢ (0..^𝑁) ∈ Fin
39	38	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0..^𝑁) ∈ Fin)
40		inss2 4237	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)
41		ssfi 9214	. . . . . 6 ⊢ (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)) → (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
42	39, 40, 41	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
43		elfpw 9395	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↔ ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0 ∧ (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin))
44	37, 42, 43	sylanbrc 583	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
45	33	bitsinv 16486	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) = Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∩ (0..^𝑁))(2↑𝑘))
46	44, 45	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) = Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∩ (0..^𝑁))(2↑𝑘))
47		snssi 4807	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ 𝐴 → {𝑁} ⊆ 𝐴)
48	47	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴) → {𝑁} ⊆ 𝐴)
49		sseqin2 4222	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑁} ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∩ {𝑁}) = {𝑁})
50	48, 49	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∩ {𝑁}) = {𝑁})
51	50	sumeq1d 15737	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∩ {𝑁})(2↑𝑘) = Σ𝑘 ∈ {𝑁} (2↑𝑘))
52		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴) → 𝑁 ∈ 𝐴)
53	22	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴) → 2 ∈ ℕ)
54		simplr 768	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴) → 𝑁 ∈ ℕ0)
55	53, 54	nnexpcld 14285	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴) → (2↑𝑁) ∈ ℕ)
56	55	nncnd 12283	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴) → (2↑𝑁) ∈ ℂ)
57		oveq2 7440	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (2↑𝑘) = (2↑𝑁))
58	57	sumsn 15783	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ (2↑𝑁) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝑁} (2↑𝑘) = (2↑𝑁))
59	52, 56, 58	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴) → Σ𝑘 ∈ {𝑁} (2↑𝑘) = (2↑𝑁))
60	51, 59	eqtr2d 2777	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴) → (2↑𝑁) = Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∩ {𝑁})(2↑𝑘))
61		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑁 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑁 ∈ 𝐴)
62		disjsn 4710	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∩ {𝑁}) = ∅ ↔ ¬ 𝑁 ∈ 𝐴)
63	61, 62	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑁 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∩ {𝑁}) = ∅)
64	63	sumeq1d 15737	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑁 ∈ 𝐴) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∩ {𝑁})(2↑𝑘) = Σ𝑘 ∈ ∅ (2↑𝑘))
65		sum0 15758	. . . . 5 ⊢ Σ𝑘 ∈ ∅ (2↑𝑘) = 0
66	64, 65	eqtr2di 2793	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑁 ∈ 𝐴) → 0 = Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∩ {𝑁})(2↑𝑘))
67	60, 66	ifeqda 4561	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) = Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∩ {𝑁})(2↑𝑘))
68	46, 67	oveq12d 7450	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0)) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∩ (0..^𝑁))(2↑𝑘) + Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∩ {𝑁})(2↑𝑘)))
69	30, 35, 68	3eqtr4d 2786	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) = ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ∪ cun 3948   ∩ cin 3949   ⊆ wss 3950  ∅c0 4332  ifcif 4524  𝒫 cpw 4599  {csn 4625  ^◡ccnv 5683   ↾ cres 5686  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  Fincfn 8986  ℂcc 11154  0cc0 11156  1c1 11157   + caddc 11159  ℕcn 12267  2c2 12322  ℕ₀cn0 12528  ℤ_≥cuz 12879  ..^cfzo 13695  ↑cexp 14103  Σcsu 15723  bitscbits 16457

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-inf2 9682  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-disj 5110  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-oadd 8511  df-er 8746  df-map 8869  df-pm 8870  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-sup 9483  df-inf 9484  df-oi 9551  df-dju 9942  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12529  df-xnn0 12602  df-z 12616  df-uz 12880  df-rp 13036  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-fl 13833  df-mod 13911  df-seq 14044  df-exp 14104  df-hash 14371  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-clim 15525  df-sum 15724  df-dvds 16292  df-bits 16460

This theorem is referenced by:  sadcaddlem  16495  sadadd2lem  16497