MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bitsinvp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bitsinvp1 16487
Description: Recursive definition of the inverse of the bits function. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
bitsinv.k 𝐾 = (bits ↾ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
bitsinvp1 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) = ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0)))

Proof of Theorem bitsinvp1
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzonel 13714 . . . . . . 7 ¬ 𝑁 ∈ (0..^𝑁)
21a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ¬ 𝑁 ∈ (0..^𝑁))
3 disjsn 4710 . . . . . 6 (((0..^𝑁) ∩ {𝑁}) = ∅ ↔ ¬ 𝑁 ∈ (0..^𝑁))
42, 3sylibr 234 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((0..^𝑁) ∩ {𝑁}) = ∅)
54ineq2d 4219 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∩ ((0..^𝑁) ∩ {𝑁})) = (𝐴 ∩ ∅))
6 inindi 4234 . . . 4 (𝐴 ∩ ((0..^𝑁) ∩ {𝑁})) = ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∩ (𝐴 ∩ {𝑁}))
7 in0 4394 . . . 4 (𝐴 ∩ ∅) = ∅
85, 6, 73eqtr3g 2799 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∩ (𝐴 ∩ {𝑁})) = ∅)
9 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
10 nn0uz 12921 . . . . . . 7 0 = (ℤ‘0)
119, 10eleqtrdi 2850 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ (ℤ‘0))
12 fzosplitsn 13815 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘0) → (0..^(𝑁 + 1)) = ((0..^𝑁) ∪ {𝑁}))
1311, 12syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (0..^(𝑁 + 1)) = ((0..^𝑁) ∪ {𝑁}))
1413ineq2d 4219 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1))) = (𝐴 ∩ ((0..^𝑁) ∪ {𝑁})))
15 indi 4283 . . . 4 (𝐴 ∩ ((0..^𝑁) ∪ {𝑁})) = ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∪ (𝐴 ∩ {𝑁}))
1614, 15eqtrdi 2792 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1))) = ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∪ (𝐴 ∩ {𝑁})))
17 fzofi 14016 . . . . 5 (0..^(𝑁 + 1)) ∈ Fin
1817a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (0..^(𝑁 + 1)) ∈ Fin)
19 inss2 4237 . . . 4 (𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ⊆ (0..^(𝑁 + 1))
20 ssfi 9214 . . . 4 (((0..^(𝑁 + 1)) ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ⊆ (0..^(𝑁 + 1))) → (𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ Fin)
2118, 19, 20sylancl 586 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ Fin)
22 2nn 12340 . . . . . 6 2 ∈ ℕ
2322a1i 11 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → 2 ∈ ℕ)
24 inss1 4236 . . . . . . 7 (𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ⊆ 𝐴
25 simpl 482 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐴 ⊆ ℕ0)
2624, 25sstrid 3994 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ⊆ ℕ0)
2726sselda 3982 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
2823, 27nnexpcld 14285 . . . 4 (((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → (2↑𝑘) ∈ ℕ)
2928nncnd 12283 . . 3 (((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → (2↑𝑘) ∈ ℂ)
308, 16, 21, 29fsumsplit 15778 . 2 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))(2↑𝑘) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∩ (0..^𝑁))(2↑𝑘) + Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∩ {𝑁})(2↑𝑘)))
31 elfpw 9395 . . . 4 ((𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↔ ((𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ⊆ ℕ0 ∧ (𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ Fin))
3226, 21, 31sylanbrc 583 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
33 bitsinv.k . . . 4 𝐾 = (bits ↾ ℕ0)
3433bitsinv 16486 . . 3 ((𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) = Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))(2↑𝑘))
3532, 34syl 17 . 2 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) = Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))(2↑𝑘))
36 inss1 4236 . . . . . 6 (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ 𝐴
3736, 25sstrid 3994 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0)
38 fzofi 14016 . . . . . . 7 (0..^𝑁) ∈ Fin
3938a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (0..^𝑁) ∈ Fin)
40 inss2 4237 . . . . . 6 (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)
41 ssfi 9214 . . . . . 6 (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)) → (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
4239, 40, 41sylancl 586 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
43 elfpw 9395 . . . . 5 ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↔ ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0 ∧ (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin))
4437, 42, 43sylanbrc 583 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
4533bitsinv 16486 . . . 4 ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) = Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∩ (0..^𝑁))(2↑𝑘))
4644, 45syl 17 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) = Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∩ (0..^𝑁))(2↑𝑘))
47 snssi 4807 . . . . . . . 8 (𝑁𝐴 → {𝑁} ⊆ 𝐴)
4847adantl 481 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐴) → {𝑁} ⊆ 𝐴)
49 sseqin2 4222 . . . . . . 7 ({𝑁} ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∩ {𝑁}) = {𝑁})
5048, 49sylib 218 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐴) → (𝐴 ∩ {𝑁}) = {𝑁})
5150sumeq1d 15737 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐴) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∩ {𝑁})(2↑𝑘) = Σ𝑘 ∈ {𝑁} (2↑𝑘))
52 simpr 484 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐴) → 𝑁𝐴)
5322a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐴) → 2 ∈ ℕ)
54 simplr 768 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐴) → 𝑁 ∈ ℕ0)
5553, 54nnexpcld 14285 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐴) → (2↑𝑁) ∈ ℕ)
5655nncnd 12283 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐴) → (2↑𝑁) ∈ ℂ)
57 oveq2 7440 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑁 → (2↑𝑘) = (2↑𝑁))
5857sumsn 15783 . . . . . 6 ((𝑁𝐴 ∧ (2↑𝑁) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝑁} (2↑𝑘) = (2↑𝑁))
5952, 56, 58syl2anc 584 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐴) → Σ𝑘 ∈ {𝑁} (2↑𝑘) = (2↑𝑁))
6051, 59eqtr2d 2777 . . . 4 (((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐴) → (2↑𝑁) = Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∩ {𝑁})(2↑𝑘))
61 simpr 484 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑁𝐴) → ¬ 𝑁𝐴)
62 disjsn 4710 . . . . . . 7 ((𝐴 ∩ {𝑁}) = ∅ ↔ ¬ 𝑁𝐴)
6361, 62sylibr 234 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑁𝐴) → (𝐴 ∩ {𝑁}) = ∅)
6463sumeq1d 15737 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑁𝐴) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∩ {𝑁})(2↑𝑘) = Σ𝑘 ∈ ∅ (2↑𝑘))
65 sum0 15758 . . . . 5 Σ𝑘 ∈ ∅ (2↑𝑘) = 0
6664, 65eqtr2di 2793 . . . 4 (((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑁𝐴) → 0 = Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∩ {𝑁})(2↑𝑘))
6760, 66ifeqda 4561 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) = Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∩ {𝑁})(2↑𝑘))
6846, 67oveq12d 7450 . 2 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0)) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∩ (0..^𝑁))(2↑𝑘) + Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∩ {𝑁})(2↑𝑘)))
6930, 35, 683eqtr4d 2786 1 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) = ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107  cun 3948  cin 3949  wss 3950  c0 4332  ifcif 4524  𝒫 cpw 4599  {csn 4625  ccnv 5683  cres 5686  cfv 6560  (class class class)co 7432  Fincfn 8986  cc 11154  0cc0 11156  1c1 11157   + caddc 11159  cn 12267  2c2 12322  0cn0 12528  cuz 12879  ..^cfzo 13695  cexp 14103  Σcsu 15723  bitscbits 16457
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-inf2 9682  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-disj 5110  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-oadd 8511  df-er 8746  df-map 8869  df-pm 8870  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-sup 9483  df-inf 9484  df-oi 9551  df-dju 9942  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12529  df-xnn0 12602  df-z 12616  df-uz 12880  df-rp 13036  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-fl 13833  df-mod 13911  df-seq 14044  df-exp 14104  df-hash 14371  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-clim 15525  df-sum 15724  df-dvds 16292  df-bits 16460
This theorem is referenced by:  sadcaddlem  16495  sadadd2lem  16497
  Copyright terms: Public domain W3C validator