MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bitsinvp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bitsinvp1 16392
Description: Recursive definition of the inverse of the bits function. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
bitsinv.k 𝐾 = (bits ↾ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
bitsinvp1 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) = ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0)))

Proof of Theorem bitsinvp1
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzonel 13648 . . . . . . 7 ¬ 𝑁 ∈ (0..^𝑁)
21a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ¬ 𝑁 ∈ (0..^𝑁))
3 disjsn 4715 . . . . . 6 (((0..^𝑁) ∩ {𝑁}) = ∅ ↔ ¬ 𝑁 ∈ (0..^𝑁))
42, 3sylibr 233 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((0..^𝑁) ∩ {𝑁}) = ∅)
54ineq2d 4212 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∩ ((0..^𝑁) ∩ {𝑁})) = (𝐴 ∩ ∅))
6 inindi 4226 . . . 4 (𝐴 ∩ ((0..^𝑁) ∩ {𝑁})) = ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∩ (𝐴 ∩ {𝑁}))
7 in0 4391 . . . 4 (𝐴 ∩ ∅) = ∅
85, 6, 73eqtr3g 2795 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∩ (𝐴 ∩ {𝑁})) = ∅)
9 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
10 nn0uz 12866 . . . . . . 7 0 = (ℤ‘0)
119, 10eleqtrdi 2843 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ (ℤ‘0))
12 fzosplitsn 13742 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘0) → (0..^(𝑁 + 1)) = ((0..^𝑁) ∪ {𝑁}))
1311, 12syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (0..^(𝑁 + 1)) = ((0..^𝑁) ∪ {𝑁}))
1413ineq2d 4212 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1))) = (𝐴 ∩ ((0..^𝑁) ∪ {𝑁})))
15 indi 4273 . . . 4 (𝐴 ∩ ((0..^𝑁) ∪ {𝑁})) = ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∪ (𝐴 ∩ {𝑁}))
1614, 15eqtrdi 2788 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1))) = ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∪ (𝐴 ∩ {𝑁})))
17 fzofi 13941 . . . . 5 (0..^(𝑁 + 1)) ∈ Fin
1817a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (0..^(𝑁 + 1)) ∈ Fin)
19 inss2 4229 . . . 4 (𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ⊆ (0..^(𝑁 + 1))
20 ssfi 9175 . . . 4 (((0..^(𝑁 + 1)) ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ⊆ (0..^(𝑁 + 1))) → (𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ Fin)
2118, 19, 20sylancl 586 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ Fin)
22 2nn 12287 . . . . . 6 2 ∈ ℕ
2322a1i 11 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → 2 ∈ ℕ)
24 inss1 4228 . . . . . . 7 (𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ⊆ 𝐴
25 simpl 483 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐴 ⊆ ℕ0)
2624, 25sstrid 3993 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ⊆ ℕ0)
2726sselda 3982 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
2823, 27nnexpcld 14210 . . . 4 (((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → (2↑𝑘) ∈ ℕ)
2928nncnd 12230 . . 3 (((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → (2↑𝑘) ∈ ℂ)
308, 16, 21, 29fsumsplit 15689 . 2 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))(2↑𝑘) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∩ (0..^𝑁))(2↑𝑘) + Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∩ {𝑁})(2↑𝑘)))
31 elfpw 9356 . . . 4 ((𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↔ ((𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ⊆ ℕ0 ∧ (𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ Fin))
3226, 21, 31sylanbrc 583 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
33 bitsinv.k . . . 4 𝐾 = (bits ↾ ℕ0)
3433bitsinv 16391 . . 3 ((𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) = Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))(2↑𝑘))
3532, 34syl 17 . 2 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) = Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))(2↑𝑘))
36 inss1 4228 . . . . . 6 (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ 𝐴
3736, 25sstrid 3993 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0)
38 fzofi 13941 . . . . . . 7 (0..^𝑁) ∈ Fin
3938a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (0..^𝑁) ∈ Fin)
40 inss2 4229 . . . . . 6 (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)
41 ssfi 9175 . . . . . 6 (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)) → (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
4239, 40, 41sylancl 586 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
43 elfpw 9356 . . . . 5 ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↔ ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0 ∧ (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin))
4437, 42, 43sylanbrc 583 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
4533bitsinv 16391 . . . 4 ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) = Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∩ (0..^𝑁))(2↑𝑘))
4644, 45syl 17 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) = Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∩ (0..^𝑁))(2↑𝑘))
47 snssi 4811 . . . . . . . 8 (𝑁𝐴 → {𝑁} ⊆ 𝐴)
4847adantl 482 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐴) → {𝑁} ⊆ 𝐴)
49 sseqin2 4215 . . . . . . 7 ({𝑁} ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∩ {𝑁}) = {𝑁})
5048, 49sylib 217 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐴) → (𝐴 ∩ {𝑁}) = {𝑁})
5150sumeq1d 15649 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐴) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∩ {𝑁})(2↑𝑘) = Σ𝑘 ∈ {𝑁} (2↑𝑘))
52 simpr 485 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐴) → 𝑁𝐴)
5322a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐴) → 2 ∈ ℕ)
54 simplr 767 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐴) → 𝑁 ∈ ℕ0)
5553, 54nnexpcld 14210 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐴) → (2↑𝑁) ∈ ℕ)
5655nncnd 12230 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐴) → (2↑𝑁) ∈ ℂ)
57 oveq2 7419 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑁 → (2↑𝑘) = (2↑𝑁))
5857sumsn 15694 . . . . . 6 ((𝑁𝐴 ∧ (2↑𝑁) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝑁} (2↑𝑘) = (2↑𝑁))
5952, 56, 58syl2anc 584 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐴) → Σ𝑘 ∈ {𝑁} (2↑𝑘) = (2↑𝑁))
6051, 59eqtr2d 2773 . . . 4 (((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐴) → (2↑𝑁) = Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∩ {𝑁})(2↑𝑘))
61 simpr 485 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑁𝐴) → ¬ 𝑁𝐴)
62 disjsn 4715 . . . . . . 7 ((𝐴 ∩ {𝑁}) = ∅ ↔ ¬ 𝑁𝐴)
6361, 62sylibr 233 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑁𝐴) → (𝐴 ∩ {𝑁}) = ∅)
6463sumeq1d 15649 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑁𝐴) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∩ {𝑁})(2↑𝑘) = Σ𝑘 ∈ ∅ (2↑𝑘))
65 sum0 15669 . . . . 5 Σ𝑘 ∈ ∅ (2↑𝑘) = 0
6664, 65eqtr2di 2789 . . . 4 (((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑁𝐴) → 0 = Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∩ {𝑁})(2↑𝑘))
6760, 66ifeqda 4564 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) = Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∩ {𝑁})(2↑𝑘))
6846, 67oveq12d 7429 . 2 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0)) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∩ (0..^𝑁))(2↑𝑘) + Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∩ {𝑁})(2↑𝑘)))
6930, 35, 683eqtr4d 2782 1 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) = ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  cun 3946  cin 3947  wss 3948  c0 4322  ifcif 4528  𝒫 cpw 4602  {csn 4628  ccnv 5675  cres 5678  cfv 6543  (class class class)co 7411  Fincfn 8941  cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115  cn 12214  2c2 12269  0cn0 12474  cuz 12824  ..^cfzo 13629  cexp 14029  Σcsu 15634  bitscbits 16362
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-n0 12475  df-xnn0 12547  df-z 12561  df-uz 12825  df-rp 12977  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-fl 13759  df-mod 13837  df-seq 13969  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-clim 15434  df-sum 15635  df-dvds 16200  df-bits 16365
This theorem is referenced by:  sadcaddlem  16400  sadadd2lem  16402
  Copyright terms: Public domain W3C validator