Theorem shsval2i 31812

Description: An alternate way to express subspace sum. (Contributed by NM, 25-Nov-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
shlesb1.1	⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
shlesb1.2	⊢ 𝐵 ∈ Sℋ

Assertion

Ref	Expression
shsval2i	⊢ (𝐴 +ℋ 𝐵) = ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑥}

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem shsval2i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssun1 4131	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)
2		ssintub 4933	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑥}
3	1, 2	sstri 3947	. . . 4 ⊢ 𝐴 ⊆ ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑥}
4		ssun2 4132	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)
5	4, 2	sstri 3947	. . . 4 ⊢ 𝐵 ⊆ ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑥}
6	3, 5	pm3.2i 476	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑥} ∧ 𝐵 ⊆ ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑥})
7		shlesb1.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
8		shlesb1.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
9		ssrab2 4035	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑥} ⊆ Sℋ
10	7, 8	shscli 31742	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 +ℋ 𝐵) ∈ Sℋ
11	7, 8	shunssi 31793	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ (𝐴 +ℋ 𝐵)
12		sseq2 3964	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐴 +ℋ 𝐵) → ((𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑥 ↔ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ (𝐴 +ℋ 𝐵)))
13	12	rspcev 3583	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 +ℋ 𝐵) ∈ Sℋ ∧ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ (𝐴 +ℋ 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ Sℋ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑥)
14	10, 11, 13	mp2an 705	. . . . . 6 ⊢ ∃𝑥 ∈ Sℋ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑥
15		rabn0 4346	. . . . . 6 ⊢ ({𝑥 ∈ Sℋ ∣ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑥} ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 ∈ Sℋ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑥)
16	14, 15	mpbir 234	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑥} ≠ ∅
17		shintcl 31755	. . . . 5 ⊢ (({𝑥 ∈ Sℋ ∣ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑥} ⊆ Sℋ ∧ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑥} ≠ ∅) → ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑥} ∈ Sℋ )
18	9, 16, 17	mp2an 705	. . . 4 ⊢ ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑥} ∈ Sℋ
19	7, 8, 18	shslubi 31810	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑥} ∧ 𝐵 ⊆ ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑥}) ↔ (𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑥})
20	6, 19	mpbi 233	. 2 ⊢ (𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑥}
21	12	elrab 3652	. . . 4 ⊢ ((𝐴 +ℋ 𝐵) ∈ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑥} ↔ ((𝐴 +ℋ 𝐵) ∈ Sℋ ∧ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ (𝐴 +ℋ 𝐵)))
22	10, 11, 21	mpbir2an 724	. . 3 ⊢ (𝐴 +ℋ 𝐵) ∈ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑥}
23		intss1 4930	. . 3 ⊢ ((𝐴 +ℋ 𝐵) ∈ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑥} → ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑥} ⊆ (𝐴 +ℋ 𝐵))
24	22, 23	ax-mp 5	. 2 ⊢ ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑥} ⊆ (𝐴 +ℋ 𝐵)
25	20, 24	eqssi 3954	1 ⊢ (𝐴 +ℋ 𝐵) = ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑥}

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ∃wrex 3091  {crab 3418   ∪ cun 3904   ⊆ wss 3906  ∅c0 4286  ∩ cint 4914  (class class class)co 7419   S_ℋ csh 31353   +_ℋ cph 31356

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194  ax-pre-sup 11195  ax-addf 11196  ax-mulf 11197  ax-hilex 31424  ax-hfvadd 31425  ax-hvcom 31426  ax-hvass 31427  ax-hv0cl 31428  ax-hvaddid 31429  ax-hfvmul 31430  ax-hvmulid 31431  ax-hvmulass 31432  ax-hvdistr1 31433  ax-hvdistr2 31434  ax-hvmul0 31435  ax-hfi 31504  ax-his1 31507  ax-his2 31508  ax-his3 31509  ax-his4 31510

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-sup 9409  df-inf 9410  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-div 11889  df-nn 12251  df-2 12320  df-3 12321  df-4 12322  df-n0 12522  df-z 12609  df-uz 12881  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-icc 13397  df-seq 14058  df-exp 14118  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-topgen 17520  df-psmet 21566  df-xmet 21567  df-met 21568  df-bl 21569  df-mopn 21570  df-top 23103  df-topon 23120  df-bases 23155  df-lm 23438  df-haus 23524  df-grpo 30918  df-gid 30919  df-ginv 30920  df-gdiv 30921  df-ablo 30970  df-vc 30984  df-nv 31017  df-va 31020  df-ba 31021  df-sm 31022  df-0v 31023  df-vs 31024  df-nmcv 31025  df-ims 31026  df-hnorm 31393  df-hvsub 31396  df-hlim 31397  df-sh 31632  df-ch 31646  df-ch0 31678  df-shs 31733

This theorem is used by:  shsval3i  31813