Theorem shsval2i 31476

Description: An alternate way to express subspace sum. (Contributed by NM, 25-Nov-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
shlesb1.1	⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
shlesb1.2	⊢ 𝐵 ∈ Sℋ

Assertion

Ref	Expression
shsval2i	⊢ (𝐴 +ℋ 𝐵) = ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑥}

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem shsval2i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssun1 4107	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)
2		ssintub 4896	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑥}
3	1, 2	sstri 3924	. . . 4 ⊢ 𝐴 ⊆ ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑥}
4		ssun2 4108	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)
5	4, 2	sstri 3924	. . . 4 ⊢ 𝐵 ⊆ ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑥}
6	3, 5	pm3.2i 471	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑥} ∧ 𝐵 ⊆ ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑥})
7		shlesb1.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
8		shlesb1.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
9		ssrab2 4011	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑥} ⊆ Sℋ
10	7, 8	shscli 31406	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 +ℋ 𝐵) ∈ Sℋ
11	7, 8	shunssi 31457	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ (𝐴 +ℋ 𝐵)
12		sseq2 3941	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐴 +ℋ 𝐵) → ((𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑥 ↔ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ (𝐴 +ℋ 𝐵)))
13	12	rspcev 3560	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 +ℋ 𝐵) ∈ Sℋ ∧ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ (𝐴 +ℋ 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ Sℋ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑥)
14	10, 11, 13	mp2an 698	. . . . . 6 ⊢ ∃𝑥 ∈ Sℋ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑥
15		rabn0 4317	. . . . . 6 ⊢ ({𝑥 ∈ Sℋ ∣ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑥} ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 ∈ Sℋ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑥)
16	14, 15	mpbir 232	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑥} ≠ ∅
17		shintcl 31419	. . . . 5 ⊢ (({𝑥 ∈ Sℋ ∣ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑥} ⊆ Sℋ ∧ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑥} ≠ ∅) → ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑥} ∈ Sℋ )
18	9, 16, 17	mp2an 698	. . . 4 ⊢ ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑥} ∈ Sℋ
19	7, 8, 18	shslubi 31474	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑥} ∧ 𝐵 ⊆ ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑥}) ↔ (𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑥})
20	6, 19	mpbi 231	. 2 ⊢ (𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑥}
21	12	elrab 3629	. . . 4 ⊢ ((𝐴 +ℋ 𝐵) ∈ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑥} ↔ ((𝐴 +ℋ 𝐵) ∈ Sℋ ∧ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ (𝐴 +ℋ 𝐵)))
22	10, 11, 21	mpbir2an 717	. . 3 ⊢ (𝐴 +ℋ 𝐵) ∈ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑥}
23		intss1 4893	. . 3 ⊢ ((𝐴 +ℋ 𝐵) ∈ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑥} → ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑥} ⊆ (𝐴 +ℋ 𝐵))
24	22, 23	ax-mp 5	. 2 ⊢ ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑥} ⊆ (𝐴 +ℋ 𝐵)
25	20, 24	eqssi 3931	1 ⊢ (𝐴 +ℋ 𝐵) = ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑥}

Syntax hints:   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  ∃wrex 3063  {crab 3391   ∪ cun 3881   ⊆ wss 3883  ∅c0 4261  ∩ cint 4877  (class class class)co 7356   S_ℋ csh 31017   +_ℋ cph 31020

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107  ax-addf 11108  ax-mulf 11109  ax-hilex 31088  ax-hfvadd 31089  ax-hvcom 31090  ax-hvass 31091  ax-hv0cl 31092  ax-hvaddid 31093  ax-hfvmul 31094  ax-hvmulid 31095  ax-hvmulass 31096  ax-hvdistr1 31097  ax-hvdistr2 31098  ax-hvmul0 31099  ax-hfi 31168  ax-his1 31171  ax-his2 31172  ax-his3 31173  ax-his4 31174

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-map 8765  df-pm 8766  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9345  df-inf 9346  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-xneg 13054  df-xadd 13055  df-xmul 13056  df-icc 13296  df-seq 13955  df-exp 14015  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-topgen 17397  df-psmet 21339  df-xmet 21340  df-met 21341  df-bl 21342  df-mopn 21343  df-top 22877  df-topon 22894  df-bases 22929  df-lm 23212  df-haus 23298  df-grpo 30582  df-gid 30583  df-ginv 30584  df-gdiv 30585  df-ablo 30634  df-vc 30648  df-nv 30681  df-va 30684  df-ba 30685  df-sm 30686  df-0v 30687  df-vs 30688  df-nmcv 30689  df-ims 30690  df-hnorm 31057  df-hvsub 31060  df-hlim 31061  df-sh 31296  df-ch 31310  df-ch0 31342  df-shs 31397

This theorem is referenced by:  shsval3i  31477