Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shsval2i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem shsval2i 29262
 Description: An alternate way to express subspace sum. (Contributed by NM, 25-Nov-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
shlesb1.1 𝐴S
shlesb1.2 𝐵S
Assertion
Ref Expression
shsval2i (𝐴 + 𝐵) = {𝑥S ∣ (𝐴𝐵) ⊆ 𝑥}
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem shsval2i
StepHypRef Expression
1 ssun1 4078 . . . . 5 𝐴 ⊆ (𝐴𝐵)
2 ssintub 4857 . . . . 5 (𝐴𝐵) ⊆ {𝑥S ∣ (𝐴𝐵) ⊆ 𝑥}
31, 2sstri 3902 . . . 4 𝐴 {𝑥S ∣ (𝐴𝐵) ⊆ 𝑥}
4 ssun2 4079 . . . . 5 𝐵 ⊆ (𝐴𝐵)
54, 2sstri 3902 . . . 4 𝐵 {𝑥S ∣ (𝐴𝐵) ⊆ 𝑥}
63, 5pm3.2i 475 . . 3 (𝐴 {𝑥S ∣ (𝐴𝐵) ⊆ 𝑥} ∧ 𝐵 {𝑥S ∣ (𝐴𝐵) ⊆ 𝑥})
7 shlesb1.1 . . . 4 𝐴S
8 shlesb1.2 . . . 4 𝐵S
9 ssrab2 3985 . . . . 5 {𝑥S ∣ (𝐴𝐵) ⊆ 𝑥} ⊆ S
107, 8shscli 29192 . . . . . . 7 (𝐴 + 𝐵) ∈ S
117, 8shunssi 29243 . . . . . . 7 (𝐴𝐵) ⊆ (𝐴 + 𝐵)
12 sseq2 3919 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝐴 + 𝐵) → ((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥 ↔ (𝐴𝐵) ⊆ (𝐴 + 𝐵)))
1312rspcev 3542 . . . . . . 7 (((𝐴 + 𝐵) ∈ S ∧ (𝐴𝐵) ⊆ (𝐴 + 𝐵)) → ∃𝑥S (𝐴𝐵) ⊆ 𝑥)
1410, 11, 13mp2an 692 . . . . . 6 𝑥S (𝐴𝐵) ⊆ 𝑥
15 rabn0 4282 . . . . . 6 ({𝑥S ∣ (𝐴𝐵) ⊆ 𝑥} ≠ ∅ ↔ ∃𝑥S (𝐴𝐵) ⊆ 𝑥)
1614, 15mpbir 234 . . . . 5 {𝑥S ∣ (𝐴𝐵) ⊆ 𝑥} ≠ ∅
17 shintcl 29205 . . . . 5 (({𝑥S ∣ (𝐴𝐵) ⊆ 𝑥} ⊆ S ∧ {𝑥S ∣ (𝐴𝐵) ⊆ 𝑥} ≠ ∅) → {𝑥S ∣ (𝐴𝐵) ⊆ 𝑥} ∈ S )
189, 16, 17mp2an 692 . . . 4 {𝑥S ∣ (𝐴𝐵) ⊆ 𝑥} ∈ S
197, 8, 18shslubi 29260 . . 3 ((𝐴 {𝑥S ∣ (𝐴𝐵) ⊆ 𝑥} ∧ 𝐵 {𝑥S ∣ (𝐴𝐵) ⊆ 𝑥}) ↔ (𝐴 + 𝐵) ⊆ {𝑥S ∣ (𝐴𝐵) ⊆ 𝑥})
206, 19mpbi 233 . 2 (𝐴 + 𝐵) ⊆ {𝑥S ∣ (𝐴𝐵) ⊆ 𝑥}
2112elrab 3603 . . . 4 ((𝐴 + 𝐵) ∈ {𝑥S ∣ (𝐴𝐵) ⊆ 𝑥} ↔ ((𝐴 + 𝐵) ∈ S ∧ (𝐴𝐵) ⊆ (𝐴 + 𝐵)))
2210, 11, 21mpbir2an 711 . . 3 (𝐴 + 𝐵) ∈ {𝑥S ∣ (𝐴𝐵) ⊆ 𝑥}
23 intss1 4854 . . 3 ((𝐴 + 𝐵) ∈ {𝑥S ∣ (𝐴𝐵) ⊆ 𝑥} → {𝑥S ∣ (𝐴𝐵) ⊆ 𝑥} ⊆ (𝐴 + 𝐵))
2422, 23ax-mp 5 . 2 {𝑥S ∣ (𝐴𝐵) ⊆ 𝑥} ⊆ (𝐴 + 𝐵)
2520, 24eqssi 3909 1 (𝐴 + 𝐵) = {𝑥S ∣ (𝐴𝐵) ⊆ 𝑥}
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ∧ wa 400   = wceq 1539   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2952  ∃wrex 3072  {crab 3075   ∪ cun 3857   ⊆ wss 3859  ∅c0 4226  ∩ cint 4839  (class class class)co 7151   Sℋ csh 28803   +ℋ cph 28806 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7460  ax-cnex 10624  ax-resscn 10625  ax-1cn 10626  ax-icn 10627  ax-addcl 10628  ax-addrcl 10629  ax-mulcl 10630  ax-mulrcl 10631  ax-mulcom 10632  ax-addass 10633  ax-mulass 10634  ax-distr 10635  ax-i2m1 10636  ax-1ne0 10637  ax-1rid 10638  ax-rnegex 10639  ax-rrecex 10640  ax-cnre 10641  ax-pre-lttri 10642  ax-pre-lttrn 10643  ax-pre-ltadd 10644  ax-pre-mulgt0 10645  ax-pre-sup 10646  ax-addf 10647  ax-mulf 10648  ax-hilex 28874  ax-hfvadd 28875  ax-hvcom 28876  ax-hvass 28877  ax-hv0cl 28878  ax-hvaddid 28879  ax-hfvmul 28880  ax-hvmulid 28881  ax-hvmulass 28882  ax-hvdistr1 28883  ax-hvdistr2 28884  ax-hvmul0 28885  ax-hfi 28954  ax-his1 28957  ax-his2 28958  ax-his3 28959  ax-his4 28960 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rmo 3079  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4227  df-if 4422  df-pw 4497  df-sn 4524  df-pr 4526  df-tp 4528  df-op 4530  df-uni 4800  df-int 4840  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5431  df-eprel 5436  df-po 5444  df-so 5445  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6127  df-ord 6173  df-on 6174  df-lim 6175  df-suc 6176  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7581  df-1st 7694  df-2nd 7695  df-wrecs 7958  df-recs 8019  df-rdg 8057  df-er 8300  df-map 8419  df-pm 8420  df-en 8529  df-dom 8530  df-sdom 8531  df-sup 8932  df-inf 8933  df-pnf 10708  df-mnf 10709  df-xr 10710  df-ltxr 10711  df-le 10712  df-sub 10903  df-neg 10904  df-div 11329  df-nn 11668  df-2 11730  df-3 11731  df-4 11732  df-n0 11928  df-z 12014  df-uz 12276  df-q 12382  df-rp 12424  df-xneg 12541  df-xadd 12542  df-xmul 12543  df-icc 12779  df-seq 13412  df-exp 13473  df-cj 14499  df-re 14500  df-im 14501  df-sqrt 14635  df-abs 14636  df-topgen 16768  df-psmet 20151  df-xmet 20152  df-met 20153  df-bl 20154  df-mopn 20155  df-top 21587  df-topon 21604  df-bases 21639  df-lm 21922  df-haus 22008  df-grpo 28368  df-gid 28369  df-ginv 28370  df-gdiv 28371  df-ablo 28420  df-vc 28434  df-nv 28467  df-va 28470  df-ba 28471  df-sm 28472  df-0v 28473  df-vs 28474  df-nmcv 28475  df-ims 28476  df-hnorm 28843  df-hvsub 28846  df-hlim 28847  df-sh 29082  df-ch 29096  df-ch0 29128  df-shs 29183 This theorem is referenced by:  shsval3i  29263
 Copyright terms: Public domain W3C validator