HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shsval2i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem shsval2i 29167
Description: An alternate way to express subspace sum. (Contributed by NM, 25-Nov-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
shlesb1.1 𝐴S
shlesb1.2 𝐵S
Assertion
Ref Expression
shsval2i (𝐴 + 𝐵) = {𝑥S ∣ (𝐴𝐵) ⊆ 𝑥}
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem shsval2i
StepHypRef Expression
1 ssun1 4151 . . . . 5 𝐴 ⊆ (𝐴𝐵)
2 ssintub 4897 . . . . 5 (𝐴𝐵) ⊆ {𝑥S ∣ (𝐴𝐵) ⊆ 𝑥}
31, 2sstri 3979 . . . 4 𝐴 {𝑥S ∣ (𝐴𝐵) ⊆ 𝑥}
4 ssun2 4152 . . . . 5 𝐵 ⊆ (𝐴𝐵)
54, 2sstri 3979 . . . 4 𝐵 {𝑥S ∣ (𝐴𝐵) ⊆ 𝑥}
63, 5pm3.2i 473 . . 3 (𝐴 {𝑥S ∣ (𝐴𝐵) ⊆ 𝑥} ∧ 𝐵 {𝑥S ∣ (𝐴𝐵) ⊆ 𝑥})
7 shlesb1.1 . . . 4 𝐴S
8 shlesb1.2 . . . 4 𝐵S
9 ssrab2 4059 . . . . 5 {𝑥S ∣ (𝐴𝐵) ⊆ 𝑥} ⊆ S
107, 8shscli 29097 . . . . . . 7 (𝐴 + 𝐵) ∈ S
117, 8shunssi 29148 . . . . . . 7 (𝐴𝐵) ⊆ (𝐴 + 𝐵)
12 sseq2 3996 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝐴 + 𝐵) → ((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥 ↔ (𝐴𝐵) ⊆ (𝐴 + 𝐵)))
1312rspcev 3626 . . . . . . 7 (((𝐴 + 𝐵) ∈ S ∧ (𝐴𝐵) ⊆ (𝐴 + 𝐵)) → ∃𝑥S (𝐴𝐵) ⊆ 𝑥)
1410, 11, 13mp2an 690 . . . . . 6 𝑥S (𝐴𝐵) ⊆ 𝑥
15 rabn0 4342 . . . . . 6 ({𝑥S ∣ (𝐴𝐵) ⊆ 𝑥} ≠ ∅ ↔ ∃𝑥S (𝐴𝐵) ⊆ 𝑥)
1614, 15mpbir 233 . . . . 5 {𝑥S ∣ (𝐴𝐵) ⊆ 𝑥} ≠ ∅
17 shintcl 29110 . . . . 5 (({𝑥S ∣ (𝐴𝐵) ⊆ 𝑥} ⊆ S ∧ {𝑥S ∣ (𝐴𝐵) ⊆ 𝑥} ≠ ∅) → {𝑥S ∣ (𝐴𝐵) ⊆ 𝑥} ∈ S )
189, 16, 17mp2an 690 . . . 4 {𝑥S ∣ (𝐴𝐵) ⊆ 𝑥} ∈ S
197, 8, 18shslubi 29165 . . 3 ((𝐴 {𝑥S ∣ (𝐴𝐵) ⊆ 𝑥} ∧ 𝐵 {𝑥S ∣ (𝐴𝐵) ⊆ 𝑥}) ↔ (𝐴 + 𝐵) ⊆ {𝑥S ∣ (𝐴𝐵) ⊆ 𝑥})
206, 19mpbi 232 . 2 (𝐴 + 𝐵) ⊆ {𝑥S ∣ (𝐴𝐵) ⊆ 𝑥}
2112elrab 3683 . . . 4 ((𝐴 + 𝐵) ∈ {𝑥S ∣ (𝐴𝐵) ⊆ 𝑥} ↔ ((𝐴 + 𝐵) ∈ S ∧ (𝐴𝐵) ⊆ (𝐴 + 𝐵)))
2210, 11, 21mpbir2an 709 . . 3 (𝐴 + 𝐵) ∈ {𝑥S ∣ (𝐴𝐵) ⊆ 𝑥}
23 intss1 4894 . . 3 ((𝐴 + 𝐵) ∈ {𝑥S ∣ (𝐴𝐵) ⊆ 𝑥} → {𝑥S ∣ (𝐴𝐵) ⊆ 𝑥} ⊆ (𝐴 + 𝐵))
2422, 23ax-mp 5 . 2 {𝑥S ∣ (𝐴𝐵) ⊆ 𝑥} ⊆ (𝐴 + 𝐵)
2520, 24eqssi 3986 1 (𝐴 + 𝐵) = {𝑥S ∣ (𝐴𝐵) ⊆ 𝑥}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 398   = wceq 1536  wcel 2113  wne 3019  wrex 3142  {crab 3145  cun 3937  wss 3939  c0 4294   cint 4879  (class class class)co 7159   S csh 28708   + cph 28711
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617  ax-pre-sup 10618  ax-addf 10619  ax-mulf 10620  ax-hilex 28779  ax-hfvadd 28780  ax-hvcom 28781  ax-hvass 28782  ax-hv0cl 28783  ax-hvaddid 28784  ax-hfvmul 28785  ax-hvmulid 28786  ax-hvmulass 28787  ax-hvdistr1 28788  ax-hvdistr2 28789  ax-hvmul0 28790  ax-hfi 28859  ax-his1 28862  ax-his2 28863  ax-his3 28864  ax-his4 28865
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-int 4880  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-er 8292  df-map 8411  df-pm 8412  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-sup 8909  df-inf 8910  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-div 11301  df-nn 11642  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-q 12352  df-rp 12393  df-xneg 12510  df-xadd 12511  df-xmul 12512  df-icc 12748  df-seq 13373  df-exp 13433  df-cj 14461  df-re 14462  df-im 14463  df-sqrt 14597  df-abs 14598  df-topgen 16720  df-psmet 20540  df-xmet 20541  df-met 20542  df-bl 20543  df-mopn 20544  df-top 21505  df-topon 21522  df-bases 21557  df-lm 21840  df-haus 21926  df-grpo 28273  df-gid 28274  df-ginv 28275  df-gdiv 28276  df-ablo 28325  df-vc 28339  df-nv 28372  df-va 28375  df-ba 28376  df-sm 28377  df-0v 28378  df-vs 28379  df-nmcv 28380  df-ims 28381  df-hnorm 28748  df-hvsub 28751  df-hlim 28752  df-sh 28987  df-ch 29001  df-ch0 29033  df-shs 29088
This theorem is referenced by:  shsval3i  29168
  Copyright terms: Public domain W3C validator