Theorem shsval2i 31289

Description: An alternate way to express subspace sum. (Contributed by NM, 25-Nov-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
shlesb1.1	⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
shlesb1.2	⊢ 𝐵 ∈ Sℋ

Assertion

Ref	Expression
shsval2i	⊢ (𝐴 +ℋ 𝐵) = ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑥}

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem shsval2i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssun1 4137	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)
2		ssintub 4926	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑥}
3	1, 2	sstri 3953	. . . 4 ⊢ 𝐴 ⊆ ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑥}
4		ssun2 4138	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)
5	4, 2	sstri 3953	. . . 4 ⊢ 𝐵 ⊆ ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑥}
6	3, 5	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑥} ∧ 𝐵 ⊆ ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑥})
7		shlesb1.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
8		shlesb1.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
9		ssrab2 4039	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑥} ⊆ Sℋ
10	7, 8	shscli 31219	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 +ℋ 𝐵) ∈ Sℋ
11	7, 8	shunssi 31270	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ (𝐴 +ℋ 𝐵)
12		sseq2 3970	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐴 +ℋ 𝐵) → ((𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑥 ↔ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ (𝐴 +ℋ 𝐵)))
13	12	rspcev 3585	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 +ℋ 𝐵) ∈ Sℋ ∧ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ (𝐴 +ℋ 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ Sℋ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑥)
14	10, 11, 13	mp2an 692	. . . . . 6 ⊢ ∃𝑥 ∈ Sℋ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑥
15		rabn0 4348	. . . . . 6 ⊢ ({𝑥 ∈ Sℋ ∣ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑥} ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 ∈ Sℋ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑥)
16	14, 15	mpbir 231	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑥} ≠ ∅
17		shintcl 31232	. . . . 5 ⊢ (({𝑥 ∈ Sℋ ∣ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑥} ⊆ Sℋ ∧ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑥} ≠ ∅) → ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑥} ∈ Sℋ )
18	9, 16, 17	mp2an 692	. . . 4 ⊢ ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑥} ∈ Sℋ
19	7, 8, 18	shslubi 31287	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑥} ∧ 𝐵 ⊆ ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑥}) ↔ (𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑥})
20	6, 19	mpbi 230	. 2 ⊢ (𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑥}
21	12	elrab 3656	. . . 4 ⊢ ((𝐴 +ℋ 𝐵) ∈ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑥} ↔ ((𝐴 +ℋ 𝐵) ∈ Sℋ ∧ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ (𝐴 +ℋ 𝐵)))
22	10, 11, 21	mpbir2an 711	. . 3 ⊢ (𝐴 +ℋ 𝐵) ∈ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑥}
23		intss1 4923	. . 3 ⊢ ((𝐴 +ℋ 𝐵) ∈ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑥} → ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑥} ⊆ (𝐴 +ℋ 𝐵))
24	22, 23	ax-mp 5	. 2 ⊢ ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑥} ⊆ (𝐴 +ℋ 𝐵)
25	20, 24	eqssi 3960	1 ⊢ (𝐴 +ℋ 𝐵) = ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑥}

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∃wrex 3053  {crab 3402   ∪ cun 3909   ⊆ wss 3911  ∅c0 4292  ∩ cint 4906  (class class class)co 7369   S_ℋ csh 30830   +_ℋ cph 30833

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122  ax-addf 11123  ax-mulf 11124  ax-hilex 30901  ax-hfvadd 30902  ax-hvcom 30903  ax-hvass 30904  ax-hv0cl 30905  ax-hvaddid 30906  ax-hfvmul 30907  ax-hvmulid 30908  ax-hvmulass 30909  ax-hvdistr1 30910  ax-hvdistr2 30911  ax-hvmul0 30912  ax-hfi 30981  ax-his1 30984  ax-his2 30985  ax-his3 30986  ax-his4 30987

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-map 8778  df-pm 8779  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9369  df-inf 9370  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-q 12884  df-rp 12928  df-xneg 13048  df-xadd 13049  df-xmul 13050  df-icc 13289  df-seq 13943  df-exp 14003  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-topgen 17382  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-top 22757  df-topon 22774  df-bases 22809  df-lm 23092  df-haus 23178  df-grpo 30395  df-gid 30396  df-ginv 30397  df-gdiv 30398  df-ablo 30447  df-vc 30461  df-nv 30494  df-va 30497  df-ba 30498  df-sm 30499  df-0v 30500  df-vs 30501  df-nmcv 30502  df-ims 30503  df-hnorm 30870  df-hvsub 30873  df-hlim 30874  df-sh 31109  df-ch 31123  df-ch0 31155  df-shs 31210

This theorem is referenced by:  shsval3i  31290