Theorem shlesb1i 31143

Description: Hilbert lattice ordering in terms of subspace sum. (Contributed by NM, 23-Nov-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
shlesb1.1	⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
shlesb1.2	⊢ 𝐵 ∈ Sℋ

Assertion

Ref	Expression
shlesb1i	⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 +ℋ 𝐵) = 𝐵)

Proof of Theorem shlesb1i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3999	. . 3 ⊢ 𝐵 ⊆ 𝐵
2	1	biantrur 530	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐵 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵))
3		shlesb1.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
4		shlesb1.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
5	3, 4, 3	shslubi 31142	. 2 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ↔ (𝐵 +ℋ 𝐴) ⊆ 𝐵)
6	3, 4	shsub2i 31130	. . . 4 ⊢ 𝐵 ⊆ (𝐴 +ℋ 𝐵)
7		eqss 3992	. . . 4 ⊢ ((𝐴 +ℋ 𝐵) = 𝐵 ↔ ((𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 +ℋ 𝐵)))
8	6, 7	mpbiran2 707	. . 3 ⊢ ((𝐴 +ℋ 𝐵) = 𝐵 ↔ (𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ 𝐵)
9	4, 3	shscomi 31120	. . . 4 ⊢ (𝐴 +ℋ 𝐵) = (𝐵 +ℋ 𝐴)
10	9	sseq1i 4005	. . 3 ⊢ ((𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ 𝐵 ↔ (𝐵 +ℋ 𝐴) ⊆ 𝐵)
11	8, 10	bitr2i 276	. 2 ⊢ ((𝐵 +ℋ 𝐴) ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 +ℋ 𝐵) = 𝐵)
12	2, 5, 11	3bitri 297	1 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 +ℋ 𝐵) = 𝐵)

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ⊆ wss 3943  (class class class)co 7404   S_ℋ csh 30685   +_ℋ cph 30688

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-hilex 30756  ax-hfvadd 30757  ax-hvcom 30758  ax-hvass 30759  ax-hv0cl 30760  ax-hvaddid 30761  ax-hfvmul 30762  ax-hvmulid 30763  ax-hvdistr2 30766  ax-hvmul0 30767

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-ltxr 11254  df-sub 11447  df-neg 11448  df-grpo 30250  df-ablo 30302  df-hvsub 30728  df-sh 30964  df-shs 31065

This theorem is referenced by:  shmodsi  31146