Theorem shlesb1i 31647

Description: Hilbert lattice ordering in terms of subspace sum. (Contributed by NM, 23-Nov-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
shlesb1.1	⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
shlesb1.2	⊢ 𝐵 ∈ Sℋ

Assertion

Ref	Expression
shlesb1i	⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 +ℋ 𝐵) = 𝐵)

Proof of Theorem shlesb1i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3961	. . 3 ⊢ 𝐵 ⊆ 𝐵
2	1	biantrur 539	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐵 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵))
3		shlesb1.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
4		shlesb1.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
5	3, 4, 3	shslubi 31646	. 2 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ↔ (𝐵 +ℋ 𝐴) ⊆ 𝐵)
6	3, 4	shsub2i 31634	. . . 4 ⊢ 𝐵 ⊆ (𝐴 +ℋ 𝐵)
7		eqss 3954	. . . 4 ⊢ ((𝐴 +ℋ 𝐵) = 𝐵 ↔ ((𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 +ℋ 𝐵)))
8	6, 7	mpbiran2 722	. . 3 ⊢ ((𝐴 +ℋ 𝐵) = 𝐵 ↔ (𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ 𝐵)
9	4, 3	shscomi 31624	. . . 4 ⊢ (𝐴 +ℋ 𝐵) = (𝐵 +ℋ 𝐴)
10	9	sseq1i 3967	. . 3 ⊢ ((𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ 𝐵 ↔ (𝐵 +ℋ 𝐴) ⊆ 𝐵)
11	8, 10	bitr2i 279	. 2 ⊢ ((𝐵 +ℋ 𝐴) ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 +ℋ 𝐵) = 𝐵)
12	2, 5, 11	3bitri 300	1 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 +ℋ 𝐵) = 𝐵)

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3907  (class class class)co 7400   S_ℋ csh 31189   +_ℋ cph 31192

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-hilex 31260  ax-hfvadd 31261  ax-hvcom 31262  ax-hvass 31263  ax-hv0cl 31264  ax-hvaddid 31265  ax-hfvmul 31266  ax-hvmulid 31267  ax-hvdistr2 31270  ax-hvmul0 31271

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5547  df-po 5560  df-so 5561  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-ltxr 11236  df-sub 11431  df-neg 11432  df-grpo 30754  df-ablo 30806  df-hvsub 31232  df-sh 31468  df-shs 31569

This theorem is referenced by:  shmodsi  31650