Theorem shlesb1i 28938

Description: Hilbert lattice ordering in terms of subspace sum. (Contributed by NM, 23-Nov-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
shlesb1.1	⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
shlesb1.2	⊢ 𝐵 ∈ Sℋ

Assertion

Ref	Expression
shlesb1i	⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 +ℋ 𝐵) = 𝐵)

Proof of Theorem shlesb1i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3873	. . 3 ⊢ 𝐵 ⊆ 𝐵
2	1	biantrur 523	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐵 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵))
3		shlesb1.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
4		shlesb1.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
5	3, 4, 3	shslubi 28937	. 2 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ↔ (𝐵 +ℋ 𝐴) ⊆ 𝐵)
6	3, 4	shsub2i 28925	. . . 4 ⊢ 𝐵 ⊆ (𝐴 +ℋ 𝐵)
7		eqss 3867	. . . 4 ⊢ ((𝐴 +ℋ 𝐵) = 𝐵 ↔ ((𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 +ℋ 𝐵)))
8	6, 7	mpbiran2 697	. . 3 ⊢ ((𝐴 +ℋ 𝐵) = 𝐵 ↔ (𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ 𝐵)
9	4, 3	shscomi 28915	. . . 4 ⊢ (𝐴 +ℋ 𝐵) = (𝐵 +ℋ 𝐴)
10	9	sseq1i 3879	. . 3 ⊢ ((𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ 𝐵 ↔ (𝐵 +ℋ 𝐴) ⊆ 𝐵)
11	8, 10	bitr2i 268	. 2 ⊢ ((𝐵 +ℋ 𝐴) ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 +ℋ 𝐵) = 𝐵)
12	2, 5, 11	3bitri 289	1 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 +ℋ 𝐵) = 𝐵)

Syntax hints:   ↔ wb 198   ∧ wa 387   = wceq 1507   ∈ wcel 2050   ⊆ wss 3823  (class class class)co 6970   S_ℋ csh 28478   +_ℋ cph 28481

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2744  ax-rep 5043  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-resscn 10386  ax-1cn 10387  ax-icn 10388  ax-addcl 10389  ax-addrcl 10390  ax-mulcl 10391  ax-mulrcl 10392  ax-mulcom 10393  ax-addass 10394  ax-mulass 10395  ax-distr 10396  ax-i2m1 10397  ax-1ne0 10398  ax-1rid 10399  ax-rnegex 10400  ax-rrecex 10401  ax-cnre 10402  ax-pre-lttri 10403  ax-pre-lttrn 10404  ax-pre-ltadd 10405  ax-hilex 28549  ax-hfvadd 28550  ax-hvcom 28551  ax-hvass 28552  ax-hv0cl 28553  ax-hvaddid 28554  ax-hfvmul 28555  ax-hvmulid 28556  ax-hvdistr2 28559  ax-hvmul0 28560

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2753  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3676  df-csb 3781  df-dif 3826  df-un 3828  df-in 3830  df-ss 3837  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-op 4442  df-uni 4707  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-id 5306  df-po 5320  df-so 5321  df-xp 5407  df-rel 5408  df-cnv 5409  df-co 5410  df-dm 5411  df-rn 5412  df-res 5413  df-ima 5414  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-er 8083  df-en 8301  df-dom 8302  df-sdom 8303  df-pnf 10470  df-mnf 10471  df-ltxr 10473  df-sub 10666  df-neg 10667  df-grpo 28041  df-ablo 28093  df-hvsub 28521  df-sh 28757  df-shs 28860

This theorem is referenced by:  shmodsi  28941