Theorem shlesb1i 31749

Description: Hilbert lattice ordering in terms of subspace sum. (Contributed by NM, 23-Nov-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
shlesb1.1	⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
shlesb1.2	⊢ 𝐵 ∈ Sℋ

Assertion

Ref	Expression
shlesb1i	⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 +ℋ 𝐵) = 𝐵)

Proof of Theorem shlesb1i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3958	. . 3 ⊢ 𝐵 ⊆ 𝐵
2	1	biantrur 539	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐵 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵))
3		shlesb1.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
4		shlesb1.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
5	3, 4, 3	shslubi 31748	. 2 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ↔ (𝐵 +ℋ 𝐴) ⊆ 𝐵)
6	3, 4	shsub2i 31736	. . . 4 ⊢ 𝐵 ⊆ (𝐴 +ℋ 𝐵)
7		eqss 3951	. . . 4 ⊢ ((𝐴 +ℋ 𝐵) = 𝐵 ↔ ((𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 +ℋ 𝐵)))
8	6, 7	mpbiran2 722	. . 3 ⊢ ((𝐴 +ℋ 𝐵) = 𝐵 ↔ (𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ 𝐵)
9	4, 3	shscomi 31726	. . . 4 ⊢ (𝐴 +ℋ 𝐵) = (𝐵 +ℋ 𝐴)
10	9	sseq1i 3964	. . 3 ⊢ ((𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ 𝐵 ↔ (𝐵 +ℋ 𝐴) ⊆ 𝐵)
11	8, 10	bitr2i 279	. 2 ⊢ ((𝐵 +ℋ 𝐴) ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 +ℋ 𝐵) = 𝐵)
12	2, 5, 11	3bitri 300	1 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 +ℋ 𝐵) = 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   ⊆ wss 3904  (class class class)co 7412   S_ℋ csh 31291   +_ℋ cph 31294

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-hilex 31362  ax-hfvadd 31363  ax-hvcom 31364  ax-hvass 31365  ax-hv0cl 31366  ax-hvaddid 31367  ax-hfvmul 31368  ax-hvmulid 31369  ax-hvdistr2 31372  ax-hvmul0 31373

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5555  df-po 5568  df-so 5569  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-ltxr 11254  df-sub 11449  df-neg 11450  df-grpo 30856  df-ablo 30908  df-hvsub 31334  df-sh 31570  df-shs 31671

This theorem is used by:  shmodsi  31752