HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shlesb1i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem shlesb1i 28821
Description: Hilbert lattice ordering in terms of subspace sum. (Contributed by NM, 23-Nov-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
shlesb1.1 𝐴S
shlesb1.2 𝐵S
Assertion
Ref Expression
shlesb1i (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 + 𝐵) = 𝐵)

Proof of Theorem shlesb1i
StepHypRef Expression
1 ssid 3842 . . 3 𝐵𝐵
21biantrur 526 . 2 (𝐴𝐵 ↔ (𝐵𝐵𝐴𝐵))
3 shlesb1.2 . . 3 𝐵S
4 shlesb1.1 . . 3 𝐴S
53, 4, 3shslubi 28820 . 2 ((𝐵𝐵𝐴𝐵) ↔ (𝐵 + 𝐴) ⊆ 𝐵)
63, 4shsub2i 28808 . . . 4 𝐵 ⊆ (𝐴 + 𝐵)
7 eqss 3836 . . . 4 ((𝐴 + 𝐵) = 𝐵 ↔ ((𝐴 + 𝐵) ⊆ 𝐵𝐵 ⊆ (𝐴 + 𝐵)))
86, 7mpbiran2 700 . . 3 ((𝐴 + 𝐵) = 𝐵 ↔ (𝐴 + 𝐵) ⊆ 𝐵)
94, 3shscomi 28798 . . . 4 (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴)
109sseq1i 3848 . . 3 ((𝐴 + 𝐵) ⊆ 𝐵 ↔ (𝐵 + 𝐴) ⊆ 𝐵)
118, 10bitr2i 268 . 2 ((𝐵 + 𝐴) ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 + 𝐵) = 𝐵)
122, 5, 113bitri 289 1 (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 + 𝐵) = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 198  wa 386   = wceq 1601  wcel 2107  wss 3792  (class class class)co 6924   S csh 28361   + cph 28364
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-hilex 28432  ax-hfvadd 28433  ax-hvcom 28434  ax-hvass 28435  ax-hv0cl 28436  ax-hvaddid 28437  ax-hfvmul 28438  ax-hvmulid 28439  ax-hvdistr2 28442  ax-hvmul0 28443
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4674  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-id 5263  df-po 5276  df-so 5277  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-er 8028  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-ltxr 10418  df-sub 10610  df-neg 10611  df-grpo 27924  df-ablo 27976  df-hvsub 28404  df-sh 28640  df-shs 28743
This theorem is referenced by:  shmodsi  28824
  Copyright terms: Public domain W3C validator