Theorem pjoc1i 29838

Description: Projection of a vector in the orthocomplement of the projection subspace. (Contributed by NM, 27-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pjop.1	⊢ 𝐻 ∈ Cℋ
pjop.2	⊢ 𝐴 ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
pjoc1i	⊢ (𝐴 ∈ 𝐻 ↔ ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) = 0ℎ)

Proof of Theorem pjoc1i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjop.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 ∈ Cℋ
2		pjop.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ∈ ℋ
3	1, 2	pjopi 29836	. . . . . . 7 ⊢ ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) = (𝐴 −ℎ ((projℎ‘𝐻)‘𝐴))
4	1	chshii 29634	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 ∈ Sℋ
5	1, 2	pjclii 29828	. . . . . . . 8 ⊢ ((projℎ‘𝐻)‘𝐴) ∈ 𝐻
6		shsubcl 29627	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ 𝐴 ∈ 𝐻 ∧ ((projℎ‘𝐻)‘𝐴) ∈ 𝐻) → (𝐴 −ℎ ((projℎ‘𝐻)‘𝐴)) ∈ 𝐻)
7	4, 5, 6	mp3an13 1452	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐻 → (𝐴 −ℎ ((projℎ‘𝐻)‘𝐴)) ∈ 𝐻)
8	3, 7	eqeltrid 2841	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐻 → ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) ∈ 𝐻)
9	1	choccli 29714	. . . . . . 7 ⊢ (⊥‘𝐻) ∈ Cℋ
10	9, 2	pjclii 29828	. . . . . 6 ⊢ ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) ∈ (⊥‘𝐻)
11	8, 10	jctir 522	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐻 → (((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) ∈ 𝐻 ∧ ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) ∈ (⊥‘𝐻)))
12		elin 3908	. . . . 5 ⊢ (((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) ∈ (𝐻 ∩ (⊥‘𝐻)) ↔ (((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) ∈ 𝐻 ∧ ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) ∈ (⊥‘𝐻)))
13	11, 12	sylibr 233	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐻 → ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) ∈ (𝐻 ∩ (⊥‘𝐻)))
14		ocin 29703	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → (𝐻 ∩ (⊥‘𝐻)) = 0ℋ)
15	4, 14	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∩ (⊥‘𝐻)) = 0ℋ
16	13, 15	eleqtrdi 2847	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐻 → ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) ∈ 0ℋ)
17		elch0 29661	. . 3 ⊢ (((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) ∈ 0ℋ ↔ ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) = 0ℎ)
18	16, 17	sylib 217	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐻 → ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) = 0ℎ)
19	1, 2	pjpji 29831	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴))
20		oveq2 7315	. . . . 5 ⊢ (((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) = 0ℎ → (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴)) = (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) +ℎ 0ℎ))
21	19, 20	eqtrid 2788	. . . 4 ⊢ (((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) = 0ℎ → 𝐴 = (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) +ℎ 0ℎ))
22	1, 2	pjhclii 29829	. . . . 5 ⊢ ((projℎ‘𝐻)‘𝐴) ∈ ℋ
23		ax-hvaddid 29411	. . . . 5 ⊢ (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) ∈ ℋ → (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) +ℎ 0ℎ) = ((projℎ‘𝐻)‘𝐴))
24	22, 23	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) +ℎ 0ℎ) = ((projℎ‘𝐻)‘𝐴)
25	21, 24	eqtrdi 2792	. . 3 ⊢ (((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) = 0ℎ → 𝐴 = ((projℎ‘𝐻)‘𝐴))
26	25, 5	eqeltrdi 2845	. 2 ⊢ (((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) = 0ℎ → 𝐴 ∈ 𝐻)
27	18, 26	impbii 208	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐻 ↔ ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) = 0ℎ)

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   ∩ cin 3891  ‘cfv 6458  (class class class)co 7307   ℋchba 29326   +_ℎ cva 29327  0_ℎc0v 29331   −_ℎ cmv 29332   S_ℋ csh 29335   C_ℋ cch 29336  ⊥cort 29337  0_ℋc0h 29342  proj_ℎcpjh 29344

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-inf2 9443  ax-cc 10237  ax-cnex 10973  ax-resscn 10974  ax-1cn 10975  ax-icn 10976  ax-addcl 10977  ax-addrcl 10978  ax-mulcl 10979  ax-mulrcl 10980  ax-mulcom 10981  ax-addass 10982  ax-mulass 10983  ax-distr 10984  ax-i2m1 10985  ax-1ne0 10986  ax-1rid 10987  ax-rnegex 10988  ax-rrecex 10989  ax-cnre 10990  ax-pre-lttri 10991  ax-pre-lttrn 10992  ax-pre-ltadd 10993  ax-pre-mulgt0 10994  ax-pre-sup 10995  ax-addf 10996  ax-mulf 10997  ax-hilex 29406  ax-hfvadd 29407  ax-hvcom 29408  ax-hvass 29409  ax-hv0cl 29410  ax-hvaddid 29411  ax-hfvmul 29412  ax-hvmulid 29413  ax-hvmulass 29414  ax-hvdistr1 29415  ax-hvdistr2 29416  ax-hvmul0 29417  ax-hfi 29486  ax-his1 29489  ax-his2 29490  ax-his3 29491  ax-his4 29492  ax-hcompl 29609

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3285  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-tp 4570  df-op 4572  df-uni 4845  df-int 4887  df-iun 4933  df-iin 4934  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-se 5556  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-isom 6467  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-of 7565  df-om 7745  df-1st 7863  df-2nd 7864  df-supp 8009  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-1o 8328  df-2o 8329  df-oadd 8332  df-omul 8333  df-er 8529  df-map 8648  df-pm 8649  df-ixp 8717  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-fin 8768  df-fsupp 9173  df-fi 9214  df-sup 9245  df-inf 9246  df-oi 9313  df-card 9741  df-acn 9744  df-pnf 11057  df-mnf 11058  df-xr 11059  df-ltxr 11060  df-le 11061  df-sub 11253  df-neg 11254  df-div 11679  df-nn 12020  df-2 12082  df-3 12083  df-4 12084  df-5 12085  df-6 12086  df-7 12087  df-8 12088  df-9 12089  df-n0 12280  df-z 12366  df-dec 12484  df-uz 12629  df-q 12735  df-rp 12777  df-xneg 12894  df-xadd 12895  df-xmul 12896  df-ioo 13129  df-ico 13131  df-icc 13132  df-fz 13286  df-fzo 13429  df-fl 13558  df-seq 13768  df-exp 13829  df-hash 14091  df-cj 14855  df-re 14856  df-im 14857  df-sqrt 14991  df-abs 14992  df-clim 15242  df-rlim 15243  df-sum 15443  df-struct 16893  df-sets 16910  df-slot 16928  df-ndx 16940  df-base 16958  df-ress 16987  df-plusg 17020  df-mulr 17021  df-starv 17022  df-sca 17023  df-vsca 17024  df-ip 17025  df-tset 17026  df-ple 17027  df-ds 17029  df-unif 17030  df-hom 17031  df-cco 17032  df-rest 17178  df-topn 17179  df-0g 17197  df-gsum 17198  df-topgen 17199  df-pt 17200  df-prds 17203  df-xrs 17258  df-qtop 17263  df-imas 17264  df-xps 17266  df-mre 17340  df-mrc 17341  df-acs 17343  df-mgm 18371  df-sgrp 18420  df-mnd 18431  df-submnd 18476  df-mulg 18746  df-cntz 18968  df-cmn 19433  df-psmet 20634  df-xmet 20635  df-met 20636  df-bl 20637  df-mopn 20638  df-fbas 20639  df-fg 20640  df-cnfld 20643  df-top 22088  df-topon 22105  df-topsp 22127  df-bases 22141  df-cld 22215  df-ntr 22216  df-cls 22217  df-nei 22294  df-cn 22423  df-cnp 22424  df-lm 22425  df-haus 22511  df-tx 22758  df-hmeo 22951  df-fil 23042  df-fm 23134  df-flim 23135  df-flf 23136  df-xms 23518  df-ms 23519  df-tms 23520  df-cfil 24464  df-cau 24465  df-cmet 24466  df-grpo 28900  df-gid 28901  df-ginv 28902  df-gdiv 28903  df-ablo 28952  df-vc 28966  df-nv 28999  df-va 29002  df-ba 29003  df-sm 29004  df-0v 29005  df-vs 29006  df-nmcv 29007  df-ims 29008  df-dip 29108  df-ssp 29129  df-ph 29220  df-cbn 29270  df-hnorm 29375  df-hba 29376  df-hvsub 29378  df-hlim 29379  df-hcau 29380  df-sh 29614  df-ch 29628  df-oc 29659  df-ch0 29660  df-shs 29715  df-pjh 29802

This theorem is referenced by:  pjchi  29839  pjoc1  29841  pjoc2i  29845  pjneli  30130