Theorem pjoc1i 31432

Description: Projection of a vector in the orthocomplement of the projection subspace. (Contributed by NM, 27-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pjop.1	⊢ 𝐻 ∈ Cℋ
pjop.2	⊢ 𝐴 ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
pjoc1i	⊢ (𝐴 ∈ 𝐻 ↔ ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) = 0ℎ)

Proof of Theorem pjoc1i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjop.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 ∈ Cℋ
2		pjop.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ∈ ℋ
3	1, 2	pjopi 31430	. . . . . . 7 ⊢ ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) = (𝐴 −ℎ ((projℎ‘𝐻)‘𝐴))
4	1	chshii 31228	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 ∈ Sℋ
5	1, 2	pjclii 31422	. . . . . . . 8 ⊢ ((projℎ‘𝐻)‘𝐴) ∈ 𝐻
6		shsubcl 31221	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ 𝐴 ∈ 𝐻 ∧ ((projℎ‘𝐻)‘𝐴) ∈ 𝐻) → (𝐴 −ℎ ((projℎ‘𝐻)‘𝐴)) ∈ 𝐻)
7	4, 5, 6	mp3an13 1454	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐻 → (𝐴 −ℎ ((projℎ‘𝐻)‘𝐴)) ∈ 𝐻)
8	3, 7	eqeltrid 2837	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐻 → ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) ∈ 𝐻)
9	1	choccli 31308	. . . . . . 7 ⊢ (⊥‘𝐻) ∈ Cℋ
10	9, 2	pjclii 31422	. . . . . 6 ⊢ ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) ∈ (⊥‘𝐻)
11	8, 10	jctir 520	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐻 → (((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) ∈ 𝐻 ∧ ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) ∈ (⊥‘𝐻)))
12		elin 3914	. . . . 5 ⊢ (((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) ∈ (𝐻 ∩ (⊥‘𝐻)) ↔ (((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) ∈ 𝐻 ∧ ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) ∈ (⊥‘𝐻)))
13	11, 12	sylibr 234	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐻 → ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) ∈ (𝐻 ∩ (⊥‘𝐻)))
14		ocin 31297	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → (𝐻 ∩ (⊥‘𝐻)) = 0ℋ)
15	4, 14	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∩ (⊥‘𝐻)) = 0ℋ
16	13, 15	eleqtrdi 2843	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐻 → ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) ∈ 0ℋ)
17		elch0 31255	. . 3 ⊢ (((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) ∈ 0ℋ ↔ ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) = 0ℎ)
18	16, 17	sylib 218	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐻 → ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) = 0ℎ)
19	1, 2	pjpji 31425	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴))
20		oveq2 7363	. . . . 5 ⊢ (((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) = 0ℎ → (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴)) = (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) +ℎ 0ℎ))
21	19, 20	eqtrid 2780	. . . 4 ⊢ (((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) = 0ℎ → 𝐴 = (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) +ℎ 0ℎ))
22	1, 2	pjhclii 31423	. . . . 5 ⊢ ((projℎ‘𝐻)‘𝐴) ∈ ℋ
23		ax-hvaddid 31005	. . . . 5 ⊢ (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) ∈ ℋ → (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) +ℎ 0ℎ) = ((projℎ‘𝐻)‘𝐴))
24	22, 23	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) +ℎ 0ℎ) = ((projℎ‘𝐻)‘𝐴)
25	21, 24	eqtrdi 2784	. . 3 ⊢ (((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) = 0ℎ → 𝐴 = ((projℎ‘𝐻)‘𝐴))
26	25, 5	eqeltrdi 2841	. 2 ⊢ (((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) = 0ℎ → 𝐴 ∈ 𝐻)
27	18, 26	impbii 209	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐻 ↔ ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) = 0ℎ)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ∩ cin 3897  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355   ℋchba 30920   +_ℎ cva 30921  0_ℎc0v 30925   −_ℎ cmv 30926   S_ℋ csh 30929   C_ℋ cch 30930  ⊥cort 30931  0_ℋc0h 30936  proj_ℎcpjh 30938

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-inf2 9542  ax-cc 10337  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094  ax-pre-sup 11095  ax-addf 11096  ax-mulf 11097  ax-hilex 31000  ax-hfvadd 31001  ax-hvcom 31002  ax-hvass 31003  ax-hv0cl 31004  ax-hvaddid 31005  ax-hfvmul 31006  ax-hvmulid 31007  ax-hvmulass 31008  ax-hvdistr1 31009  ax-hvdistr2 31010  ax-hvmul0 31011  ax-hfi 31080  ax-his1 31083  ax-his2 31084  ax-his3 31085  ax-his4 31086  ax-hcompl 31203

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-iin 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-isom 6498  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-of 7619  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-supp 8100  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-2o 8395  df-oadd 8398  df-omul 8399  df-er 8631  df-map 8761  df-pm 8762  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9257  df-fi 9306  df-sup 9337  df-inf 9338  df-oi 9407  df-card 9843  df-acn 9846  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-div 11786  df-nn 12137  df-2 12199  df-3 12200  df-4 12201  df-5 12202  df-6 12203  df-7 12204  df-8 12205  df-9 12206  df-n0 12393  df-z 12480  df-dec 12599  df-uz 12743  df-q 12853  df-rp 12897  df-xneg 13017  df-xadd 13018  df-xmul 13019  df-ioo 13256  df-ico 13258  df-icc 13259  df-fz 13415  df-fzo 13562  df-fl 13703  df-seq 13916  df-exp 13976  df-hash 14245  df-cj 15013  df-re 15014  df-im 15015  df-sqrt 15149  df-abs 15150  df-clim 15402  df-rlim 15403  df-sum 15601  df-struct 17065  df-sets 17082  df-slot 17100  df-ndx 17112  df-base 17128  df-ress 17149  df-plusg 17181  df-mulr 17182  df-starv 17183  df-sca 17184  df-vsca 17185  df-ip 17186  df-tset 17187  df-ple 17188  df-ds 17190  df-unif 17191  df-hom 17192  df-cco 17193  df-rest 17333  df-topn 17334  df-0g 17352  df-gsum 17353  df-topgen 17354  df-pt 17355  df-prds 17358  df-xrs 17414  df-qtop 17419  df-imas 17420  df-xps 17422  df-mre 17496  df-mrc 17497  df-acs 17499  df-mgm 18556  df-sgrp 18635  df-mnd 18651  df-submnd 18700  df-mulg 18989  df-cntz 19237  df-cmn 19702  df-psmet 21292  df-xmet 21293  df-met 21294  df-bl 21295  df-mopn 21296  df-fbas 21297  df-fg 21298  df-cnfld 21301  df-top 22829  df-topon 22846  df-topsp 22868  df-bases 22881  df-cld 22954  df-ntr 22955  df-cls 22956  df-nei 23033  df-cn 23162  df-cnp 23163  df-lm 23164  df-haus 23250  df-tx 23497  df-hmeo 23690  df-fil 23781  df-fm 23873  df-flim 23874  df-flf 23875  df-xms 24255  df-ms 24256  df-tms 24257  df-cfil 25202  df-cau 25203  df-cmet 25204  df-grpo 30494  df-gid 30495  df-ginv 30496  df-gdiv 30497  df-ablo 30546  df-vc 30560  df-nv 30593  df-va 30596  df-ba 30597  df-sm 30598  df-0v 30599  df-vs 30600  df-nmcv 30601  df-ims 30602  df-dip 30702  df-ssp 30723  df-ph 30814  df-cbn 30864  df-hnorm 30969  df-hba 30970  df-hvsub 30972  df-hlim 30973  df-hcau 30974  df-sh 31208  df-ch 31222  df-oc 31253  df-ch0 31254  df-shs 31309  df-pjh 31396

This theorem is referenced by:  pjchi  31433  pjoc1  31435  pjoc2i  31439  pjneli  31724