Theorem pjoc1i 31403

Description: Projection of a vector in the orthocomplement of the projection subspace. (Contributed by NM, 27-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pjop.1	⊢ 𝐻 ∈ Cℋ
pjop.2	⊢ 𝐴 ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
pjoc1i	⊢ (𝐴 ∈ 𝐻 ↔ ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) = 0ℎ)

Proof of Theorem pjoc1i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjop.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 ∈ Cℋ
2		pjop.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ∈ ℋ
3	1, 2	pjopi 31401	. . . . . . 7 ⊢ ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) = (𝐴 −ℎ ((projℎ‘𝐻)‘𝐴))
4	1	chshii 31199	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 ∈ Sℋ
5	1, 2	pjclii 31393	. . . . . . . 8 ⊢ ((projℎ‘𝐻)‘𝐴) ∈ 𝐻
6		shsubcl 31192	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ 𝐴 ∈ 𝐻 ∧ ((projℎ‘𝐻)‘𝐴) ∈ 𝐻) → (𝐴 −ℎ ((projℎ‘𝐻)‘𝐴)) ∈ 𝐻)
7	4, 5, 6	mp3an13 1454	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐻 → (𝐴 −ℎ ((projℎ‘𝐻)‘𝐴)) ∈ 𝐻)
8	3, 7	eqeltrid 2835	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐻 → ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) ∈ 𝐻)
9	1	choccli 31279	. . . . . . 7 ⊢ (⊥‘𝐻) ∈ Cℋ
10	9, 2	pjclii 31393	. . . . . 6 ⊢ ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) ∈ (⊥‘𝐻)
11	8, 10	jctir 520	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐻 → (((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) ∈ 𝐻 ∧ ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) ∈ (⊥‘𝐻)))
12		elin 3913	. . . . 5 ⊢ (((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) ∈ (𝐻 ∩ (⊥‘𝐻)) ↔ (((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) ∈ 𝐻 ∧ ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) ∈ (⊥‘𝐻)))
13	11, 12	sylibr 234	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐻 → ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) ∈ (𝐻 ∩ (⊥‘𝐻)))
14		ocin 31268	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → (𝐻 ∩ (⊥‘𝐻)) = 0ℋ)
15	4, 14	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∩ (⊥‘𝐻)) = 0ℋ
16	13, 15	eleqtrdi 2841	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐻 → ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) ∈ 0ℋ)
17		elch0 31226	. . 3 ⊢ (((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) ∈ 0ℋ ↔ ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) = 0ℎ)
18	16, 17	sylib 218	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐻 → ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) = 0ℎ)
19	1, 2	pjpji 31396	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴))
20		oveq2 7349	. . . . 5 ⊢ (((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) = 0ℎ → (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴)) = (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) +ℎ 0ℎ))
21	19, 20	eqtrid 2778	. . . 4 ⊢ (((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) = 0ℎ → 𝐴 = (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) +ℎ 0ℎ))
22	1, 2	pjhclii 31394	. . . . 5 ⊢ ((projℎ‘𝐻)‘𝐴) ∈ ℋ
23		ax-hvaddid 30976	. . . . 5 ⊢ (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) ∈ ℋ → (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) +ℎ 0ℎ) = ((projℎ‘𝐻)‘𝐴))
24	22, 23	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) +ℎ 0ℎ) = ((projℎ‘𝐻)‘𝐴)
25	21, 24	eqtrdi 2782	. . 3 ⊢ (((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) = 0ℎ → 𝐴 = ((projℎ‘𝐻)‘𝐴))
26	25, 5	eqeltrdi 2839	. 2 ⊢ (((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) = 0ℎ → 𝐴 ∈ 𝐻)
27	18, 26	impbii 209	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐻 ↔ ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) = 0ℎ)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ∩ cin 3896  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341   ℋchba 30891   +_ℎ cva 30892  0_ℎc0v 30896   −_ℎ cmv 30897   S_ℋ csh 30900   C_ℋ cch 30901  ⊥cort 30902  0_ℋc0h 30907  proj_ℎcpjh 30909

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-inf2 9526  ax-cc 10321  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078  ax-pre-sup 11079  ax-addf 11080  ax-mulf 11081  ax-hilex 30971  ax-hfvadd 30972  ax-hvcom 30973  ax-hvass 30974  ax-hv0cl 30975  ax-hvaddid 30976  ax-hfvmul 30977  ax-hvmulid 30978  ax-hvmulass 30979  ax-hvdistr1 30980  ax-hvdistr2 30981  ax-hvmul0 30982  ax-hfi 31051  ax-his1 31054  ax-his2 31055  ax-his3 31056  ax-his4 31057  ax-hcompl 31174

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-tp 4576  df-op 4578  df-uni 4855  df-int 4893  df-iun 4938  df-iin 4939  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-se 5565  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-isom 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-of 7605  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-supp 8086  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-2o 8381  df-oadd 8384  df-omul 8385  df-er 8617  df-map 8747  df-pm 8748  df-ixp 8817  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-fsupp 9241  df-fi 9290  df-sup 9321  df-inf 9322  df-oi 9391  df-card 9827  df-acn 9830  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-div 11770  df-nn 12121  df-2 12183  df-3 12184  df-4 12185  df-5 12186  df-6 12187  df-7 12188  df-8 12189  df-9 12190  df-n0 12377  df-z 12464  df-dec 12584  df-uz 12728  df-q 12842  df-rp 12886  df-xneg 13006  df-xadd 13007  df-xmul 13008  df-ioo 13244  df-ico 13246  df-icc 13247  df-fz 13403  df-fzo 13550  df-fl 13691  df-seq 13904  df-exp 13964  df-hash 14233  df-cj 15001  df-re 15002  df-im 15003  df-sqrt 15137  df-abs 15138  df-clim 15390  df-rlim 15391  df-sum 15589  df-struct 17053  df-sets 17070  df-slot 17088  df-ndx 17100  df-base 17116  df-ress 17137  df-plusg 17169  df-mulr 17170  df-starv 17171  df-sca 17172  df-vsca 17173  df-ip 17174  df-tset 17175  df-ple 17176  df-ds 17178  df-unif 17179  df-hom 17180  df-cco 17181  df-rest 17321  df-topn 17322  df-0g 17340  df-gsum 17341  df-topgen 17342  df-pt 17343  df-prds 17346  df-xrs 17401  df-qtop 17406  df-imas 17407  df-xps 17409  df-mre 17483  df-mrc 17484  df-acs 17486  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-submnd 18687  df-mulg 18976  df-cntz 19224  df-cmn 19689  df-psmet 21278  df-xmet 21279  df-met 21280  df-bl 21281  df-mopn 21282  df-fbas 21283  df-fg 21284  df-cnfld 21287  df-top 22804  df-topon 22821  df-topsp 22843  df-bases 22856  df-cld 22929  df-ntr 22930  df-cls 22931  df-nei 23008  df-cn 23137  df-cnp 23138  df-lm 23139  df-haus 23225  df-tx 23472  df-hmeo 23665  df-fil 23756  df-fm 23848  df-flim 23849  df-flf 23850  df-xms 24230  df-ms 24231  df-tms 24232  df-cfil 25177  df-cau 25178  df-cmet 25179  df-grpo 30465  df-gid 30466  df-ginv 30467  df-gdiv 30468  df-ablo 30517  df-vc 30531  df-nv 30564  df-va 30567  df-ba 30568  df-sm 30569  df-0v 30570  df-vs 30571  df-nmcv 30572  df-ims 30573  df-dip 30673  df-ssp 30694  df-ph 30785  df-cbn 30835  df-hnorm 30940  df-hba 30941  df-hvsub 30943  df-hlim 30944  df-hcau 30945  df-sh 31179  df-ch 31193  df-oc 31224  df-ch0 31225  df-shs 31280  df-pjh 31367

This theorem is referenced by:  pjchi  31404  pjoc1  31406  pjoc2i  31410  pjneli  31695