Theorem hhssmetdval 28475

Description: Value of the distance function of the metric space of a subspace. (Contributed by NM, 10-Apr-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hhssims2.1	⊢ 𝑊 = ⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩
hhssims2.3	⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑊)
hhssims2.2	⊢ 𝐻 ∈ Sℋ

Assertion

Ref	Expression
hhssmetdval	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ 𝐻) → (𝐴𝐷𝐵) = (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)))

Proof of Theorem hhssmetdval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hhssims2.1	. . . 4 ⊢ 𝑊 = ⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩
2		hhssims2.2	. . . 4 ⊢ 𝐻 ∈ Sℋ
3	1, 2	hhssnv 28461	. . 3 ⊢ 𝑊 ∈ NrmCVec
4	1, 2	hhssba 28468	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (BaseSet‘𝑊)
5	1, 2	hhssvs 28469	. . . 4 ⊢ ( −ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) = ( −𝑣 ‘𝑊)
6	1	hhssnm 28456	. . . 4 ⊢ (normℎ ↾ 𝐻) = (normCV‘𝑊)
7		hhssims2.3	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑊)
8	4, 5, 6, 7	imsdval 27881	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ 𝐻) → (𝐴𝐷𝐵) = ((normℎ ↾ 𝐻)‘(𝐴( −ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝐵)))
9	3, 8	mp3an1 1559	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ 𝐻) → (𝐴𝐷𝐵) = ((normℎ ↾ 𝐻)‘(𝐴( −ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝐵)))
10		ovres 6947	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ 𝐻) → (𝐴( −ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝐵) = (𝐴 −ℎ 𝐵))
11	10	fveq2d 6336	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ 𝐻) → ((normℎ ↾ 𝐻)‘(𝐴( −ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝐵)) = ((normℎ ↾ 𝐻)‘(𝐴 −ℎ 𝐵)))
12		shsubcl 28417	. . . 4 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ 𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ 𝐻) → (𝐴 −ℎ 𝐵) ∈ 𝐻)
13	2, 12	mp3an1 1559	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ 𝐻) → (𝐴 −ℎ 𝐵) ∈ 𝐻)
14		fvres 6348	. . 3 ⊢ ((𝐴 −ℎ 𝐵) ∈ 𝐻 → ((normℎ ↾ 𝐻)‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) = (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)))
15	13, 14	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ 𝐻) → ((normℎ ↾ 𝐻)‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) = (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)))
16	9, 11, 15	3eqtrd 2809	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ 𝐻) → (𝐴𝐷𝐵) = (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  ⟨cop 4322   × cxp 5247   ↾ cres 5251  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793  ℂcc 10136  NrmCVeccnv 27779  IndMetcims 27786   +_ℎ cva 28117   ·_ℎ csm 28118  norm_ℎcno 28120   −_ℎ cmv 28122   S_ℋ csh 28125

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216  ax-addf 10217  ax-mulf 10218  ax-hilex 28196  ax-hfvadd 28197  ax-hvcom 28198  ax-hvass 28199  ax-hv0cl 28200  ax-hvaddid 28201  ax-hfvmul 28202  ax-hvmulid 28203  ax-hvmulass 28204  ax-hvdistr1 28205  ax-hvdistr2 28206  ax-hvmul0 28207  ax-hfi 28276  ax-his1 28279  ax-his2 28280  ax-his3 28281  ax-his4 28282

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-map 8011  df-pm 8012  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-sup 8504  df-inf 8505  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-q 11992  df-rp 12036  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-icc 12387  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-topgen 16312  df-psmet 19953  df-xmet 19954  df-met 19955  df-bl 19956  df-mopn 19957  df-top 20919  df-topon 20936  df-bases 20971  df-lm 21254  df-haus 21340  df-grpo 27687  df-gid 27688  df-ginv 27689  df-gdiv 27690  df-ablo 27739  df-vc 27754  df-nv 27787  df-va 27790  df-ba 27791  df-sm 27792  df-0v 27793  df-vs 27794  df-nmcv 27795  df-ims 27796  df-ssp 27917  df-hnorm 28165  df-hba 28166  df-hvsub 28168  df-hlim 28169  df-sh 28404  df-ch 28418  df-ch0 28450

This theorem is referenced by: (None)