Theorem hhssmetdval 29358

Description: Value of the distance function of the metric space of a subspace. (Contributed by NM, 10-Apr-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hhssims2.1	⊢ 𝑊 = ⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩
hhssims2.3	⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑊)
hhssims2.2	⊢ 𝐻 ∈ Sℋ

Assertion

Ref	Expression
hhssmetdval	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ 𝐻) → (𝐴𝐷𝐵) = (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)))

Proof of Theorem hhssmetdval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hhssims2.1	. . . 4 ⊢ 𝑊 = ⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩
2		hhssims2.2	. . . 4 ⊢ 𝐻 ∈ Sℋ
3	1, 2	hhssnv 29345	. . 3 ⊢ 𝑊 ∈ NrmCVec
4	1, 2	hhssba 29352	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (BaseSet‘𝑊)
5	1, 2	hhssvs 29353	. . . 4 ⊢ ( −ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) = ( −𝑣 ‘𝑊)
6	1	hhssnm 29340	. . . 4 ⊢ (normℎ ↾ 𝐻) = (normCV‘𝑊)
7		hhssims2.3	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑊)
8	4, 5, 6, 7	imsdval 28767	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ 𝐻) → (𝐴𝐷𝐵) = ((normℎ ↾ 𝐻)‘(𝐴( −ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝐵)))
9	3, 8	mp3an1 1450	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ 𝐻) → (𝐴𝐷𝐵) = ((normℎ ↾ 𝐻)‘(𝐴( −ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝐵)))
10		ovres 7374	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ 𝐻) → (𝐴( −ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝐵) = (𝐴 −ℎ 𝐵))
11	10	fveq2d 6721	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ 𝐻) → ((normℎ ↾ 𝐻)‘(𝐴( −ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝐵)) = ((normℎ ↾ 𝐻)‘(𝐴 −ℎ 𝐵)))
12		shsubcl 29301	. . . 4 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ 𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ 𝐻) → (𝐴 −ℎ 𝐵) ∈ 𝐻)
13	2, 12	mp3an1 1450	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ 𝐻) → (𝐴 −ℎ 𝐵) ∈ 𝐻)
14		fvres 6736	. . 3 ⊢ ((𝐴 −ℎ 𝐵) ∈ 𝐻 → ((normℎ ↾ 𝐻)‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) = (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)))
15	13, 14	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ 𝐻) → ((normℎ ↾ 𝐻)‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) = (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)))
16	9, 11, 15	3eqtrd 2781	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ 𝐻) → (𝐴𝐷𝐵) = (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  ⟨cop 4547   × cxp 5549   ↾ cres 5553  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  ℂcc 10727  NrmCVeccnv 28665  IndMetcims 28672   +_ℎ cva 29001   ·_ℎ csm 29002  norm_ℎcno 29004   −_ℎ cmv 29006   S_ℋ csh 29009

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807  ax-addf 10808  ax-mulf 10809  ax-hilex 29080  ax-hfvadd 29081  ax-hvcom 29082  ax-hvass 29083  ax-hv0cl 29084  ax-hvaddid 29085  ax-hfvmul 29086  ax-hvmulid 29087  ax-hvmulass 29088  ax-hvdistr1 29089  ax-hvdistr2 29090  ax-hvmul0 29091  ax-hfi 29160  ax-his1 29163  ax-his2 29164  ax-his3 29165  ax-his4 29166

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-er 8391  df-map 8510  df-pm 8511  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-sup 9058  df-inf 9059  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-q 12545  df-rp 12587  df-xneg 12704  df-xadd 12705  df-xmul 12706  df-icc 12942  df-seq 13575  df-exp 13636  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664  df-sqrt 14798  df-abs 14799  df-topgen 16948  df-psmet 20355  df-xmet 20356  df-met 20357  df-bl 20358  df-mopn 20359  df-top 21791  df-topon 21808  df-bases 21843  df-lm 22126  df-haus 22212  df-grpo 28574  df-gid 28575  df-ginv 28576  df-gdiv 28577  df-ablo 28626  df-vc 28640  df-nv 28673  df-va 28676  df-ba 28677  df-sm 28678  df-0v 28679  df-vs 28680  df-nmcv 28681  df-ims 28682  df-ssp 28803  df-hnorm 29049  df-hba 29050  df-hvsub 29052  df-hlim 29053  df-sh 29288  df-ch 29302  df-ch0 29334

This theorem is referenced by: (None)