Theorem hhssmetdval 31213

Description: Value of the distance function of the metric space of a subspace. (Contributed by NM, 10-Apr-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hhssims2.1	⊢ 𝑊 = ⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩
hhssims2.3	⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑊)
hhssims2.2	⊢ 𝐻 ∈ Sℋ

Assertion

Ref	Expression
hhssmetdval	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ 𝐻) → (𝐴𝐷𝐵) = (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)))

Proof of Theorem hhssmetdval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hhssims2.1	. . . 4 ⊢ 𝑊 = ⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩
2		hhssims2.2	. . . 4 ⊢ 𝐻 ∈ Sℋ
3	1, 2	hhssnv 31200	. . 3 ⊢ 𝑊 ∈ NrmCVec
4	1, 2	hhssba 31207	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (BaseSet‘𝑊)
5	1, 2	hhssvs 31208	. . . 4 ⊢ ( −ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) = ( −𝑣 ‘𝑊)
6	1	hhssnm 31195	. . . 4 ⊢ (normℎ ↾ 𝐻) = (normCV‘𝑊)
7		hhssims2.3	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑊)
8	4, 5, 6, 7	imsdval 30622	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ 𝐻) → (𝐴𝐷𝐵) = ((normℎ ↾ 𝐻)‘(𝐴( −ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝐵)))
9	3, 8	mp3an1 1450	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ 𝐻) → (𝐴𝐷𝐵) = ((normℎ ↾ 𝐻)‘(𝐴( −ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝐵)))
10		ovres 7558	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ 𝐻) → (𝐴( −ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝐵) = (𝐴 −ℎ 𝐵))
11	10	fveq2d 6865	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ 𝐻) → ((normℎ ↾ 𝐻)‘(𝐴( −ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝐵)) = ((normℎ ↾ 𝐻)‘(𝐴 −ℎ 𝐵)))
12		shsubcl 31156	. . . 4 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ 𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ 𝐻) → (𝐴 −ℎ 𝐵) ∈ 𝐻)
13	2, 12	mp3an1 1450	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ 𝐻) → (𝐴 −ℎ 𝐵) ∈ 𝐻)
14		fvres 6880	. . 3 ⊢ ((𝐴 −ℎ 𝐵) ∈ 𝐻 → ((normℎ ↾ 𝐻)‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) = (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)))
15	13, 14	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ 𝐻) → ((normℎ ↾ 𝐻)‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) = (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)))
16	9, 11, 15	3eqtrd 2769	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ 𝐻) → (𝐴𝐷𝐵) = (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ⟨cop 4598   × cxp 5639   ↾ cres 5643  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  NrmCVeccnv 30520  IndMetcims 30527   +_ℎ cva 30856   ·_ℎ csm 30857  norm_ℎcno 30859   −_ℎ cmv 30861   S_ℋ csh 30864

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153  ax-addf 11154  ax-mulf 11155  ax-hilex 30935  ax-hfvadd 30936  ax-hvcom 30937  ax-hvass 30938  ax-hv0cl 30939  ax-hvaddid 30940  ax-hfvmul 30941  ax-hvmulid 30942  ax-hvmulass 30943  ax-hvdistr1 30944  ax-hvdistr2 30945  ax-hvmul0 30946  ax-hfi 31015  ax-his1 31018  ax-his2 31019  ax-his3 31020  ax-his4 31021

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-map 8804  df-pm 8805  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-sup 9400  df-inf 9401  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-q 12915  df-rp 12959  df-xneg 13079  df-xadd 13080  df-xmul 13081  df-icc 13320  df-seq 13974  df-exp 14034  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-topgen 17413  df-psmet 21263  df-xmet 21264  df-met 21265  df-bl 21266  df-mopn 21267  df-top 22788  df-topon 22805  df-bases 22840  df-lm 23123  df-haus 23209  df-grpo 30429  df-gid 30430  df-ginv 30431  df-gdiv 30432  df-ablo 30481  df-vc 30495  df-nv 30528  df-va 30531  df-ba 30532  df-sm 30533  df-0v 30534  df-vs 30535  df-nmcv 30536  df-ims 30537  df-ssp 30658  df-hnorm 30904  df-hba 30905  df-hvsub 30907  df-hlim 30908  df-sh 31143  df-ch 31157  df-ch0 31189

This theorem is referenced by: (None)