Theorem hhssmetdval 31261

Description: Value of the distance function of the metric space of a subspace. (Contributed by NM, 10-Apr-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hhssims2.1	⊢ 𝑊 = ⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩
hhssims2.3	⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑊)
hhssims2.2	⊢ 𝐻 ∈ Sℋ

Assertion

Ref	Expression
hhssmetdval	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ 𝐻) → (𝐴𝐷𝐵) = (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)))

Proof of Theorem hhssmetdval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hhssims2.1	. . . 4 ⊢ 𝑊 = ⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩
2		hhssims2.2	. . . 4 ⊢ 𝐻 ∈ Sℋ
3	1, 2	hhssnv 31248	. . 3 ⊢ 𝑊 ∈ NrmCVec
4	1, 2	hhssba 31255	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (BaseSet‘𝑊)
5	1, 2	hhssvs 31256	. . . 4 ⊢ ( −ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) = ( −𝑣 ‘𝑊)
6	1	hhssnm 31243	. . . 4 ⊢ (normℎ ↾ 𝐻) = (normCV‘𝑊)
7		hhssims2.3	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑊)
8	4, 5, 6, 7	imsdval 30670	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ 𝐻) → (𝐴𝐷𝐵) = ((normℎ ↾ 𝐻)‘(𝐴( −ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝐵)))
9	3, 8	mp3an1 1450	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ 𝐻) → (𝐴𝐷𝐵) = ((normℎ ↾ 𝐻)‘(𝐴( −ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝐵)))
10		ovres 7520	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ 𝐻) → (𝐴( −ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝐵) = (𝐴 −ℎ 𝐵))
11	10	fveq2d 6834	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ 𝐻) → ((normℎ ↾ 𝐻)‘(𝐴( −ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝐵)) = ((normℎ ↾ 𝐻)‘(𝐴 −ℎ 𝐵)))
12		shsubcl 31204	. . . 4 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ 𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ 𝐻) → (𝐴 −ℎ 𝐵) ∈ 𝐻)
13	2, 12	mp3an1 1450	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ 𝐻) → (𝐴 −ℎ 𝐵) ∈ 𝐻)
14		fvres 6849	. . 3 ⊢ ((𝐴 −ℎ 𝐵) ∈ 𝐻 → ((normℎ ↾ 𝐻)‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) = (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)))
15	13, 14	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ 𝐻) → ((normℎ ↾ 𝐻)‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) = (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)))
16	9, 11, 15	3eqtrd 2772	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ 𝐻) → (𝐴𝐷𝐵) = (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ⟨cop 4583   × cxp 5619   ↾ cres 5623  ‘cfv 6488  (class class class)co 7354  ℂcc 11013  NrmCVeccnv 30568  IndMetcims 30575   +_ℎ cva 30904   ·_ℎ csm 30905  norm_ℎcno 30907   −_ℎ cmv 30909   S_ℋ csh 30912

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-cnex 11071  ax-resscn 11072  ax-1cn 11073  ax-icn 11074  ax-addcl 11075  ax-addrcl 11076  ax-mulcl 11077  ax-mulrcl 11078  ax-mulcom 11079  ax-addass 11080  ax-mulass 11081  ax-distr 11082  ax-i2m1 11083  ax-1ne0 11084  ax-1rid 11085  ax-rnegex 11086  ax-rrecex 11087  ax-cnre 11088  ax-pre-lttri 11089  ax-pre-lttrn 11090  ax-pre-ltadd 11091  ax-pre-mulgt0 11092  ax-pre-sup 11093  ax-addf 11094  ax-mulf 11095  ax-hilex 30983  ax-hfvadd 30984  ax-hvcom 30985  ax-hvass 30986  ax-hv0cl 30987  ax-hvaddid 30988  ax-hfvmul 30989  ax-hvmulid 30990  ax-hvmulass 30991  ax-hvdistr1 30992  ax-hvdistr2 30993  ax-hvmul0 30994  ax-hfi 31063  ax-his1 31066  ax-his2 31067  ax-his3 31068  ax-his4 31069

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7311  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-om 7805  df-1st 7929  df-2nd 7930  df-frecs 8219  df-wrecs 8250  df-recs 8299  df-rdg 8337  df-er 8630  df-map 8760  df-pm 8761  df-en 8878  df-dom 8879  df-sdom 8880  df-sup 9335  df-inf 9336  df-pnf 11157  df-mnf 11158  df-xr 11159  df-ltxr 11160  df-le 11161  df-sub 11355  df-neg 11356  df-div 11784  df-nn 12135  df-2 12197  df-3 12198  df-4 12199  df-n0 12391  df-z 12478  df-uz 12741  df-q 12851  df-rp 12895  df-xneg 13015  df-xadd 13016  df-xmul 13017  df-icc 13256  df-seq 13913  df-exp 13973  df-cj 15010  df-re 15011  df-im 15012  df-sqrt 15146  df-abs 15147  df-topgen 17351  df-psmet 21287  df-xmet 21288  df-met 21289  df-bl 21290  df-mopn 21291  df-top 22812  df-topon 22829  df-bases 22864  df-lm 23147  df-haus 23233  df-grpo 30477  df-gid 30478  df-ginv 30479  df-gdiv 30480  df-ablo 30529  df-vc 30543  df-nv 30576  df-va 30579  df-ba 30580  df-sm 30581  df-0v 30582  df-vs 30583  df-nmcv 30584  df-ims 30585  df-ssp 30706  df-hnorm 30952  df-hba 30953  df-hvsub 30955  df-hlim 30956  df-sh 31191  df-ch 31205  df-ch0 31237

This theorem is referenced by: (None)