HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hhssmetdval Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem hhssmetdval 31061
Description: Value of the distance function of the metric space of a subspace. (Contributed by NM, 10-Apr-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hhssims2.1 π‘Š = ⟨⟨( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)), ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))⟩, (normβ„Ž β†Ύ 𝐻)⟩
hhssims2.3 𝐷 = (IndMetβ€˜π‘Š)
hhssims2.2 𝐻 ∈ Sβ„‹
Assertion
Ref Expression
hhssmetdval ((𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐡 ∈ 𝐻) β†’ (𝐴𝐷𝐡) = (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž 𝐡)))
Proof of Theorem hhssmetdval
StepHypRef Expression
1 hhssims2.1 . . . 4 π‘Š = ⟨⟨( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)), ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))⟩, (normβ„Ž β†Ύ 𝐻)⟩
2 hhssims2.2 . . . 4 𝐻 ∈ Sβ„‹
31, 2hhssnv 31048 . . 3 π‘Š ∈ NrmCVec
41, 2hhssba 31055 . . . 4 𝐻 = (BaseSetβ€˜π‘Š)
51, 2hhssvs 31056 . . . 4 ( βˆ’β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)) = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘Š)
61hhssnm 31043 . . . 4 (normβ„Ž β†Ύ 𝐻) = (normCVβ€˜π‘Š)
7 hhssims2.3 . . . 4 𝐷 = (IndMetβ€˜π‘Š)
84, 5, 6, 7imsdval 30470 . . 3 ((π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐡 ∈ 𝐻) β†’ (𝐴𝐷𝐡) = ((normβ„Ž β†Ύ 𝐻)β€˜(𝐴( βˆ’β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))𝐡)))
93, 8mp3an1 1445 . 2 ((𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐡 ∈ 𝐻) β†’ (𝐴𝐷𝐡) = ((normβ„Ž β†Ύ 𝐻)β€˜(𝐴( βˆ’β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))𝐡)))
10 ovres 7579 . . 3 ((𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐡 ∈ 𝐻) β†’ (𝐴( βˆ’β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))𝐡) = (𝐴 βˆ’β„Ž 𝐡))
1110fveq2d 6895 . 2 ((𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐡 ∈ 𝐻) β†’ ((normβ„Ž β†Ύ 𝐻)β€˜(𝐴( βˆ’β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))𝐡)) = ((normβ„Ž β†Ύ 𝐻)β€˜(𝐴 βˆ’β„Ž 𝐡)))
12 shsubcl 31004 . . . 4 ((𝐻 ∈ Sβ„‹ ∧ 𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐡 ∈ 𝐻) β†’ (𝐴 βˆ’β„Ž 𝐡) ∈ 𝐻)
132, 12mp3an1 1445 . . 3 ((𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐡 ∈ 𝐻) β†’ (𝐴 βˆ’β„Ž 𝐡) ∈ 𝐻)
14 fvres 6910 . . 3 ((𝐴 βˆ’β„Ž 𝐡) ∈ 𝐻 β†’ ((normβ„Ž β†Ύ 𝐻)β€˜(𝐴 βˆ’β„Ž 𝐡)) = (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž 𝐡)))
1513, 14syl 17 . 2 ((𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐡 ∈ 𝐻) β†’ ((normβ„Ž β†Ύ 𝐻)β€˜(𝐴 βˆ’β„Ž 𝐡)) = (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž 𝐡)))
169, 11, 153eqtrd 2771 1 ((𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐡 ∈ 𝐻) β†’ (𝐴𝐷𝐡) = (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž 𝐡)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βŸ¨cop 4630   Γ— cxp 5670   β†Ύ cres 5674  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  β„‚cc 11122  NrmCVeccnv 30368  IndMetcims 30375   +β„Ž cva 30704   Β·β„Ž csm 30705  normβ„Žcno 30707   βˆ’β„Ž cmv 30709   Sβ„‹ csh 30712
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202  ax-addf 11203  ax-mulf 11204  ax-hilex 30783  ax-hfvadd 30784  ax-hvcom 30785  ax-hvass 30786  ax-hv0cl 30787  ax-hvaddid 30788  ax-hfvmul 30789  ax-hvmulid 30790  ax-hvmulass 30791  ax-hvdistr1 30792  ax-hvdistr2 30793  ax-hvmul0 30794  ax-hfi 30863  ax-his1 30866  ax-his2 30867  ax-his3 30868  ax-his4 30869
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8716  df-map 8836  df-pm 8837  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-sup 9451  df-inf 9452  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11888  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-n0 12489  df-z 12575  df-uz 12839  df-q 12949  df-rp 12993  df-xneg 13110  df-xadd 13111  df-xmul 13112  df-icc 13349  df-seq 13985  df-exp 14045  df-cj 15064  df-re 15065  df-im 15066  df-sqrt 15200  df-abs 15201  df-topgen 17410  df-psmet 21251  df-xmet 21252  df-met 21253  df-bl 21254  df-mopn 21255  df-top 22770  df-topon 22787  df-bases 22823  df-lm 23107  df-haus 23193  df-grpo 30277  df-gid 30278  df-ginv 30279  df-gdiv 30280  df-ablo 30329  df-vc 30343  df-nv 30376  df-va 30379  df-ba 30380  df-sm 30381  df-0v 30382  df-vs 30383  df-nmcv 30384  df-ims 30385  df-ssp 30506  df-hnorm 30752  df-hba 30753  df-hvsub 30755  df-hlim 30756  df-sh 30991  df-ch 31005  df-ch0 31037
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator