HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hhssmetdval Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem hhssmetdval 31129
Description: Value of the distance function of the metric space of a subspace. (Contributed by NM, 10-Apr-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hhssims2.1 π‘Š = ⟨⟨( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)), ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))⟩, (normβ„Ž β†Ύ 𝐻)⟩
hhssims2.3 𝐷 = (IndMetβ€˜π‘Š)
hhssims2.2 𝐻 ∈ Sβ„‹
Assertion
Ref Expression
hhssmetdval ((𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐡 ∈ 𝐻) β†’ (𝐴𝐷𝐡) = (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž 𝐡)))
Proof of Theorem hhssmetdval
StepHypRef Expression
1 hhssims2.1 . . . 4 π‘Š = ⟨⟨( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)), ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))⟩, (normβ„Ž β†Ύ 𝐻)⟩
2 hhssims2.2 . . . 4 𝐻 ∈ Sβ„‹
31, 2hhssnv 31116 . . 3 π‘Š ∈ NrmCVec
41, 2hhssba 31123 . . . 4 𝐻 = (BaseSetβ€˜π‘Š)
51, 2hhssvs 31124 . . . 4 ( βˆ’β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)) = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘Š)
61hhssnm 31111 . . . 4 (normβ„Ž β†Ύ 𝐻) = (normCVβ€˜π‘Š)
7 hhssims2.3 . . . 4 𝐷 = (IndMetβ€˜π‘Š)
84, 5, 6, 7imsdval 30538 . . 3 ((π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐡 ∈ 𝐻) β†’ (𝐴𝐷𝐡) = ((normβ„Ž β†Ύ 𝐻)β€˜(𝐴( βˆ’β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))𝐡)))
93, 8mp3an1 1444 . 2 ((𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐡 ∈ 𝐻) β†’ (𝐴𝐷𝐡) = ((normβ„Ž β†Ύ 𝐻)β€˜(𝐴( βˆ’β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))𝐡)))
10 ovres 7583 . . 3 ((𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐡 ∈ 𝐻) β†’ (𝐴( βˆ’β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))𝐡) = (𝐴 βˆ’β„Ž 𝐡))
1110fveq2d 6895 . 2 ((𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐡 ∈ 𝐻) β†’ ((normβ„Ž β†Ύ 𝐻)β€˜(𝐴( βˆ’β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))𝐡)) = ((normβ„Ž β†Ύ 𝐻)β€˜(𝐴 βˆ’β„Ž 𝐡)))
12 shsubcl 31072 . . . 4 ((𝐻 ∈ Sβ„‹ ∧ 𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐡 ∈ 𝐻) β†’ (𝐴 βˆ’β„Ž 𝐡) ∈ 𝐻)
132, 12mp3an1 1444 . . 3 ((𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐡 ∈ 𝐻) β†’ (𝐴 βˆ’β„Ž 𝐡) ∈ 𝐻)
14 fvres 6910 . . 3 ((𝐴 βˆ’β„Ž 𝐡) ∈ 𝐻 β†’ ((normβ„Ž β†Ύ 𝐻)β€˜(𝐴 βˆ’β„Ž 𝐡)) = (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž 𝐡)))
1513, 14syl 17 . 2 ((𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐡 ∈ 𝐻) β†’ ((normβ„Ž β†Ύ 𝐻)β€˜(𝐴 βˆ’β„Ž 𝐡)) = (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž 𝐡)))
169, 11, 153eqtrd 2769 1 ((𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐡 ∈ 𝐻) β†’ (𝐴𝐷𝐡) = (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž 𝐡)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βŸ¨cop 4630   Γ— cxp 5670   β†Ύ cres 5674  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415  β„‚cc 11134  NrmCVeccnv 30436  IndMetcims 30443   +β„Ž cva 30772   Β·β„Ž csm 30773  normβ„Žcno 30775   βˆ’β„Ž cmv 30777   Sβ„‹ csh 30780
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214  ax-addf 11215  ax-mulf 11216  ax-hilex 30851  ax-hfvadd 30852  ax-hvcom 30853  ax-hvass 30854  ax-hv0cl 30855  ax-hvaddid 30856  ax-hfvmul 30857  ax-hvmulid 30858  ax-hvmulass 30859  ax-hvdistr1 30860  ax-hvdistr2 30861  ax-hvmul0 30862  ax-hfi 30931  ax-his1 30934  ax-his2 30935  ax-his3 30936  ax-his4 30937
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-er 8721  df-map 8843  df-pm 8844  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-sup 9463  df-inf 9464  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-q 12961  df-rp 13005  df-xneg 13122  df-xadd 13123  df-xmul 13124  df-icc 13361  df-seq 13997  df-exp 14057  df-cj 15076  df-re 15077  df-im 15078  df-sqrt 15212  df-abs 15213  df-topgen 17422  df-psmet 21273  df-xmet 21274  df-met 21275  df-bl 21276  df-mopn 21277  df-top 22812  df-topon 22829  df-bases 22865  df-lm 23149  df-haus 23235  df-grpo 30345  df-gid 30346  df-ginv 30347  df-gdiv 30348  df-ablo 30397  df-vc 30411  df-nv 30444  df-va 30447  df-ba 30448  df-sm 30449  df-0v 30450  df-vs 30451  df-nmcv 30452  df-ims 30453  df-ssp 30574  df-hnorm 30820  df-hba 30821  df-hvsub 30823  df-hlim 30824  df-sh 31059  df-ch 31073  df-ch0 31105
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator