Theorem rphalfcld 13111

Description: Closure law for half of a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rphalfcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rphalfcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rphalfcl 13084	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7448   / cdiv 11947  2c2 12348  ℝ⁺crp 13057

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-2 12356  df-rp 13058

This theorem is referenced by:  nnesq  14276  rlimuni  15596  climuni  15598  reccn2  15643  iseralt  15733  mertenslem1  15932  mertenslem2  15933  ege2le3  16138  rpcoshcl  16205  sqrt2irrlem  16296  4sqlem7  16991  ssblex  24459  methaus  24554  met2ndci  24556  metustexhalf  24590  cfilucfil  24593  nlmvscnlem2  24727  nlmvscnlem1  24728  nrginvrcnlem  24733  reperflem  24859  icccmplem2  24864  metdcnlem  24877  metnrmlem2  24901  metnrmlem3  24902  ipcnlem2  25297  ipcnlem1  25298  minveclem3  25482  ovollb2lem  25542  ovolunlem2  25552  uniioombl  25643  itg2cnlem2  25817  itg2cn  25818  lhop1lem  26072  lhop1  26073  aaliou2b  26401  ulmcn  26460  pserdvlem1  26489  pserdv  26491  cxpcn3lem  26808  lgamgulmlem3  27092  lgamucov  27099  ftalem2  27135  bposlem7  27352  bposlem9  27354  lgsquadlem2  27443  chebbnd1lem2  27532  pntibndlem3  27654  pntibnd  27655  pntlemr  27664  lt2addrd  32758  tpr2rico  33858  knoppndvlem17  36494  tan2h  37572  mblfinlem4  37620  sstotbnd2  37734  3lexlogpow2ineq2  42016  dstregt0  45196  suplesup  45254  infleinf  45287  lptre2pt  45561  0ellimcdiv  45570  limsupgtlem  45698  ioodvbdlimc1lem2  45853  ioodvbdlimc2lem  45855  stoweidlem62  45983  stirlinglem1  45995