Theorem rphalfcld 12640

Description: Closure law for half of a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rphalfcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rphalfcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rphalfcl 12613	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2110  (class class class)co 7213   / cdiv 11489  2c2 11885  ℝ⁺crp 12586

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-po 5468  df-so 5469  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-2 11893  df-rp 12587

This theorem is referenced by:  nnesq  13794  rlimuni  15111  climuni  15113  reccn2  15158  iseralt  15248  mertenslem1  15448  mertenslem2  15449  ege2le3  15651  rpcoshcl  15718  sqrt2irrlem  15809  4sqlem7  16497  ssblex  23326  methaus  23418  met2ndci  23420  metustexhalf  23454  cfilucfil  23457  nlmvscnlem2  23583  nlmvscnlem1  23584  nrginvrcnlem  23589  reperflem  23715  icccmplem2  23720  metdcnlem  23733  metnrmlem2  23757  metnrmlem3  23758  ipcnlem2  24141  ipcnlem1  24142  minveclem3  24326  ovollb2lem  24385  ovolunlem2  24395  uniioombl  24486  itg2cnlem2  24660  itg2cn  24661  lhop1lem  24910  lhop1  24911  aaliou2b  25234  ulmcn  25291  pserdvlem1  25319  pserdv  25321  cxpcn3lem  25633  lgamgulmlem3  25913  lgamucov  25920  ftalem2  25956  bposlem7  26171  bposlem9  26173  lgsquadlem2  26262  chebbnd1lem2  26351  pntibndlem3  26473  pntibnd  26474  pntlemr  26483  lt2addrd  30794  tpr2rico  31576  knoppndvlem17  34445  tan2h  35506  mblfinlem4  35554  sstotbnd2  35669  3lexlogpow2ineq2  39801  dstregt0  42492  suplesup  42551  infleinf  42584  lptre2pt  42856  0ellimcdiv  42865  limsupgtlem  42993  ioodvbdlimc1lem2  43148  ioodvbdlimc2lem  43150  stoweidlem62  43278  stirlinglem1  43290