Theorem rphalfcld 13033

Description: Closure law for half of a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rphalfcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rphalfcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rphalfcl 13006	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2105  (class class class)co 7412   / cdiv 11876  2c2 12272  ℝ⁺crp 12979

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-2 12280  df-rp 12980

This theorem is referenced by:  nnesq  14195  rlimuni  15499  climuni  15501  reccn2  15546  iseralt  15636  mertenslem1  15835  mertenslem2  15836  ege2le3  16038  rpcoshcl  16105  sqrt2irrlem  16196  4sqlem7  16882  ssblex  24155  methaus  24250  met2ndci  24252  metustexhalf  24286  cfilucfil  24289  nlmvscnlem2  24423  nlmvscnlem1  24424  nrginvrcnlem  24429  reperflem  24555  icccmplem2  24560  metdcnlem  24573  metnrmlem2  24597  metnrmlem3  24598  ipcnlem2  24993  ipcnlem1  24994  minveclem3  25178  ovollb2lem  25238  ovolunlem2  25248  uniioombl  25339  itg2cnlem2  25513  itg2cn  25514  lhop1lem  25766  lhop1  25767  aaliou2b  26091  ulmcn  26148  pserdvlem1  26176  pserdv  26178  cxpcn3lem  26492  lgamgulmlem3  26772  lgamucov  26779  ftalem2  26815  bposlem7  27030  bposlem9  27032  lgsquadlem2  27121  chebbnd1lem2  27210  pntibndlem3  27332  pntibnd  27333  pntlemr  27342  lt2addrd  32232  tpr2rico  33191  knoppndvlem17  35708  tan2h  36784  mblfinlem4  36832  sstotbnd2  36946  3lexlogpow2ineq2  41231  dstregt0  44290  suplesup  44348  infleinf  44381  lptre2pt  44655  0ellimcdiv  44664  limsupgtlem  44792  ioodvbdlimc1lem2  44947  ioodvbdlimc2lem  44949  stoweidlem62  45077  stirlinglem1  45089