Theorem rphalfcld 13089

Description: Closure law for half of a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rphalfcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rphalfcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rphalfcl 13062	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7431   / cdiv 11920  2c2 12321  ℝ⁺crp 13034

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-2 12329  df-rp 13035

This theorem is referenced by:  nnesq  14266  rlimuni  15586  climuni  15588  reccn2  15633  iseralt  15721  mertenslem1  15920  mertenslem2  15921  ege2le3  16126  rpcoshcl  16193  sqrt2irrlem  16284  4sqlem7  16982  ssblex  24438  methaus  24533  met2ndci  24535  metustexhalf  24569  cfilucfil  24572  nlmvscnlem2  24706  nlmvscnlem1  24707  nrginvrcnlem  24712  reperflem  24840  icccmplem2  24845  metdcnlem  24858  metnrmlem2  24882  metnrmlem3  24883  ipcnlem2  25278  ipcnlem1  25279  minveclem3  25463  ovollb2lem  25523  ovolunlem2  25533  uniioombl  25624  itg2cnlem2  25797  itg2cn  25798  lhop1lem  26052  lhop1  26053  aaliou2b  26383  ulmcn  26442  pserdvlem1  26471  pserdv  26473  cxpcn3lem  26790  lgamgulmlem3  27074  lgamucov  27081  ftalem2  27117  bposlem7  27334  bposlem9  27336  lgsquadlem2  27425  chebbnd1lem2  27514  pntibndlem3  27636  pntibnd  27637  pntlemr  27646  lt2addrd  32755  tpr2rico  33911  knoppndvlem17  36529  tan2h  37619  mblfinlem4  37667  sstotbnd2  37781  3lexlogpow2ineq2  42060  dstregt0  45293  suplesup  45350  infleinf  45383  lptre2pt  45655  0ellimcdiv  45664  limsupgtlem  45792  ioodvbdlimc1lem2  45947  ioodvbdlimc2lem  45949  stoweidlem62  46077  stirlinglem1  46089