Theorem rphalfcld 13087

Description: Closure law for half of a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rphalfcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rphalfcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rphalfcl 13060	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7431   / cdiv 11918  2c2 12319  ℝ⁺crp 13032

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-2 12327  df-rp 13033

This theorem is referenced by:  nnesq  14263  rlimuni  15583  climuni  15585  reccn2  15630  iseralt  15718  mertenslem1  15917  mertenslem2  15918  ege2le3  16123  rpcoshcl  16190  sqrt2irrlem  16281  4sqlem7  16978  ssblex  24454  methaus  24549  met2ndci  24551  metustexhalf  24585  cfilucfil  24588  nlmvscnlem2  24722  nlmvscnlem1  24723  nrginvrcnlem  24728  reperflem  24854  icccmplem2  24859  metdcnlem  24872  metnrmlem2  24896  metnrmlem3  24897  ipcnlem2  25292  ipcnlem1  25293  minveclem3  25477  ovollb2lem  25537  ovolunlem2  25547  uniioombl  25638  itg2cnlem2  25812  itg2cn  25813  lhop1lem  26067  lhop1  26068  aaliou2b  26398  ulmcn  26457  pserdvlem1  26486  pserdv  26488  cxpcn3lem  26805  lgamgulmlem3  27089  lgamucov  27096  ftalem2  27132  bposlem7  27349  bposlem9  27351  lgsquadlem2  27440  chebbnd1lem2  27529  pntibndlem3  27651  pntibnd  27652  pntlemr  27661  lt2addrd  32762  tpr2rico  33873  knoppndvlem17  36511  tan2h  37599  mblfinlem4  37647  sstotbnd2  37761  3lexlogpow2ineq2  42041  dstregt0  45232  suplesup  45289  infleinf  45322  lptre2pt  45596  0ellimcdiv  45605  limsupgtlem  45733  ioodvbdlimc1lem2  45888  ioodvbdlimc2lem  45890  stoweidlem62  46018  stirlinglem1  46030