Theorem rphalfcld 12975

Description: Closure law for half of a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rphalfcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rphalfcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rphalfcl 12948	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7370   / cdiv 11808  2c2 12214  ℝ⁺crp 12919

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5529  df-po 5542  df-so 5543  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-er 8647  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-div 11809  df-2 12222  df-rp 12920

This theorem is referenced by:  nnesq  14164  rlimuni  15487  climuni  15489  reccn2  15534  iseralt  15622  mertenslem1  15821  mertenslem2  15822  ege2le3  16027  rpcoshcl  16096  sqrt2irrlem  16187  4sqlem7  16886  ssblex  24389  methaus  24481  met2ndci  24483  metustexhalf  24517  cfilucfil  24520  nlmvscnlem2  24646  nlmvscnlem1  24647  nrginvrcnlem  24652  reperflem  24780  icccmplem2  24785  metdcnlem  24798  metnrmlem2  24822  metnrmlem3  24823  ipcnlem2  25217  ipcnlem1  25218  minveclem3  25402  ovollb2lem  25462  ovolunlem2  25472  uniioombl  25563  itg2cnlem2  25736  itg2cn  25737  lhop1lem  25991  lhop1  25992  aaliou2b  26322  ulmcn  26381  pserdvlem1  26410  pserdv  26412  cxpcn3lem  26730  lgamgulmlem3  27014  lgamucov  27021  ftalem2  27057  bposlem7  27274  bposlem9  27276  lgsquadlem2  27365  chebbnd1lem2  27454  pntibndlem3  27576  pntibnd  27577  pntlemr  27586  lt2addrd  32847  tpr2rico  34096  knoppndvlem17  36756  tan2h  37892  mblfinlem4  37940  sstotbnd2  38054  3lexlogpow2ineq2  42458  dstregt0  45673  suplesup  45727  infleinf  45759  lptre2pt  46027  0ellimcdiv  46036  limsupgtlem  46164  ioodvbdlimc1lem2  46319  ioodvbdlimc2lem  46321  stoweidlem62  46449  stirlinglem1  46461