Theorem rphalfcld 13076

Description: Closure law for half of a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rphalfcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rphalfcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rphalfcl 13049	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2099  (class class class)co 7416   / cdiv 11912  2c2 12313  ℝ⁺crp 13022

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-id 5572  df-po 5586  df-so 5587  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-er 8726  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11487  df-neg 11488  df-div 11913  df-2 12321  df-rp 13023

This theorem is referenced by:  nnesq  14239  rlimuni  15547  climuni  15549  reccn2  15594  iseralt  15684  mertenslem1  15883  mertenslem2  15884  ege2le3  16087  rpcoshcl  16154  sqrt2irrlem  16245  4sqlem7  16941  ssblex  24422  methaus  24517  met2ndci  24519  metustexhalf  24553  cfilucfil  24556  nlmvscnlem2  24690  nlmvscnlem1  24691  nrginvrcnlem  24696  reperflem  24822  icccmplem2  24827  metdcnlem  24840  metnrmlem2  24864  metnrmlem3  24865  ipcnlem2  25260  ipcnlem1  25261  minveclem3  25445  ovollb2lem  25505  ovolunlem2  25515  uniioombl  25606  itg2cnlem2  25780  itg2cn  25781  lhop1lem  26034  lhop1  26035  aaliou2b  26366  ulmcn  26425  pserdvlem1  26454  pserdv  26456  cxpcn3lem  26772  lgamgulmlem3  27056  lgamucov  27063  ftalem2  27099  bposlem7  27316  bposlem9  27318  lgsquadlem2  27407  chebbnd1lem2  27496  pntibndlem3  27618  pntibnd  27619  pntlemr  27628  lt2addrd  32658  tpr2rico  33740  knoppndvlem17  36244  tan2h  37326  mblfinlem4  37374  sstotbnd2  37488  3lexlogpow2ineq2  41771  dstregt0  44932  suplesup  44990  infleinf  45023  lptre2pt  45297  0ellimcdiv  45306  limsupgtlem  45434  ioodvbdlimc1lem2  45589  ioodvbdlimc2lem  45591  stoweidlem62  45719  stirlinglem1  45731