Theorem rphalfcld 12101

Description: Closure law for half of a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rphalfcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rphalfcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rphalfcl 12075	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2157  (class class class)co 6877   / cdiv 10972  2c2 11359  ℝ⁺crp 12049

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2791  ax-sep 4982  ax-nul 4990  ax-pow 5042  ax-pr 5103  ax-un 7182  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301

This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2638  df-clab 2800  df-cleq 2806  df-clel 2809  df-nfc 2944  df-ne 2986  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rmo 3111  df-rab 3112  df-v 3400  df-sbc 3641  df-csb 3736  df-dif 3779  df-un 3781  df-in 3783  df-ss 3790  df-nul 4124  df-if 4287  df-pw 4360  df-sn 4378  df-pr 4380  df-op 4384  df-uni 4638  df-br 4852  df-opab 4914  df-mpt 4931  df-id 5226  df-po 5239  df-so 5240  df-xp 5324  df-rel 5325  df-cnv 5326  df-co 5327  df-dm 5328  df-rn 5329  df-res 5330  df-ima 5331  df-iota 6067  df-fun 6106  df-fn 6107  df-f 6108  df-f1 6109  df-fo 6110  df-f1o 6111  df-fv 6112  df-riota 6838  df-ov 6880  df-oprab 6881  df-mpt2 6882  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-pnf 10364  df-mnf 10365  df-xr 10366  df-ltxr 10367  df-le 10368  df-sub 10556  df-neg 10557  df-div 10973  df-2 11367  df-rp 12050

This theorem is referenced by:  nnesq  13214  rlimuni  14507  climuni  14509  reccn2  14553  iseralt  14641  mertenslem1  14840  mertenslem2  14841  ege2le3  15043  rpcoshcl  15110  sqrt2irrlem  15200  sqrt2irrlemOLD  15201  4sqlem7  15868  ssblex  22450  methaus  22542  met2ndci  22544  metustexhalf  22578  cfilucfil  22581  nlmvscnlem2  22706  nlmvscnlem1  22707  nrginvrcnlem  22712  reperflem  22838  icccmplem2  22843  metdcnlem  22856  metnrmlem2  22880  metnrmlem3  22881  ipcnlem2  23259  ipcnlem1  23260  minveclem3  23418  ovollb2lem  23475  ovolunlem2  23485  uniioombl  23576  itg2cnlem2  23749  itg2cn  23750  lhop1lem  23996  lhop1  23997  aaliou2b  24316  ulmcn  24373  pserdvlem1  24401  pserdv  24403  cxpcn3lem  24708  lgamgulmlem3  24977  lgamucov  24984  ftalem2  25020  bposlem7  25235  bposlem9  25237  lgsquadlem2  25326  chebbnd1lem2  25379  pntibndlem3  25501  pntibnd  25502  pntlemr  25511  lt2addrd  29849  tpr2rico  30289  knoppndvlem17  32841  tan2h  33716  mblfinlem4  33764  sstotbnd2  33886  dstregt0  39976  suplesup  40036  infleinf  40069  lptre2pt  40353  0ellimcdiv  40362  limsupgtlem  40490  ioodvbdlimc1lem2  40628  ioodvbdlimc2lem  40630  stoweidlem62  40759  stirlinglem1  40771