Theorem rphalfcld 13051

Description: Closure law for half of a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rphalfcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rphalfcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rphalfcl 13024	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2144  (class class class)co 7398   / cdiv 11846  2c2 12274  ℝ⁺crp 12995

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-er 8680  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-div 11847  df-nn 12213  df-2 12282  df-rp 12996

This theorem is referenced by:  nnesq  14242  rlimuni  15579  climuni  15581  reccn2  15626  iseralt  15714  mertenslem1  15916  mertenslem2  15917  ege2le3  16122  rpcoshcl  16191  sqrt2irrlem  16282  4sqlem7  16982  ssblex  24490  methaus  24582  met2ndci  24584  metustexhalf  24618  cfilucfil  24621  nlmvscnlem2  24747  nlmvscnlem1  24748  nrginvrcnlem  24753  reperflem  24881  icccmplem2  24886  metdcnlem  24899  metnrmlem2  24923  metnrmlem3  24924  ipcnlem2  25308  ipcnlem1  25309  minveclem3  25493  ovollb2lem  25552  ovolunlem2  25562  uniioombl  25653  itg2cnlem2  25826  itg2cn  25827  lhop1lem  26077  lhop1  26078  aaliou2b  26407  ulmcn  26464  pserdvlem1  26492  pserdv  26494  cxpcn3lem  26814  lgamgulmlem3  27097  lgamucov  27104  ftalem2  27140  bposlem7  27356  bposlem9  27358  lgsquadlem2  27447  chebbnd1lem2  27536  pntibndlem3  27658  pntibnd  27659  pntlemr  27668  lt2addrd  32954  tpr2rico  34211  knoppndvlem17  36971  tan2h  38116  mblfinlem4  38164  sstotbnd2  38278  3lexlogpow2ineq2  42681  dstregt0  45866  suplesup  45920  infleinf  45952  lptre2pt  46219  0ellimcdiv  46228  limsupgtlem  46356  ioodvbdlimc1lem2  46511  ioodvbdlimc2lem  46513  stoweidlem62  46641  stirlinglem1  46653