Theorem rphalfcld 12987

Description: Closure law for half of a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rphalfcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rphalfcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rphalfcl 12960	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7356   / cdiv 11796  2c2 12225  ℝ⁺crp 12931

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3060  df-rmo 3340  df-reu 3341  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-id 5515  df-po 5528  df-so 5529  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-er 8632  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-2 12233  df-rp 12932

This theorem is referenced by:  nnesq  14178  rlimuni  15501  climuni  15503  reccn2  15548  iseralt  15636  mertenslem1  15838  mertenslem2  15839  ege2le3  16044  rpcoshcl  16113  sqrt2irrlem  16204  4sqlem7  16904  ssblex  24381  methaus  24473  met2ndci  24475  metustexhalf  24509  cfilucfil  24512  nlmvscnlem2  24638  nlmvscnlem1  24639  nrginvrcnlem  24644  reperflem  24772  icccmplem2  24777  metdcnlem  24790  metnrmlem2  24814  metnrmlem3  24815  ipcnlem2  25199  ipcnlem1  25200  minveclem3  25384  ovollb2lem  25443  ovolunlem2  25453  uniioombl  25544  itg2cnlem2  25717  itg2cn  25718  lhop1lem  25968  lhop1  25969  aaliou2b  26295  ulmcn  26352  pserdvlem1  26380  pserdv  26382  cxpcn3lem  26699  lgamgulmlem3  26982  lgamucov  26989  ftalem2  27025  bposlem7  27241  bposlem9  27243  lgsquadlem2  27332  chebbnd1lem2  27421  pntibndlem3  27543  pntibnd  27544  pntlemr  27553  lt2addrd  32811  tpr2rico  34044  knoppndvlem17  36776  tan2h  37921  mblfinlem4  37969  sstotbnd2  38083  3lexlogpow2ineq2  42486  dstregt0  45703  suplesup  45757  infleinf  45789  lptre2pt  46056  0ellimcdiv  46065  limsupgtlem  46193  ioodvbdlimc1lem2  46348  ioodvbdlimc2lem  46350  stoweidlem62  46478  stirlinglem1  46490