Theorem rphalfcld 13032

Description: Closure law for half of a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rphalfcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rphalfcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rphalfcl 13005	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2104  (class class class)co 7411   / cdiv 11875  2c2 12271  ℝ⁺crp 12978

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-2 12279  df-rp 12979

This theorem is referenced by:  nnesq  14194  rlimuni  15498  climuni  15500  reccn2  15545  iseralt  15635  mertenslem1  15834  mertenslem2  15835  ege2le3  16037  rpcoshcl  16104  sqrt2irrlem  16195  4sqlem7  16881  ssblex  24154  methaus  24249  met2ndci  24251  metustexhalf  24285  cfilucfil  24288  nlmvscnlem2  24422  nlmvscnlem1  24423  nrginvrcnlem  24428  reperflem  24554  icccmplem2  24559  metdcnlem  24572  metnrmlem2  24596  metnrmlem3  24597  ipcnlem2  24992  ipcnlem1  24993  minveclem3  25177  ovollb2lem  25237  ovolunlem2  25247  uniioombl  25338  itg2cnlem2  25512  itg2cn  25513  lhop1lem  25765  lhop1  25766  aaliou2b  26090  ulmcn  26147  pserdvlem1  26175  pserdv  26177  cxpcn3lem  26491  lgamgulmlem3  26771  lgamucov  26778  ftalem2  26814  bposlem7  27029  bposlem9  27031  lgsquadlem2  27120  chebbnd1lem2  27209  pntibndlem3  27331  pntibnd  27332  pntlemr  27341  lt2addrd  32231  tpr2rico  33190  knoppndvlem17  35707  tan2h  36783  mblfinlem4  36831  sstotbnd2  36945  3lexlogpow2ineq2  41230  dstregt0  44289  suplesup  44347  infleinf  44380  lptre2pt  44654  0ellimcdiv  44663  limsupgtlem  44791  ioodvbdlimc1lem2  44946  ioodvbdlimc2lem  44948  stoweidlem62  45076  stirlinglem1  45088