Theorem rphalfcld 13068

Description: Closure law for half of a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rphalfcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rphalfcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rphalfcl 13041	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7410   / cdiv 11899  2c2 12300  ℝ⁺crp 13013

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-2 12308  df-rp 13014

This theorem is referenced by:  nnesq  14250  rlimuni  15571  climuni  15573  reccn2  15618  iseralt  15706  mertenslem1  15905  mertenslem2  15906  ege2le3  16111  rpcoshcl  16180  sqrt2irrlem  16271  4sqlem7  16969  ssblex  24372  methaus  24464  met2ndci  24466  metustexhalf  24500  cfilucfil  24503  nlmvscnlem2  24629  nlmvscnlem1  24630  nrginvrcnlem  24635  reperflem  24763  icccmplem2  24768  metdcnlem  24781  metnrmlem2  24805  metnrmlem3  24806  ipcnlem2  25201  ipcnlem1  25202  minveclem3  25386  ovollb2lem  25446  ovolunlem2  25456  uniioombl  25547  itg2cnlem2  25720  itg2cn  25721  lhop1lem  25975  lhop1  25976  aaliou2b  26306  ulmcn  26365  pserdvlem1  26394  pserdv  26396  cxpcn3lem  26714  lgamgulmlem3  26998  lgamucov  27005  ftalem2  27041  bposlem7  27258  bposlem9  27260  lgsquadlem2  27349  chebbnd1lem2  27438  pntibndlem3  27560  pntibnd  27561  pntlemr  27570  lt2addrd  32733  tpr2rico  33948  knoppndvlem17  36551  tan2h  37641  mblfinlem4  37689  sstotbnd2  37803  3lexlogpow2ineq2  42077  dstregt0  45277  suplesup  45333  infleinf  45366  lptre2pt  45636  0ellimcdiv  45645  limsupgtlem  45773  ioodvbdlimc1lem2  45928  ioodvbdlimc2lem  45930  stoweidlem62  46058  stirlinglem1  46070