Theorem rphalfcld 12985

Description: Closure law for half of a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rphalfcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rphalfcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rphalfcl 12958	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7369   / cdiv 11813  2c2 12219  ℝ⁺crp 12929

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-resscn 11103  ax-1cn 11104  ax-icn 11105  ax-addcl 11106  ax-addrcl 11107  ax-mulcl 11108  ax-mulrcl 11109  ax-mulcom 11110  ax-addass 11111  ax-mulass 11112  ax-distr 11113  ax-i2m1 11114  ax-1ne0 11115  ax-1rid 11116  ax-rnegex 11117  ax-rrecex 11118  ax-cnre 11119  ax-pre-lttri 11120  ax-pre-lttrn 11121  ax-pre-ltadd 11122  ax-pre-mulgt0 11123

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11188  df-mnf 11189  df-xr 11190  df-ltxr 11191  df-le 11192  df-sub 11385  df-neg 11386  df-div 11814  df-2 12227  df-rp 12930

This theorem is referenced by:  nnesq  14170  rlimuni  15493  climuni  15495  reccn2  15540  iseralt  15628  mertenslem1  15827  mertenslem2  15828  ege2le3  16033  rpcoshcl  16102  sqrt2irrlem  16193  4sqlem7  16892  ssblex  24350  methaus  24442  met2ndci  24444  metustexhalf  24478  cfilucfil  24481  nlmvscnlem2  24607  nlmvscnlem1  24608  nrginvrcnlem  24613  reperflem  24741  icccmplem2  24746  metdcnlem  24759  metnrmlem2  24783  metnrmlem3  24784  ipcnlem2  25178  ipcnlem1  25179  minveclem3  25363  ovollb2lem  25423  ovolunlem2  25433  uniioombl  25524  itg2cnlem2  25697  itg2cn  25698  lhop1lem  25952  lhop1  25953  aaliou2b  26283  ulmcn  26342  pserdvlem1  26371  pserdv  26373  cxpcn3lem  26691  lgamgulmlem3  26975  lgamucov  26982  ftalem2  27018  bposlem7  27235  bposlem9  27237  lgsquadlem2  27326  chebbnd1lem2  27415  pntibndlem3  27537  pntibnd  27538  pntlemr  27547  lt2addrd  32725  tpr2rico  33896  knoppndvlem17  36510  tan2h  37600  mblfinlem4  37648  sstotbnd2  37762  3lexlogpow2ineq2  42041  dstregt0  45274  suplesup  45329  infleinf  45362  lptre2pt  45632  0ellimcdiv  45641  limsupgtlem  45769  ioodvbdlimc1lem2  45924  ioodvbdlimc2lem  45926  stoweidlem62  46054  stirlinglem1  46066