Theorem rphalfcld 12437

Description: Closure law for half of a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rphalfcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rphalfcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rphalfcl 12410	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2110  (class class class)co 7150   / cdiv 11291  2c2 11686  ℝ⁺crp 12383

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-uni 4832  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-po 5468  df-so 5469  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-2 11694  df-rp 12384

This theorem is referenced by:  nnesq  13582  rlimuni  14901  climuni  14903  reccn2  14947  iseralt  15035  mertenslem1  15234  mertenslem2  15235  ege2le3  15437  rpcoshcl  15504  sqrt2irrlem  15595  4sqlem7  16274  ssblex  23032  methaus  23124  met2ndci  23126  metustexhalf  23160  cfilucfil  23163  nlmvscnlem2  23288  nlmvscnlem1  23289  nrginvrcnlem  23294  reperflem  23420  icccmplem2  23425  metdcnlem  23438  metnrmlem2  23462  metnrmlem3  23463  ipcnlem2  23841  ipcnlem1  23842  minveclem3  24026  ovollb2lem  24083  ovolunlem2  24093  uniioombl  24184  itg2cnlem2  24357  itg2cn  24358  lhop1lem  24604  lhop1  24605  aaliou2b  24924  ulmcn  24981  pserdvlem1  25009  pserdv  25011  cxpcn3lem  25322  lgamgulmlem3  25602  lgamucov  25609  ftalem2  25645  bposlem7  25860  bposlem9  25862  lgsquadlem2  25951  chebbnd1lem2  26040  pntibndlem3  26162  pntibnd  26163  pntlemr  26172  lt2addrd  30469  tpr2rico  31150  knoppndvlem17  33862  tan2h  34878  mblfinlem4  34926  sstotbnd2  35046  dstregt0  41540  suplesup  41600  infleinf  41633  lptre2pt  41914  0ellimcdiv  41923  limsupgtlem  42051  ioodvbdlimc1lem2  42210  ioodvbdlimc2lem  42212  stoweidlem62  42341  stirlinglem1  42353