Theorem rphalfcld 13145

Description: Closure law for half of a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rphalfcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rphalfcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rphalfcl 13118	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7408   / cdiv 11942  2c2 12366  ℝ⁺crp 13089

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-div 11943  df-nn 12305  df-2 12374  df-rp 13090

This theorem is used by:  nnesq  14338  rlimuni  15684  climuni  15686  reccn2  15731  iseralt  15819  mertenslem1  16020  mertenslem2  16021  ege2le3  16223  rpcoshcl  16292  sqrt2irrlem  16383  4sqlem7  17083  ssblex  24708  methaus  24800  met2ndci  24802  metustexhalf  24836  cfilucfil  24839  nlmvscnlem2  24965  nlmvscnlem1  24966  nrginvrcnlem  24971  reperflem  25099  icccmplem2  25104  metdcnlem  25117  metnrmlem2  25141  metnrmlem3  25142  ipcnlem2  25526  ipcnlem1  25527  minveclem3  25711  ovollb2lem  25770  ovolunlem2  25780  uniioombl  25871  itg2cnlem2  26044  itg2cn  26045  lhop1lem  26294  lhop1  26295  aaliou2b  26631  ulmcn  26689  pserdvlem1  26717  pserdv  26719  cxpcn3lem  27038  lgamgulmlem3  27321  lgamucov  27328  ftalem2  27364  bposlem7  27580  bposlem9  27582  lgsquadlem2  27671  chebbnd1lem2  27760  pntibndlem3  27882  pntibnd  27883  pntlemr  27892  lt2addrd  33275  tpr2rico  34477  knoppndvlem17  37316  tan2h  38455  mblfinlem4  38498  sstotbnd2  38628  3lexlogpow2ineq2  43029  dstregt0  46219  suplesup  46273  infleinf  46305  lptre2pt  46572  0ellimcdiv  46581  limsupgtlem  46709  ioodvbdlimc1lem2  46864  ioodvbdlimc2lem  46866  stoweidlem62  46994  stirlinglem1  47006