Theorem rphalfcld 12966

Description: Closure law for half of a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rphalfcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rphalfcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rphalfcl 12939	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7361   / cdiv 11799  2c2 12205  ℝ⁺crp 12910

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7683  ax-resscn 11088  ax-1cn 11089  ax-icn 11090  ax-addcl 11091  ax-addrcl 11092  ax-mulcl 11093  ax-mulrcl 11094  ax-mulcom 11095  ax-addass 11096  ax-mulass 11097  ax-distr 11098  ax-i2m1 11099  ax-1ne0 11100  ax-1rid 11101  ax-rnegex 11102  ax-rrecex 11103  ax-cnre 11104  ax-pre-lttri 11105  ax-pre-lttrn 11106  ax-pre-ltadd 11107  ax-pre-mulgt0 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-er 8638  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-div 11800  df-2 12213  df-rp 12911

This theorem is referenced by:  nnesq  14155  rlimuni  15478  climuni  15480  reccn2  15525  iseralt  15613  mertenslem1  15812  mertenslem2  15813  ege2le3  16018  rpcoshcl  16087  sqrt2irrlem  16178  4sqlem7  16877  ssblex  24377  methaus  24469  met2ndci  24471  metustexhalf  24505  cfilucfil  24508  nlmvscnlem2  24634  nlmvscnlem1  24635  nrginvrcnlem  24640  reperflem  24768  icccmplem2  24773  metdcnlem  24786  metnrmlem2  24810  metnrmlem3  24811  ipcnlem2  25205  ipcnlem1  25206  minveclem3  25390  ovollb2lem  25450  ovolunlem2  25460  uniioombl  25551  itg2cnlem2  25724  itg2cn  25725  lhop1lem  25979  lhop1  25980  aaliou2b  26310  ulmcn  26369  pserdvlem1  26398  pserdv  26400  cxpcn3lem  26718  lgamgulmlem3  27002  lgamucov  27009  ftalem2  27045  bposlem7  27262  bposlem9  27264  lgsquadlem2  27353  chebbnd1lem2  27442  pntibndlem3  27564  pntibnd  27565  pntlemr  27574  lt2addrd  32833  tpr2rico  34082  knoppndvlem17  36741  tan2h  37826  mblfinlem4  37874  sstotbnd2  37988  3lexlogpow2ineq2  42392  dstregt0  45607  suplesup  45661  infleinf  45693  lptre2pt  45961  0ellimcdiv  45970  limsupgtlem  46098  ioodvbdlimc1lem2  46253  ioodvbdlimc2lem  46255  stoweidlem62  46383  stirlinglem1  46395