Theorem rphalfcld 13100

Description: Closure law for half of a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rphalfcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rphalfcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rphalfcl 13073	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7416   / cdiv 11898  2c2 12322  ℝ⁺crp 13044

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-rp 13045

This theorem is used by:  nnesq  14293  rlimuni  15639  climuni  15641  reccn2  15686  iseralt  15774  mertenslem1  15975  mertenslem2  15976  ege2le3  16180  rpcoshcl  16249  sqrt2irrlem  16340  4sqlem7  17040  ssblex  24655  methaus  24747  met2ndci  24749  metustexhalf  24783  cfilucfil  24786  nlmvscnlem2  24912  nlmvscnlem1  24913  nrginvrcnlem  24918  reperflem  25046  icccmplem2  25051  metdcnlem  25064  metnrmlem2  25088  metnrmlem3  25089  ipcnlem2  25473  ipcnlem1  25474  minveclem3  25658  ovollb2lem  25717  ovolunlem2  25727  uniioombl  25818  itg2cnlem2  25991  itg2cn  25992  lhop1lem  26242  lhop1  26243  aaliou2b  26574  ulmcn  26632  pserdvlem1  26660  pserdv  26662  cxpcn3lem  26982  lgamgulmlem3  27265  lgamucov  27272  ftalem2  27308  bposlem7  27524  bposlem9  27526  lgsquadlem2  27615  chebbnd1lem2  27704  pntibndlem3  27826  pntibnd  27827  pntlemr  27836  lt2addrd  33208  tpr2rico  34409  knoppndvlem17  37212  tan2h  38353  mblfinlem4  38396  sstotbnd2  38511  3lexlogpow2ineq2  42912  dstregt0  46102  suplesup  46156  infleinf  46188  lptre2pt  46455  0ellimcdiv  46464  limsupgtlem  46592  ioodvbdlimc1lem2  46747  ioodvbdlimc2lem  46749  stoweidlem62  46877  stirlinglem1  46889