Theorem rphalfcld 13024

Description: Closure law for half of a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rphalfcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rphalfcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rphalfcl 12997	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7405   / cdiv 11867  2c2 12263  ℝ⁺crp 12970

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-2 12271  df-rp 12971

This theorem is referenced by:  nnesq  14186  rlimuni  15490  climuni  15492  reccn2  15537  iseralt  15627  mertenslem1  15826  mertenslem2  15827  ege2le3  16029  rpcoshcl  16096  sqrt2irrlem  16187  4sqlem7  16873  ssblex  23925  methaus  24020  met2ndci  24022  metustexhalf  24056  cfilucfil  24059  nlmvscnlem2  24193  nlmvscnlem1  24194  nrginvrcnlem  24199  reperflem  24325  icccmplem2  24330  metdcnlem  24343  metnrmlem2  24367  metnrmlem3  24368  ipcnlem2  24752  ipcnlem1  24753  minveclem3  24937  ovollb2lem  24996  ovolunlem2  25006  uniioombl  25097  itg2cnlem2  25271  itg2cn  25272  lhop1lem  25521  lhop1  25522  aaliou2b  25845  ulmcn  25902  pserdvlem1  25930  pserdv  25932  cxpcn3lem  26244  lgamgulmlem3  26524  lgamucov  26531  ftalem2  26567  bposlem7  26782  bposlem9  26784  lgsquadlem2  26873  chebbnd1lem2  26962  pntibndlem3  27084  pntibnd  27085  pntlemr  27094  lt2addrd  31951  tpr2rico  32880  knoppndvlem17  35392  tan2h  36468  mblfinlem4  36516  sstotbnd2  36630  3lexlogpow2ineq2  40912  dstregt0  43977  suplesup  44035  infleinf  44068  lptre2pt  44342  0ellimcdiv  44351  limsupgtlem  44479  ioodvbdlimc1lem2  44634  ioodvbdlimc2lem  44636  stoweidlem62  44764  stirlinglem1  44776