Theorem rphalfcld 12949

Description: Closure law for half of a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rphalfcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rphalfcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rphalfcl 12922	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7349   / cdiv 11777  2c2 12183  ℝ⁺crp 12893

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-po 5527  df-so 5528  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-2 12191  df-rp 12894

This theorem is referenced by:  nnesq  14134  rlimuni  15457  climuni  15459  reccn2  15504  iseralt  15592  mertenslem1  15791  mertenslem2  15792  ege2le3  15997  rpcoshcl  16066  sqrt2irrlem  16157  4sqlem7  16856  ssblex  24314  methaus  24406  met2ndci  24408  metustexhalf  24442  cfilucfil  24445  nlmvscnlem2  24571  nlmvscnlem1  24572  nrginvrcnlem  24577  reperflem  24705  icccmplem2  24710  metdcnlem  24723  metnrmlem2  24747  metnrmlem3  24748  ipcnlem2  25142  ipcnlem1  25143  minveclem3  25327  ovollb2lem  25387  ovolunlem2  25397  uniioombl  25488  itg2cnlem2  25661  itg2cn  25662  lhop1lem  25916  lhop1  25917  aaliou2b  26247  ulmcn  26306  pserdvlem1  26335  pserdv  26337  cxpcn3lem  26655  lgamgulmlem3  26939  lgamucov  26946  ftalem2  26982  bposlem7  27199  bposlem9  27201  lgsquadlem2  27290  chebbnd1lem2  27379  pntibndlem3  27501  pntibnd  27502  pntlemr  27511  lt2addrd  32703  tpr2rico  33895  knoppndvlem17  36522  tan2h  37612  mblfinlem4  37660  sstotbnd2  37774  3lexlogpow2ineq2  42052  dstregt0  45284  suplesup  45339  infleinf  45371  lptre2pt  45641  0ellimcdiv  45650  limsupgtlem  45778  ioodvbdlimc1lem2  45933  ioodvbdlimc2lem  45935  stoweidlem62  46063  stirlinglem1  46075