Theorem rphalfcld 13007

Description: Closure law for half of a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rphalfcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rphalfcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rphalfcl 12980	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7387   / cdiv 11835  2c2 12241  ℝ⁺crp 12951

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-2 12249  df-rp 12952

This theorem is referenced by:  nnesq  14192  rlimuni  15516  climuni  15518  reccn2  15563  iseralt  15651  mertenslem1  15850  mertenslem2  15851  ege2le3  16056  rpcoshcl  16125  sqrt2irrlem  16216  4sqlem7  16915  ssblex  24316  methaus  24408  met2ndci  24410  metustexhalf  24444  cfilucfil  24447  nlmvscnlem2  24573  nlmvscnlem1  24574  nrginvrcnlem  24579  reperflem  24707  icccmplem2  24712  metdcnlem  24725  metnrmlem2  24749  metnrmlem3  24750  ipcnlem2  25144  ipcnlem1  25145  minveclem3  25329  ovollb2lem  25389  ovolunlem2  25399  uniioombl  25490  itg2cnlem2  25663  itg2cn  25664  lhop1lem  25918  lhop1  25919  aaliou2b  26249  ulmcn  26308  pserdvlem1  26337  pserdv  26339  cxpcn3lem  26657  lgamgulmlem3  26941  lgamucov  26948  ftalem2  26984  bposlem7  27201  bposlem9  27203  lgsquadlem2  27292  chebbnd1lem2  27381  pntibndlem3  27503  pntibnd  27504  pntlemr  27513  lt2addrd  32674  tpr2rico  33902  knoppndvlem17  36516  tan2h  37606  mblfinlem4  37654  sstotbnd2  37768  3lexlogpow2ineq2  42047  dstregt0  45280  suplesup  45335  infleinf  45368  lptre2pt  45638  0ellimcdiv  45647  limsupgtlem  45775  ioodvbdlimc1lem2  45930  ioodvbdlimc2lem  45932  stoweidlem62  46060  stirlinglem1  46072