Theorem rphalfcld 13203

Description: Closure law for half of a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rphalfcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rphalfcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rphalfcl 13176	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147  (class class class)co 7443   / cdiv 12000  2c2 12424  ℝ⁺crp 13147

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-nn 12363  df-2 12432  df-rp 13148

This theorem is used by:  nnesq  14398  rlimuni  15746  climuni  15748  reccn2  15793  iseralt  15881  mertenslem1  16082  mertenslem2  16083  ege2le3  16285  rpcoshcl  16354  sqrt2irrlem  16445  4sqlem7  17151  ssblex  24777  methaus  24869  met2ndci  24871  metustexhalf  24905  cfilucfil  24908  nlmvscnlem2  25034  nlmvscnlem1  25035  nrginvrcnlem  25040  reperflem  25168  icccmplem2  25173  metdcnlem  25186  metnrmlem2  25210  metnrmlem3  25211  ipcnlem2  25595  ipcnlem1  25596  minveclem3  25780  ovollb2lem  25839  ovolunlem2  25849  uniioombl  25940  itg2cnlem2  26113  itg2cn  26114  lhop1lem  26363  lhop1  26364  aaliou2b  26698  ulmcn  26756  pserdvlem1  26784  pserdv  26786  cxpcn3lem  27105  lgamgulmlem3  27388  lgamucov  27395  ftalem2  27431  bposlem7  27647  bposlem9  27649  lgsquadlem2  27738  chebbnd1lem2  27827  pntibndlem3  27949  pntibnd  27950  pntlemr  27959  lt2addrd  33412  tpr2rico  34614  knoppndvlem17  37572  tan2h  38727  mblfinlem4  38770  sstotbnd2  38900  3lexlogpow2ineq2  43301  dstregt0  46503  suplesup  46556  infleinf  46588  lptre2pt  46855  0ellimcdiv  46864  limsupgtlem  46992  ioodvbdlimc1lem2  47147  ioodvbdlimc2lem  47149  stoweidlem62  47277  stirlinglem1  47289