MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rphalfcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rphalfcld 12970
Description: Closure law for half of a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
rpred.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
rphalfcld (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rphalfcld
StepHypRef Expression
1 rpred.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
2 rphalfcl 12943 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)
31, 2syl 17 1 (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2107  (class class class)co 7358   / cdiv 11813  2c2 12209  +crp 12916
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-2 12217  df-rp 12917
This theorem is referenced by:  nnesq  14131  rlimuni  15433  climuni  15435  reccn2  15480  iseralt  15570  mertenslem1  15770  mertenslem2  15771  ege2le3  15973  rpcoshcl  16040  sqrt2irrlem  16131  4sqlem7  16817  ssblex  23784  methaus  23879  met2ndci  23881  metustexhalf  23915  cfilucfil  23918  nlmvscnlem2  24052  nlmvscnlem1  24053  nrginvrcnlem  24058  reperflem  24184  icccmplem2  24189  metdcnlem  24202  metnrmlem2  24226  metnrmlem3  24227  ipcnlem2  24611  ipcnlem1  24612  minveclem3  24796  ovollb2lem  24855  ovolunlem2  24865  uniioombl  24956  itg2cnlem2  25130  itg2cn  25131  lhop1lem  25380  lhop1  25381  aaliou2b  25704  ulmcn  25761  pserdvlem1  25789  pserdv  25791  cxpcn3lem  26103  lgamgulmlem3  26383  lgamucov  26390  ftalem2  26426  bposlem7  26641  bposlem9  26643  lgsquadlem2  26732  chebbnd1lem2  26821  pntibndlem3  26943  pntibnd  26944  pntlemr  26953  lt2addrd  31659  tpr2rico  32496  knoppndvlem17  34994  tan2h  36073  mblfinlem4  36121  sstotbnd2  36236  3lexlogpow2ineq2  40519  dstregt0  43522  suplesup  43580  infleinf  43613  lptre2pt  43888  0ellimcdiv  43897  limsupgtlem  44025  ioodvbdlimc1lem2  44180  ioodvbdlimc2lem  44182  stoweidlem62  44310  stirlinglem1  44322
  Copyright terms: Public domain W3C validator