Theorem rphalfcld 12282

Description: Closure law for half of a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rphalfcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rphalfcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rphalfcl 12255	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2079  (class class class)co 7007   / cdiv 11134  2c2 11529  ℝ⁺crp 12228

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1775  ax-4 1789  ax-5 1886  ax-6 1945  ax-7 1990  ax-8 2081  ax-9 2089  ax-10 2110  ax-11 2124  ax-12 2139  ax-13 2342  ax-ext 2767  ax-sep 5088  ax-nul 5095  ax-pow 5150  ax-pr 5214  ax-un 7310  ax-resscn 10429  ax-1cn 10430  ax-icn 10431  ax-addcl 10432  ax-addrcl 10433  ax-mulcl 10434  ax-mulrcl 10435  ax-mulcom 10436  ax-addass 10437  ax-mulass 10438  ax-distr 10439  ax-i2m1 10440  ax-1ne0 10441  ax-1rid 10442  ax-rnegex 10443  ax-rrecex 10444  ax-cnre 10445  ax-pre-lttri 10446  ax-pre-lttrn 10447  ax-pre-ltadd 10448  ax-pre-mulgt0 10449

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1079  df-3an 1080  df-tru 1523  df-ex 1760  df-nf 1764  df-sb 2041  df-mo 2574  df-eu 2610  df-clab 2774  df-cleq 2786  df-clel 2861  df-nfc 2933  df-ne 2983  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rmo 3111  df-rab 3112  df-v 3434  df-sbc 3702  df-csb 3807  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3869  df-nul 4207  df-if 4376  df-pw 4449  df-sn 4467  df-pr 4469  df-op 4473  df-uni 4740  df-br 4957  df-opab 5019  df-mpt 5036  df-id 5340  df-po 5354  df-so 5355  df-xp 5441  df-rel 5442  df-cnv 5443  df-co 5444  df-dm 5445  df-rn 5446  df-res 5447  df-ima 5448  df-iota 6181  df-fun 6219  df-fn 6220  df-f 6221  df-f1 6222  df-fo 6223  df-f1o 6224  df-fv 6225  df-riota 6968  df-ov 7010  df-oprab 7011  df-mpo 7012  df-er 8130  df-en 8348  df-dom 8349  df-sdom 8350  df-pnf 10512  df-mnf 10513  df-xr 10514  df-ltxr 10515  df-le 10516  df-sub 10708  df-neg 10709  df-div 11135  df-2 11537  df-rp 12229

This theorem is referenced by:  nnesq  13426  rlimuni  14729  climuni  14731  reccn2  14775  iseralt  14863  mertenslem1  15061  mertenslem2  15062  ege2le3  15264  rpcoshcl  15331  sqrt2irrlem  15422  4sqlem7  16097  ssblex  22709  methaus  22801  met2ndci  22803  metustexhalf  22837  cfilucfil  22840  nlmvscnlem2  22965  nlmvscnlem1  22966  nrginvrcnlem  22971  reperflem  23097  icccmplem2  23102  metdcnlem  23115  metnrmlem2  23139  metnrmlem3  23140  ipcnlem2  23518  ipcnlem1  23519  minveclem3  23703  ovollb2lem  23760  ovolunlem2  23770  uniioombl  23861  itg2cnlem2  24034  itg2cn  24035  lhop1lem  24281  lhop1  24282  aaliou2b  24601  ulmcn  24658  pserdvlem1  24686  pserdv  24688  cxpcn3lem  24997  lgamgulmlem3  25278  lgamucov  25285  ftalem2  25321  bposlem7  25536  bposlem9  25538  lgsquadlem2  25627  chebbnd1lem2  25716  pntibndlem3  25838  pntibnd  25839  pntlemr  25848  lt2addrd  30136  tpr2rico  30728  knoppndvlem17  33420  tan2h  34361  mblfinlem4  34409  sstotbnd2  34530  dstregt0  41041  suplesup  41101  infleinf  41134  lptre2pt  41417  0ellimcdiv  41426  limsupgtlem  41554  ioodvbdlimc1lem2  41712  ioodvbdlimc2lem  41714  stoweidlem62  41843  stirlinglem1  41855