MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rphalfcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rphalfcld 12083
Description: Closure law for half of a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
rpred.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
rphalfcld (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rphalfcld
StepHypRef Expression
1 rpred.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
2 rphalfcl 12057 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)
31, 2syl 17 1 (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2145  (class class class)co 6792   / cdiv 10886  2c2 11272  +crp 12031
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-po 5170  df-so 5171  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-f1 6034  df-fo 6035  df-f1o 6036  df-fv 6037  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-2 11281  df-rp 12032
This theorem is referenced by:  nnesq  13191  rlimuni  14485  climuni  14487  reccn2  14531  iseralt  14619  mertenslem1  14819  mertenslem2  14820  ege2le3  15022  rpcoshcl  15089  sqrt2irrlem  15179  sqrt2irrlemOLD  15180  4sqlem7  15851  ssblex  22449  methaus  22541  met2ndci  22543  metustexhalf  22577  cfilucfil  22580  nlmvscnlem2  22705  nlmvscnlem1  22706  nrginvrcnlem  22711  reperflem  22837  icccmplem2  22842  metdcnlem  22855  metnrmlem2  22879  metnrmlem3  22880  ipcnlem2  23258  ipcnlem1  23259  minveclem3  23415  ovollb2lem  23472  ovolunlem2  23482  uniioombl  23573  itg2cnlem2  23745  itg2cn  23746  lhop1lem  23992  lhop1  23993  aaliou2b  24312  ulmcn  24369  pserdvlem1  24397  pserdv  24399  cxpcn3lem  24705  lgamgulmlem3  24974  lgamucov  24981  ftalem2  25017  bposlem7  25232  bposlem9  25234  lgsquadlem2  25323  chebbnd1lem2  25376  pntibndlem3  25498  pntibnd  25499  pntlemr  25508  lt2addrd  29852  tpr2rico  30294  knoppndvlem17  32852  tan2h  33730  mblfinlem4  33778  sstotbnd2  33901  dstregt0  40008  suplesup  40068  infleinf  40101  lptre2pt  40387  0ellimcdiv  40396  limsupgtlem  40524  ioodvbdlimc1lem2  40662  ioodvbdlimc2lem  40664  stoweidlem62  40793  stirlinglem1  40805
  Copyright terms: Public domain W3C validator