Theorem rphalfcld 12890

Description: Closure law for half of a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rphalfcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rphalfcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rphalfcl 12863	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7342   / cdiv 11738  2c2 12134  ℝ⁺crp 12836

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5248  ax-nul 5255  ax-pow 5313  ax-pr 5377  ax-un 7655  ax-resscn 11034  ax-1cn 11035  ax-icn 11036  ax-addcl 11037  ax-addrcl 11038  ax-mulcl 11039  ax-mulrcl 11040  ax-mulcom 11041  ax-addass 11042  ax-mulass 11043  ax-distr 11044  ax-i2m1 11045  ax-1ne0 11046  ax-1rid 11047  ax-rnegex 11048  ax-rrecex 11049  ax-cnre 11050  ax-pre-lttri 11051  ax-pre-lttrn 11052  ax-pre-ltadd 11053  ax-pre-mulgt0 11054

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3732  df-csb 3848  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4275  df-if 4479  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4858  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5181  df-id 5523  df-po 5537  df-so 5538  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6436  df-fun 6486  df-fn 6487  df-f 6488  df-f1 6489  df-fo 6490  df-f1o 6491  df-fv 6492  df-riota 7298  df-ov 7345  df-oprab 7346  df-mpo 7347  df-er 8574  df-en 8810  df-dom 8811  df-sdom 8812  df-pnf 11117  df-mnf 11118  df-xr 11119  df-ltxr 11120  df-le 11121  df-sub 11313  df-neg 11314  df-div 11739  df-2 12142  df-rp 12837

This theorem is referenced by:  nnesq  14048  rlimuni  15359  climuni  15361  reccn2  15406  iseralt  15496  mertenslem1  15696  mertenslem2  15697  ege2le3  15899  rpcoshcl  15966  sqrt2irrlem  16057  4sqlem7  16743  ssblex  23687  methaus  23782  met2ndci  23784  metustexhalf  23818  cfilucfil  23821  nlmvscnlem2  23955  nlmvscnlem1  23956  nrginvrcnlem  23961  reperflem  24087  icccmplem2  24092  metdcnlem  24105  metnrmlem2  24129  metnrmlem3  24130  ipcnlem2  24514  ipcnlem1  24515  minveclem3  24699  ovollb2lem  24758  ovolunlem2  24768  uniioombl  24859  itg2cnlem2  25033  itg2cn  25034  lhop1lem  25283  lhop1  25284  aaliou2b  25607  ulmcn  25664  pserdvlem1  25692  pserdv  25694  cxpcn3lem  26006  lgamgulmlem3  26286  lgamucov  26293  ftalem2  26329  bposlem7  26544  bposlem9  26546  lgsquadlem2  26635  chebbnd1lem2  26724  pntibndlem3  26846  pntibnd  26847  pntlemr  26856  lt2addrd  31359  tpr2rico  32158  knoppndvlem17  34845  tan2h  35923  mblfinlem4  35971  sstotbnd2  36086  3lexlogpow2ineq2  40370  dstregt0  43205  suplesup  43263  infleinf  43296  lptre2pt  43567  0ellimcdiv  43576  limsupgtlem  43704  ioodvbdlimc1lem2  43859  ioodvbdlimc2lem  43861  stoweidlem62  43989  stirlinglem1  44001