Theorem rphalfcld 12946

Description: Closure law for half of a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rphalfcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rphalfcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rphalfcl 12919	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7346   / cdiv 11774  2c2 12180  ℝ⁺crp 12890

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-po 5522  df-so 5523  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-2 12188  df-rp 12891

This theorem is referenced by:  nnesq  14134  rlimuni  15457  climuni  15459  reccn2  15504  iseralt  15592  mertenslem1  15791  mertenslem2  15792  ege2le3  15997  rpcoshcl  16066  sqrt2irrlem  16157  4sqlem7  16856  ssblex  24343  methaus  24435  met2ndci  24437  metustexhalf  24471  cfilucfil  24474  nlmvscnlem2  24600  nlmvscnlem1  24601  nrginvrcnlem  24606  reperflem  24734  icccmplem2  24739  metdcnlem  24752  metnrmlem2  24776  metnrmlem3  24777  ipcnlem2  25171  ipcnlem1  25172  minveclem3  25356  ovollb2lem  25416  ovolunlem2  25426  uniioombl  25517  itg2cnlem2  25690  itg2cn  25691  lhop1lem  25945  lhop1  25946  aaliou2b  26276  ulmcn  26335  pserdvlem1  26364  pserdv  26366  cxpcn3lem  26684  lgamgulmlem3  26968  lgamucov  26975  ftalem2  27011  bposlem7  27228  bposlem9  27230  lgsquadlem2  27319  chebbnd1lem2  27408  pntibndlem3  27530  pntibnd  27531  pntlemr  27540  lt2addrd  32734  tpr2rico  33925  knoppndvlem17  36572  tan2h  37651  mblfinlem4  37699  sstotbnd2  37813  3lexlogpow2ineq2  42151  dstregt0  45382  suplesup  45437  infleinf  45469  lptre2pt  45737  0ellimcdiv  45746  limsupgtlem  45874  ioodvbdlimc1lem2  46029  ioodvbdlimc2lem  46031  stoweidlem62  46159  stirlinglem1  46171