MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rphalfcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rphalfcld 12784
Description: Closure law for half of a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
rpred.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
rphalfcld (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rphalfcld
StepHypRef Expression
1 rpred.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
2 rphalfcl 12757 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)
31, 2syl 17 1 (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2106  (class class class)co 7275   / cdiv 11632  2c2 12028  +crp 12730
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-2 12036  df-rp 12731
This theorem is referenced by:  nnesq  13942  rlimuni  15259  climuni  15261  reccn2  15306  iseralt  15396  mertenslem1  15596  mertenslem2  15597  ege2le3  15799  rpcoshcl  15866  sqrt2irrlem  15957  4sqlem7  16645  ssblex  23581  methaus  23676  met2ndci  23678  metustexhalf  23712  cfilucfil  23715  nlmvscnlem2  23849  nlmvscnlem1  23850  nrginvrcnlem  23855  reperflem  23981  icccmplem2  23986  metdcnlem  23999  metnrmlem2  24023  metnrmlem3  24024  ipcnlem2  24408  ipcnlem1  24409  minveclem3  24593  ovollb2lem  24652  ovolunlem2  24662  uniioombl  24753  itg2cnlem2  24927  itg2cn  24928  lhop1lem  25177  lhop1  25178  aaliou2b  25501  ulmcn  25558  pserdvlem1  25586  pserdv  25588  cxpcn3lem  25900  lgamgulmlem3  26180  lgamucov  26187  ftalem2  26223  bposlem7  26438  bposlem9  26440  lgsquadlem2  26529  chebbnd1lem2  26618  pntibndlem3  26740  pntibnd  26741  pntlemr  26750  lt2addrd  31074  tpr2rico  31862  knoppndvlem17  34708  tan2h  35769  mblfinlem4  35817  sstotbnd2  35932  3lexlogpow2ineq2  40067  dstregt0  42820  suplesup  42878  infleinf  42911  lptre2pt  43181  0ellimcdiv  43190  limsupgtlem  43318  ioodvbdlimc1lem2  43473  ioodvbdlimc2lem  43475  stoweidlem62  43603  stirlinglem1  43615
  Copyright terms: Public domain W3C validator