Theorem rphalfcld 12993

Description: Closure law for half of a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rphalfcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rphalfcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rphalfcl 12966	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2121  (class class class)co 7359   / cdiv 11803  2c2 12231  ℝ⁺crp 12937

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7681  ax-resscn 11091  ax-1cn 11092  ax-icn 11093  ax-addcl 11094  ax-addrcl 11095  ax-mulcl 11096  ax-mulrcl 11097  ax-mulcom 11098  ax-addass 11099  ax-mulass 11100  ax-distr 11101  ax-i2m1 11102  ax-1ne0 11103  ax-1rid 11104  ax-rnegex 11105  ax-rrecex 11106  ax-cnre 11107  ax-pre-lttri 11108  ax-pre-lttrn 11109  ax-pre-ltadd 11110  ax-pre-mulgt0 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-csb 3833  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-id 5515  df-po 5528  df-so 5529  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7316  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-mpo 7364  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11177  df-mnf 11178  df-xr 11179  df-ltxr 11180  df-le 11181  df-sub 11375  df-neg 11376  df-div 11804  df-2 12239  df-rp 12938

This theorem is referenced by:  nnesq  14184  rlimuni  15507  climuni  15509  reccn2  15554  iseralt  15642  mertenslem1  15844  mertenslem2  15845  ege2le3  16050  rpcoshcl  16119  sqrt2irrlem  16210  4sqlem7  16910  ssblex  24414  methaus  24506  met2ndci  24508  metustexhalf  24542  cfilucfil  24545  nlmvscnlem2  24671  nlmvscnlem1  24672  nrginvrcnlem  24677  reperflem  24805  icccmplem2  24810  metdcnlem  24823  metnrmlem2  24847  metnrmlem3  24848  ipcnlem2  25232  ipcnlem1  25233  minveclem3  25417  ovollb2lem  25476  ovolunlem2  25486  uniioombl  25577  itg2cnlem2  25750  itg2cn  25751  lhop1lem  26001  lhop1  26002  aaliou2b  26328  ulmcn  26385  pserdvlem1  26413  pserdv  26415  cxpcn3lem  26732  lgamgulmlem3  27015  lgamucov  27022  ftalem2  27058  bposlem7  27274  bposlem9  27276  lgsquadlem2  27365  chebbnd1lem2  27454  pntibndlem3  27576  pntibnd  27577  pntlemr  27586  lt2addrd  32844  tpr2rico  34106  knoppndvlem17  36847  tan2h  37992  mblfinlem4  38040  sstotbnd2  38154  3lexlogpow2ineq2  42557  dstregt0  45742  suplesup  45796  infleinf  45828  lptre2pt  46095  0ellimcdiv  46104  limsupgtlem  46232  ioodvbdlimc1lem2  46387  ioodvbdlimc2lem  46389  stoweidlem62  46517  stirlinglem1  46529