Theorem rphalfcld 13078

Description: Closure law for half of a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rphalfcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rphalfcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rphalfcl 13051	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2142  (class class class)co 7412   / cdiv 11877  2c2 12301  ℝ⁺crp 13022

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-div 11878  df-nn 12240  df-2 12309  df-rp 13023

This theorem is used by:  nnesq  14270  rlimuni  15608  climuni  15610  reccn2  15655  iseralt  15743  mertenslem1  15945  mertenslem2  15946  ege2le3  16150  rpcoshcl  16219  sqrt2irrlem  16310  4sqlem7  17010  ssblex  24596  methaus  24688  met2ndci  24690  metustexhalf  24724  cfilucfil  24727  nlmvscnlem2  24853  nlmvscnlem1  24854  nrginvrcnlem  24859  reperflem  24987  icccmplem2  24992  metdcnlem  25005  metnrmlem2  25029  metnrmlem3  25030  ipcnlem2  25414  ipcnlem1  25415  minveclem3  25599  ovollb2lem  25658  ovolunlem2  25668  uniioombl  25759  itg2cnlem2  25932  itg2cn  25933  lhop1lem  26183  lhop1  26184  aaliou2b  26515  ulmcn  26573  pserdvlem1  26601  pserdv  26603  cxpcn3lem  26923  lgamgulmlem3  27206  lgamucov  27213  ftalem2  27249  bposlem7  27465  bposlem9  27467  lgsquadlem2  27556  chebbnd1lem2  27645  pntibndlem3  27767  pntibnd  27768  pntlemr  27777  lt2addrd  33106  tpr2rico  34311  knoppndvlem17  37145  tan2h  38291  mblfinlem4  38339  sstotbnd2  38453  3lexlogpow2ineq2  42854  dstregt0  46029  suplesup  46083  infleinf  46115  lptre2pt  46382  0ellimcdiv  46391  limsupgtlem  46519  ioodvbdlimc1lem2  46674  ioodvbdlimc2lem  46676  stoweidlem62  46804  stirlinglem1  46816