Theorem rphalfcld 13176

Description: Closure law for half of a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rphalfcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rphalfcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rphalfcl 13149	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144  (class class class)co 7420   / cdiv 11973  2c2 12397  ℝ⁺crp 13120

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-rp 13121

This theorem is used by:  nnesq  14371  rlimuni  15717  climuni  15719  reccn2  15764  iseralt  15852  mertenslem1  16053  mertenslem2  16054  ege2le3  16256  rpcoshcl  16325  sqrt2irrlem  16416  4sqlem7  17122  ssblex  24747  methaus  24839  met2ndci  24841  metustexhalf  24875  cfilucfil  24878  nlmvscnlem2  25004  nlmvscnlem1  25005  nrginvrcnlem  25010  reperflem  25138  icccmplem2  25143  metdcnlem  25156  metnrmlem2  25180  metnrmlem3  25181  ipcnlem2  25565  ipcnlem1  25566  minveclem3  25750  ovollb2lem  25809  ovolunlem2  25819  uniioombl  25910  itg2cnlem2  26083  itg2cn  26084  lhop1lem  26333  lhop1  26334  aaliou2b  26668  ulmcn  26726  pserdvlem1  26754  pserdv  26756  cxpcn3lem  27075  lgamgulmlem3  27358  lgamucov  27365  ftalem2  27401  bposlem7  27617  bposlem9  27619  lgsquadlem2  27708  chebbnd1lem2  27797  pntibndlem3  27919  pntibnd  27920  pntlemr  27929  lt2addrd  33384  tpr2rico  34586  knoppndvlem17  37436  tan2h  38578  mblfinlem4  38621  sstotbnd2  38751  3lexlogpow2ineq2  43152  dstregt0  46341  suplesup  46394  infleinf  46426  lptre2pt  46693  0ellimcdiv  46702  limsupgtlem  46830  ioodvbdlimc1lem2  46985  ioodvbdlimc2lem  46987  stoweidlem62  47115  stirlinglem1  47127