Theorem rphalfcld 13068

Description: Closure law for half of a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rphalfcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rphalfcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rphalfcl 13041	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2149  (class class class)co 7408   / cdiv 11867  2c2 12291  ℝ⁺crp 13012

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-div 11868  df-nn 12230  df-2 12299  df-rp 13013

This theorem is referenced by:  nnesq  14259  rlimuni  15597  climuni  15599  reccn2  15644  iseralt  15732  mertenslem1  15934  mertenslem2  15935  ege2le3  16140  rpcoshcl  16209  sqrt2irrlem  16300  4sqlem7  17000  ssblex  24550  methaus  24642  met2ndci  24644  metustexhalf  24678  cfilucfil  24681  nlmvscnlem2  24807  nlmvscnlem1  24808  nrginvrcnlem  24813  reperflem  24941  icccmplem2  24946  metdcnlem  24959  metnrmlem2  24983  metnrmlem3  24984  ipcnlem2  25368  ipcnlem1  25369  minveclem3  25553  ovollb2lem  25612  ovolunlem2  25622  uniioombl  25713  itg2cnlem2  25886  itg2cn  25887  lhop1lem  26137  lhop1  26138  aaliou2b  26467  ulmcn  26524  pserdvlem1  26552  pserdv  26554  cxpcn3lem  26874  lgamgulmlem3  27157  lgamucov  27164  ftalem2  27200  bposlem7  27416  bposlem9  27418  lgsquadlem2  27507  chebbnd1lem2  27596  pntibndlem3  27718  pntibnd  27719  pntlemr  27728  lt2addrd  33032  tpr2rico  34243  knoppndvlem17  37002  tan2h  38146  mblfinlem4  38194  sstotbnd2  38308  3lexlogpow2ineq2  42711  dstregt0  45886  suplesup  45940  infleinf  45972  lptre2pt  46239  0ellimcdiv  46248  limsupgtlem  46376  ioodvbdlimc1lem2  46531  ioodvbdlimc2lem  46533  stoweidlem62  46661  stirlinglem1  46673