Theorem rphalfcld 12983

Description: Closure law for half of a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rphalfcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rphalfcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rphalfcl 12956	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7369   / cdiv 11811  2c2 12217  ℝ⁺crp 12927

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-2 12225  df-rp 12928

This theorem is referenced by:  nnesq  14168  rlimuni  15492  climuni  15494  reccn2  15539  iseralt  15627  mertenslem1  15826  mertenslem2  15827  ege2le3  16032  rpcoshcl  16101  sqrt2irrlem  16192  4sqlem7  16891  ssblex  24349  methaus  24441  met2ndci  24443  metustexhalf  24477  cfilucfil  24480  nlmvscnlem2  24606  nlmvscnlem1  24607  nrginvrcnlem  24612  reperflem  24740  icccmplem2  24745  metdcnlem  24758  metnrmlem2  24782  metnrmlem3  24783  ipcnlem2  25177  ipcnlem1  25178  minveclem3  25362  ovollb2lem  25422  ovolunlem2  25432  uniioombl  25523  itg2cnlem2  25696  itg2cn  25697  lhop1lem  25951  lhop1  25952  aaliou2b  26282  ulmcn  26341  pserdvlem1  26370  pserdv  26372  cxpcn3lem  26690  lgamgulmlem3  26974  lgamucov  26981  ftalem2  27017  bposlem7  27234  bposlem9  27236  lgsquadlem2  27325  chebbnd1lem2  27414  pntibndlem3  27536  pntibnd  27537  pntlemr  27546  lt2addrd  32724  tpr2rico  33895  knoppndvlem17  36509  tan2h  37599  mblfinlem4  37647  sstotbnd2  37761  3lexlogpow2ineq2  42040  dstregt0  45273  suplesup  45328  infleinf  45361  lptre2pt  45631  0ellimcdiv  45640  limsupgtlem  45768  ioodvbdlimc1lem2  45923  ioodvbdlimc2lem  45925  stoweidlem62  46053  stirlinglem1  46065