Theorem rphalfcld 12963

Description: Closure law for half of a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rphalfcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rphalfcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rphalfcl 12936	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7358   / cdiv 11796  2c2 12202  ℝ⁺crp 12907

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5518  df-po 5531  df-so 5532  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8635  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-2 12210  df-rp 12908

This theorem is referenced by:  nnesq  14152  rlimuni  15475  climuni  15477  reccn2  15522  iseralt  15610  mertenslem1  15809  mertenslem2  15810  ege2le3  16015  rpcoshcl  16084  sqrt2irrlem  16175  4sqlem7  16874  ssblex  24374  methaus  24466  met2ndci  24468  metustexhalf  24502  cfilucfil  24505  nlmvscnlem2  24631  nlmvscnlem1  24632  nrginvrcnlem  24637  reperflem  24765  icccmplem2  24770  metdcnlem  24783  metnrmlem2  24807  metnrmlem3  24808  ipcnlem2  25202  ipcnlem1  25203  minveclem3  25387  ovollb2lem  25447  ovolunlem2  25457  uniioombl  25548  itg2cnlem2  25721  itg2cn  25722  lhop1lem  25976  lhop1  25977  aaliou2b  26307  ulmcn  26366  pserdvlem1  26395  pserdv  26397  cxpcn3lem  26715  lgamgulmlem3  26999  lgamucov  27006  ftalem2  27042  bposlem7  27259  bposlem9  27261  lgsquadlem2  27350  chebbnd1lem2  27439  pntibndlem3  27561  pntibnd  27562  pntlemr  27571  lt2addrd  32809  tpr2rico  34048  knoppndvlem17  36701  tan2h  37782  mblfinlem4  37830  sstotbnd2  37944  3lexlogpow2ineq2  42348  dstregt0  45567  suplesup  45621  infleinf  45653  lptre2pt  45921  0ellimcdiv  45930  limsupgtlem  46058  ioodvbdlimc1lem2  46213  ioodvbdlimc2lem  46215  stoweidlem62  46343  stirlinglem1  46355