Theorem rphalfcld 12713

Description: Closure law for half of a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rphalfcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rphalfcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rphalfcl 12686	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7255   / cdiv 11562  2c2 11958  ℝ⁺crp 12659

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-2 11966  df-rp 12660

This theorem is referenced by:  nnesq  13870  rlimuni  15187  climuni  15189  reccn2  15234  iseralt  15324  mertenslem1  15524  mertenslem2  15525  ege2le3  15727  rpcoshcl  15794  sqrt2irrlem  15885  4sqlem7  16573  ssblex  23489  methaus  23582  met2ndci  23584  metustexhalf  23618  cfilucfil  23621  nlmvscnlem2  23755  nlmvscnlem1  23756  nrginvrcnlem  23761  reperflem  23887  icccmplem2  23892  metdcnlem  23905  metnrmlem2  23929  metnrmlem3  23930  ipcnlem2  24313  ipcnlem1  24314  minveclem3  24498  ovollb2lem  24557  ovolunlem2  24567  uniioombl  24658  itg2cnlem2  24832  itg2cn  24833  lhop1lem  25082  lhop1  25083  aaliou2b  25406  ulmcn  25463  pserdvlem1  25491  pserdv  25493  cxpcn3lem  25805  lgamgulmlem3  26085  lgamucov  26092  ftalem2  26128  bposlem7  26343  bposlem9  26345  lgsquadlem2  26434  chebbnd1lem2  26523  pntibndlem3  26645  pntibnd  26646  pntlemr  26655  lt2addrd  30976  tpr2rico  31764  knoppndvlem17  34635  tan2h  35696  mblfinlem4  35744  sstotbnd2  35859  3lexlogpow2ineq2  39995  dstregt0  42709  suplesup  42768  infleinf  42801  lptre2pt  43071  0ellimcdiv  43080  limsupgtlem  43208  ioodvbdlimc1lem2  43363  ioodvbdlimc2lem  43365  stoweidlem62  43493  stirlinglem1  43505