Theorem rphalfcld 13071

Description: Closure law for half of a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rphalfcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rphalfcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rphalfcl 13044	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2141  (class class class)co 7410   / cdiv 11870  2c2 12294  ℝ⁺crp 13015

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-rp 13016

This theorem is referenced by:  nnesq  14262  rlimuni  15600  climuni  15602  reccn2  15647  iseralt  15735  mertenslem1  15937  mertenslem2  15938  ege2le3  16143  rpcoshcl  16212  sqrt2irrlem  16303  4sqlem7  17003  ssblex  24564  methaus  24656  met2ndci  24658  metustexhalf  24692  cfilucfil  24695  nlmvscnlem2  24821  nlmvscnlem1  24822  nrginvrcnlem  24827  reperflem  24955  icccmplem2  24960  metdcnlem  24973  metnrmlem2  24997  metnrmlem3  24998  ipcnlem2  25382  ipcnlem1  25383  minveclem3  25567  ovollb2lem  25626  ovolunlem2  25636  uniioombl  25727  itg2cnlem2  25900  itg2cn  25901  lhop1lem  26151  lhop1  26152  aaliou2b  26481  ulmcn  26538  pserdvlem1  26566  pserdv  26568  cxpcn3lem  26888  lgamgulmlem3  27171  lgamucov  27178  ftalem2  27214  bposlem7  27430  bposlem9  27432  lgsquadlem2  27521  chebbnd1lem2  27610  pntibndlem3  27732  pntibnd  27733  pntlemr  27742  lt2addrd  33061  tpr2rico  34268  knoppndvlem17  37061  tan2h  38207  mblfinlem4  38255  sstotbnd2  38369  3lexlogpow2ineq2  42772  dstregt0  45949  suplesup  46003  infleinf  46035  lptre2pt  46302  0ellimcdiv  46311  limsupgtlem  46439  ioodvbdlimc1lem2  46594  ioodvbdlimc2lem  46596  stoweidlem62  46724  stirlinglem1  46736