MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mopni3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mopni3 22791
Description: An open set of a metric space includes an arbitrarily small ball around each of its points. (Contributed by NM, 20-Sep-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
mopni.1 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
mopni3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝐽𝑃𝐴) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ (𝑥 < 𝑅 ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ 𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐷   𝑥,𝐽   𝑥,𝑅   𝑥,𝑃   𝑥,𝑋

Proof of Theorem mopni3
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mopni.1 . . . 4 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
21mopni2 22790 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝐽𝑃𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝐴)
32adantr 481 . 2 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝐽𝑃𝐴) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝐴)
4 simp1 1129 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝐽𝑃𝐴) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
51mopnss 22743 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝐽) → 𝐴𝑋)
65sselda 3895 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝐽) ∧ 𝑃𝐴) → 𝑃𝑋)
763impa 1103 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝐽𝑃𝐴) → 𝑃𝑋)
84, 7jca 512 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝐽𝑃𝐴) → (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋))
9 ssblex 22725 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+)) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ (𝑥 < 𝑅 ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ (𝑃(ball‘𝐷)𝑦)))
108, 9sylan 580 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝐽𝑃𝐴) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+)) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ (𝑥 < 𝑅 ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ (𝑃(ball‘𝐷)𝑦)))
1110anassrs 468 . . . 4 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝐽𝑃𝐴) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ (𝑥 < 𝑅 ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ (𝑃(ball‘𝐷)𝑦)))
12 sstr 3903 . . . . . . 7 (((𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ (𝑃(ball‘𝐷)𝑦) ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝐴) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ 𝐴)
1312expcom 414 . . . . . 6 ((𝑃(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝐴 → ((𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ (𝑃(ball‘𝐷)𝑦) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ 𝐴))
1413anim2d 611 . . . . 5 ((𝑃(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝐴 → ((𝑥 < 𝑅 ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ (𝑃(ball‘𝐷)𝑦)) → (𝑥 < 𝑅 ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ 𝐴)))
1514reximdv 3238 . . . 4 ((𝑃(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝐴 → (∃𝑥 ∈ ℝ+ (𝑥 < 𝑅 ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ (𝑃(ball‘𝐷)𝑦)) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ (𝑥 < 𝑅 ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ 𝐴)))
1611, 15syl5com 31 . . 3 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝐽𝑃𝐴) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((𝑃(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℝ+ (𝑥 < 𝑅 ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ 𝐴)))
1716rexlimdva 3249 . 2 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝐽𝑃𝐴) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℝ+ (𝑥 < 𝑅 ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ 𝐴)))
183, 17mpd 15 1 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝐽𝑃𝐴) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ (𝑥 < 𝑅 ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1080   = wceq 1525  wcel 2083  wrex 3108  wss 3865   class class class wbr 4968  cfv 6232  (class class class)co 7023   < clt 10528  +crp 12243  ∞Metcxmet 20216  ballcbl 20218  MetOpencmopn 20221
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-cnex 10446  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467  ax-pre-sup 10468
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-iun 4833  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-om 7444  df-1st 7552  df-2nd 7553  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-er 8146  df-map 8265  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-sup 8759  df-inf 8760  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726  df-div 11152  df-nn 11493  df-2 11554  df-n0 11752  df-z 11836  df-uz 12098  df-q 12202  df-rp 12244  df-xneg 12361  df-xadd 12362  df-xmul 12363  df-topgen 16550  df-psmet 20223  df-xmet 20224  df-bl 20226  df-mopn 20227  df-top 21190  df-topon 21207  df-bases 21242
This theorem is referenced by:  bcthlem5  23618  lhop1lem  24297  ulmdvlem3  24677  efopn  24926  opnrebl2  33280
  Copyright terms: Public domain W3C validator