Theorem mopni3 24723

Description: An open set of a metric space includes an arbitrarily small ball around each of its points. (Contributed by NM, 20-Sep-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
mopni.1	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
mopni3	⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ (𝑥 < 𝑅 ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐷   𝑥,𝐽   𝑥,𝑅   𝑥,𝑃   𝑥,𝑋

Proof of Theorem mopni3

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mopni.1	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
2	1	mopni2 24722	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝐴)
3	2	adantr 486	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝐴)
4		simp1 1154	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
5	1	mopnss 24675	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → 𝐴 ⊆ 𝑋)
6	5	sselda 3931	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ 𝑋)
7	6	3impa 1127	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ 𝑋)
8	4, 7	jca 521	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋))
9		ssblex 24657	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ (𝑥 < 𝑅 ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ (𝑃(ball‘𝐷)𝑦)))
10	8, 9	sylan 592	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ (𝑥 < 𝑅 ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ (𝑃(ball‘𝐷)𝑦)))
11	10	anassrs 473	. . . 4 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ (𝑥 < 𝑅 ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ (𝑃(ball‘𝐷)𝑦)))
12		sstr 3939	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ (𝑃(ball‘𝐷)𝑦) ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝐴) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ 𝐴)
13	12	expcom 419	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝐴 → ((𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ (𝑃(ball‘𝐷)𝑦) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ 𝐴))
14	13	anim2d 624	. . . . 5 ⊢ ((𝑃(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝐴 → ((𝑥 < 𝑅 ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ (𝑃(ball‘𝐷)𝑦)) → (𝑥 < 𝑅 ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ 𝐴)))
15	14	reximdv 3177	. . . 4 ⊢ ((𝑃(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝐴 → (∃𝑥 ∈ ℝ+ (𝑥 < 𝑅 ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ (𝑃(ball‘𝐷)𝑦)) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ (𝑥 < 𝑅 ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ 𝐴)))
16	11, 15	syl5com 32	. . 3 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((𝑃(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℝ+ (𝑥 < 𝑅 ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ 𝐴)))
17	16	rexlimdva 3163	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℝ+ (𝑥 < 𝑅 ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ 𝐴)))
18	3, 17	mpd 16	1 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ (𝑥 < 𝑅 ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3086   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414   < clt 11270  ℝ⁺crp 13045  ∞Metcxmet 21573  ballcbl 21575  MetOpencmopn 21578

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8699  df-map 8831  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-sup 9415  df-inf 9416  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-q 13001  df-rp 13046  df-xneg 13166  df-xadd 13167  df-xmul 13168  df-topgen 17531  df-psmet 21580  df-xmet 21581  df-bl 21583  df-mopn 21584  df-top 23122  df-topon 23139  df-bases 23174

This theorem is used by:  bcthlem5  25559  lhop1lem  26243  ulmdvlem3  26641  efopn  26898  opnrebl2  36943