MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mopni3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mopni3 24416
Description: An open set of a metric space includes an arbitrarily small ball around each of its points. (Contributed by NM, 20-Sep-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
mopni.1 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
Assertion
Ref Expression
mopni3 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ (π‘₯ < 𝑅 ∧ (𝑃(ballβ€˜π·)π‘₯) βŠ† 𝐴))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐷   π‘₯,𝐽   π‘₯,𝑅   π‘₯,𝑃   π‘₯,𝑋

Proof of Theorem mopni3
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mopni.1 . . . 4 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
21mopni2 24415 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑦) βŠ† 𝐴)
32adantr 480 . 2 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑦) βŠ† 𝐴)
4 simp1 1134 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
51mopnss 24365 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) β†’ 𝐴 βŠ† 𝑋)
65sselda 3980 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ 𝑃 ∈ 𝑋)
763impa 1108 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ 𝑃 ∈ 𝑋)
84, 7jca 511 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋))
9 ssblex 24347 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ (π‘₯ < 𝑅 ∧ (𝑃(ballβ€˜π·)π‘₯) βŠ† (𝑃(ballβ€˜π·)𝑦)))
108, 9sylan 579 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ (π‘₯ < 𝑅 ∧ (𝑃(ballβ€˜π·)π‘₯) βŠ† (𝑃(ballβ€˜π·)𝑦)))
1110anassrs 467 . . . 4 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ (π‘₯ < 𝑅 ∧ (𝑃(ballβ€˜π·)π‘₯) βŠ† (𝑃(ballβ€˜π·)𝑦)))
12 sstr 3988 . . . . . . 7 (((𝑃(ballβ€˜π·)π‘₯) βŠ† (𝑃(ballβ€˜π·)𝑦) ∧ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑦) βŠ† 𝐴) β†’ (𝑃(ballβ€˜π·)π‘₯) βŠ† 𝐴)
1312expcom 413 . . . . . 6 ((𝑃(ballβ€˜π·)𝑦) βŠ† 𝐴 β†’ ((𝑃(ballβ€˜π·)π‘₯) βŠ† (𝑃(ballβ€˜π·)𝑦) β†’ (𝑃(ballβ€˜π·)π‘₯) βŠ† 𝐴))
1413anim2d 611 . . . . 5 ((𝑃(ballβ€˜π·)𝑦) βŠ† 𝐴 β†’ ((π‘₯ < 𝑅 ∧ (𝑃(ballβ€˜π·)π‘₯) βŠ† (𝑃(ballβ€˜π·)𝑦)) β†’ (π‘₯ < 𝑅 ∧ (𝑃(ballβ€˜π·)π‘₯) βŠ† 𝐴)))
1514reximdv 3167 . . . 4 ((𝑃(ballβ€˜π·)𝑦) βŠ† 𝐴 β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ (π‘₯ < 𝑅 ∧ (𝑃(ballβ€˜π·)π‘₯) βŠ† (𝑃(ballβ€˜π·)𝑦)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ (π‘₯ < 𝑅 ∧ (𝑃(ballβ€˜π·)π‘₯) βŠ† 𝐴)))
1611, 15syl5com 31 . . 3 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ ((𝑃(ballβ€˜π·)𝑦) βŠ† 𝐴 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ (π‘₯ < 𝑅 ∧ (𝑃(ballβ€˜π·)π‘₯) βŠ† 𝐴)))
1716rexlimdva 3152 . 2 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑦) βŠ† 𝐴 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ (π‘₯ < 𝑅 ∧ (𝑃(ballβ€˜π·)π‘₯) βŠ† 𝐴)))
183, 17mpd 15 1 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ (π‘₯ < 𝑅 ∧ (𝑃(ballβ€˜π·)π‘₯) βŠ† 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆƒwrex 3067   βŠ† wss 3947   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420   < clt 11279  β„+crp 13007  βˆžMetcxmet 21264  ballcbl 21266  MetOpencmopn 21269
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9466  df-inf 9467  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-q 12964  df-rp 13008  df-xneg 13125  df-xadd 13126  df-xmul 13127  df-topgen 17425  df-psmet 21271  df-xmet 21272  df-bl 21274  df-mopn 21275  df-top 22809  df-topon 22826  df-bases 22862
This theorem is referenced by:  bcthlem5  25269  lhop1lem  25959  ulmdvlem3  26351  efopn  26605  opnrebl2  35805
  Copyright terms: Public domain W3C validator