Theorem tsmsid 24037

Description: If a sum is finite, the usual sum is always a limit point of the topological sum (although it may not be the only limit point). (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.) (Revised by AV, 24-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tsmsid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
tsmsid.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
tsmsid.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
tsmsid.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopSp)
tsmsid.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
tsmsid.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
tsmsid.w	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
tsmsid	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ (𝐺 tsums 𝐹))

Proof of Theorem tsmsid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tsmsid.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopSp)
2		tsmsid.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		eqid 2728	. . . . . . 7 ⊢ (TopOpen‘𝐺) = (TopOpen‘𝐺)
4	2, 3	istps 22829	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ TopSp ↔ (TopOpen‘𝐺) ∈ (TopOn‘𝐵))
5	1, 4	sylib 217	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘𝐺) ∈ (TopOn‘𝐵))
6		topontop 22808	. . . . 5 ⊢ ((TopOpen‘𝐺) ∈ (TopOn‘𝐵) → (TopOpen‘𝐺) ∈ Top)
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘𝐺) ∈ Top)
8		tsmsid.z	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
9		tsmsid.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
10		tsmsid.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
11		tsmsid.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
12		tsmsid.w	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
13	2, 8, 9, 10, 11, 12	gsumcl 19863	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝐵)
14	13	snssd 4808	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {(𝐺 Σg 𝐹)} ⊆ 𝐵)
15		toponuni 22809	. . . . . 6 ⊢ ((TopOpen‘𝐺) ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 = ∪ (TopOpen‘𝐺))
16	5, 15	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ∪ (TopOpen‘𝐺))
17	14, 16	sseqtrd 4018	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {(𝐺 Σg 𝐹)} ⊆ ∪ (TopOpen‘𝐺))
18		eqid 2728	. . . . 5 ⊢ ∪ (TopOpen‘𝐺) = ∪ (TopOpen‘𝐺)
19	18	sscls 22953	. . . 4 ⊢ (((TopOpen‘𝐺) ∈ Top ∧ {(𝐺 Σg 𝐹)} ⊆ ∪ (TopOpen‘𝐺)) → {(𝐺 Σg 𝐹)} ⊆ ((cls‘(TopOpen‘𝐺))‘{(𝐺 Σg 𝐹)}))
20	7, 17, 19	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → {(𝐺 Σg 𝐹)} ⊆ ((cls‘(TopOpen‘𝐺))‘{(𝐺 Σg 𝐹)}))
21		ovex 7447	. . . 4 ⊢ (𝐺 Σg 𝐹) ∈ V
22	21	snss 4785	. . 3 ⊢ ((𝐺 Σg 𝐹) ∈ ((cls‘(TopOpen‘𝐺))‘{(𝐺 Σg 𝐹)}) ↔ {(𝐺 Σg 𝐹)} ⊆ ((cls‘(TopOpen‘𝐺))‘{(𝐺 Σg 𝐹)}))
23	20, 22	sylibr 233	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ ((cls‘(TopOpen‘𝐺))‘{(𝐺 Σg 𝐹)}))
24	2, 8, 9, 1, 10, 11, 12, 3	tsmsgsum 24036	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) = ((cls‘(TopOpen‘𝐺))‘{(𝐺 Σg 𝐹)}))
25	23, 24	eleqtrrd 2832	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ (𝐺 tsums 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ⊆ wss 3945  {csn 4624  ∪ cuni 4903   class class class wbr 5142  ⟶wf 6538  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414   finSupp cfsupp 9379  Basecbs 17173  TopOpenctopn 17396  0_gc0g 17414   Σ_g cgsu 17415  CMndccmn 19728  Topctop 22788  TopOnctopon 22805  TopSpctps 22827  clsccl 22915   tsums ctsu 24023

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9380  df-oi 9527  df-card 9956  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12237  df-n0 12497  df-z 12583  df-uz 12847  df-fz 13511  df-fzo 13654  df-seq 13993  df-hash 14316  df-0g 17416  df-gsum 17417  df-mgm 18593  df-sgrp 18672  df-mnd 18688  df-cntz 19261  df-cmn 19730  df-fbas 21269  df-fg 21270  df-top 22789  df-topon 22806  df-topsp 22828  df-cld 22916  df-ntr 22917  df-cls 22918  df-nei 22995  df-fil 23743  df-fm 23835  df-flim 23836  df-flf 23837  df-tsms 24024

This theorem is referenced by:  haustsmsid  24038  tsms0  24039  tayl0  26289  esumgsum  33658