MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tsmsid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tsmsid 24037
Description: If a sum is finite, the usual sum is always a limit point of the topological sum (although it may not be the only limit point). (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.) (Revised by AV, 24-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tsmsid.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
tsmsid.z 0 = (0g𝐺)
tsmsid.1 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
tsmsid.2 (𝜑𝐺 ∈ TopSp)
tsmsid.a (𝜑𝐴𝑉)
tsmsid.f (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
tsmsid.w (𝜑𝐹 finSupp 0 )
Assertion
Ref Expression
tsmsid (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ (𝐺 tsums 𝐹))

Proof of Theorem tsmsid
StepHypRef Expression
1 tsmsid.2 . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ TopSp)
2 tsmsid.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐺)
3 eqid 2728 . . . . . . 7 (TopOpen‘𝐺) = (TopOpen‘𝐺)
42, 3istps 22829 . . . . . 6 (𝐺 ∈ TopSp ↔ (TopOpen‘𝐺) ∈ (TopOn‘𝐵))
51, 4sylib 217 . . . . 5 (𝜑 → (TopOpen‘𝐺) ∈ (TopOn‘𝐵))
6 topontop 22808 . . . . 5 ((TopOpen‘𝐺) ∈ (TopOn‘𝐵) → (TopOpen‘𝐺) ∈ Top)
75, 6syl 17 . . . 4 (𝜑 → (TopOpen‘𝐺) ∈ Top)
8 tsmsid.z . . . . . . 7 0 = (0g𝐺)
9 tsmsid.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
10 tsmsid.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝑉)
11 tsmsid.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
12 tsmsid.w . . . . . . 7 (𝜑𝐹 finSupp 0 )
132, 8, 9, 10, 11, 12gsumcl 19863 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝐵)
1413snssd 4808 . . . . 5 (𝜑 → {(𝐺 Σg 𝐹)} ⊆ 𝐵)
15 toponuni 22809 . . . . . 6 ((TopOpen‘𝐺) ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 = (TopOpen‘𝐺))
165, 15syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐵 = (TopOpen‘𝐺))
1714, 16sseqtrd 4018 . . . 4 (𝜑 → {(𝐺 Σg 𝐹)} ⊆ (TopOpen‘𝐺))
18 eqid 2728 . . . . 5 (TopOpen‘𝐺) = (TopOpen‘𝐺)
1918sscls 22953 . . . 4 (((TopOpen‘𝐺) ∈ Top ∧ {(𝐺 Σg 𝐹)} ⊆ (TopOpen‘𝐺)) → {(𝐺 Σg 𝐹)} ⊆ ((cls‘(TopOpen‘𝐺))‘{(𝐺 Σg 𝐹)}))
207, 17, 19syl2anc 583 . . 3 (𝜑 → {(𝐺 Σg 𝐹)} ⊆ ((cls‘(TopOpen‘𝐺))‘{(𝐺 Σg 𝐹)}))
21 ovex 7447 . . . 4 (𝐺 Σg 𝐹) ∈ V
2221snss 4785 . . 3 ((𝐺 Σg 𝐹) ∈ ((cls‘(TopOpen‘𝐺))‘{(𝐺 Σg 𝐹)}) ↔ {(𝐺 Σg 𝐹)} ⊆ ((cls‘(TopOpen‘𝐺))‘{(𝐺 Σg 𝐹)}))
2320, 22sylibr 233 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ ((cls‘(TopOpen‘𝐺))‘{(𝐺 Σg 𝐹)}))
242, 8, 9, 1, 10, 11, 12, 3tsmsgsum 24036 . 2 (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) = ((cls‘(TopOpen‘𝐺))‘{(𝐺 Σg 𝐹)}))
2523, 24eleqtrrd 2832 1 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1534  wcel 2099  wss 3945  {csn 4624   cuni 4903   class class class wbr 5142  wf 6538  cfv 6542  (class class class)co 7414   finSupp cfsupp 9379  Basecbs 17173  TopOpenctopn 17396  0gc0g 17414   Σg cgsu 17415  CMndccmn 19728  Topctop 22788  TopOnctopon 22805  TopSpctps 22827  clsccl 22915   tsums ctsu 24023
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9380  df-oi 9527  df-card 9956  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12237  df-n0 12497  df-z 12583  df-uz 12847  df-fz 13511  df-fzo 13654  df-seq 13993  df-hash 14316  df-0g 17416  df-gsum 17417  df-mgm 18593  df-sgrp 18672  df-mnd 18688  df-cntz 19261  df-cmn 19730  df-fbas 21269  df-fg 21270  df-top 22789  df-topon 22806  df-topsp 22828  df-cld 22916  df-ntr 22917  df-cls 22918  df-nei 22995  df-fil 23743  df-fm 23835  df-flim 23836  df-flf 23837  df-tsms 24024
This theorem is referenced by:  haustsmsid  24038  tsms0  24039  tayl0  26289  esumgsum  33658
  Copyright terms: Public domain W3C validator