Theorem tsmsid 23995

Description: If a sum is finite, the usual sum is always a limit point of the topological sum (although it may not be the only limit point). (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.) (Revised by AV, 24-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tsmsid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
tsmsid.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
tsmsid.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
tsmsid.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopSp)
tsmsid.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
tsmsid.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
tsmsid.w	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
tsmsid	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ (𝐺 tsums 𝐹))

Proof of Theorem tsmsid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tsmsid.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopSp)
2		tsmsid.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		eqid 2726	. . . . . . 7 ⊢ (TopOpen‘𝐺) = (TopOpen‘𝐺)
4	2, 3	istps 22787	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ TopSp ↔ (TopOpen‘𝐺) ∈ (TopOn‘𝐵))
5	1, 4	sylib 217	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘𝐺) ∈ (TopOn‘𝐵))
6		topontop 22766	. . . . 5 ⊢ ((TopOpen‘𝐺) ∈ (TopOn‘𝐵) → (TopOpen‘𝐺) ∈ Top)
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘𝐺) ∈ Top)
8		tsmsid.z	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
9		tsmsid.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
10		tsmsid.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
11		tsmsid.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
12		tsmsid.w	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
13	2, 8, 9, 10, 11, 12	gsumcl 19833	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝐵)
14	13	snssd 4807	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {(𝐺 Σg 𝐹)} ⊆ 𝐵)
15		toponuni 22767	. . . . . 6 ⊢ ((TopOpen‘𝐺) ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 = ∪ (TopOpen‘𝐺))
16	5, 15	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ∪ (TopOpen‘𝐺))
17	14, 16	sseqtrd 4017	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {(𝐺 Σg 𝐹)} ⊆ ∪ (TopOpen‘𝐺))
18		eqid 2726	. . . . 5 ⊢ ∪ (TopOpen‘𝐺) = ∪ (TopOpen‘𝐺)
19	18	sscls 22911	. . . 4 ⊢ (((TopOpen‘𝐺) ∈ Top ∧ {(𝐺 Σg 𝐹)} ⊆ ∪ (TopOpen‘𝐺)) → {(𝐺 Σg 𝐹)} ⊆ ((cls‘(TopOpen‘𝐺))‘{(𝐺 Σg 𝐹)}))
20	7, 17, 19	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → {(𝐺 Σg 𝐹)} ⊆ ((cls‘(TopOpen‘𝐺))‘{(𝐺 Σg 𝐹)}))
21		ovex 7437	. . . 4 ⊢ (𝐺 Σg 𝐹) ∈ V
22	21	snss 4784	. . 3 ⊢ ((𝐺 Σg 𝐹) ∈ ((cls‘(TopOpen‘𝐺))‘{(𝐺 Σg 𝐹)}) ↔ {(𝐺 Σg 𝐹)} ⊆ ((cls‘(TopOpen‘𝐺))‘{(𝐺 Σg 𝐹)}))
23	20, 22	sylibr 233	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ ((cls‘(TopOpen‘𝐺))‘{(𝐺 Σg 𝐹)}))
24	2, 8, 9, 1, 10, 11, 12, 3	tsmsgsum 23994	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) = ((cls‘(TopOpen‘𝐺))‘{(𝐺 Σg 𝐹)}))
25	23, 24	eleqtrrd 2830	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ (𝐺 tsums 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ⊆ wss 3943  {csn 4623  ∪ cuni 4902   class class class wbr 5141  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7404   finSupp cfsupp 9360  Basecbs 17151  TopOpenctopn 17374  0_gc0g 17392   Σ_g cgsu 17393  CMndccmn 19698  Topctop 22746  TopOnctopon 22763  TopSpctps 22785  clsccl 22873   tsums ctsu 23981

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8144  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-seq 13970  df-hash 14294  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-cntz 19231  df-cmn 19700  df-fbas 21233  df-fg 21234  df-top 22747  df-topon 22764  df-topsp 22786  df-cld 22874  df-ntr 22875  df-cls 22876  df-nei 22953  df-fil 23701  df-fm 23793  df-flim 23794  df-flf 23795  df-tsms 23982

This theorem is referenced by:  haustsmsid  23996  tsms0  23997  tayl0  26247  esumgsum  33573