Theorem tsmsid 24334

Description: If a sum is finite, the usual sum is always a limit point of the topological sum (although it may not be the only limit point). (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.) (Revised by AV, 24-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tsmsid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
tsmsid.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
tsmsid.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
tsmsid.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopSp)
tsmsid.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
tsmsid.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
tsmsid.w	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
tsmsid	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ (𝐺 tsums 𝐹))

Proof of Theorem tsmsid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tsmsid.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopSp)
2		tsmsid.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		eqid 2766	. . . . . . 7 ⊢ (TopOpen‘𝐺) = (TopOpen‘𝐺)
4	2, 3	istps 23128	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ TopSp ↔ (TopOpen‘𝐺) ∈ (TopOn‘𝐵))
5	1, 4	sylib 221	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘𝐺) ∈ (TopOn‘𝐵))
6		topontop 23107	. . . . 5 ⊢ ((TopOpen‘𝐺) ∈ (TopOn‘𝐵) → (TopOpen‘𝐺) ∈ Top)
7	5, 6	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘𝐺) ∈ Top)
8		tsmsid.z	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
9		tsmsid.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
10		tsmsid.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
11		tsmsid.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
12		tsmsid.w	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
13	2, 8, 9, 10, 11, 12	gsumcl 20016	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝐵)
14	13	snssd 4757	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {(𝐺 Σg 𝐹)} ⊆ 𝐵)
15		toponuni 23108	. . . . . 6 ⊢ ((TopOpen‘𝐺) ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 = ∪ (TopOpen‘𝐺))
16	5, 15	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ∪ (TopOpen‘𝐺))
17	14, 16	sseqtrd 3976	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {(𝐺 Σg 𝐹)} ⊆ ∪ (TopOpen‘𝐺))
18		eqid 2766	. . . . 5 ⊢ ∪ (TopOpen‘𝐺) = ∪ (TopOpen‘𝐺)
19	18	sscls 23250	. . . 4 ⊢ (((TopOpen‘𝐺) ∈ Top ∧ {(𝐺 Σg 𝐹)} ⊆ ∪ (TopOpen‘𝐺)) → {(𝐺 Σg 𝐹)} ⊆ ((cls‘(TopOpen‘𝐺))‘{(𝐺 Σg 𝐹)}))
20	7, 17, 19	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → {(𝐺 Σg 𝐹)} ⊆ ((cls‘(TopOpen‘𝐺))‘{(𝐺 Σg 𝐹)}))
21		ovex 7456	. . . 4 ⊢ (𝐺 Σg 𝐹) ∈ V
22	21	snss 4755	. . 3 ⊢ ((𝐺 Σg 𝐹) ∈ ((cls‘(TopOpen‘𝐺))‘{(𝐺 Σg 𝐹)}) ↔ {(𝐺 Σg 𝐹)} ⊆ ((cls‘(TopOpen‘𝐺))‘{(𝐺 Σg 𝐹)}))
23	20, 22	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ ((cls‘(TopOpen‘𝐺))‘{(𝐺 Σg 𝐹)}))
24	2, 8, 9, 1, 10, 11, 12, 3	tsmsgsum 24333	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) = ((cls‘(TopOpen‘𝐺))‘{(𝐺 Σg 𝐹)}))
25	23, 24	eleqtrrd 2869	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ (𝐺 tsums 𝐹))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ⊆ wss 3908  {csn 4594  ∪ cuni 4877   class class class wbr 5114  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423   finSupp cfsupp 9331  Basecbs 17294  TopOpenctopn 17499  0_gc0g 17517   Σ_g cgsu 17518  CMndccmn 19881  Topctop 23087  TopOnctopon 23104  TopSpctps 23126  clsccl 23212   tsums ctsu 24320

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-iin 4964  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8703  df-map 8835  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-oi 9482  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-seq 14058  df-hash 14387  df-0g 17519  df-gsum 17520  df-mgm 18723  df-sgrp 18806  df-mnd 18822  df-cntz 19418  df-cmn 19883  df-fbas 21556  df-fg 21557  df-top 23088  df-topon 23105  df-topsp 23127  df-cld 23213  df-ntr 23214  df-cls 23215  df-nei 23292  df-fil 24040  df-fm 24132  df-flim 24133  df-flf 24134  df-tsms 24321

This theorem is used by:  haustsmsid  24335  tsms0  24336  tayl0  26562  esumgsum  34466