Theorem tsmsid 23635

Description: If a sum is finite, the usual sum is always a limit point of the topological sum (although it may not be the only limit point). (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.) (Revised by AV, 24-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tsmsid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
tsmsid.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
tsmsid.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
tsmsid.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopSp)
tsmsid.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
tsmsid.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
tsmsid.w	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
tsmsid	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ (𝐺 tsums 𝐹))

Proof of Theorem tsmsid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tsmsid.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopSp)
2		tsmsid.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		eqid 2732	. . . . . . 7 ⊢ (TopOpen‘𝐺) = (TopOpen‘𝐺)
4	2, 3	istps 22427	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ TopSp ↔ (TopOpen‘𝐺) ∈ (TopOn‘𝐵))
5	1, 4	sylib 217	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘𝐺) ∈ (TopOn‘𝐵))
6		topontop 22406	. . . . 5 ⊢ ((TopOpen‘𝐺) ∈ (TopOn‘𝐵) → (TopOpen‘𝐺) ∈ Top)
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘𝐺) ∈ Top)
8		tsmsid.z	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
9		tsmsid.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
10		tsmsid.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
11		tsmsid.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
12		tsmsid.w	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
13	2, 8, 9, 10, 11, 12	gsumcl 19777	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝐵)
14	13	snssd 4811	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {(𝐺 Σg 𝐹)} ⊆ 𝐵)
15		toponuni 22407	. . . . . 6 ⊢ ((TopOpen‘𝐺) ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 = ∪ (TopOpen‘𝐺))
16	5, 15	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ∪ (TopOpen‘𝐺))
17	14, 16	sseqtrd 4021	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {(𝐺 Σg 𝐹)} ⊆ ∪ (TopOpen‘𝐺))
18		eqid 2732	. . . . 5 ⊢ ∪ (TopOpen‘𝐺) = ∪ (TopOpen‘𝐺)
19	18	sscls 22551	. . . 4 ⊢ (((TopOpen‘𝐺) ∈ Top ∧ {(𝐺 Σg 𝐹)} ⊆ ∪ (TopOpen‘𝐺)) → {(𝐺 Σg 𝐹)} ⊆ ((cls‘(TopOpen‘𝐺))‘{(𝐺 Σg 𝐹)}))
20	7, 17, 19	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → {(𝐺 Σg 𝐹)} ⊆ ((cls‘(TopOpen‘𝐺))‘{(𝐺 Σg 𝐹)}))
21		ovex 7438	. . . 4 ⊢ (𝐺 Σg 𝐹) ∈ V
22	21	snss 4788	. . 3 ⊢ ((𝐺 Σg 𝐹) ∈ ((cls‘(TopOpen‘𝐺))‘{(𝐺 Σg 𝐹)}) ↔ {(𝐺 Σg 𝐹)} ⊆ ((cls‘(TopOpen‘𝐺))‘{(𝐺 Σg 𝐹)}))
23	20, 22	sylibr 233	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ ((cls‘(TopOpen‘𝐺))‘{(𝐺 Σg 𝐹)}))
24	2, 8, 9, 1, 10, 11, 12, 3	tsmsgsum 23634	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) = ((cls‘(TopOpen‘𝐺))‘{(𝐺 Σg 𝐹)}))
25	23, 24	eleqtrrd 2836	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ (𝐺 tsums 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3947  {csn 4627  ∪ cuni 4907   class class class wbr 5147  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405   finSupp cfsupp 9357  Basecbs 17140  TopOpenctopn 17363  0_gc0g 17381   Σ_g cgsu 17382  CMndccmn 19642  Topctop 22386  TopOnctopon 22403  TopSpctps 22425  clsccl 22513   tsums ctsu 23621

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-hash 14287  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-fbas 20933  df-fg 20934  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-cld 22514  df-ntr 22515  df-cls 22516  df-nei 22593  df-fil 23341  df-fm 23433  df-flim 23434  df-flf 23435  df-tsms 23622

This theorem is referenced by:  haustsmsid  23636  tsms0  23637  tayl0  25865  esumgsum  33031