Theorem tsmsid 24084

Description: If a sum is finite, the usual sum is always a limit point of the topological sum (although it may not be the only limit point). (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.) (Revised by AV, 24-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tsmsid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
tsmsid.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
tsmsid.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
tsmsid.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopSp)
tsmsid.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
tsmsid.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
tsmsid.w	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
tsmsid	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ (𝐺 tsums 𝐹))

Proof of Theorem tsmsid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tsmsid.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopSp)
2		tsmsid.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (TopOpen‘𝐺) = (TopOpen‘𝐺)
4	2, 3	istps 22878	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ TopSp ↔ (TopOpen‘𝐺) ∈ (TopOn‘𝐵))
5	1, 4	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘𝐺) ∈ (TopOn‘𝐵))
6		topontop 22857	. . . . 5 ⊢ ((TopOpen‘𝐺) ∈ (TopOn‘𝐵) → (TopOpen‘𝐺) ∈ Top)
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘𝐺) ∈ Top)
8		tsmsid.z	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
9		tsmsid.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
10		tsmsid.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
11		tsmsid.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
12		tsmsid.w	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
13	2, 8, 9, 10, 11, 12	gsumcl 19844	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝐵)
14	13	snssd 4765	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {(𝐺 Σg 𝐹)} ⊆ 𝐵)
15		toponuni 22858	. . . . . 6 ⊢ ((TopOpen‘𝐺) ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 = ∪ (TopOpen‘𝐺))
16	5, 15	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ∪ (TopOpen‘𝐺))
17	14, 16	sseqtrd 3970	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {(𝐺 Σg 𝐹)} ⊆ ∪ (TopOpen‘𝐺))
18		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ ∪ (TopOpen‘𝐺) = ∪ (TopOpen‘𝐺)
19	18	sscls 23000	. . . 4 ⊢ (((TopOpen‘𝐺) ∈ Top ∧ {(𝐺 Σg 𝐹)} ⊆ ∪ (TopOpen‘𝐺)) → {(𝐺 Σg 𝐹)} ⊆ ((cls‘(TopOpen‘𝐺))‘{(𝐺 Σg 𝐹)}))
20	7, 17, 19	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → {(𝐺 Σg 𝐹)} ⊆ ((cls‘(TopOpen‘𝐺))‘{(𝐺 Σg 𝐹)}))
21		ovex 7391	. . . 4 ⊢ (𝐺 Σg 𝐹) ∈ V
22	21	snss 4741	. . 3 ⊢ ((𝐺 Σg 𝐹) ∈ ((cls‘(TopOpen‘𝐺))‘{(𝐺 Σg 𝐹)}) ↔ {(𝐺 Σg 𝐹)} ⊆ ((cls‘(TopOpen‘𝐺))‘{(𝐺 Σg 𝐹)}))
23	20, 22	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ ((cls‘(TopOpen‘𝐺))‘{(𝐺 Σg 𝐹)}))
24	2, 8, 9, 1, 10, 11, 12, 3	tsmsgsum 24083	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) = ((cls‘(TopOpen‘𝐺))‘{(𝐺 Σg 𝐹)}))
25	23, 24	eleqtrrd 2839	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ (𝐺 tsums 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3901  {csn 4580  ∪ cuni 4863   class class class wbr 5098  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358   finSupp cfsupp 9264  Basecbs 17136  TopOpenctopn 17341  0_gc0g 17359   Σ_g cgsu 17360  CMndccmn 19709  Topctop 22837  TopOnctopon 22854  TopSpctps 22876  clsccl 22962   tsums ctsu 24070

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-oi 9415  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-seq 13925  df-hash 14254  df-0g 17361  df-gsum 17362  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-cntz 19246  df-cmn 19711  df-fbas 21306  df-fg 21307  df-top 22838  df-topon 22855  df-topsp 22877  df-cld 22963  df-ntr 22964  df-cls 22965  df-nei 23042  df-fil 23790  df-fm 23882  df-flim 23883  df-flf 23884  df-tsms 24071

This theorem is referenced by:  haustsmsid  24085  tsms0  24086  tayl0  26325  esumgsum  34202