Theorem 01sqrexlem5 15393

Description: Lemma for 01sqrex 15396. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
01sqrexlem1.1	⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ+ ∣ (𝑥↑2) ≤ 𝐴}
01sqrexlem1.2	⊢ 𝐵 = sup(𝑆, ℝ, < )
01sqrexlem5.3	⊢ 𝑇 = {𝑦 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝑆 ∃𝑏 ∈ 𝑆 𝑦 = (𝑎 · 𝑏)}

Assertion

Ref	Expression
01sqrexlem5	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → ((𝑇 ⊆ ℝ ∧ 𝑇 ≠ ∅ ∧ ∃𝑣 ∈ ℝ ∀𝑢 ∈ 𝑇 𝑢 ≤ 𝑣) ∧ (𝐵↑2) = sup(𝑇, ℝ, < )))

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑢,𝑣,𝑦,𝑆   𝑥,𝑎,𝐴,𝑏,𝑣,𝑦   𝑣,𝐵,𝑦   𝑢,𝑇,𝑣

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑢)   𝐵(𝑥, 𝑢, 𝑎, 𝑏)   𝑆(𝑥)   𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑎, 𝑏)

Proof of Theorem 01sqrexlem5

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		01sqrexlem1.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ+ ∣ (𝑥↑2) ≤ 𝐴}
2	1	ssrab3 4030	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 ⊆ ℝ+
3	2	sseli 3927	. . . . 5 ⊢ (𝑣 ∈ 𝑆 → 𝑣 ∈ ℝ+)
4	3	rpge0d 13149	. . . 4 ⊢ (𝑣 ∈ 𝑆 → 0 ≤ 𝑣)
5	4	rgen 3079	. . 3 ⊢ ∀𝑣 ∈ 𝑆 0 ≤ 𝑣
6		01sqrexlem1.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 = sup(𝑆, ℝ, < )
7	1, 6	01sqrexlem3 15391	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑣 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑣))
8		01sqrexlem5.3	. . . 4 ⊢ 𝑇 = {𝑦 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝑆 ∃𝑏 ∈ 𝑆 𝑦 = (𝑎 · 𝑏)}
9		pm4.24 574	. . . . 5 ⊢ (∀𝑣 ∈ 𝑆 0 ≤ 𝑣 ↔ (∀𝑣 ∈ 𝑆 0 ≤ 𝑣 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑆 0 ≤ 𝑣))
10	9	3anbi1i 1175	. . . 4 ⊢ ((∀𝑣 ∈ 𝑆 0 ≤ 𝑣 ∧ (𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑣 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑣) ∧ (𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑣 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑣)) ↔ ((∀𝑣 ∈ 𝑆 0 ≤ 𝑣 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑆 0 ≤ 𝑣) ∧ (𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑣 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑣) ∧ (𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑣 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑣)))
11	8, 10	supmullem2 12269	. . 3 ⊢ ((∀𝑣 ∈ 𝑆 0 ≤ 𝑣 ∧ (𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑣 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑣) ∧ (𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑣 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑣)) → (𝑇 ⊆ ℝ ∧ 𝑇 ≠ ∅ ∧ ∃𝑣 ∈ ℝ ∀𝑢 ∈ 𝑇 𝑢 ≤ 𝑣))
12	5, 7, 7, 11	mp3an2i 1495	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝑇 ⊆ ℝ ∧ 𝑇 ≠ ∅ ∧ ∃𝑣 ∈ ℝ ∀𝑢 ∈ 𝑇 𝑢 ≤ 𝑣))
13	1, 6	01sqrexlem4 15392	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ≤ 1))
14		rpre 13110	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → 𝐵 ∈ ℝ)
15	14	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ≤ 1) → 𝐵 ∈ ℝ)
16	13, 15	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → 𝐵 ∈ ℝ)
17	16	recnd 11318	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → 𝐵 ∈ ℂ)
18	17	sqvald 14266	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝐵↑2) = (𝐵 · 𝐵))
19	6, 6	oveq12i 7424	. . . 4 ⊢ (𝐵 · 𝐵) = (sup(𝑆, ℝ, < ) · sup(𝑆, ℝ, < ))
20	8, 10	supmul 12270	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑣 ∈ 𝑆 0 ≤ 𝑣 ∧ (𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑣 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑣) ∧ (𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑣 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑣)) → (sup(𝑆, ℝ, < ) · sup(𝑆, ℝ, < )) = sup(𝑇, ℝ, < ))
21	5, 7, 7, 20	mp3an2i 1495	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (sup(𝑆, ℝ, < ) · sup(𝑆, ℝ, < )) = sup(𝑇, ℝ, < ))
22	19, 21	eqtrid 2808	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝐵 · 𝐵) = sup(𝑇, ℝ, < ))
23	18, 22	eqtrd 2796	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝐵↑2) = sup(𝑇, ℝ, < ))
24	12, 23	jca 521	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → ((𝑇 ⊆ ℝ ∧ 𝑇 ≠ ∅ ∧ ∃𝑣 ∈ ℝ ∀𝑢 ∈ 𝑇 𝑢 ≤ 𝑣) ∧ (𝐵↑2) = sup(𝑇, ℝ, < )))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {cab 2739   ≠ wne 2956  ∀wral 3077  ∃wrex 3087  {crab 3413   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279   class class class wbr 5103  (class class class)co 7412  supcsup 9416  ℝcr 11180  0cc0 11181  1c1 11182   · cmul 11186   < clt 11324   ≤ cle 11325  2c2 12378  ℝ⁺crp 13101  ↑cexp 14184

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-sup 9418  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-2 12386  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-rp 13102  df-seq 14125  df-exp 14185

This theorem is used by:  01sqrexlem6  15394