Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  suprnmpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem suprnmpt 41661
Description: An explicit bound for the range of a bounded function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
suprnmpt.a (𝜑𝐴 ≠ ∅)
suprnmpt.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
suprnmpt.bnd (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦)
suprnmpt.f 𝐹 = (𝑥𝐴𝐵)
suprnmpt.c 𝐶 = sup(ran 𝐹, ℝ, < )
Assertion
Ref Expression
suprnmpt (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐶))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑦,𝐹   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem suprnmpt
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 suprnmpt.c . . 3 𝐶 = sup(ran 𝐹, ℝ, < )
2 suprnmpt.b . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
32ralrimiva 3177 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ ℝ)
4 suprnmpt.f . . . . . 6 𝐹 = (𝑥𝐴𝐵)
54rnmptss 6875 . . . . 5 (∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ ℝ → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
63, 5syl 17 . . . 4 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
7 nfv 1916 . . . . 5 𝑥𝜑
8 nfmpt1 5151 . . . . . . . 8 𝑥(𝑥𝐴𝐵)
94, 8nfcxfr 2980 . . . . . . 7 𝑥𝐹
109nfrn 5812 . . . . . 6 𝑥ran 𝐹
11 nfcv 2982 . . . . . 6 𝑥
1210, 11nfne 3114 . . . . 5 𝑥ran 𝐹 ≠ ∅
13 suprnmpt.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
14 n0 4293 . . . . . 6 (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝐴)
1513, 14sylib 221 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑥 𝑥𝐴)
16 simpr 488 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
174elrnmpt1 5818 . . . . . . 7 ((𝑥𝐴𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ran 𝐹)
1816, 2, 17syl2anc 587 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ran 𝐹)
1918ne0d 4284 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → ran 𝐹 ≠ ∅)
207, 12, 15, 19exlimdd 2222 . . . 4 (𝜑 → ran 𝐹 ≠ ∅)
21 suprnmpt.bnd . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦)
22 nfv 1916 . . . . . 6 𝑦𝜑
23 nfre1 3299 . . . . . 6 𝑦𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran 𝐹 𝑧𝑦
24 simp2 1134 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
25 simpl1 1188 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝐹) → 𝜑)
26 simpl3 1190 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝐹) → ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦)
27 vex 3483 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑧 ∈ V
284elrnmpt 5816 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ V → (𝑧 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵))
2927, 28ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵)
3029biimpi 219 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ ran 𝐹 → ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵)
3130adantl 485 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝐹) → ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵)
32 simp3 1135 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦 ∧ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵) → ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵)
33 nfra1 3214 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥𝑥𝐴 𝐵𝑦
34 nfre1 3299 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵
357, 33, 34nf3an 1903 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥(𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦 ∧ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵)
36 nfv 1916 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥 𝑧𝑦
37 simp3 1135 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((∀𝑥𝐴 𝐵𝑦𝑥𝐴𝑧 = 𝐵) → 𝑧 = 𝐵)
38 rspa 3201 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((∀𝑥𝐴 𝐵𝑦𝑥𝐴) → 𝐵𝑦)
39383adant3 1129 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((∀𝑥𝐴 𝐵𝑦𝑥𝐴𝑧 = 𝐵) → 𝐵𝑦)
4037, 39eqbrtrd 5075 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((∀𝑥𝐴 𝐵𝑦𝑥𝐴𝑧 = 𝐵) → 𝑧𝑦)
41403exp 1116 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑥𝐴 𝐵𝑦 → (𝑥𝐴 → (𝑧 = 𝐵𝑧𝑦)))
42413ad2ant2 1131 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦 ∧ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵) → (𝑥𝐴 → (𝑧 = 𝐵𝑧𝑦)))
4335, 36, 42rexlimd 3310 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦 ∧ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵) → (∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵𝑧𝑦))
4432, 43mpd 15 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦 ∧ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵) → 𝑧𝑦)
4525, 26, 31, 44syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝐹) → 𝑧𝑦)
4645ralrimiva 3177 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦) → ∀𝑧 ∈ ran 𝐹 𝑧𝑦)
47 19.8a 2182 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑧 ∈ ran 𝐹 𝑧𝑦) → ∃𝑦(𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑧 ∈ ran 𝐹 𝑧𝑦))
4824, 46, 47syl2anc 587 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦) → ∃𝑦(𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑧 ∈ ran 𝐹 𝑧𝑦))
49 df-rex 3139 . . . . . . . 8 (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran 𝐹 𝑧𝑦 ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑧 ∈ ran 𝐹 𝑧𝑦))
5048, 49sylibr 237 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran 𝐹 𝑧𝑦)
51503exp 1116 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ → (∀𝑥𝐴 𝐵𝑦 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran 𝐹 𝑧𝑦)))
5222, 23, 51rexlimd 3310 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran 𝐹 𝑧𝑦))
5321, 52mpd 15 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran 𝐹 𝑧𝑦)
54 suprcl 11595 . . . 4 ((ran 𝐹 ⊆ ℝ ∧ ran 𝐹 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran 𝐹 𝑧𝑦) → sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ℝ)
556, 20, 53, 54syl3anc 1368 . . 3 (𝜑 → sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ℝ)
561, 55eqeltrid 2920 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
576adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
5853adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran 𝐹 𝑧𝑦)
59 suprub 11596 . . . . 5 (((ran 𝐹 ⊆ ℝ ∧ ran 𝐹 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran 𝐹 𝑧𝑦) ∧ 𝐵 ∈ ran 𝐹) → 𝐵 ≤ sup(ran 𝐹, ℝ, < ))
6057, 19, 58, 18, 59syl31anc 1370 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ≤ sup(ran 𝐹, ℝ, < ))
6160, 1breqtrrdi 5095 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝐶)
6261ralrimiva 3177 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝐵𝐶)
6356, 62jca 515 1 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wex 1781  wcel 2115  wne 3014  wral 3133  wrex 3134  Vcvv 3480  wss 3919  c0 4276   class class class wbr 5053  cmpt 5133  ran crn 5544  supcsup 8897  cr 10530   < clt 10669  cle 10670
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7452  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-op 4557  df-uni 4826  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-id 5448  df-po 5462  df-so 5463  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-riota 7104  df-ov 7149  df-oprab 7150  df-mpo 7151  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-sup 8899  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867
This theorem is referenced by:  ioodvbdlimc1lem1  42439  ioodvbdlimc1lem2  42440  ioodvbdlimc2lem  42442
  Copyright terms: Public domain W3C validator