Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  suprnmpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem suprnmpt 43381
Description: An explicit bound for the range of a bounded function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
suprnmpt.a (𝜑𝐴 ≠ ∅)
suprnmpt.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
suprnmpt.bnd (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦)
suprnmpt.f 𝐹 = (𝑥𝐴𝐵)
suprnmpt.c 𝐶 = sup(ran 𝐹, ℝ, < )
Assertion
Ref Expression
suprnmpt (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐶))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑦,𝐹   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem suprnmpt
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 suprnmpt.c . . 3 𝐶 = sup(ran 𝐹, ℝ, < )
2 suprnmpt.b . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
32ralrimiva 3143 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ ℝ)
4 suprnmpt.f . . . . . 6 𝐹 = (𝑥𝐴𝐵)
54rnmptss 7070 . . . . 5 (∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ ℝ → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
63, 5syl 17 . . . 4 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
7 nfv 1917 . . . . 5 𝑥𝜑
8 suprnmpt.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
97, 2, 4, 8rnmptn0 6196 . . . 4 (𝜑 → ran 𝐹 ≠ ∅)
10 suprnmpt.bnd . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦)
11 nfv 1917 . . . . . 6 𝑦𝜑
12 nfre1 3268 . . . . . 6 𝑦𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran 𝐹 𝑧𝑦
13 simp2 1137 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
14 simpl1 1191 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝐹) → 𝜑)
15 simpl3 1193 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝐹) → ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦)
16 vex 3449 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑧 ∈ V
174elrnmpt 5911 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ V → (𝑧 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵))
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵)
1918biimpi 215 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ ran 𝐹 → ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵)
2019adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝐹) → ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵)
21 simp3 1138 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦 ∧ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵) → ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵)
22 nfra1 3267 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥𝑥𝐴 𝐵𝑦
23 nfre1 3268 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵
247, 22, 23nf3an 1904 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥(𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦 ∧ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵)
25 nfv 1917 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥 𝑧𝑦
26 simp3 1138 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((∀𝑥𝐴 𝐵𝑦𝑥𝐴𝑧 = 𝐵) → 𝑧 = 𝐵)
27 rspa 3231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((∀𝑥𝐴 𝐵𝑦𝑥𝐴) → 𝐵𝑦)
28273adant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((∀𝑥𝐴 𝐵𝑦𝑥𝐴𝑧 = 𝐵) → 𝐵𝑦)
2926, 28eqbrtrd 5127 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((∀𝑥𝐴 𝐵𝑦𝑥𝐴𝑧 = 𝐵) → 𝑧𝑦)
30293exp 1119 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑥𝐴 𝐵𝑦 → (𝑥𝐴 → (𝑧 = 𝐵𝑧𝑦)))
31303ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦 ∧ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵) → (𝑥𝐴 → (𝑧 = 𝐵𝑧𝑦)))
3224, 25, 31rexlimd 3249 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦 ∧ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵) → (∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵𝑧𝑦))
3321, 32mpd 15 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦 ∧ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵) → 𝑧𝑦)
3414, 15, 20, 33syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝐹) → 𝑧𝑦)
3534ralrimiva 3143 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦) → ∀𝑧 ∈ ran 𝐹 𝑧𝑦)
36 19.8a 2174 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑧 ∈ ran 𝐹 𝑧𝑦) → ∃𝑦(𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑧 ∈ ran 𝐹 𝑧𝑦))
3713, 35, 36syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦) → ∃𝑦(𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑧 ∈ ran 𝐹 𝑧𝑦))
38 df-rex 3074 . . . . . . . 8 (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran 𝐹 𝑧𝑦 ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑧 ∈ ran 𝐹 𝑧𝑦))
3937, 38sylibr 233 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran 𝐹 𝑧𝑦)
40393exp 1119 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ → (∀𝑥𝐴 𝐵𝑦 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran 𝐹 𝑧𝑦)))
4111, 12, 40rexlimd 3249 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran 𝐹 𝑧𝑦))
4210, 41mpd 15 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran 𝐹 𝑧𝑦)
43 suprcl 12115 . . . 4 ((ran 𝐹 ⊆ ℝ ∧ ran 𝐹 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran 𝐹 𝑧𝑦) → sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ℝ)
446, 9, 42, 43syl3anc 1371 . . 3 (𝜑 → sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ℝ)
451, 44eqeltrid 2842 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
466adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
47 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
484elrnmpt1 5913 . . . . . . 7 ((𝑥𝐴𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ran 𝐹)
4947, 2, 48syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ran 𝐹)
5049ne0d 4295 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → ran 𝐹 ≠ ∅)
5142adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran 𝐹 𝑧𝑦)
52 suprub 12116 . . . . 5 (((ran 𝐹 ⊆ ℝ ∧ ran 𝐹 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran 𝐹 𝑧𝑦) ∧ 𝐵 ∈ ran 𝐹) → 𝐵 ≤ sup(ran 𝐹, ℝ, < ))
5346, 50, 51, 49, 52syl31anc 1373 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ≤ sup(ran 𝐹, ℝ, < ))
5453, 1breqtrrdi 5147 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝐶)
5554ralrimiva 3143 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝐵𝐶)
5645, 55jca 512 1 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wex 1781  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  wrex 3073  Vcvv 3445  wss 3910  c0 4282   class class class wbr 5105  cmpt 5188  ran crn 5634  supcsup 9376  cr 11050   < clt 11189  cle 11190
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-po 5545  df-so 5546  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9378  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388
This theorem is referenced by:  ioodvbdlimc1lem1  44162  ioodvbdlimc1lem2  44163  ioodvbdlimc2lem  44165
  Copyright terms: Public domain W3C validator