Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  suprnmpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem suprnmpt 40163
 Description: An explicit bound for the range of a bounded function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
suprnmpt.a (𝜑𝐴 ≠ ∅)
suprnmpt.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
suprnmpt.bnd (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦)
suprnmpt.f 𝐹 = (𝑥𝐴𝐵)
suprnmpt.c 𝐶 = sup(ran 𝐹, ℝ, < )
Assertion
Ref Expression
suprnmpt (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐶))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑦,𝐹   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem suprnmpt
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 suprnmpt.c . . 3 𝐶 = sup(ran 𝐹, ℝ, < )
2 suprnmpt.b . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
32ralrimiva 3175 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ ℝ)
4 suprnmpt.f . . . . . 6 𝐹 = (𝑥𝐴𝐵)
54rnmptss 6646 . . . . 5 (∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ ℝ → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
63, 5syl 17 . . . 4 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
7 nfv 2013 . . . . 5 𝑥𝜑
8 nfmpt1 4972 . . . . . . . 8 𝑥(𝑥𝐴𝐵)
94, 8nfcxfr 2967 . . . . . . 7 𝑥𝐹
109nfrn 5605 . . . . . 6 𝑥ran 𝐹
11 nfcv 2969 . . . . . 6 𝑥
1210, 11nfne 3099 . . . . 5 𝑥ran 𝐹 ≠ ∅
13 suprnmpt.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
14 n0 4162 . . . . . 6 (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝐴)
1513, 14sylib 210 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑥 𝑥𝐴)
16 simpr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
174elrnmpt1 5611 . . . . . . 7 ((𝑥𝐴𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ran 𝐹)
1816, 2, 17syl2anc 579 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ran 𝐹)
1918ne0d 4153 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → ran 𝐹 ≠ ∅)
207, 12, 15, 19exlimdd 2262 . . . 4 (𝜑 → ran 𝐹 ≠ ∅)
21 suprnmpt.bnd . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦)
22 nfv 2013 . . . . . 6 𝑦𝜑
23 nfre1 3213 . . . . . 6 𝑦𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran 𝐹 𝑧𝑦
24 simp2 1171 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
25 simpl1 1246 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝐹) → 𝜑)
26 simpl3 1250 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝐹) → ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦)
27 vex 3417 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑧 ∈ V
284elrnmpt 5609 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ V → (𝑧 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵))
2927, 28ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵)
3029biimpi 208 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ ran 𝐹 → ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵)
3130adantl 475 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝐹) → ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵)
32 simp3 1172 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦 ∧ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵) → ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵)
33 nfra1 3150 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥𝑥𝐴 𝐵𝑦
34 nfre1 3213 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵
357, 33, 34nf3an 2004 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥(𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦 ∧ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵)
36 nfv 2013 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥 𝑧𝑦
37 simp3 1172 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((∀𝑥𝐴 𝐵𝑦𝑥𝐴𝑧 = 𝐵) → 𝑧 = 𝐵)
38 rspa 3139 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((∀𝑥𝐴 𝐵𝑦𝑥𝐴) → 𝐵𝑦)
39383adant3 1166 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((∀𝑥𝐴 𝐵𝑦𝑥𝐴𝑧 = 𝐵) → 𝐵𝑦)
4037, 39eqbrtrd 4897 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((∀𝑥𝐴 𝐵𝑦𝑥𝐴𝑧 = 𝐵) → 𝑧𝑦)
41403exp 1152 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑥𝐴 𝐵𝑦 → (𝑥𝐴 → (𝑧 = 𝐵𝑧𝑦)))
42413ad2ant2 1168 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦 ∧ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵) → (𝑥𝐴 → (𝑧 = 𝐵𝑧𝑦)))
4335, 36, 42rexlimd 3235 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦 ∧ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵) → (∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵𝑧𝑦))
4432, 43mpd 15 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦 ∧ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵) → 𝑧𝑦)
4525, 26, 31, 44syl3anc 1494 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝐹) → 𝑧𝑦)
4645ralrimiva 3175 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦) → ∀𝑧 ∈ ran 𝐹 𝑧𝑦)
47 19.8a 2223 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑧 ∈ ran 𝐹 𝑧𝑦) → ∃𝑦(𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑧 ∈ ran 𝐹 𝑧𝑦))
4824, 46, 47syl2anc 579 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦) → ∃𝑦(𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑧 ∈ ran 𝐹 𝑧𝑦))
49 df-rex 3123 . . . . . . . 8 (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran 𝐹 𝑧𝑦 ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑧 ∈ ran 𝐹 𝑧𝑦))
5048, 49sylibr 226 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran 𝐹 𝑧𝑦)
51503exp 1152 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ → (∀𝑥𝐴 𝐵𝑦 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran 𝐹 𝑧𝑦)))
5222, 23, 51rexlimd 3235 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran 𝐹 𝑧𝑦))
5321, 52mpd 15 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran 𝐹 𝑧𝑦)
54 suprcl 11320 . . . 4 ((ran 𝐹 ⊆ ℝ ∧ ran 𝐹 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran 𝐹 𝑧𝑦) → sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ℝ)
556, 20, 53, 54syl3anc 1494 . . 3 (𝜑 → sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ℝ)
561, 55syl5eqel 2910 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
576adantr 474 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
5853adantr 474 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran 𝐹 𝑧𝑦)
59 suprub 11321 . . . . 5 (((ran 𝐹 ⊆ ℝ ∧ ran 𝐹 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran 𝐹 𝑧𝑦) ∧ 𝐵 ∈ ran 𝐹) → 𝐵 ≤ sup(ran 𝐹, ℝ, < ))
6057, 19, 58, 18, 59syl31anc 1496 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ≤ sup(ran 𝐹, ℝ, < ))
6160, 1syl6breqr 4917 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝐶)
6261ralrimiva 3175 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝐵𝐶)
6356, 62jca 507 1 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐶))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∧ w3a 1111   = wceq 1656  ∃wex 1878   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2999  ∀wral 3117  ∃wrex 3118  Vcvv 3414   ⊆ wss 3798  ∅c0 4146   class class class wbr 4875   ↦ cmpt 4954  ran crn 5347  supcsup 8621  ℝcr 10258   < clt 10398   ≤ cle 10399 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336  ax-pre-sup 10337 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-op 4406  df-uni 4661  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-id 5252  df-po 5265  df-so 5266  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-er 8014  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-sup 8623  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595 This theorem is referenced by:  ioodvbdlimc1lem1  40939  ioodvbdlimc1lem2  40940  ioodvbdlimc2lem  40942
 Copyright terms: Public domain W3C validator