Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvhvscacl Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dvhvscacl 40632
Description: Closure of the scalar product operation for the constructed full vector space H. (Contributed by NM, 12-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dvhfvsca.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
dvhfvsca.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dvhfvsca.e 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dvhfvsca.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dvhfvsca.s Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
dvhvscacl (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸))) β†’ (𝑅 Β· 𝐹) ∈ (𝑇 Γ— 𝐸))
Proof of Theorem dvhvscacl
StepHypRef Expression
1 dvhfvsca.h . . 3 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 dvhfvsca.t . . 3 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3 dvhfvsca.e . . 3 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
4 dvhfvsca.u . . 3 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
5 dvhfvsca.s . . 3 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)
61, 2, 3, 4, 5dvhvsca 40630 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸))) β†’ (𝑅 Β· 𝐹) = ⟨(π‘…β€˜(1st β€˜πΉ)), (𝑅 ∘ (2nd β€˜πΉ))⟩)
7 simpl 481 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
8 simprl 769 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸))) β†’ 𝑅 ∈ 𝐸)
9 xp1st 8023 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸) β†’ (1st β€˜πΉ) ∈ 𝑇)
109ad2antll 727 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸))) β†’ (1st β€˜πΉ) ∈ 𝑇)
111, 2, 3tendocl 40296 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑅 ∈ 𝐸 ∧ (1st β€˜πΉ) ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜(1st β€˜πΉ)) ∈ 𝑇)
127, 8, 10, 11syl3anc 1368 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸))) β†’ (π‘…β€˜(1st β€˜πΉ)) ∈ 𝑇)
13 xp2nd 8024 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸) β†’ (2nd β€˜πΉ) ∈ 𝐸)
1413ad2antll 727 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸))) β†’ (2nd β€˜πΉ) ∈ 𝐸)
151, 3tendococl 40301 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑅 ∈ 𝐸 ∧ (2nd β€˜πΉ) ∈ 𝐸) β†’ (𝑅 ∘ (2nd β€˜πΉ)) ∈ 𝐸)
167, 8, 14, 15syl3anc 1368 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸))) β†’ (𝑅 ∘ (2nd β€˜πΉ)) ∈ 𝐸)
17 opelxpi 5709 . . 3 (((π‘…β€˜(1st β€˜πΉ)) ∈ 𝑇 ∧ (𝑅 ∘ (2nd β€˜πΉ)) ∈ 𝐸) β†’ ⟨(π‘…β€˜(1st β€˜πΉ)), (𝑅 ∘ (2nd β€˜πΉ))⟩ ∈ (𝑇 Γ— 𝐸))
1812, 16, 17syl2anc 582 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸))) β†’ ⟨(π‘…β€˜(1st β€˜πΉ)), (𝑅 ∘ (2nd β€˜πΉ))⟩ ∈ (𝑇 Γ— 𝐸))
196, 18eqeltrd 2825 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸))) β†’ (𝑅 Β· 𝐹) ∈ (𝑇 Γ— 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βŸ¨cop 4630   Γ— cxp 5670   ∘ ccom 5676  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  1st c1st 7989  2nd c2nd 7990   ·𝑠 cvsca 17236  HLchlt 38878  LHypclh 39513  LTrncltrn 39630  TEndoctendo 40281  DVecHcdvh 40607
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-riotaBAD 38481
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-undef 8277  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8845  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517  df-struct 17115  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-plusg 17245  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-proset 18286  df-poset 18304  df-plt 18321  df-lub 18337  df-glb 18338  df-join 18339  df-meet 18340  df-p0 18416  df-p1 18417  df-lat 18423  df-clat 18490  df-oposet 38704  df-ol 38706  df-oml 38707  df-covers 38794  df-ats 38795  df-atl 38826  df-cvlat 38850  df-hlat 38879  df-llines 39027  df-lplanes 39028  df-lvols 39029  df-lines 39030  df-psubsp 39032  df-pmap 39033  df-padd 39325  df-lhyp 39517  df-laut 39518  df-ldil 39633  df-ltrn 39634  df-trl 39688  df-tendo 40284  df-dvech 40608
This theorem is referenced by:  dvhlveclem  40637  diclspsn  40723  dih1dimatlem  40858
  Copyright terms: Public domain W3C validator