Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvhvscacl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvhvscacl 41047
Description: Closure of the scalar product operation for the constructed full vector space H. (Contributed by NM, 12-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dvhfvsca.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvhfvsca.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dvhfvsca.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
dvhfvsca.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dvhfvsca.s · = ( ·𝑠𝑈)
Assertion
Ref Expression
dvhvscacl (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐸𝐹 ∈ (𝑇 × 𝐸))) → (𝑅 · 𝐹) ∈ (𝑇 × 𝐸))

Proof of Theorem dvhvscacl
StepHypRef Expression
1 dvhfvsca.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 dvhfvsca.t . . 3 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3 dvhfvsca.e . . 3 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
4 dvhfvsca.u . . 3 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5 dvhfvsca.s . . 3 · = ( ·𝑠𝑈)
61, 2, 3, 4, 5dvhvsca 41045 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐸𝐹 ∈ (𝑇 × 𝐸))) → (𝑅 · 𝐹) = ⟨(𝑅‘(1st𝐹)), (𝑅 ∘ (2nd𝐹))⟩)
7 simpl 482 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐸𝐹 ∈ (𝑇 × 𝐸))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
8 simprl 770 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐸𝐹 ∈ (𝑇 × 𝐸))) → 𝑅𝐸)
9 xp1st 8039 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑇 × 𝐸) → (1st𝐹) ∈ 𝑇)
109ad2antll 728 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐸𝐹 ∈ (𝑇 × 𝐸))) → (1st𝐹) ∈ 𝑇)
111, 2, 3tendocl 40711 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑅𝐸 ∧ (1st𝐹) ∈ 𝑇) → (𝑅‘(1st𝐹)) ∈ 𝑇)
127, 8, 10, 11syl3anc 1369 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐸𝐹 ∈ (𝑇 × 𝐸))) → (𝑅‘(1st𝐹)) ∈ 𝑇)
13 xp2nd 8040 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑇 × 𝐸) → (2nd𝐹) ∈ 𝐸)
1413ad2antll 728 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐸𝐹 ∈ (𝑇 × 𝐸))) → (2nd𝐹) ∈ 𝐸)
151, 3tendococl 40716 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑅𝐸 ∧ (2nd𝐹) ∈ 𝐸) → (𝑅 ∘ (2nd𝐹)) ∈ 𝐸)
167, 8, 14, 15syl3anc 1369 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐸𝐹 ∈ (𝑇 × 𝐸))) → (𝑅 ∘ (2nd𝐹)) ∈ 𝐸)
17 opelxpi 5720 . . 3 (((𝑅‘(1st𝐹)) ∈ 𝑇 ∧ (𝑅 ∘ (2nd𝐹)) ∈ 𝐸) → ⟨(𝑅‘(1st𝐹)), (𝑅 ∘ (2nd𝐹))⟩ ∈ (𝑇 × 𝐸))
1812, 16, 17syl2anc 583 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐸𝐹 ∈ (𝑇 × 𝐸))) → ⟨(𝑅‘(1st𝐹)), (𝑅 ∘ (2nd𝐹))⟩ ∈ (𝑇 × 𝐸))
196, 18eqeltrd 2837 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐸𝐹 ∈ (𝑇 × 𝐸))) → (𝑅 · 𝐹) ∈ (𝑇 × 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1535  wcel 2104  cop 4636   × cxp 5681  ccom 5687  cfv 6558  (class class class)co 7425  1st c1st 8005  2nd c2nd 8006   ·𝑠 cvsca 17291  HLchlt 39293  LHypclh 39928  LTrncltrn 40045  TEndoctendo 40696  DVecHcdvh 41022
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2137  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5366  ax-pr 5430  ax-un 7747  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-riotaBAD 38896
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1538  df-fal 1548  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2536  df-eu 2565  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2812  df-nfc 2888  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4915  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-rn 5694  df-res 5695  df-ima 5696  df-pred 6317  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6510  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7381  df-ov 7428  df-oprab 7429  df-mpo 7430  df-om 7881  df-1st 8007  df-2nd 8008  df-undef 8291  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8499  df-er 8738  df-map 8861  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-fin 8982  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11485  df-neg 11486  df-nn 12258  df-2 12320  df-3 12321  df-4 12322  df-5 12323  df-6 12324  df-n0 12518  df-z 12605  df-uz 12870  df-fz 13538  df-struct 17170  df-slot 17205  df-ndx 17217  df-base 17235  df-plusg 17300  df-sca 17303  df-vsca 17304  df-proset 18341  df-poset 18359  df-plt 18376  df-lub 18392  df-glb 18393  df-join 18394  df-meet 18395  df-p0 18471  df-p1 18472  df-lat 18478  df-clat 18545  df-oposet 39119  df-ol 39121  df-oml 39122  df-covers 39209  df-ats 39210  df-atl 39241  df-cvlat 39265  df-hlat 39294  df-llines 39442  df-lplanes 39443  df-lvols 39444  df-lines 39445  df-psubsp 39447  df-pmap 39448  df-padd 39740  df-lhyp 39932  df-laut 39933  df-ldil 40048  df-ltrn 40049  df-trl 40103  df-tendo 40699  df-dvech 41023
This theorem is referenced by:  dvhlveclem  41052  diclspsn  41138  dih1dimatlem  41273
  Copyright terms: Public domain W3C validator