Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvhvscacl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvhvscacl 40576
Description: Closure of the scalar product operation for the constructed full vector space H. (Contributed by NM, 12-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dvhfvsca.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvhfvsca.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dvhfvsca.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
dvhfvsca.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dvhfvsca.s · = ( ·𝑠𝑈)
Assertion
Ref Expression
dvhvscacl (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐸𝐹 ∈ (𝑇 × 𝐸))) → (𝑅 · 𝐹) ∈ (𝑇 × 𝐸))

Proof of Theorem dvhvscacl
StepHypRef Expression
1 dvhfvsca.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 dvhfvsca.t . . 3 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3 dvhfvsca.e . . 3 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
4 dvhfvsca.u . . 3 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5 dvhfvsca.s . . 3 · = ( ·𝑠𝑈)
61, 2, 3, 4, 5dvhvsca 40574 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐸𝐹 ∈ (𝑇 × 𝐸))) → (𝑅 · 𝐹) = ⟨(𝑅‘(1st𝐹)), (𝑅 ∘ (2nd𝐹))⟩)
7 simpl 482 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐸𝐹 ∈ (𝑇 × 𝐸))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
8 simprl 770 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐸𝐹 ∈ (𝑇 × 𝐸))) → 𝑅𝐸)
9 xp1st 8025 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑇 × 𝐸) → (1st𝐹) ∈ 𝑇)
109ad2antll 728 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐸𝐹 ∈ (𝑇 × 𝐸))) → (1st𝐹) ∈ 𝑇)
111, 2, 3tendocl 40240 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑅𝐸 ∧ (1st𝐹) ∈ 𝑇) → (𝑅‘(1st𝐹)) ∈ 𝑇)
127, 8, 10, 11syl3anc 1369 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐸𝐹 ∈ (𝑇 × 𝐸))) → (𝑅‘(1st𝐹)) ∈ 𝑇)
13 xp2nd 8026 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑇 × 𝐸) → (2nd𝐹) ∈ 𝐸)
1413ad2antll 728 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐸𝐹 ∈ (𝑇 × 𝐸))) → (2nd𝐹) ∈ 𝐸)
151, 3tendococl 40245 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑅𝐸 ∧ (2nd𝐹) ∈ 𝐸) → (𝑅 ∘ (2nd𝐹)) ∈ 𝐸)
167, 8, 14, 15syl3anc 1369 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐸𝐹 ∈ (𝑇 × 𝐸))) → (𝑅 ∘ (2nd𝐹)) ∈ 𝐸)
17 opelxpi 5715 . . 3 (((𝑅‘(1st𝐹)) ∈ 𝑇 ∧ (𝑅 ∘ (2nd𝐹)) ∈ 𝐸) → ⟨(𝑅‘(1st𝐹)), (𝑅 ∘ (2nd𝐹))⟩ ∈ (𝑇 × 𝐸))
1812, 16, 17syl2anc 583 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐸𝐹 ∈ (𝑇 × 𝐸))) → ⟨(𝑅‘(1st𝐹)), (𝑅 ∘ (2nd𝐹))⟩ ∈ (𝑇 × 𝐸))
196, 18eqeltrd 2829 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐸𝐹 ∈ (𝑇 × 𝐸))) → (𝑅 · 𝐹) ∈ (𝑇 × 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  cop 4635   × cxp 5676  ccom 5682  cfv 6548  (class class class)co 7420  1st c1st 7991  2nd c2nd 7992   ·𝑠 cvsca 17237  HLchlt 38822  LHypclh 39457  LTrncltrn 39574  TEndoctendo 40225  DVecHcdvh 40551
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-riotaBAD 38425
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-undef 8279  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-fz 13518  df-struct 17116  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-plusg 17246  df-sca 17249  df-vsca 17250  df-proset 18287  df-poset 18305  df-plt 18322  df-lub 18338  df-glb 18339  df-join 18340  df-meet 18341  df-p0 18417  df-p1 18418  df-lat 18424  df-clat 18491  df-oposet 38648  df-ol 38650  df-oml 38651  df-covers 38738  df-ats 38739  df-atl 38770  df-cvlat 38794  df-hlat 38823  df-llines 38971  df-lplanes 38972  df-lvols 38973  df-lines 38974  df-psubsp 38976  df-pmap 38977  df-padd 39269  df-lhyp 39461  df-laut 39462  df-ldil 39577  df-ltrn 39578  df-trl 39632  df-tendo 40228  df-dvech 40552
This theorem is referenced by:  dvhlveclem  40581  diclspsn  40667  dih1dimatlem  40802
  Copyright terms: Public domain W3C validator