Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvhvscacl Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dvhvscacl 40487
Description: Closure of the scalar product operation for the constructed full vector space H. (Contributed by NM, 12-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dvhfvsca.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
dvhfvsca.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dvhfvsca.e 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dvhfvsca.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dvhfvsca.s Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
dvhvscacl (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸))) β†’ (𝑅 Β· 𝐹) ∈ (𝑇 Γ— 𝐸))
Proof of Theorem dvhvscacl
StepHypRef Expression
1 dvhfvsca.h . . 3 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 dvhfvsca.t . . 3 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3 dvhfvsca.e . . 3 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
4 dvhfvsca.u . . 3 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
5 dvhfvsca.s . . 3 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)
61, 2, 3, 4, 5dvhvsca 40485 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸))) β†’ (𝑅 Β· 𝐹) = ⟨(π‘…β€˜(1st β€˜πΉ)), (𝑅 ∘ (2nd β€˜πΉ))⟩)
7 simpl 482 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
8 simprl 768 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸))) β†’ 𝑅 ∈ 𝐸)
9 xp1st 8006 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸) β†’ (1st β€˜πΉ) ∈ 𝑇)
109ad2antll 726 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸))) β†’ (1st β€˜πΉ) ∈ 𝑇)
111, 2, 3tendocl 40151 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑅 ∈ 𝐸 ∧ (1st β€˜πΉ) ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜(1st β€˜πΉ)) ∈ 𝑇)
127, 8, 10, 11syl3anc 1368 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸))) β†’ (π‘…β€˜(1st β€˜πΉ)) ∈ 𝑇)
13 xp2nd 8007 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸) β†’ (2nd β€˜πΉ) ∈ 𝐸)
1413ad2antll 726 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸))) β†’ (2nd β€˜πΉ) ∈ 𝐸)
151, 3tendococl 40156 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑅 ∈ 𝐸 ∧ (2nd β€˜πΉ) ∈ 𝐸) β†’ (𝑅 ∘ (2nd β€˜πΉ)) ∈ 𝐸)
167, 8, 14, 15syl3anc 1368 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸))) β†’ (𝑅 ∘ (2nd β€˜πΉ)) ∈ 𝐸)
17 opelxpi 5706 . . 3 (((π‘…β€˜(1st β€˜πΉ)) ∈ 𝑇 ∧ (𝑅 ∘ (2nd β€˜πΉ)) ∈ 𝐸) β†’ ⟨(π‘…β€˜(1st β€˜πΉ)), (𝑅 ∘ (2nd β€˜πΉ))⟩ ∈ (𝑇 Γ— 𝐸))
1812, 16, 17syl2anc 583 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸))) β†’ ⟨(π‘…β€˜(1st β€˜πΉ)), (𝑅 ∘ (2nd β€˜πΉ))⟩ ∈ (𝑇 Γ— 𝐸))
196, 18eqeltrd 2827 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸))) β†’ (𝑅 Β· 𝐹) ∈ (𝑇 Γ— 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βŸ¨cop 4629   Γ— cxp 5667   ∘ ccom 5673  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  1st c1st 7972  2nd c2nd 7973   ·𝑠 cvsca 17210  HLchlt 38733  LHypclh 39368  LTrncltrn 39485  TEndoctendo 40136  DVecHcdvh 40462
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-riotaBAD 38336
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-undef 8259  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-struct 17089  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-plusg 17219  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-proset 18260  df-poset 18278  df-plt 18295  df-lub 18311  df-glb 18312  df-join 18313  df-meet 18314  df-p0 18390  df-p1 18391  df-lat 18397  df-clat 18464  df-oposet 38559  df-ol 38561  df-oml 38562  df-covers 38649  df-ats 38650  df-atl 38681  df-cvlat 38705  df-hlat 38734  df-llines 38882  df-lplanes 38883  df-lvols 38884  df-lines 38885  df-psubsp 38887  df-pmap 38888  df-padd 39180  df-lhyp 39372  df-laut 39373  df-ldil 39488  df-ltrn 39489  df-trl 39543  df-tendo 40139  df-dvech 40463
This theorem is referenced by:  dvhlveclem  40492  diclspsn  40578  dih1dimatlem  40713
  Copyright terms: Public domain W3C validator