Theorem dib1dim2 39182

Description: Two expressions for a 1-dimensional subspace of vector space H (when 𝐹 is a nonzero vector i.e. non-identity translation). (Contributed by NM, 24-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dib1dim2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
dib1dim2.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dib1dim2.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dib1dim2.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
dib1dim2.o	⊢ 𝑂 = (ℎ ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
dib1dim2.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dib1dim2.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
dib1dim2.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
dib1dim2	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝐼‘(𝑅‘𝐹)) = (𝑁‘{⟨𝐹, 𝑂⟩}))

Distinct variable groups:   𝐵,ℎ   ℎ,𝐾   𝑇,ℎ   ℎ,𝑊

Allowed substitution hints:   𝑅(ℎ)   𝑈(ℎ)   𝐹(ℎ)   𝐻(ℎ)   𝐼(ℎ)   𝑁(ℎ)   𝑂(ℎ)

Proof of Theorem dib1dim2

Dummy variables 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rab 3073	. . 3 ⊢ {𝑢 ∈ (𝑇 × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) ∣ ∃𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)𝑢 = ⟨(𝑣‘𝐹), 𝑂⟩} = {𝑢 ∣ (𝑢 ∈ (𝑇 × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) ∧ ∃𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)𝑢 = ⟨(𝑣‘𝐹), 𝑂⟩)}
2		dib1dim2.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		dib1dim2.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		dib1dim2.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5		dib1dim2.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
6		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
7		dib1dim2.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (ℎ ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
8		dib1dim2.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
9	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	dib1dim 39179	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝐼‘(𝑅‘𝐹)) = {𝑢 ∈ (𝑇 × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) ∣ ∃𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)𝑢 = ⟨(𝑣‘𝐹), 𝑂⟩})
10		dib1dim2.u	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
11		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
12		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑈)) = (Base‘(Scalar‘𝑈))
13	3, 6, 10, 11, 12	dvhbase 39097	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (Base‘(Scalar‘𝑈)) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
14	13	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (Base‘(Scalar‘𝑈)) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
15	14	rexeqdv 3349	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (∃𝑣 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))𝑢 = (𝑣( ·𝑠 ‘𝑈)⟨𝐹, 𝑂⟩) ↔ ∃𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)𝑢 = (𝑣( ·𝑠 ‘𝑈)⟨𝐹, 𝑂⟩)))
16		simpll 764	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
17		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → 𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
18		simplr 766	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → 𝐹 ∈ 𝑇)
19	2, 3, 4, 6, 7	tendo0cl 38804	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑂 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
20	19	ad2antrr 723	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → 𝑂 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
21		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑈) = ( ·𝑠 ‘𝑈)
22	3, 4, 6, 10, 21	dvhopvsca 39116	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑂 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))) → (𝑣( ·𝑠 ‘𝑈)⟨𝐹, 𝑂⟩) = ⟨(𝑣‘𝐹), (𝑣 ∘ 𝑂)⟩)
23	16, 17, 18, 20, 22	syl13anc 1371	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → (𝑣( ·𝑠 ‘𝑈)⟨𝐹, 𝑂⟩) = ⟨(𝑣‘𝐹), (𝑣 ∘ 𝑂)⟩)
24	2, 3, 4, 6, 7	tendo0mulr 38841	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → (𝑣 ∘ 𝑂) = 𝑂)
25	24	adantlr 712	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → (𝑣 ∘ 𝑂) = 𝑂)
26	25	opeq2d 4811	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → ⟨(𝑣‘𝐹), (𝑣 ∘ 𝑂)⟩ = ⟨(𝑣‘𝐹), 𝑂⟩)
27	23, 26	eqtrd 2778	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → (𝑣( ·𝑠 ‘𝑈)⟨𝐹, 𝑂⟩) = ⟨(𝑣‘𝐹), 𝑂⟩)
28	27	eqeq2d 2749	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → (𝑢 = (𝑣( ·𝑠 ‘𝑈)⟨𝐹, 𝑂⟩) ↔ 𝑢 = ⟨(𝑣‘𝐹), 𝑂⟩))
29	28	rexbidva 3225	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (∃𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)𝑢 = (𝑣( ·𝑠 ‘𝑈)⟨𝐹, 𝑂⟩) ↔ ∃𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)𝑢 = ⟨(𝑣‘𝐹), 𝑂⟩))
30	3, 4, 6	tendocl 38781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑣‘𝐹) ∈ 𝑇)
31	30	3expa 1117	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑣‘𝐹) ∈ 𝑇)
32	31	an32s 649	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → (𝑣‘𝐹) ∈ 𝑇)
33		opelxpi 5626	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑣‘𝐹) ∈ 𝑇 ∧ 𝑂 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → ⟨(𝑣‘𝐹), 𝑂⟩ ∈ (𝑇 × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)))
34	32, 20, 33	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → ⟨(𝑣‘𝐹), 𝑂⟩ ∈ (𝑇 × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)))
35		eleq1a 2834	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨(𝑣‘𝐹), 𝑂⟩ ∈ (𝑇 × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → (𝑢 = ⟨(𝑣‘𝐹), 𝑂⟩ → 𝑢 ∈ (𝑇 × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))))
36	34, 35	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → (𝑢 = ⟨(𝑣‘𝐹), 𝑂⟩ → 𝑢 ∈ (𝑇 × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))))
37	36	rexlimdva 3213	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (∃𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)𝑢 = ⟨(𝑣‘𝐹), 𝑂⟩ → 𝑢 ∈ (𝑇 × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))))
38	37	pm4.71rd 563	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (∃𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)𝑢 = ⟨(𝑣‘𝐹), 𝑂⟩ ↔ (𝑢 ∈ (𝑇 × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) ∧ ∃𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)𝑢 = ⟨(𝑣‘𝐹), 𝑂⟩)))
39	15, 29, 38	3bitrd 305	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (∃𝑣 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))𝑢 = (𝑣( ·𝑠 ‘𝑈)⟨𝐹, 𝑂⟩) ↔ (𝑢 ∈ (𝑇 × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) ∧ ∃𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)𝑢 = ⟨(𝑣‘𝐹), 𝑂⟩)))
40	39	abbidv 2807	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → {𝑢 ∣ ∃𝑣 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))𝑢 = (𝑣( ·𝑠 ‘𝑈)⟨𝐹, 𝑂⟩)} = {𝑢 ∣ (𝑢 ∈ (𝑇 × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) ∧ ∃𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)𝑢 = ⟨(𝑣‘𝐹), 𝑂⟩)})
41	1, 9, 40	3eqtr4a 2804	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝐼‘(𝑅‘𝐹)) = {𝑢 ∣ ∃𝑣 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))𝑢 = (𝑣( ·𝑠 ‘𝑈)⟨𝐹, 𝑂⟩)})
42		simpl 483	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
43	3, 10, 42	dvhlmod 39124	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝑈 ∈ LMod)
44		simpr 485	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝐹 ∈ 𝑇)
45	19	adantr 481	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝑂 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
46		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
47	3, 4, 6, 10, 46	dvhelvbasei 39102	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑂 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))) → ⟨𝐹, 𝑂⟩ ∈ (Base‘𝑈))
48	42, 44, 45, 47	syl12anc 834	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ⟨𝐹, 𝑂⟩ ∈ (Base‘𝑈))
49		dib1dim2.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
50	11, 12, 46, 21, 49	lspsn 20264	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ ⟨𝐹, 𝑂⟩ ∈ (Base‘𝑈)) → (𝑁‘{⟨𝐹, 𝑂⟩}) = {𝑢 ∣ ∃𝑣 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))𝑢 = (𝑣( ·𝑠 ‘𝑈)⟨𝐹, 𝑂⟩)})
51	43, 48, 50	syl2anc 584	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑁‘{⟨𝐹, 𝑂⟩}) = {𝑢 ∣ ∃𝑣 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))𝑢 = (𝑣( ·𝑠 ‘𝑈)⟨𝐹, 𝑂⟩)})
52	41, 51	eqtr4d 2781	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝐼‘(𝑅‘𝐹)) = (𝑁‘{⟨𝐹, 𝑂⟩}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  {cab 2715  ∃wrex 3065  {crab 3068  {csn 4561  ⟨cop 4567   ↦ cmpt 5157   I cid 5488   × cxp 5587   ↾ cres 5591   ∘ ccom 5593  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912  Scalarcsca 16965   ·_𝑠 cvsca 16966  LModclmod 20123  LSpanclspn 20233  HLchlt 37364  LHypclh 37998  LTrncltrn 38115  trLctrl 38172  TEndoctendo 38766  DVecHcdvh 39092  DIsoBcdib 39152

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-riotaBAD 36967

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-tpos 8042  df-undef 8089  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-0g 17152  df-proset 18013  df-poset 18031  df-plt 18048  df-lub 18064  df-glb 18065  df-join 18066  df-meet 18067  df-p0 18143  df-p1 18144  df-lat 18150  df-clat 18217  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-oppr 19862  df-dvdsr 19883  df-unit 19884  df-invr 19914  df-dvr 19925  df-drng 19993  df-lmod 20125  df-lss 20194  df-lsp 20234  df-lvec 20365  df-oposet 37190  df-ol 37192  df-oml 37193  df-covers 37280  df-ats 37281  df-atl 37312  df-cvlat 37336  df-hlat 37365  df-llines 37512  df-lplanes 37513  df-lvols 37514  df-lines 37515  df-psubsp 37517  df-pmap 37518  df-padd 37810  df-lhyp 38002  df-laut 38003  df-ldil 38118  df-ltrn 38119  df-trl 38173  df-tendo 38769  df-edring 38771  df-disoa 39043  df-dvech 39093  df-dib 39153

This theorem is referenced by:  cdlemn2a  39210  dih1dimb  39254  dih1dimatlem  39343