Theorem dib1dim2 39109

Description: Two expressions for a 1-dimensional subspace of vector space H (when 𝐹 is a nonzero vector i.e. non-identity translation). (Contributed by NM, 24-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dib1dim2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
dib1dim2.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dib1dim2.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dib1dim2.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
dib1dim2.o	⊢ 𝑂 = (ℎ ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
dib1dim2.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dib1dim2.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
dib1dim2.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
dib1dim2	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝐼‘(𝑅‘𝐹)) = (𝑁‘{⟨𝐹, 𝑂⟩}))

Distinct variable groups:   𝐵,ℎ   ℎ,𝐾   𝑇,ℎ   ℎ,𝑊

Allowed substitution hints:   𝑅(ℎ)   𝑈(ℎ)   𝐹(ℎ)   𝐻(ℎ)   𝐼(ℎ)   𝑁(ℎ)   𝑂(ℎ)

Proof of Theorem dib1dim2

Dummy variables 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rab 3072	. . 3 ⊢ {𝑢 ∈ (𝑇 × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) ∣ ∃𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)𝑢 = ⟨(𝑣‘𝐹), 𝑂⟩} = {𝑢 ∣ (𝑢 ∈ (𝑇 × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) ∧ ∃𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)𝑢 = ⟨(𝑣‘𝐹), 𝑂⟩)}
2		dib1dim2.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		dib1dim2.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		dib1dim2.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5		dib1dim2.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
6		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
7		dib1dim2.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (ℎ ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
8		dib1dim2.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
9	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	dib1dim 39106	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝐼‘(𝑅‘𝐹)) = {𝑢 ∈ (𝑇 × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) ∣ ∃𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)𝑢 = ⟨(𝑣‘𝐹), 𝑂⟩})
10		dib1dim2.u	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
11		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
12		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑈)) = (Base‘(Scalar‘𝑈))
13	3, 6, 10, 11, 12	dvhbase 39024	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (Base‘(Scalar‘𝑈)) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
14	13	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (Base‘(Scalar‘𝑈)) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
15	14	rexeqdv 3340	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (∃𝑣 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))𝑢 = (𝑣( ·𝑠 ‘𝑈)⟨𝐹, 𝑂⟩) ↔ ∃𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)𝑢 = (𝑣( ·𝑠 ‘𝑈)⟨𝐹, 𝑂⟩)))
16		simpll 763	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
17		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → 𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
18		simplr 765	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → 𝐹 ∈ 𝑇)
19	2, 3, 4, 6, 7	tendo0cl 38731	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑂 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
20	19	ad2antrr 722	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → 𝑂 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
21		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑈) = ( ·𝑠 ‘𝑈)
22	3, 4, 6, 10, 21	dvhopvsca 39043	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑂 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))) → (𝑣( ·𝑠 ‘𝑈)⟨𝐹, 𝑂⟩) = ⟨(𝑣‘𝐹), (𝑣 ∘ 𝑂)⟩)
23	16, 17, 18, 20, 22	syl13anc 1370	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → (𝑣( ·𝑠 ‘𝑈)⟨𝐹, 𝑂⟩) = ⟨(𝑣‘𝐹), (𝑣 ∘ 𝑂)⟩)
24	2, 3, 4, 6, 7	tendo0mulr 38768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → (𝑣 ∘ 𝑂) = 𝑂)
25	24	adantlr 711	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → (𝑣 ∘ 𝑂) = 𝑂)
26	25	opeq2d 4808	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → ⟨(𝑣‘𝐹), (𝑣 ∘ 𝑂)⟩ = ⟨(𝑣‘𝐹), 𝑂⟩)
27	23, 26	eqtrd 2778	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → (𝑣( ·𝑠 ‘𝑈)⟨𝐹, 𝑂⟩) = ⟨(𝑣‘𝐹), 𝑂⟩)
28	27	eqeq2d 2749	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → (𝑢 = (𝑣( ·𝑠 ‘𝑈)⟨𝐹, 𝑂⟩) ↔ 𝑢 = ⟨(𝑣‘𝐹), 𝑂⟩))
29	28	rexbidva 3224	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (∃𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)𝑢 = (𝑣( ·𝑠 ‘𝑈)⟨𝐹, 𝑂⟩) ↔ ∃𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)𝑢 = ⟨(𝑣‘𝐹), 𝑂⟩))
30	3, 4, 6	tendocl 38708	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑣‘𝐹) ∈ 𝑇)
31	30	3expa 1116	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑣‘𝐹) ∈ 𝑇)
32	31	an32s 648	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → (𝑣‘𝐹) ∈ 𝑇)
33		opelxpi 5617	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑣‘𝐹) ∈ 𝑇 ∧ 𝑂 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → ⟨(𝑣‘𝐹), 𝑂⟩ ∈ (𝑇 × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)))
34	32, 20, 33	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → ⟨(𝑣‘𝐹), 𝑂⟩ ∈ (𝑇 × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)))
35		eleq1a 2834	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨(𝑣‘𝐹), 𝑂⟩ ∈ (𝑇 × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → (𝑢 = ⟨(𝑣‘𝐹), 𝑂⟩ → 𝑢 ∈ (𝑇 × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))))
36	34, 35	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → (𝑢 = ⟨(𝑣‘𝐹), 𝑂⟩ → 𝑢 ∈ (𝑇 × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))))
37	36	rexlimdva 3212	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (∃𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)𝑢 = ⟨(𝑣‘𝐹), 𝑂⟩ → 𝑢 ∈ (𝑇 × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))))
38	37	pm4.71rd 562	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (∃𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)𝑢 = ⟨(𝑣‘𝐹), 𝑂⟩ ↔ (𝑢 ∈ (𝑇 × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) ∧ ∃𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)𝑢 = ⟨(𝑣‘𝐹), 𝑂⟩)))
39	15, 29, 38	3bitrd 304	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (∃𝑣 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))𝑢 = (𝑣( ·𝑠 ‘𝑈)⟨𝐹, 𝑂⟩) ↔ (𝑢 ∈ (𝑇 × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) ∧ ∃𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)𝑢 = ⟨(𝑣‘𝐹), 𝑂⟩)))
40	39	abbidv 2808	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → {𝑢 ∣ ∃𝑣 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))𝑢 = (𝑣( ·𝑠 ‘𝑈)⟨𝐹, 𝑂⟩)} = {𝑢 ∣ (𝑢 ∈ (𝑇 × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) ∧ ∃𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)𝑢 = ⟨(𝑣‘𝐹), 𝑂⟩)})
41	1, 9, 40	3eqtr4a 2805	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝐼‘(𝑅‘𝐹)) = {𝑢 ∣ ∃𝑣 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))𝑢 = (𝑣( ·𝑠 ‘𝑈)⟨𝐹, 𝑂⟩)})
42		simpl 482	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
43	3, 10, 42	dvhlmod 39051	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝑈 ∈ LMod)
44		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝐹 ∈ 𝑇)
45	19	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝑂 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
46		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
47	3, 4, 6, 10, 46	dvhelvbasei 39029	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑂 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))) → ⟨𝐹, 𝑂⟩ ∈ (Base‘𝑈))
48	42, 44, 45, 47	syl12anc 833	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ⟨𝐹, 𝑂⟩ ∈ (Base‘𝑈))
49		dib1dim2.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
50	11, 12, 46, 21, 49	lspsn 20179	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ ⟨𝐹, 𝑂⟩ ∈ (Base‘𝑈)) → (𝑁‘{⟨𝐹, 𝑂⟩}) = {𝑢 ∣ ∃𝑣 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))𝑢 = (𝑣( ·𝑠 ‘𝑈)⟨𝐹, 𝑂⟩)})
51	43, 48, 50	syl2anc 583	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑁‘{⟨𝐹, 𝑂⟩}) = {𝑢 ∣ ∃𝑣 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))𝑢 = (𝑣( ·𝑠 ‘𝑈)⟨𝐹, 𝑂⟩)})
52	41, 51	eqtr4d 2781	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝐼‘(𝑅‘𝐹)) = (𝑁‘{⟨𝐹, 𝑂⟩}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  {cab 2715  ∃wrex 3064  {crab 3067  {csn 4558  ⟨cop 4564   ↦ cmpt 5153   I cid 5479   × cxp 5578   ↾ cres 5582   ∘ ccom 5584  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Basecbs 16840  Scalarcsca 16891   ·_𝑠 cvsca 16892  LModclmod 20038  LSpanclspn 20148  HLchlt 37291  LHypclh 37925  LTrncltrn 38042  trLctrl 38099  TEndoctendo 38693  DVecHcdvh 39019  DIsoBcdib 39079

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-riotaBAD 36894

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-tpos 8013  df-undef 8060  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-0g 17069  df-proset 17928  df-poset 17946  df-plt 17963  df-lub 17979  df-glb 17980  df-join 17981  df-meet 17982  df-p0 18058  df-p1 18059  df-lat 18065  df-clat 18132  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-oppr 19777  df-dvdsr 19798  df-unit 19799  df-invr 19829  df-dvr 19840  df-drng 19908  df-lmod 20040  df-lss 20109  df-lsp 20149  df-lvec 20280  df-oposet 37117  df-ol 37119  df-oml 37120  df-covers 37207  df-ats 37208  df-atl 37239  df-cvlat 37263  df-hlat 37292  df-llines 37439  df-lplanes 37440  df-lvols 37441  df-lines 37442  df-psubsp 37444  df-pmap 37445  df-padd 37737  df-lhyp 37929  df-laut 37930  df-ldil 38045  df-ltrn 38046  df-trl 38100  df-tendo 38696  df-edring 38698  df-disoa 38970  df-dvech 39020  df-dib 39080

This theorem is referenced by:  cdlemn2a  39137  dih1dimb  39181  dih1dimatlem  39270