Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dib1dim2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dib1dim2 38770
 Description: Two expressions for a 1-dimensional subspace of vector space H (when 𝐹 is a nonzero vector i.e. non-identity translation). (Contributed by NM, 24-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dib1dim2.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
dib1dim2.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dib1dim2.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dib1dim2.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
dib1dim2.o 𝑂 = (𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
dib1dim2.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dib1dim2.i 𝐼 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
dib1dim2.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
Assertion
Ref Expression
dib1dim2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝐼‘(𝑅𝐹)) = (𝑁‘{⟨𝐹, 𝑂⟩}))
Distinct variable groups:   𝐵,   ,𝐾   𝑇,   ,𝑊
Allowed substitution hints:   𝑅()   𝑈()   𝐹()   𝐻()   𝐼()   𝑁()   𝑂()

Proof of Theorem dib1dim2
Dummy variables 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-rab 3079 . . 3 {𝑢 ∈ (𝑇 × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) ∣ ∃𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)𝑢 = ⟨(𝑣𝐹), 𝑂⟩} = {𝑢 ∣ (𝑢 ∈ (𝑇 × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) ∧ ∃𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)𝑢 = ⟨(𝑣𝐹), 𝑂⟩)}
2 dib1dim2.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
3 dib1dim2.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4 dib1dim2.t . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5 dib1dim2.r . . . 4 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
6 eqid 2758 . . . 4 ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
7 dib1dim2.o . . . 4 𝑂 = (𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
8 dib1dim2.i . . . 4 𝐼 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
92, 3, 4, 5, 6, 7, 8dib1dim 38767 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝐼‘(𝑅𝐹)) = {𝑢 ∈ (𝑇 × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) ∣ ∃𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)𝑢 = ⟨(𝑣𝐹), 𝑂⟩})
10 dib1dim2.u . . . . . . . 8 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
11 eqid 2758 . . . . . . . 8 (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
12 eqid 2758 . . . . . . . 8 (Base‘(Scalar‘𝑈)) = (Base‘(Scalar‘𝑈))
133, 6, 10, 11, 12dvhbase 38685 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (Base‘(Scalar‘𝑈)) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
1413adantr 484 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (Base‘(Scalar‘𝑈)) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
1514rexeqdv 3330 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (∃𝑣 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))𝑢 = (𝑣( ·𝑠𝑈)⟨𝐹, 𝑂⟩) ↔ ∃𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)𝑢 = (𝑣( ·𝑠𝑈)⟨𝐹, 𝑂⟩)))
16 simpll 766 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
17 simpr 488 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → 𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
18 simplr 768 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → 𝐹𝑇)
192, 3, 4, 6, 7tendo0cl 38392 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑂 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
2019ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → 𝑂 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
21 eqid 2758 . . . . . . . . . 10 ( ·𝑠𝑈) = ( ·𝑠𝑈)
223, 4, 6, 10, 21dvhopvsca 38704 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝑂 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))) → (𝑣( ·𝑠𝑈)⟨𝐹, 𝑂⟩) = ⟨(𝑣𝐹), (𝑣𝑂)⟩)
2316, 17, 18, 20, 22syl13anc 1369 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → (𝑣( ·𝑠𝑈)⟨𝐹, 𝑂⟩) = ⟨(𝑣𝐹), (𝑣𝑂)⟩)
242, 3, 4, 6, 7tendo0mulr 38429 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → (𝑣𝑂) = 𝑂)
2524adantlr 714 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → (𝑣𝑂) = 𝑂)
2625opeq2d 4773 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → ⟨(𝑣𝐹), (𝑣𝑂)⟩ = ⟨(𝑣𝐹), 𝑂⟩)
2723, 26eqtrd 2793 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → (𝑣( ·𝑠𝑈)⟨𝐹, 𝑂⟩) = ⟨(𝑣𝐹), 𝑂⟩)
2827eqeq2d 2769 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → (𝑢 = (𝑣( ·𝑠𝑈)⟨𝐹, 𝑂⟩) ↔ 𝑢 = ⟨(𝑣𝐹), 𝑂⟩))
2928rexbidva 3220 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (∃𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)𝑢 = (𝑣( ·𝑠𝑈)⟨𝐹, 𝑂⟩) ↔ ∃𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)𝑢 = ⟨(𝑣𝐹), 𝑂⟩))
303, 4, 6tendocl 38369 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑣𝐹) ∈ 𝑇)
31303expa 1115 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑣𝐹) ∈ 𝑇)
3231an32s 651 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → (𝑣𝐹) ∈ 𝑇)
33 opelxpi 5564 . . . . . . . . 9 (((𝑣𝐹) ∈ 𝑇𝑂 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → ⟨(𝑣𝐹), 𝑂⟩ ∈ (𝑇 × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)))
3432, 20, 33syl2anc 587 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → ⟨(𝑣𝐹), 𝑂⟩ ∈ (𝑇 × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)))
35 eleq1a 2847 . . . . . . . 8 (⟨(𝑣𝐹), 𝑂⟩ ∈ (𝑇 × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → (𝑢 = ⟨(𝑣𝐹), 𝑂⟩ → 𝑢 ∈ (𝑇 × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))))
3634, 35syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → (𝑢 = ⟨(𝑣𝐹), 𝑂⟩ → 𝑢 ∈ (𝑇 × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))))
3736rexlimdva 3208 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (∃𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)𝑢 = ⟨(𝑣𝐹), 𝑂⟩ → 𝑢 ∈ (𝑇 × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))))
3837pm4.71rd 566 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (∃𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)𝑢 = ⟨(𝑣𝐹), 𝑂⟩ ↔ (𝑢 ∈ (𝑇 × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) ∧ ∃𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)𝑢 = ⟨(𝑣𝐹), 𝑂⟩)))
3915, 29, 383bitrd 308 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (∃𝑣 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))𝑢 = (𝑣( ·𝑠𝑈)⟨𝐹, 𝑂⟩) ↔ (𝑢 ∈ (𝑇 × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) ∧ ∃𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)𝑢 = ⟨(𝑣𝐹), 𝑂⟩)))
4039abbidv 2822 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → {𝑢 ∣ ∃𝑣 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))𝑢 = (𝑣( ·𝑠𝑈)⟨𝐹, 𝑂⟩)} = {𝑢 ∣ (𝑢 ∈ (𝑇 × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) ∧ ∃𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)𝑢 = ⟨(𝑣𝐹), 𝑂⟩)})
411, 9, 403eqtr4a 2819 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝐼‘(𝑅𝐹)) = {𝑢 ∣ ∃𝑣 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))𝑢 = (𝑣( ·𝑠𝑈)⟨𝐹, 𝑂⟩)})
42 simpl 486 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
433, 10, 42dvhlmod 38712 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝑈 ∈ LMod)
44 simpr 488 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹𝑇)
4519adantr 484 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝑂 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
46 eqid 2758 . . . . 5 (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
473, 4, 6, 10, 46dvhelvbasei 38690 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑂 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))) → ⟨𝐹, 𝑂⟩ ∈ (Base‘𝑈))
4842, 44, 45, 47syl12anc 835 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → ⟨𝐹, 𝑂⟩ ∈ (Base‘𝑈))
49 dib1dim2.n . . . 4 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
5011, 12, 46, 21, 49lspsn 19847 . . 3 ((𝑈 ∈ LMod ∧ ⟨𝐹, 𝑂⟩ ∈ (Base‘𝑈)) → (𝑁‘{⟨𝐹, 𝑂⟩}) = {𝑢 ∣ ∃𝑣 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))𝑢 = (𝑣( ·𝑠𝑈)⟨𝐹, 𝑂⟩)})
5143, 48, 50syl2anc 587 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑁‘{⟨𝐹, 𝑂⟩}) = {𝑢 ∣ ∃𝑣 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))𝑢 = (𝑣( ·𝑠𝑈)⟨𝐹, 𝑂⟩)})
5241, 51eqtr4d 2796 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝐼‘(𝑅𝐹)) = (𝑁‘{⟨𝐹, 𝑂⟩}))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  {cab 2735  ∃wrex 3071  {crab 3074  {csn 4525  ⟨cop 4531   ↦ cmpt 5115   I cid 5432   × cxp 5525   ↾ cres 5529   ∘ ccom 5531  ‘cfv 6339  (class class class)co 7155  Basecbs 16546  Scalarcsca 16631   ·𝑠 cvsca 16632  LModclmod 19707  LSpanclspn 19816  HLchlt 36952  LHypclh 37586  LTrncltrn 37703  trLctrl 37760  TEndoctendo 38354  DVecHcdvh 38680  DIsoBcdib 38740 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5159  ax-sep 5172  ax-nul 5179  ax-pow 5237  ax-pr 5301  ax-un 7464  ax-cnex 10636  ax-resscn 10637  ax-1cn 10638  ax-icn 10639  ax-addcl 10640  ax-addrcl 10641  ax-mulcl 10642  ax-mulrcl 10643  ax-mulcom 10644  ax-addass 10645  ax-mulass 10646  ax-distr 10647  ax-i2m1 10648  ax-1ne0 10649  ax-1rid 10650  ax-rnegex 10651  ax-rrecex 10652  ax-cnre 10653  ax-pre-lttri 10654  ax-pre-lttrn 10655  ax-pre-ltadd 10656  ax-pre-mulgt0 10657  ax-riotaBAD 36555 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-iin 4889  df-br 5036  df-opab 5098  df-mpt 5116  df-tr 5142  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7585  df-1st 7698  df-2nd 7699  df-tpos 7907  df-undef 7954  df-wrecs 7962  df-recs 8023  df-rdg 8061  df-1o 8117  df-er 8304  df-map 8423  df-en 8533  df-dom 8534  df-sdom 8535  df-fin 8536  df-pnf 10720  df-mnf 10721  df-xr 10722  df-ltxr 10723  df-le 10724  df-sub 10915  df-neg 10916  df-nn 11680  df-2 11742  df-3 11743  df-4 11744  df-5 11745  df-6 11746  df-n0 11940  df-z 12026  df-uz 12288  df-fz 12945  df-struct 16548  df-ndx 16549  df-slot 16550  df-base 16552  df-sets 16553  df-ress 16554  df-plusg 16641  df-mulr 16642  df-sca 16644  df-vsca 16645  df-0g 16778  df-proset 17609  df-poset 17627  df-plt 17639  df-lub 17655  df-glb 17656  df-join 17657  df-meet 17658  df-p0 17720  df-p1 17721  df-lat 17727  df-clat 17789  df-mgm 17923  df-sgrp 17972  df-mnd 17983  df-grp 18177  df-minusg 18178  df-sbg 18179  df-mgp 19313  df-ur 19325  df-ring 19372  df-oppr 19449  df-dvdsr 19467  df-unit 19468  df-invr 19498  df-dvr 19509  df-drng 19577  df-lmod 19709  df-lss 19777  df-lsp 19817  df-lvec 19948  df-oposet 36778  df-ol 36780  df-oml 36781  df-covers 36868  df-ats 36869  df-atl 36900  df-cvlat 36924  df-hlat 36953  df-llines 37100  df-lplanes 37101  df-lvols 37102  df-lines 37103  df-psubsp 37105  df-pmap 37106  df-padd 37398  df-lhyp 37590  df-laut 37591  df-ldil 37706  df-ltrn 37707  df-trl 37761  df-tendo 38357  df-edring 38359  df-disoa 38631  df-dvech 38681  df-dib 38741 This theorem is referenced by:  cdlemn2a  38798  dih1dimb  38842  dih1dimatlem  38931
 Copyright terms: Public domain W3C validator