Theorem dib1dim2 41756

Description: Two expressions for a 1-dimensional subspace of vector space H (when 𝐹 is a nonzero vector i.e. non-identity translation). (Contributed by NM, 24-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dib1dim2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
dib1dim2.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dib1dim2.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dib1dim2.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
dib1dim2.o	⊢ 𝑂 = (ℎ ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
dib1dim2.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dib1dim2.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
dib1dim2.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
dib1dim2	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝐼‘(𝑅‘𝐹)) = (𝑁‘{⟨𝐹, 𝑂⟩}))

Distinct variable groups:   𝐵,ℎ   ℎ,𝐾   𝑇,ℎ   ℎ,𝑊

Allowed substitution hints:   𝑅(ℎ)   𝑈(ℎ)   𝐹(ℎ)   𝐻(ℎ)   𝐼(ℎ)   𝑁(ℎ)   𝑂(ℎ)

Proof of Theorem dib1dim2

Dummy variables 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rab 3414	. . 3 ⊢ {𝑢 ∈ (𝑇 × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) ∣ ∃𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)𝑢 = ⟨(𝑣‘𝐹), 𝑂⟩} = {𝑢 ∣ (𝑢 ∈ (𝑇 × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) ∧ ∃𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)𝑢 = ⟨(𝑣‘𝐹), 𝑂⟩)}
2		dib1dim2.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		dib1dim2.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		dib1dim2.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5		dib1dim2.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
6		eqid 2761	. . . 4 ⊢ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
7		dib1dim2.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (ℎ ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
8		dib1dim2.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
9	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	dib1dim 41753	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝐼‘(𝑅‘𝐹)) = {𝑢 ∈ (𝑇 × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) ∣ ∃𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)𝑢 = ⟨(𝑣‘𝐹), 𝑂⟩})
10		dib1dim2.u	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
11		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
12		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑈)) = (Base‘(Scalar‘𝑈))
13	3, 6, 10, 11, 12	dvhbase 41671	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (Base‘(Scalar‘𝑈)) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
14	13	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (Base‘(Scalar‘𝑈)) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
15	14	rexeqdv 3320	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (∃𝑣 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))𝑢 = (𝑣( ·𝑠 ‘𝑈)⟨𝐹, 𝑂⟩) ↔ ∃𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)𝑢 = (𝑣( ·𝑠 ‘𝑈)⟨𝐹, 𝑂⟩)))
16		simpll 776	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
17		simpr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → 𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
18		simplr 778	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → 𝐹 ∈ 𝑇)
19	2, 3, 4, 6, 7	tendo0cl 41378	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑂 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
20	19	ad2antrr 736	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → 𝑂 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
21		eqid 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑈) = ( ·𝑠 ‘𝑈)
22	3, 4, 6, 10, 21	dvhopvsca 41690	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑂 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))) → (𝑣( ·𝑠 ‘𝑈)⟨𝐹, 𝑂⟩) = ⟨(𝑣‘𝐹), (𝑣 ∘ 𝑂)⟩)
23	16, 17, 18, 20, 22	syl13anc 1390	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → (𝑣( ·𝑠 ‘𝑈)⟨𝐹, 𝑂⟩) = ⟨(𝑣‘𝐹), (𝑣 ∘ 𝑂)⟩)
24	2, 3, 4, 6, 7	tendo0mulr 41415	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → (𝑣 ∘ 𝑂) = 𝑂)
25	24	adantlr 725	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → (𝑣 ∘ 𝑂) = 𝑂)
26	25	opeq2d 4837	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → ⟨(𝑣‘𝐹), (𝑣 ∘ 𝑂)⟩ = ⟨(𝑣‘𝐹), 𝑂⟩)
27	23, 26	eqtrd 2796	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → (𝑣( ·𝑠 ‘𝑈)⟨𝐹, 𝑂⟩) = ⟨(𝑣‘𝐹), 𝑂⟩)
28	27	eqeq2d 2772	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → (𝑢 = (𝑣( ·𝑠 ‘𝑈)⟨𝐹, 𝑂⟩) ↔ 𝑢 = ⟨(𝑣‘𝐹), 𝑂⟩))
29	28	rexbidva 3183	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (∃𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)𝑢 = (𝑣( ·𝑠 ‘𝑈)⟨𝐹, 𝑂⟩) ↔ ∃𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)𝑢 = ⟨(𝑣‘𝐹), 𝑂⟩))
30	3, 4, 6	tendocl 41355	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑣‘𝐹) ∈ 𝑇)
31	30	3expa 1130	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑣‘𝐹) ∈ 𝑇)
32	31	an32s 662	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → (𝑣‘𝐹) ∈ 𝑇)
33		opelxpi 5682	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑣‘𝐹) ∈ 𝑇 ∧ 𝑂 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → ⟨(𝑣‘𝐹), 𝑂⟩ ∈ (𝑇 × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)))
34	32, 20, 33	syl2anc 593	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → ⟨(𝑣‘𝐹), 𝑂⟩ ∈ (𝑇 × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)))
35		eleq1a 2856	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨(𝑣‘𝐹), 𝑂⟩ ∈ (𝑇 × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → (𝑢 = ⟨(𝑣‘𝐹), 𝑂⟩ → 𝑢 ∈ (𝑇 × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))))
36	34, 35	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → (𝑢 = ⟨(𝑣‘𝐹), 𝑂⟩ → 𝑢 ∈ (𝑇 × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))))
37	36	rexlimdva 3162	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (∃𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)𝑢 = ⟨(𝑣‘𝐹), 𝑂⟩ → 𝑢 ∈ (𝑇 × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))))
38	37	pm4.71rd 570	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (∃𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)𝑢 = ⟨(𝑣‘𝐹), 𝑂⟩ ↔ (𝑢 ∈ (𝑇 × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) ∧ ∃𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)𝑢 = ⟨(𝑣‘𝐹), 𝑂⟩)))
39	15, 29, 38	3bitrd 307	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (∃𝑣 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))𝑢 = (𝑣( ·𝑠 ‘𝑈)⟨𝐹, 𝑂⟩) ↔ (𝑢 ∈ (𝑇 × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) ∧ ∃𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)𝑢 = ⟨(𝑣‘𝐹), 𝑂⟩)))
40	39	abbidv 2827	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → {𝑢 ∣ ∃𝑣 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))𝑢 = (𝑣( ·𝑠 ‘𝑈)⟨𝐹, 𝑂⟩)} = {𝑢 ∣ (𝑢 ∈ (𝑇 × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) ∧ ∃𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)𝑢 = ⟨(𝑣‘𝐹), 𝑂⟩)})
41	1, 9, 40	3eqtr4a 2822	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝐼‘(𝑅‘𝐹)) = {𝑢 ∣ ∃𝑣 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))𝑢 = (𝑣( ·𝑠 ‘𝑈)⟨𝐹, 𝑂⟩)})
42		simpl 486	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
43	3, 10, 42	dvhlmod 41698	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝑈 ∈ LMod)
44		simpr 488	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝐹 ∈ 𝑇)
45	19	adantr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝑂 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
46		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
47	3, 4, 6, 10, 46	dvhelvbasei 41676	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑂 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))) → ⟨𝐹, 𝑂⟩ ∈ (Base‘𝑈))
48	42, 44, 45, 47	syl12anc 847	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ⟨𝐹, 𝑂⟩ ∈ (Base‘𝑈))
49		dib1dim2.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
50	11, 12, 46, 21, 49	lspsn 21049	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ ⟨𝐹, 𝑂⟩ ∈ (Base‘𝑈)) → (𝑁‘{⟨𝐹, 𝑂⟩}) = {𝑢 ∣ ∃𝑣 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))𝑢 = (𝑣( ·𝑠 ‘𝑈)⟨𝐹, 𝑂⟩)})
51	43, 48, 50	syl2anc 593	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑁‘{⟨𝐹, 𝑂⟩}) = {𝑢 ∣ ∃𝑣 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))𝑢 = (𝑣( ·𝑠 ‘𝑈)⟨𝐹, 𝑂⟩)})
52	41, 51	eqtr4d 2799	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝐼‘(𝑅‘𝐹)) = (𝑁‘{⟨𝐹, 𝑂⟩}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  {cab 2739  ∃wrex 3085  {crab 3413  {csn 4581  ⟨cop 4587   ↦ cmpt 5180   I cid 5539   × cxp 5643   ↾ cres 5647   ∘ ccom 5649  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  Basecbs 17228  Scalarcsca 17272   ·_𝑠 cvsca 17273  LModclmod 20907  LSpanclspn 21018  HLchlt 39938  LHypclh 40572  LTrncltrn 40689  trLctrl 40746  TEndoctendo 41340  DVecHcdvh 41666  DIsoBcdib 41726

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147  ax-riotaBAD 39541

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-tpos 8201  df-undef 8248  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-er 8673  df-map 8805  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-n0 12479  df-z 12566  df-uz 12837  df-fz 13510  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17250  df-plusg 17282  df-mulr 17283  df-sca 17285  df-vsca 17286  df-0g 17453  df-proset 18309  df-poset 18328  df-plt 18343  df-lub 18359  df-glb 18360  df-join 18361  df-meet 18362  df-p0 18438  df-p1 18439  df-lat 18447  df-clat 18514  df-mgm 18657  df-sgrp 18736  df-mnd 18752  df-grp 18961  df-minusg 18962  df-sbg 18963  df-cmn 19805  df-abl 19806  df-mgp 20170  df-rng 20182  df-ur 20211  df-ring 20264  df-oppr 20365  df-dvdsr 20385  df-unit 20386  df-invr 20416  df-dvr 20429  df-drng 20760  df-lmod 20909  df-lss 20979  df-lsp 21019  df-lvec 21150  df-oposet 39764  df-ol 39766  df-oml 39767  df-covers 39854  df-ats 39855  df-atl 39886  df-cvlat 39910  df-hlat 39939  df-llines 40086  df-lplanes 40087  df-lvols 40088  df-lines 40089  df-psubsp 40091  df-pmap 40092  df-padd 40384  df-lhyp 40576  df-laut 40577  df-ldil 40692  df-ltrn 40693  df-trl 40747  df-tendo 41343  df-edring 41345  df-disoa 41617  df-dvech 41667  df-dib 41727

This theorem is referenced by:  cdlemn2a  41784  dih1dimb  41828  dih1dimatlem  41917