Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dib1dim2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dib1dim2 38174
Description: Two expressions for a 1-dimensional subspace of vector space H (when 𝐹 is a nonzero vector i.e. non-identity translation). (Contributed by NM, 24-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dib1dim2.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
dib1dim2.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dib1dim2.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dib1dim2.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
dib1dim2.o 𝑂 = (𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
dib1dim2.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dib1dim2.i 𝐼 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
dib1dim2.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
Assertion
Ref Expression
dib1dim2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝐼‘(𝑅𝐹)) = (𝑁‘{⟨𝐹, 𝑂⟩}))
Distinct variable groups:   𝐵,   ,𝐾   𝑇,   ,𝑊
Allowed substitution hints:   𝑅()   𝑈()   𝐹()   𝐻()   𝐼()   𝑁()   𝑂()

Proof of Theorem dib1dim2
Dummy variables 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-rab 3151 . . 3 {𝑢 ∈ (𝑇 × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) ∣ ∃𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)𝑢 = ⟨(𝑣𝐹), 𝑂⟩} = {𝑢 ∣ (𝑢 ∈ (𝑇 × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) ∧ ∃𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)𝑢 = ⟨(𝑣𝐹), 𝑂⟩)}
2 dib1dim2.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
3 dib1dim2.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4 dib1dim2.t . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5 dib1dim2.r . . . 4 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
6 eqid 2825 . . . 4 ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
7 dib1dim2.o . . . 4 𝑂 = (𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
8 dib1dim2.i . . . 4 𝐼 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
92, 3, 4, 5, 6, 7, 8dib1dim 38171 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝐼‘(𝑅𝐹)) = {𝑢 ∈ (𝑇 × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) ∣ ∃𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)𝑢 = ⟨(𝑣𝐹), 𝑂⟩})
10 dib1dim2.u . . . . . . . 8 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
11 eqid 2825 . . . . . . . 8 (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
12 eqid 2825 . . . . . . . 8 (Base‘(Scalar‘𝑈)) = (Base‘(Scalar‘𝑈))
133, 6, 10, 11, 12dvhbase 38089 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (Base‘(Scalar‘𝑈)) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
1413adantr 481 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (Base‘(Scalar‘𝑈)) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
1514rexeqdv 3421 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (∃𝑣 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))𝑢 = (𝑣( ·𝑠𝑈)⟨𝐹, 𝑂⟩) ↔ ∃𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)𝑢 = (𝑣( ·𝑠𝑈)⟨𝐹, 𝑂⟩)))
16 simpll 763 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
17 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → 𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
18 simplr 765 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → 𝐹𝑇)
192, 3, 4, 6, 7tendo0cl 37796 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑂 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
2019ad2antrr 722 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → 𝑂 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
21 eqid 2825 . . . . . . . . . 10 ( ·𝑠𝑈) = ( ·𝑠𝑈)
223, 4, 6, 10, 21dvhopvsca 38108 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝑂 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))) → (𝑣( ·𝑠𝑈)⟨𝐹, 𝑂⟩) = ⟨(𝑣𝐹), (𝑣𝑂)⟩)
2316, 17, 18, 20, 22syl13anc 1366 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → (𝑣( ·𝑠𝑈)⟨𝐹, 𝑂⟩) = ⟨(𝑣𝐹), (𝑣𝑂)⟩)
242, 3, 4, 6, 7tendo0mulr 37833 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → (𝑣𝑂) = 𝑂)
2524adantlr 711 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → (𝑣𝑂) = 𝑂)
2625opeq2d 4808 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → ⟨(𝑣𝐹), (𝑣𝑂)⟩ = ⟨(𝑣𝐹), 𝑂⟩)
2723, 26eqtrd 2860 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → (𝑣( ·𝑠𝑈)⟨𝐹, 𝑂⟩) = ⟨(𝑣𝐹), 𝑂⟩)
2827eqeq2d 2836 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → (𝑢 = (𝑣( ·𝑠𝑈)⟨𝐹, 𝑂⟩) ↔ 𝑢 = ⟨(𝑣𝐹), 𝑂⟩))
2928rexbidva 3300 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (∃𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)𝑢 = (𝑣( ·𝑠𝑈)⟨𝐹, 𝑂⟩) ↔ ∃𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)𝑢 = ⟨(𝑣𝐹), 𝑂⟩))
303, 4, 6tendocl 37773 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑣𝐹) ∈ 𝑇)
31303expa 1112 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑣𝐹) ∈ 𝑇)
3231an32s 648 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → (𝑣𝐹) ∈ 𝑇)
33 opelxpi 5590 . . . . . . . . 9 (((𝑣𝐹) ∈ 𝑇𝑂 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → ⟨(𝑣𝐹), 𝑂⟩ ∈ (𝑇 × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)))
3432, 20, 33syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → ⟨(𝑣𝐹), 𝑂⟩ ∈ (𝑇 × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)))
35 eleq1a 2912 . . . . . . . 8 (⟨(𝑣𝐹), 𝑂⟩ ∈ (𝑇 × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → (𝑢 = ⟨(𝑣𝐹), 𝑂⟩ → 𝑢 ∈ (𝑇 × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))))
3634, 35syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → (𝑢 = ⟨(𝑣𝐹), 𝑂⟩ → 𝑢 ∈ (𝑇 × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))))
3736rexlimdva 3288 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (∃𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)𝑢 = ⟨(𝑣𝐹), 𝑂⟩ → 𝑢 ∈ (𝑇 × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))))
3837pm4.71rd 563 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (∃𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)𝑢 = ⟨(𝑣𝐹), 𝑂⟩ ↔ (𝑢 ∈ (𝑇 × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) ∧ ∃𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)𝑢 = ⟨(𝑣𝐹), 𝑂⟩)))
3915, 29, 383bitrd 306 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (∃𝑣 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))𝑢 = (𝑣( ·𝑠𝑈)⟨𝐹, 𝑂⟩) ↔ (𝑢 ∈ (𝑇 × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) ∧ ∃𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)𝑢 = ⟨(𝑣𝐹), 𝑂⟩)))
4039abbidv 2889 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → {𝑢 ∣ ∃𝑣 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))𝑢 = (𝑣( ·𝑠𝑈)⟨𝐹, 𝑂⟩)} = {𝑢 ∣ (𝑢 ∈ (𝑇 × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) ∧ ∃𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)𝑢 = ⟨(𝑣𝐹), 𝑂⟩)})
411, 9, 403eqtr4a 2886 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝐼‘(𝑅𝐹)) = {𝑢 ∣ ∃𝑣 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))𝑢 = (𝑣( ·𝑠𝑈)⟨𝐹, 𝑂⟩)})
42 simpl 483 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
433, 10, 42dvhlmod 38116 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝑈 ∈ LMod)
44 simpr 485 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹𝑇)
4519adantr 481 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝑂 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
46 eqid 2825 . . . . 5 (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
473, 4, 6, 10, 46dvhelvbasei 38094 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑂 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))) → ⟨𝐹, 𝑂⟩ ∈ (Base‘𝑈))
4842, 44, 45, 47syl12anc 834 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → ⟨𝐹, 𝑂⟩ ∈ (Base‘𝑈))
49 dib1dim2.n . . . 4 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
5011, 12, 46, 21, 49lspsn 19697 . . 3 ((𝑈 ∈ LMod ∧ ⟨𝐹, 𝑂⟩ ∈ (Base‘𝑈)) → (𝑁‘{⟨𝐹, 𝑂⟩}) = {𝑢 ∣ ∃𝑣 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))𝑢 = (𝑣( ·𝑠𝑈)⟨𝐹, 𝑂⟩)})
5143, 48, 50syl2anc 584 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑁‘{⟨𝐹, 𝑂⟩}) = {𝑢 ∣ ∃𝑣 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))𝑢 = (𝑣( ·𝑠𝑈)⟨𝐹, 𝑂⟩)})
5241, 51eqtr4d 2863 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝐼‘(𝑅𝐹)) = (𝑁‘{⟨𝐹, 𝑂⟩}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  {cab 2803  wrex 3143  {crab 3146  {csn 4563  cop 4569  cmpt 5142   I cid 5457   × cxp 5551  cres 5555  ccom 5557  cfv 6351  (class class class)co 7151  Basecbs 16476  Scalarcsca 16561   ·𝑠 cvsca 16562  LModclmod 19557  LSpanclspn 19666  HLchlt 36356  LHypclh 36990  LTrncltrn 37107  trLctrl 37164  TEndoctendo 37758  DVecHcdvh 38084  DIsoBcdib 38144
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-13 2385  ax-ext 2797  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-riotaBAD 35959
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-int 4874  df-iun 4918  df-iin 4919  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-tpos 7886  df-undef 7933  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8282  df-map 8401  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12886  df-struct 16478  df-ndx 16479  df-slot 16480  df-base 16482  df-sets 16483  df-ress 16484  df-plusg 16571  df-mulr 16572  df-sca 16574  df-vsca 16575  df-0g 16708  df-proset 17531  df-poset 17549  df-plt 17561  df-lub 17577  df-glb 17578  df-join 17579  df-meet 17580  df-p0 17642  df-p1 17643  df-lat 17649  df-clat 17711  df-mgm 17845  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-grp 18039  df-minusg 18040  df-sbg 18041  df-mgp 19163  df-ur 19175  df-ring 19222  df-oppr 19296  df-dvdsr 19314  df-unit 19315  df-invr 19345  df-dvr 19356  df-drng 19427  df-lmod 19559  df-lss 19627  df-lsp 19667  df-lvec 19798  df-oposet 36182  df-ol 36184  df-oml 36185  df-covers 36272  df-ats 36273  df-atl 36304  df-cvlat 36328  df-hlat 36357  df-llines 36504  df-lplanes 36505  df-lvols 36506  df-lines 36507  df-psubsp 36509  df-pmap 36510  df-padd 36802  df-lhyp 36994  df-laut 36995  df-ldil 37110  df-ltrn 37111  df-trl 37165  df-tendo 37761  df-edring 37763  df-disoa 38035  df-dvech 38085  df-dib 38145
This theorem is referenced by:  cdlemn2a  38202  dih1dimb  38246  dih1dimatlem  38335
  Copyright terms: Public domain W3C validator