Theorem tskint 10745

Description: The intersection of an element of a transitive Tarski class is an element of the class. (Contributed by FL, 17-Apr-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
tskint	⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∩ 𝐴 ∈ 𝑇)

Proof of Theorem tskint

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1l 1197	. 2 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝑇 ∈ Tarski)
2		tskuni 10743	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → ∪ 𝐴 ∈ 𝑇)
3	2	3expa 1118	. . 3 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → ∪ 𝐴 ∈ 𝑇)
4	3	3adant3 1132	. 2 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∪ 𝐴 ∈ 𝑇)
5		intssuni 4951	. . 3 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → ∩ 𝐴 ⊆ ∪ 𝐴)
6	5	3ad2ant3 1135	. 2 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∩ 𝐴 ⊆ ∪ 𝐴)
7		tskss 10718	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ ∪ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ ∩ 𝐴 ⊆ ∪ 𝐴) → ∩ 𝐴 ∈ 𝑇)
8	1, 4, 6, 7	syl3anc 1371	1 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∩ 𝐴 ∈ 𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2939   ⊆ wss 3928  ∅c0 4302  ∪ cuni 4885  ∩ cint 4927  Tr wtr 5242  Tarskictsk 10708

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5262  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pow 5340  ax-pr 5404  ax-un 7692  ax-inf2 9601  ax-ac2 10423

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3419  df-v 3461  df-sbc 3758  df-csb 3874  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4303  df-if 4507  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4886  df-int 4928  df-iun 4976  df-iin 4977  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5209  df-tr 5243  df-id 5551  df-eprel 5557  df-po 5565  df-so 5566  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-rn 5664  df-res 5665  df-ima 5666  df-pred 6273  df-ord 6340  df-on 6341  df-lim 6342  df-suc 6343  df-iota 6468  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-isom 6525  df-riota 7333  df-ov 7380  df-oprab 7381  df-mpo 7382  df-om 7823  df-1st 7941  df-2nd 7942  df-frecs 8232  df-wrecs 8263  df-smo 8312  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-2o 8433  df-er 8670  df-map 8789  df-ixp 8858  df-en 8906  df-dom 8907  df-sdom 8908  df-fin 8909  df-oi 9470  df-har 9517  df-r1 9724  df-card 9899  df-aleph 9900  df-cf 9901  df-acn 9902  df-ac 10076  df-wina 10644  df-ina 10645  df-tsk 10709

This theorem is referenced by: (None)