Theorem tskint 10758

Description: The intersection of an element of a transitive Tarski class is an element of the class. (Contributed by FL, 17-Apr-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
tskint	⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∩ 𝐴 ∈ 𝑇)

Proof of Theorem tskint

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1l 1214	. 2 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝑇 ∈ Tarski)
2		tskuni 10756	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → ∪ 𝐴 ∈ 𝑇)
3	2	3expa 1134	. . 3 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → ∪ 𝐴 ∈ 𝑇)
4	3	3adant3 1148	. 2 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∪ 𝐴 ∈ 𝑇)
5		intssuni 4930	. . 3 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → ∩ 𝐴 ⊆ ∪ 𝐴)
6	5	3ad2ant3 1151	. 2 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∩ 𝐴 ⊆ ∪ 𝐴)
7		tskss 10731	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ ∪ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ ∩ 𝐴 ⊆ ∪ 𝐴) → ∩ 𝐴 ∈ 𝑇)
8	1, 4, 6, 7	syl3anc 1394	1 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∩ 𝐴 ∈ 𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960   ⊆ wss 3907  ∅c0 4288  ∪ cuni 4867  ∩ cint 4907  Tr wtr 5211  Tarskictsk 10721

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5231  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-inf2 9598  ax-ac2 10435

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-isom 6534  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-smo 8321  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-2o 8442  df-er 8682  df-map 8814  df-ixp 8884  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-oi 9460  df-har 9507  df-r1 9724  df-card 9913  df-aleph 9914  df-cf 9915  df-acn 9916  df-ac 10088  df-wina 10657  df-ina 10658  df-tsk 10722

This theorem is referenced by: (None)