Theorem tskint 10207

Description: The intersection of an element of a transitive Tarski class is an element of the class. (Contributed by FL, 17-Apr-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
tskint	⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∩ 𝐴 ∈ 𝑇)

Proof of Theorem tskint

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1l 1193	. 2 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝑇 ∈ Tarski)
2		tskuni 10205	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → ∪ 𝐴 ∈ 𝑇)
3	2	3expa 1114	. . 3 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → ∪ 𝐴 ∈ 𝑇)
4	3	3adant3 1128	. 2 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∪ 𝐴 ∈ 𝑇)
5		intssuni 4898	. . 3 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → ∩ 𝐴 ⊆ ∪ 𝐴)
6	5	3ad2ant3 1131	. 2 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∩ 𝐴 ⊆ ∪ 𝐴)
7		tskss 10180	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ ∪ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ ∩ 𝐴 ⊆ ∪ 𝐴) → ∩ 𝐴 ∈ 𝑇)
8	1, 4, 6, 7	syl3anc 1367	1 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∩ 𝐴 ∈ 𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3016   ⊆ wss 3936  ∅c0 4291  ∪ cuni 4838  ∩ cint 4876  Tr wtr 5172  Tarskictsk 10170

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-inf2 9104  ax-ac2 9885

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-iin 4922  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-se 5515  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-isom 6364  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-smo 7983  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-2o 8103  df-oadd 8106  df-er 8289  df-map 8408  df-ixp 8462  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-oi 8974  df-har 9022  df-r1 9193  df-card 9368  df-aleph 9369  df-cf 9370  df-acn 9371  df-ac 9542  df-wina 10106  df-ina 10107  df-tsk 10171

This theorem is referenced by: (None)