Theorem uzind4ALT 12824

Description: Induction on the upper set of integers that starts at an integer 𝑀. The last four hypotheses give us the substitution instances we need; the first two are the basis and the induction step. Either uzind4 12823 or uzind4ALT 12824 may be used; see comment for nnind 12167. (Contributed by NM, 7-Sep-2005.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
uzind4ALT.5	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝜓)
uzind4ALT.6	⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝜒 → 𝜃))
uzind4ALT.1	⊢ (𝑗 = 𝑀 → (𝜑 ↔ 𝜓))
uzind4ALT.2	⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝜑 ↔ 𝜒))
uzind4ALT.3	⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝜑 ↔ 𝜃))
uzind4ALT.4	⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝜑 ↔ 𝜏))

Assertion

Ref	Expression
uzind4ALT	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝜏)

Distinct variable groups:   𝑗,𝑁   𝜓,𝑗   𝜒,𝑗   𝜃,𝑗   𝜏,𝑗   𝜑,𝑘   𝑗,𝑘,𝑀

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗)   𝜓(𝑘)   𝜒(𝑘)   𝜃(𝑘)   𝜏(𝑘)   𝑁(𝑘)

Proof of Theorem uzind4ALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzind4ALT.1	. 2 ⊢ (𝑗 = 𝑀 → (𝜑 ↔ 𝜓))
2		uzind4ALT.2	. 2 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝜑 ↔ 𝜒))
3		uzind4ALT.3	. 2 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝜑 ↔ 𝜃))
4		uzind4ALT.4	. 2 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝜑 ↔ 𝜏))
5		uzind4ALT.5	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝜓)
6		uzind4ALT.6	. 2 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝜒 → 𝜃))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	uzind4 12823	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝜏)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  1c1 11031   + caddc 11033  ℤcz 12492  ℤ_≥cuz 12755

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12150  df-n0 12406  df-z 12493  df-uz 12756

This theorem is referenced by: (None)