Theorem uzind4 12824

Description: Induction on the upper set of integers that starts at an integer 𝑀. The first four hypotheses give us the substitution instances we need, and the last two are the basis and the induction step. (Contributed by NM, 7-Sep-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
uzind4.1	⊢ (𝑗 = 𝑀 → (𝜑 ↔ 𝜓))
uzind4.2	⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝜑 ↔ 𝜒))
uzind4.3	⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝜑 ↔ 𝜃))
uzind4.4	⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝜑 ↔ 𝜏))
uzind4.5	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝜓)
uzind4.6	⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝜒 → 𝜃))

Assertion

Ref	Expression
uzind4	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝜏)

Distinct variable groups:   𝑗,𝑁   𝜓,𝑗   𝜒,𝑗   𝜃,𝑗   𝜏,𝑗   𝜑,𝑘   𝑗,𝑘,𝑀

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗)   𝜓(𝑘)   𝜒(𝑘)   𝜃(𝑘)   𝜏(𝑘)   𝑁(𝑘)

Proof of Theorem uzind4

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzel2 12761	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
2		breq2 5103	. . 3 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → (𝑀 ≤ 𝑚 ↔ 𝑀 ≤ 𝑁))
3		eluzelz 12766	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
4		eluzle 12769	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑁)
5	2, 3, 4	elrabd 3649	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ {𝑚 ∈ ℤ ∣ 𝑀 ≤ 𝑚})
6		uzind4.1	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑀 → (𝜑 ↔ 𝜓))
7		uzind4.2	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝜑 ↔ 𝜒))
8		uzind4.3	. . 3 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝜑 ↔ 𝜃))
9		uzind4.4	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝜑 ↔ 𝜏))
10		uzind4.5	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝜓)
11		breq2 5103	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝑀 ≤ 𝑚 ↔ 𝑀 ≤ 𝑘))
12	11	elrab 3647	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑚 ∈ ℤ ∣ 𝑀 ≤ 𝑚} ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘))
13		eluz2 12762	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘))
14	13	biimpri 228	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
15	14	3expb 1121	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
16	12, 15	sylan2b 595	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ {𝑚 ∈ ℤ ∣ 𝑀 ≤ 𝑚}) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
17		uzind4.6	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝜒 → 𝜃))
18	16, 17	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ {𝑚 ∈ ℤ ∣ 𝑀 ≤ 𝑚}) → (𝜒 → 𝜃))
19	6, 7, 8, 9, 10, 18	uzind3 12591	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ {𝑚 ∈ ℤ ∣ 𝑀 ≤ 𝑚}) → 𝜏)
20	1, 5, 19	syl2anc 585	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝜏)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3400   class class class wbr 5099  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  1c1 11032   + caddc 11034   ≤ cle 11172  ℤcz 12493  ℤ_≥cuz 12756

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7683  ax-cnex 11087  ax-resscn 11088  ax-1cn 11089  ax-icn 11090  ax-addcl 11091  ax-addrcl 11092  ax-mulcl 11093  ax-mulrcl 11094  ax-mulcom 11095  ax-addass 11096  ax-mulass 11097  ax-distr 11098  ax-i2m1 11099  ax-1ne0 11100  ax-1rid 11101  ax-rnegex 11102  ax-rrecex 11103  ax-cnre 11104  ax-pre-lttri 11105  ax-pre-lttrn 11106  ax-pre-ltadd 11107  ax-pre-mulgt0 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-2nd 7937  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-er 8638  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-nn 12151  df-n0 12407  df-z 12494  df-uz 12757

This theorem is referenced by:  uzind4ALT  12825  uzind4s  12826  uzind4s2  12827  uzind4i  12828  seqexw  13945  seqcl2  13948  seqshft2  13956  seqsplit  13963  seqf1o  13971  seqid2  13976  clim2prod  15816  fprodabs  15902  fprodefsum  16023  seq1st  16503  1stcelcls  23410  caubl  25269  caublcls  25270  volsuplem  25517  cpnord  25898  bcmono  27249  sseqp1  34565  iprodefisumlem  35947  sdclem2  37956  seqpo  37961  mettrifi  37971  incssnn0  43031  dvgrat  44631  monoordxrv  45802  climsuselem1  45930  smonoord  47694