Theorem uzind4 12893

Description: Induction on the upper set of integers that starts at an integer 𝑀. The first four hypotheses give us the substitution instances we need, and the last two are the basis and the induction step. (Contributed by NM, 7-Sep-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
uzind4.1	⊢ (𝑗 = 𝑀 → (𝜑 ↔ 𝜓))
uzind4.2	⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝜑 ↔ 𝜒))
uzind4.3	⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝜑 ↔ 𝜃))
uzind4.4	⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝜑 ↔ 𝜏))
uzind4.5	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝜓)
uzind4.6	⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝜒 → 𝜃))

Assertion

Ref	Expression
uzind4	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝜏)

Distinct variable groups:   𝑗,𝑁   𝜓,𝑗   𝜒,𝑗   𝜃,𝑗   𝜏,𝑗   𝜑,𝑘   𝑗,𝑘,𝑀

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗)   𝜓(𝑘)   𝜒(𝑘)   𝜃(𝑘)   𝜏(𝑘)   𝑁(𝑘)

Proof of Theorem uzind4

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzel2 12830	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
2		breq2 5094	. . 3 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → (𝑀 ≤ 𝑚 ↔ 𝑀 ≤ 𝑁))
3		eluzelz 12835	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
4		eluzle 12838	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑁)
5	2, 3, 4	elrabd 3643	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ {𝑚 ∈ ℤ ∣ 𝑀 ≤ 𝑚})
6		uzind4.1	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑀 → (𝜑 ↔ 𝜓))
7		uzind4.2	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝜑 ↔ 𝜒))
8		uzind4.3	. . 3 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝜑 ↔ 𝜃))
9		uzind4.4	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝜑 ↔ 𝜏))
10		uzind4.5	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝜓)
11		breq2 5094	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝑀 ≤ 𝑚 ↔ 𝑀 ≤ 𝑘))
12	11	elrab 3641	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑚 ∈ ℤ ∣ 𝑀 ≤ 𝑚} ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘))
13		eluz2 12831	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘))
14	13	biimpri 230	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
15	14	3expb 1129	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
16	12, 15	sylan2b 602	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ {𝑚 ∈ ℤ ∣ 𝑀 ≤ 𝑚}) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
17		uzind4.6	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝜒 → 𝜃))
18	16, 17	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ {𝑚 ∈ ℤ ∣ 𝑀 ≤ 𝑚}) → (𝜒 → 𝜃))
19	6, 7, 8, 9, 10, 18	uzind3 12653	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ {𝑚 ∈ ℤ ∣ 𝑀 ≤ 𝑚}) → 𝜏)
20	1, 5, 19	syl2anc 592	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝜏)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1095   = wceq 1550   ∈ wcel 2132  {crab 3404   class class class wbr 5090  ‘cfv 6506  (class class class)co 7381  1c1 11060   + caddc 11062   ≤ cle 11203  ℤcz 12554  ℤ_≥cuz 12825

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5312  ax-pr 5380  ax-un 7703  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-nel 3052  df-ral 3067  df-rex 3077  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-pss 3915  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4856  df-iun 4941  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-tr 5198  df-id 5531  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-pred 6273  df-ord 6334  df-on 6335  df-lim 6336  df-suc 6337  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-riota 7338  df-ov 7384  df-oprab 7385  df-mpo 7386  df-om 7832  df-2nd 7956  df-frecs 8246  df-wrecs 8277  df-recs 8326  df-rdg 8365  df-er 8662  df-en 8913  df-dom 8914  df-sdom 8915  df-pnf 11204  df-mnf 11205  df-xr 11206  df-ltxr 11207  df-le 11208  df-sub 11402  df-neg 11403  df-nn 12197  df-n0 12468  df-z 12555  df-uz 12826

This theorem is referenced by:  uzind4ALT  12894  uzind4s  12895  uzind4s2  12896  uzind4i  12897  seqexw  14016  seqcl2  14019  seqshft2  14027  seqsplit  14034  seqf1o  14042  seqid2  14047  clim2prod  15890  fprodabs  15976  fprodefsum  16097  seq1st  16577  1stcelcls  23490  caubl  25339  caublcls  25340  volsuplem  25586  cpnord  25966  bcmono  27307  sseqp1  34636  iprodefisumlem  36028  sdclem2  38179  seqpo  38184  mettrifi  38194  incssnn0  43230  dvgrat  44826  monoordxrv  45993  climsuselem1  46121  smonoord  47909