Theorem uzind4 12936

Description: Induction on the upper set of integers that starts at an integer 𝑀. The first four hypotheses give us the substitution instances we need, and the last two are the basis and the induction step. (Contributed by NM, 7-Sep-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
uzind4.1	⊢ (𝑗 = 𝑀 → (𝜑 ↔ 𝜓))
uzind4.2	⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝜑 ↔ 𝜒))
uzind4.3	⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝜑 ↔ 𝜃))
uzind4.4	⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝜑 ↔ 𝜏))
uzind4.5	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝜓)
uzind4.6	⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝜒 → 𝜃))

Assertion

Ref	Expression
uzind4	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝜏)

Distinct variable groups:   𝑗,𝑁   𝜓,𝑗   𝜒,𝑗   𝜃,𝑗   𝜏,𝑗   𝜑,𝑘   𝑗,𝑘,𝑀

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗)   𝜓(𝑘)   𝜒(𝑘)   𝜃(𝑘)   𝜏(𝑘)   𝑁(𝑘)

Proof of Theorem uzind4

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzel2 12873	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
2		breq2 5112	. . 3 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → (𝑀 ≤ 𝑚 ↔ 𝑀 ≤ 𝑁))
3		eluzelz 12878	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
4		eluzle 12881	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑁)
5	2, 3, 4	elrabd 3651	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ {𝑚 ∈ ℤ ∣ 𝑀 ≤ 𝑚})
6		uzind4.1	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑀 → (𝜑 ↔ 𝜓))
7		uzind4.2	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝜑 ↔ 𝜒))
8		uzind4.3	. . 3 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝜑 ↔ 𝜃))
9		uzind4.4	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝜑 ↔ 𝜏))
10		uzind4.5	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝜓)
11		breq2 5112	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝑀 ≤ 𝑚 ↔ 𝑀 ≤ 𝑘))
12	11	elrab 3649	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑚 ∈ ℤ ∣ 𝑀 ≤ 𝑚} ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘))
13		eluz2 12874	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘))
14	13	biimpri 231	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
15	14	3expb 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
16	12, 15	sylan2b 605	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ {𝑚 ∈ ℤ ∣ 𝑀 ≤ 𝑚}) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
17		uzind4.6	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝜒 → 𝜃))
18	16, 17	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ {𝑚 ∈ ℤ ∣ 𝑀 ≤ 𝑚}) → (𝜒 → 𝜃))
19	6, 7, 8, 9, 10, 18	uzind3 12696	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ {𝑚 ∈ ℤ ∣ 𝑀 ≤ 𝑚}) → 𝜏)
20	1, 5, 19	syl2anc 595	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝜏)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1102   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  {crab 3415   class class class wbr 5108  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  1c1 11107   + caddc 11109   ≤ cle 11250  ℤcz 12597  ℤ_≥cuz 12868

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12869

This theorem is used by:  uzind4ALT  12937  uzind4s  12938  uzind4s2  12939  uzind4i  12940  seqexw  14060  seqcl2  14063  seqshft2  14071  seqsplit  14078  seqf1o  14086  seqid2  14091  clim2prod  15949  fprodabs  16035  fprodefsum  16155  seq1st  16635  1stcelcls  23629  caubl  25478  caublcls  25479  volsuplem  25725  cpnord  26105  bcmono  27452  sseqp1  34794  iprodefisumlem  36240  sdclem2  38421  seqpo  38426  mettrifi  38436  incssnn0  43470  dvgrat  45050  monoordxrv  46223  climsuselem1  46351  smonoord  48142