Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uzind4s Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uzind4s 12303
 Description: Induction on the upper set of integers that starts at an integer 𝑀, using explicit substitution. The hypotheses are the basis and the induction step. (Contributed by NM, 4-Nov-2005.)
Hypotheses
Ref Expression
uzind4s.1 (𝑀 ∈ ℤ → [𝑀 / 𝑘]𝜑)
uzind4s.2 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → (𝜑[(𝑘 + 1) / 𝑘]𝜑))
Assertion
Ref Expression
uzind4s (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → [𝑁 / 𝑘]𝜑)
Distinct variable group:   𝑘,𝑀
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝑁(𝑘)

Proof of Theorem uzind4s
Dummy variables 𝑚 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfsbcq2 3761 . 2 (𝑗 = 𝑀 → ([𝑗 / 𝑘]𝜑[𝑀 / 𝑘]𝜑))
2 sbequ 2091 . 2 (𝑗 = 𝑚 → ([𝑗 / 𝑘]𝜑 ↔ [𝑚 / 𝑘]𝜑))
3 dfsbcq2 3761 . 2 (𝑗 = (𝑚 + 1) → ([𝑗 / 𝑘]𝜑[(𝑚 + 1) / 𝑘]𝜑))
4 dfsbcq2 3761 . 2 (𝑗 = 𝑁 → ([𝑗 / 𝑘]𝜑[𝑁 / 𝑘]𝜑))
5 uzind4s.1 . 2 (𝑀 ∈ ℤ → [𝑀 / 𝑘]𝜑)
6 nfv 1916 . . . 4 𝑘 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)
7 nfs1v 2161 . . . . 5 𝑘[𝑚 / 𝑘]𝜑
8 nfsbc1v 3778 . . . . 5 𝑘[(𝑚 + 1) / 𝑘]𝜑
97, 8nfim 1898 . . . 4 𝑘([𝑚 / 𝑘]𝜑[(𝑚 + 1) / 𝑘]𝜑)
106, 9nfim 1898 . . 3 𝑘(𝑚 ∈ (ℤ𝑀) → ([𝑚 / 𝑘]𝜑[(𝑚 + 1) / 𝑘]𝜑))
11 eleq1w 2898 . . . 4 (𝑘 = 𝑚 → (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↔ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)))
12 sbequ12 2255 . . . . 5 (𝑘 = 𝑚 → (𝜑 ↔ [𝑚 / 𝑘]𝜑))
13 oveq1 7153 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑚 → (𝑘 + 1) = (𝑚 + 1))
1413sbceq1d 3763 . . . . 5 (𝑘 = 𝑚 → ([(𝑘 + 1) / 𝑘]𝜑[(𝑚 + 1) / 𝑘]𝜑))
1512, 14imbi12d 348 . . . 4 (𝑘 = 𝑚 → ((𝜑[(𝑘 + 1) / 𝑘]𝜑) ↔ ([𝑚 / 𝑘]𝜑[(𝑚 + 1) / 𝑘]𝜑)))
1611, 15imbi12d 348 . . 3 (𝑘 = 𝑚 → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → (𝜑[(𝑘 + 1) / 𝑘]𝜑)) ↔ (𝑚 ∈ (ℤ𝑀) → ([𝑚 / 𝑘]𝜑[(𝑚 + 1) / 𝑘]𝜑))))
17 uzind4s.2 . . 3 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → (𝜑[(𝑘 + 1) / 𝑘]𝜑))
1810, 16, 17chvarfv 2244 . 2 (𝑚 ∈ (ℤ𝑀) → ([𝑚 / 𝑘]𝜑[(𝑚 + 1) / 𝑘]𝜑))
191, 2, 3, 4, 5, 18uzind4 12301 1 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → [𝑁 / 𝑘]𝜑)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4  [wsb 2070   ∈ wcel 2115  [wsbc 3758  ‘cfv 6344  (class class class)co 7146  1c1 10532   + caddc 10534  ℤcz 11976  ℤ≥cuz 12238 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7452  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4826  df-iun 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-riota 7104  df-ov 7149  df-oprab 7150  df-mpo 7151  df-om 7572  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-n0 11893  df-z 11977  df-uz 12239 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator