Theorem uzind4s 12311

Description: Induction on the upper set of integers that starts at an integer 𝑀, using explicit substitution. The hypotheses are the basis and the induction step. (Contributed by NM, 4-Nov-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
uzind4s.1	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → [𝑀 / 𝑘]𝜑)
uzind4s.2	⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝜑 → [(𝑘 + 1) / 𝑘]𝜑))

Assertion

Ref	Expression
uzind4s	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → [𝑁 / 𝑘]𝜑)

Distinct variable group:   𝑘,𝑀

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝑁(𝑘)

Proof of Theorem uzind4s

Dummy variables 𝑚 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfsbcq2 3778	. 2 ⊢ (𝑗 = 𝑀 → ([𝑗 / 𝑘]𝜑 ↔ [𝑀 / 𝑘]𝜑))
2		sbequ 2089	. 2 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → ([𝑗 / 𝑘]𝜑 ↔ [𝑚 / 𝑘]𝜑))
3		dfsbcq2 3778	. 2 ⊢ (𝑗 = (𝑚 + 1) → ([𝑗 / 𝑘]𝜑 ↔ [(𝑚 + 1) / 𝑘]𝜑))
4		dfsbcq2 3778	. 2 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ([𝑗 / 𝑘]𝜑 ↔ [𝑁 / 𝑘]𝜑))
5		uzind4s.1	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → [𝑀 / 𝑘]𝜑)
6		nfv 1914	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)
7		nfs1v 2159	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘[𝑚 / 𝑘]𝜑
8		nfsbc1v 3795	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘[(𝑚 + 1) / 𝑘]𝜑
9	7, 8	nfim 1896	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘([𝑚 / 𝑘]𝜑 → [(𝑚 + 1) / 𝑘]𝜑)
10	6, 9	nfim 1896	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ([𝑚 / 𝑘]𝜑 → [(𝑚 + 1) / 𝑘]𝜑))
11		eleq1w 2898	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
12		sbequ12 2252	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝜑 ↔ [𝑚 / 𝑘]𝜑))
13		oveq1 7166	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝑘 + 1) = (𝑚 + 1))
14	13	sbceq1d 3780	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → ([(𝑘 + 1) / 𝑘]𝜑 ↔ [(𝑚 + 1) / 𝑘]𝜑))
15	12, 14	imbi12d 347	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → ((𝜑 → [(𝑘 + 1) / 𝑘]𝜑) ↔ ([𝑚 / 𝑘]𝜑 → [(𝑚 + 1) / 𝑘]𝜑)))
16	11, 15	imbi12d 347	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝜑 → [(𝑘 + 1) / 𝑘]𝜑)) ↔ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ([𝑚 / 𝑘]𝜑 → [(𝑚 + 1) / 𝑘]𝜑))))
17		uzind4s.2	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝜑 → [(𝑘 + 1) / 𝑘]𝜑))
18	10, 16, 17	chvarfv 2241	. 2 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ([𝑚 / 𝑘]𝜑 → [(𝑚 + 1) / 𝑘]𝜑))
19	1, 2, 3, 4, 5, 18	uzind4 12309	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → [𝑁 / 𝑘]𝜑)

Syntax hints:   → wi 4  [wsb 2068   ∈ wcel 2113  [wsbc 3775  ‘cfv 6358  (class class class)co 7159  1c1 10541   + caddc 10543  ℤcz 11984  ℤ_≥cuz 12246

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-nn 11642  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247

This theorem is referenced by: (None)