Theorem uzind4s 12895

Description: Induction on the upper set of integers that starts at an integer 𝑀, using explicit substitution. The hypotheses are the basis and the induction step. (Contributed by NM, 4-Nov-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
uzind4s.1	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → [𝑀 / 𝑘]𝜑)
uzind4s.2	⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝜑 → [(𝑘 + 1) / 𝑘]𝜑))

Assertion

Ref	Expression
uzind4s	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → [𝑁 / 𝑘]𝜑)

Distinct variable group:   𝑘,𝑀

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝑁(𝑘)

Proof of Theorem uzind4s

Dummy variables 𝑚 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfsbcq2 3738	. 2 ⊢ (𝑗 = 𝑀 → ([𝑗 / 𝑘]𝜑 ↔ [𝑀 / 𝑘]𝜑))
2		sbequ 2106	. 2 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → ([𝑗 / 𝑘]𝜑 ↔ [𝑚 / 𝑘]𝜑))
3		dfsbcq2 3738	. 2 ⊢ (𝑗 = (𝑚 + 1) → ([𝑗 / 𝑘]𝜑 ↔ [(𝑚 + 1) / 𝑘]𝜑))
4		dfsbcq2 3738	. 2 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ([𝑗 / 𝑘]𝜑 ↔ [𝑁 / 𝑘]𝜑))
5		uzind4s.1	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → [𝑀 / 𝑘]𝜑)
6		nfv 1924	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)
7		nfs1v 2180	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘[𝑚 / 𝑘]𝜑
8		nfsbc1v 3755	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘[(𝑚 + 1) / 𝑘]𝜑
9	7, 8	nfim 1906	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘([𝑚 / 𝑘]𝜑 → [(𝑚 + 1) / 𝑘]𝜑)
10	6, 9	nfim 1906	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ([𝑚 / 𝑘]𝜑 → [(𝑚 + 1) / 𝑘]𝜑))
11		eleq1w 2835	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
12		sbequ12 2276	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝜑 ↔ [𝑚 / 𝑘]𝜑))
13		oveq1 7388	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝑘 + 1) = (𝑚 + 1))
14	13	sbceq1d 3740	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → ([(𝑘 + 1) / 𝑘]𝜑 ↔ [(𝑚 + 1) / 𝑘]𝜑))
15	12, 14	imbi12d 346	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → ((𝜑 → [(𝑘 + 1) / 𝑘]𝜑) ↔ ([𝑚 / 𝑘]𝜑 → [(𝑚 + 1) / 𝑘]𝜑)))
16	11, 15	imbi12d 346	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝜑 → [(𝑘 + 1) / 𝑘]𝜑)) ↔ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ([𝑚 / 𝑘]𝜑 → [(𝑚 + 1) / 𝑘]𝜑))))
17		uzind4s.2	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝜑 → [(𝑘 + 1) / 𝑘]𝜑))
18	10, 16, 17	chvarfv 2265	. 2 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ([𝑚 / 𝑘]𝜑 → [(𝑚 + 1) / 𝑘]𝜑))
19	1, 2, 3, 4, 5, 18	uzind4 12893	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → [𝑁 / 𝑘]𝜑)

Syntax hints:   → wi 4  [wsb 2080   ∈ wcel 2132  [wsbc 3735  ‘cfv 6506  (class class class)co 7381  1c1 11060   + caddc 11062  ℤcz 12554  ℤ_≥cuz 12825

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5312  ax-pr 5380  ax-un 7703  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-nel 3052  df-ral 3067  df-rex 3077  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-pss 3915  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4856  df-iun 4941  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-tr 5198  df-id 5531  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-pred 6273  df-ord 6334  df-on 6335  df-lim 6336  df-suc 6337  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-riota 7338  df-ov 7384  df-oprab 7385  df-mpo 7386  df-om 7832  df-2nd 7956  df-frecs 8246  df-wrecs 8277  df-recs 8326  df-rdg 8365  df-er 8662  df-en 8913  df-dom 8914  df-sdom 8915  df-pnf 11204  df-mnf 11205  df-xr 11206  df-ltxr 11207  df-le 11208  df-sub 11402  df-neg 11403  df-nn 12197  df-n0 12468  df-z 12555  df-uz 12826

This theorem is referenced by: (None)