Theorem uzind4s 12822

Description: Induction on the upper set of integers that starts at an integer 𝑀, using explicit substitution. The hypotheses are the basis and the induction step. (Contributed by NM, 4-Nov-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
uzind4s.1	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → [𝑀 / 𝑘]𝜑)
uzind4s.2	⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝜑 → [(𝑘 + 1) / 𝑘]𝜑))

Assertion

Ref	Expression
uzind4s	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → [𝑁 / 𝑘]𝜑)

Distinct variable group:   𝑘,𝑀

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝑁(𝑘)

Proof of Theorem uzind4s

Dummy variables 𝑚 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfsbcq2 3732	. 2 ⊢ (𝑗 = 𝑀 → ([𝑗 / 𝑘]𝜑 ↔ [𝑀 / 𝑘]𝜑))
2		sbequ 2089	. 2 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → ([𝑗 / 𝑘]𝜑 ↔ [𝑚 / 𝑘]𝜑))
3		dfsbcq2 3732	. 2 ⊢ (𝑗 = (𝑚 + 1) → ([𝑗 / 𝑘]𝜑 ↔ [(𝑚 + 1) / 𝑘]𝜑))
4		dfsbcq2 3732	. 2 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ([𝑗 / 𝑘]𝜑 ↔ [𝑁 / 𝑘]𝜑))
5		uzind4s.1	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → [𝑀 / 𝑘]𝜑)
6		nfv 1916	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)
7		nfs1v 2162	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘[𝑚 / 𝑘]𝜑
8		nfsbc1v 3749	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘[(𝑚 + 1) / 𝑘]𝜑
9	7, 8	nfim 1898	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘([𝑚 / 𝑘]𝜑 → [(𝑚 + 1) / 𝑘]𝜑)
10	6, 9	nfim 1898	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ([𝑚 / 𝑘]𝜑 → [(𝑚 + 1) / 𝑘]𝜑))
11		eleq1w 2820	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
12		sbequ12 2259	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝜑 ↔ [𝑚 / 𝑘]𝜑))
13		oveq1 7365	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝑘 + 1) = (𝑚 + 1))
14	13	sbceq1d 3734	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → ([(𝑘 + 1) / 𝑘]𝜑 ↔ [(𝑚 + 1) / 𝑘]𝜑))
15	12, 14	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → ((𝜑 → [(𝑘 + 1) / 𝑘]𝜑) ↔ ([𝑚 / 𝑘]𝜑 → [(𝑚 + 1) / 𝑘]𝜑)))
16	11, 15	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝜑 → [(𝑘 + 1) / 𝑘]𝜑)) ↔ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ([𝑚 / 𝑘]𝜑 → [(𝑚 + 1) / 𝑘]𝜑))))
17		uzind4s.2	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝜑 → [(𝑘 + 1) / 𝑘]𝜑))
18	10, 16, 17	chvarfv 2248	. 2 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ([𝑚 / 𝑘]𝜑 → [(𝑚 + 1) / 𝑘]𝜑))
19	1, 2, 3, 4, 5, 18	uzind4 12820	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → [𝑁 / 𝑘]𝜑)

Syntax hints:   → wi 4  [wsb 2068   ∈ wcel 2114  [wsbc 3729  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  1c1 11028   + caddc 11030  ℤcz 12489  ℤ_≥cuz 12752

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11169  df-mnf 11170  df-xr 11171  df-ltxr 11172  df-le 11173  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12753

This theorem is referenced by: (None)