Theorem xrsinvgval 33435

Description: The inversion operation in the extended real numbers. The extended real is not a group, as its addition is not associative. (cf. xaddass 13303 and df-xrs 17592), however it has an inversion operation. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Jun-2017.)

Assertion

Ref	Expression
xrsinvgval	⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → ((invg‘ℝ*𝑠)‘𝐵) = -𝑒𝐵)

Proof of Theorem xrsinvgval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrsbas 17696	. . 3 ⊢ ℝ* = (Base‘ℝ*𝑠)
2		xrsadd 21604	. . 3 ⊢ +𝑒 = (+g‘ℝ*𝑠)
3		xrs0 33433	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘ℝ*𝑠)
4		eqid 2762	. . 3 ⊢ (invg‘ℝ*𝑠) = (invg‘ℝ*𝑠)
5	1, 2, 3, 4	grpinvval 19105	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → ((invg‘ℝ*𝑠)‘𝐵) = (℩𝑥 ∈ ℝ* (𝑥 +𝑒 𝐵) = 0))
6		xnegcl 13267	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → -𝑒𝐵 ∈ ℝ*)
7		xaddeq0 33211	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝑥 +𝑒 𝐵) = 0 ↔ 𝑥 = -𝑒𝐵))
8	7	ancoms 464	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → ((𝑥 +𝑒 𝐵) = 0 ↔ 𝑥 = -𝑒𝐵))
9	6, 8	riota5 7402	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → (℩𝑥 ∈ ℝ* (𝑥 +𝑒 𝐵) = 0) = -𝑒𝐵)
10	5, 9	eqtrd 2797	1 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → ((invg‘ℝ*𝑠)‘𝐵) = -𝑒𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6537  ℩crio 7372  (class class class)co 7416  0cc0 11127  ℝ^*cxr 11269  -_𝑒cxne 13162   +_𝑒 cxad 13163  ℝ^*_𝑠cxrs 17590  inv_gcminusg 19059

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-xneg 13165  df-xadd 13166  df-fz 13564  df-struct 17243  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-plusg 17359  df-mulr 17360  df-tset 17365  df-ple 17366  df-ds 17368  df-0g 17530  df-xrs 17592  df-minusg 19062

This theorem is used by:  xrsmulgzz  33436