Theorem gsumresfi 14263

Description: Extend a finite group sum by padding outside with zeroes. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.) (Revised by AV, 3-Jun-2019.) (Revised by Jim Kingdon, 24-Sep-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumresfi.b	|- B = ( Base ` G )
gsumresfi.z	|- .0. = ( 0g ` G )
gsumresfi.g	|- ( ph -> G e. CMnd )
gsumresfi.a	|- ( ph -> A e. Fin )
gsumresfi.f	|- ( ph -> F : A --> B )
gsumresfi.s	|- ( ph -> A. x e. ( A \ W ) ( F ` x ) = .0. )
gsumresfi.w	|- ( ph -> W e. Fin )
gsumresfi.ss	|- ( ph -> W C_ A )

Assertion

Ref	Expression
gsumresfi	|- ( ph -> ( G gsumg ( F |` W ) ) = ( G gsumg F ) )

Distinct variable groups:   x, .0.   x, A   x, F   x, W

Allowed substitution hints:   ph( x)   B( x)   G( x)

Proof of Theorem gsumresfi

Dummy variables w y z q r s are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumresfi.f	. . . . 5 |- ( ph -> F : A --> B )
2		frel 5541	. . . . 5 |- ( F : A --> B -> Rel F )
3		resdm 5104	. . . . 5 |- ( Rel F -> ( F |` dom F ) = F )
4	1, 2, 3	3syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( F |` dom F ) = F )
5	1	fdmd 5543	. . . . 5 |- ( ph -> dom F = A )
6	5	reseq2d 5065	. . . 4 |- ( ph -> ( F |` dom F ) = ( F |` A ) )
7	4, 6	eqtr3d 2273	. . 3 |- ( ph -> F = ( F |` A ) )
8	7	oveq2d 6104	. 2 |- ( ph -> ( G gsumg F ) = ( G gsumg ( F |` A ) ) )
9		ineq2 3426	. . . . . 6 |- ( w = (/) -> ( W i^i w ) = ( W i^i (/) ) )
10	9	reseq2d 5065	. . . . 5 |- ( w = (/) -> ( F |` ( W i^i w ) ) = ( F |` ( W i^i (/) ) ) )
11	10	oveq2d 6104	. . . 4 |- ( w = (/) -> ( G gsumg ( F |` ( W i^i w ) ) ) = ( G gsumg ( F |` ( W i^i (/) ) ) ) )
12		reseq2 5060	. . . . 5 |- ( w = (/) -> ( F |` w ) = ( F |` (/) ) )
13	12	oveq2d 6104	. . . 4 |- ( w = (/) -> ( G gsumg ( F |` w ) ) = ( G gsumg ( F |` (/) ) ) )
14	11, 13	eqeq12d 2253	. . 3 |- ( w = (/) -> ( ( G gsumg ( F |` ( W i^i w ) ) ) = ( G gsumg ( F |` w ) ) <-> ( G gsumg ( F |` ( W i^i (/) ) ) ) = ( G gsumg ( F |` (/) ) ) ) )
15		ineq2 3426	. . . . . 6 |- ( w = y -> ( W i^i w ) = ( W i^i y ) )
16	15	reseq2d 5065	. . . . 5 |- ( w = y -> ( F |` ( W i^i w ) ) = ( F |` ( W i^i y ) ) )
17	16	oveq2d 6104	. . . 4 |- ( w = y -> ( G gsumg ( F |` ( W i^i w ) ) ) = ( G gsumg ( F |` ( W i^i y ) ) ) )
18		reseq2 5060	. . . . 5 |- ( w = y -> ( F |` w ) = ( F |` y ) )
19	18	oveq2d 6104	. . . 4 |- ( w = y -> ( G gsumg ( F |` w ) ) = ( G gsumg ( F |` y ) ) )
20	17, 19	eqeq12d 2253	. . 3 |- ( w = y -> ( ( G gsumg ( F |` ( W i^i w ) ) ) = ( G gsumg ( F |` w ) ) <-> ( G gsumg ( F |` ( W i^i y ) ) ) = ( G gsumg ( F |` y ) ) ) )
21		ineq2 3426	. . . . . 6 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( W i^i w ) = ( W i^i ( y u. { z } ) ) )
22	21	reseq2d 5065	. . . . 5 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( F |` ( W i^i w ) ) = ( F |` ( W i^i ( y u. { z } ) ) ) )
23	22	oveq2d 6104	. . . 4 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( G gsumg ( F |` ( W i^i w ) ) ) = ( G gsumg ( F |` ( W i^i ( y u. { z } ) ) ) ) )
24		reseq2 5060	. . . . 5 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( F |` w ) = ( F |` ( y u. { z } ) ) )
25	24	oveq2d 6104	. . . 4 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( G gsumg ( F |` w ) ) = ( G gsumg ( F |` ( y u. { z } ) ) ) )
26	23, 25	eqeq12d 2253	. . 3 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( ( G gsumg ( F |` ( W i^i w ) ) ) = ( G gsumg ( F |` w ) ) <-> ( G gsumg ( F |` ( W i^i ( y u. { z } ) ) ) ) = ( G gsumg ( F |` ( y u. { z } ) ) ) ) )
27		ineq2 3426	. . . . . 6 |- ( w = A -> ( W i^i w ) = ( W i^i A ) )
28	27	reseq2d 5065	. . . . 5 |- ( w = A -> ( F |` ( W i^i w ) ) = ( F |` ( W i^i A ) ) )
29	28	oveq2d 6104	. . . 4 |- ( w = A -> ( G gsumg ( F |` ( W i^i w ) ) ) = ( G gsumg ( F |` ( W i^i A ) ) ) )
30		reseq2 5060	. . . . 5 |- ( w = A -> ( F |` w ) = ( F |` A ) )
31	30	oveq2d 6104	. . . 4 |- ( w = A -> ( G gsumg ( F |` w ) ) = ( G gsumg ( F |` A ) ) )
32	29, 31	eqeq12d 2253	. . 3 |- ( w = A -> ( ( G gsumg ( F |` ( W i^i w ) ) ) = ( G gsumg ( F |` w ) ) <-> ( G gsumg ( F |` ( W i^i A ) ) ) = ( G gsumg ( F |` A ) ) ) )
33		in0 3557	. . . . . 6 |- ( W i^i (/) ) = (/)
34	33	reseq2i 5062	. . . . 5 |- ( F |` ( W i^i (/) ) ) = ( F |` (/) )
35	34	oveq2i 6099	. . . 4 |- ( G gsumg ( F |` ( W i^i (/) ) ) ) = ( G gsumg ( F |` (/) ) )
36	35	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> ( G gsumg ( F |` ( W i^i (/) ) ) ) = ( G gsumg ( F |` (/) ) ) )
37		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( G gsumg ( F |` ( W i^i y ) ) ) = ( G gsumg ( F |` y ) ) ) -> ( G gsumg ( F |` ( W i^i y ) ) ) = ( G gsumg ( F |` y ) ) )
38	1	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> F : A --> B )
39		inss2 3452	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( W i^i y ) C_ y
40		simprl 535	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> y C_ A )
41	39, 40	sstrid 3259	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( W i^i y ) C_ A )
42	38, 41	feqresmpt 5760	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( F |` ( W i^i y ) ) = ( r e. ( W i^i y ) |-> ( F ` r ) ) )
43	42	oveq2d 6104	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( G gsumg ( F |` ( W i^i y ) ) ) = ( G gsumg ( r e. ( W i^i y ) |-> ( F ` r ) ) ) )
44	43	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( G gsumg ( F |` ( W i^i y ) ) ) = ( G gsumg ( F |` y ) ) ) -> ( G gsumg ( F |` ( W i^i y ) ) ) = ( G gsumg ( r e. ( W i^i y ) |-> ( F ` r ) ) ) )
45	37, 44	eqtr3d 2273	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( G gsumg ( F |` ( W i^i y ) ) ) = ( G gsumg ( F |` y ) ) ) -> ( G gsumg ( F |` y ) ) = ( G gsumg ( r e. ( W i^i y ) |-> ( F ` r ) ) ) )
46	45	oveq1d 6103	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( G gsumg ( F |` ( W i^i y ) ) ) = ( G gsumg ( F |` y ) ) ) -> ( ( G gsumg ( F |` y ) ) ( +g ` G ) ( F ` z ) ) = ( ( G gsumg ( r e. ( W i^i y ) |-> ( F ` r ) ) ) ( +g ` G ) ( F ` z ) ) )
47	46	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( G gsumg ( F |` ( W i^i y ) ) ) = ( G gsumg ( F |` y ) ) ) /\ z e. W ) -> ( ( G gsumg ( F |` y ) ) ( +g ` G ) ( F ` z ) ) = ( ( G gsumg ( r e. ( W i^i y ) |-> ( F ` r ) ) ) ( +g ` G ) ( F ` z ) ) )
48		gsumresfi.b	. . . . . . . . 9 |- B = ( Base ` G )
49		eqid 2238	. . . . . . . . 9 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
50		gsumresfi.g	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> G e. CMnd )
51	50	ad2antrr 492	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> G e. CMnd )
52		simplr 533	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> y e. Fin )
53	38	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ r e. y ) -> F : A --> B )
54	40	sselda 3248	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ r e. y ) -> r e. A )
55	53, 54	ffvelcdmd 5847	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ r e. y ) -> ( F ` r ) e. B )
56		simprr 537	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> z e. ( A \ y ) )
57	56	eldifad 3231	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> z e. A )
58	56	eldifbd 3232	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> -. z e. y )
59	38, 57	ffvelcdmd 5847	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( F ` z ) e. B )
60		fveq2 5698	. . . . . . . . . 10 |- ( r = z -> ( F ` r ) = ( F ` z ) )
61	60	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ r = z ) -> ( F ` r ) = ( F ` z ) )
62	48, 49, 51, 52, 55, 57, 58, 59, 61	gsumunsnd 14260	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( G gsumg ( r e. ( y u. { z } ) |-> ( F ` r ) ) ) = ( ( G gsumg ( r e. y |-> ( F ` r ) ) ) ( +g ` G ) ( F ` z ) ) )
63	57	snssd 3860	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> { z } C_ A )
64	40, 63	unssd 3405	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( y u. { z } ) C_ A )
65	38, 64	feqresmpt 5760	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( F |` ( y u. { z } ) ) = ( r e. ( y u. { z } ) |-> ( F ` r ) ) )
66	65	oveq2d 6104	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( G gsumg ( F |` ( y u. { z } ) ) ) = ( G gsumg ( r e. ( y u. { z } ) |-> ( F ` r ) ) ) )
67	38, 40	feqresmpt 5760	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( F |` y ) = ( r e. y |-> ( F ` r ) ) )
68	67	oveq2d 6104	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( G gsumg ( F |` y ) ) = ( G gsumg ( r e. y |-> ( F ` r ) ) ) )
69	68	oveq1d 6103	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( ( G gsumg ( F |` y ) ) ( +g ` G ) ( F ` z ) ) = ( ( G gsumg ( r e. y |-> ( F ` r ) ) ) ( +g ` G ) ( F ` z ) ) )
70	62, 66, 69	3eqtr4d 2281	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( G gsumg ( F |` ( y u. { z } ) ) ) = ( ( G gsumg ( F |` y ) ) ( +g ` G ) ( F ` z ) ) )
71	70	ad2antrr 492	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( G gsumg ( F |` ( W i^i y ) ) ) = ( G gsumg ( F |` y ) ) ) /\ z e. W ) -> ( G gsumg ( F |` ( y u. { z } ) ) ) = ( ( G gsumg ( F |` y ) ) ( +g ` G ) ( F ` z ) ) )
72		indi 3478	. . . . . . . . . . . 12 |- ( W i^i ( y u. { z } ) ) = ( ( W i^i y ) u. ( W i^i { z } ) )
73		snssi 3859	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. W -> { z } C_ W )
74		dfss1 3435	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( { z } C_ W <-> ( W i^i { z } ) = { z } )
75	73, 74	sylib 122	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. W -> ( W i^i { z } ) = { z } )
76	75	uneq2d 3383	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. W -> ( ( W i^i y ) u. ( W i^i { z } ) ) = ( ( W i^i y ) u. { z } ) )
77	72, 76	eqtrid 2283	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. W -> ( W i^i ( y u. { z } ) ) = ( ( W i^i y ) u. { z } ) )
78	77	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( G gsumg ( F |` ( W i^i y ) ) ) = ( G gsumg ( F |` y ) ) ) /\ z e. W ) -> ( W i^i ( y u. { z } ) ) = ( ( W i^i y ) u. { z } ) )
79	78	reseq2d 5065	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( G gsumg ( F |` ( W i^i y ) ) ) = ( G gsumg ( F |` y ) ) ) /\ z e. W ) -> ( F |` ( W i^i ( y u. { z } ) ) ) = ( F |` ( ( W i^i y ) u. { z } ) ) )
80	41, 63	unssd 3405	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( ( W i^i y ) u. { z } ) C_ A )
81	38, 80	feqresmpt 5760	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( F |` ( ( W i^i y ) u. { z } ) ) = ( r e. ( ( W i^i y ) u. { z } ) |-> ( F ` r ) ) )
82	81	ad2antrr 492	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( G gsumg ( F |` ( W i^i y ) ) ) = ( G gsumg ( F |` y ) ) ) /\ z e. W ) -> ( F |` ( ( W i^i y ) u. { z } ) ) = ( r e. ( ( W i^i y ) u. { z } ) |-> ( F ` r ) ) )
83	79, 82	eqtrd 2271	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( G gsumg ( F |` ( W i^i y ) ) ) = ( G gsumg ( F |` y ) ) ) /\ z e. W ) -> ( F |` ( W i^i ( y u. { z } ) ) ) = ( r e. ( ( W i^i y ) u. { z } ) |-> ( F ` r ) ) )
84	83	oveq2d 6104	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( G gsumg ( F |` ( W i^i y ) ) ) = ( G gsumg ( F |` y ) ) ) /\ z e. W ) -> ( G gsumg ( F |` ( W i^i ( y u. { z } ) ) ) ) = ( G gsumg ( r e. ( ( W i^i y ) u. { z } ) |-> ( F ` r ) ) ) )
85		gsumresfi.w	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> W e. Fin )
86	85	ad2antrr 492	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> W e. Fin )
87		gsumresfi.ss	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> W C_ A )
88	87	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> W C_ A )
89		gsumresfi.a	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A e. Fin )
90	89	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> A e. Fin )
91		fissfi 7267	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y C_ A /\ A e. Fin /\ y e. Fin ) -> A. s e. A DECID s e. y )
92	40, 90, 52, 91	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> A. s e. A DECID s e. y )
93		ssralv 3312	. . . . . . . . . . 11 |- ( W C_ A -> ( A. s e. A DECID s e. y -> A. s e. W DECID s e. y ) )
94	88, 92, 93	sylc 62	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> A. s e. W DECID s e. y )
95		infidc 7252	. . . . . . . . . 10 |- ( ( W e. Fin /\ A. s e. W DECID s e. y ) -> ( W i^i y ) e. Fin )
96	86, 94, 95	syl2anc 415	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( W i^i y ) e. Fin )
97	38	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ r e. ( W i^i y ) ) -> F : A --> B )
98		elinel2 3416	. . . . . . . . . . 11 |- ( r e. ( W i^i y ) -> r e. y )
99	98, 54	sylan2 286	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ r e. ( W i^i y ) ) -> r e. A )
100	97, 99	ffvelcdmd 5847	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ r e. ( W i^i y ) ) -> ( F ` r ) e. B )
101		elinel2 3416	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ( W i^i y ) -> z e. y )
102	58, 101	nsyl 637	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> -. z e. ( W i^i y ) )
103	48, 49, 51, 96, 100, 57, 102, 59, 61	gsumunsnd 14260	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( G gsumg ( r e. ( ( W i^i y ) u. { z } ) |-> ( F ` r ) ) ) = ( ( G gsumg ( r e. ( W i^i y ) |-> ( F ` r ) ) ) ( +g ` G ) ( F ` z ) ) )
104	103	ad2antrr 492	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( G gsumg ( F |` ( W i^i y ) ) ) = ( G gsumg ( F |` y ) ) ) /\ z e. W ) -> ( G gsumg ( r e. ( ( W i^i y ) u. { z } ) |-> ( F ` r ) ) ) = ( ( G gsumg ( r e. ( W i^i y ) |-> ( F ` r ) ) ) ( +g ` G ) ( F ` z ) ) )
105	84, 104	eqtrd 2271	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( G gsumg ( F |` ( W i^i y ) ) ) = ( G gsumg ( F |` y ) ) ) /\ z e. W ) -> ( G gsumg ( F |` ( W i^i ( y u. { z } ) ) ) ) = ( ( G gsumg ( r e. ( W i^i y ) |-> ( F ` r ) ) ) ( +g ` G ) ( F ` z ) ) )
106	47, 71, 105	3eqtr4rd 2282	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( G gsumg ( F |` ( W i^i y ) ) ) = ( G gsumg ( F |` y ) ) ) /\ z e. W ) -> ( G gsumg ( F |` ( W i^i ( y u. { z } ) ) ) ) = ( G gsumg ( F |` ( y u. { z } ) ) ) )
107	51	cmnmndd 14201	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> G e. Mnd )
108		gsumresfi.z	. . . . . . . . 9 |- .0. = ( 0g ` G )
109	38, 40	fssresd 5569	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( F |` y ) : y --> B )
110	48, 108, 51, 52, 109	gsumclfi 14249	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. B )
111	48, 49, 108	mndrid 13808	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Mnd /\ ( G gsumg ( F |` y ) ) e. B ) -> ( ( G gsumg ( F |` y ) ) ( +g ` G ) .0. ) = ( G gsumg ( F |` y ) ) )
112	107, 110, 111	syl2anc 415	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( ( G gsumg ( F |` y ) ) ( +g ` G ) .0. ) = ( G gsumg ( F |` y ) ) )
113	112	ad2antrr 492	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( G gsumg ( F |` ( W i^i y ) ) ) = ( G gsumg ( F |` y ) ) ) /\ -. z e. W ) -> ( ( G gsumg ( F |` y ) ) ( +g ` G ) .0. ) = ( G gsumg ( F |` y ) ) )
114	70	ad2antrr 492	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( G gsumg ( F |` ( W i^i y ) ) ) = ( G gsumg ( F |` y ) ) ) /\ -. z e. W ) -> ( G gsumg ( F |` ( y u. { z } ) ) ) = ( ( G gsumg ( F |` y ) ) ( +g ` G ) ( F ` z ) ) )
115		fveqeq2 5707	. . . . . . . . 9 |- ( x = z -> ( ( F ` x ) = .0. <-> ( F ` z ) = .0. ) )
116		gsumresfi.s	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. x e. ( A \ W ) ( F ` x ) = .0. )
117	116	ad4antr 498	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( G gsumg ( F |` ( W i^i y ) ) ) = ( G gsumg ( F |` y ) ) ) /\ -. z e. W ) -> A. x e. ( A \ W ) ( F ` x ) = .0. )
118	57	ad2antrr 492	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( G gsumg ( F |` ( W i^i y ) ) ) = ( G gsumg ( F |` y ) ) ) /\ -. z e. W ) -> z e. A )
119		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( G gsumg ( F |` ( W i^i y ) ) ) = ( G gsumg ( F |` y ) ) ) /\ -. z e. W ) -> -. z e. W )
120	118, 119	eldifd 3230	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( G gsumg ( F |` ( W i^i y ) ) ) = ( G gsumg ( F |` y ) ) ) /\ -. z e. W ) -> z e. ( A \ W ) )
121	115, 117, 120	rspcdva 2934	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( G gsumg ( F |` ( W i^i y ) ) ) = ( G gsumg ( F |` y ) ) ) /\ -. z e. W ) -> ( F ` z ) = .0. )
122	121	oveq2d 6104	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( G gsumg ( F |` ( W i^i y ) ) ) = ( G gsumg ( F |` y ) ) ) /\ -. z e. W ) -> ( ( G gsumg ( F |` y ) ) ( +g ` G ) ( F ` z ) ) = ( ( G gsumg ( F |` y ) ) ( +g ` G ) .0. ) )
123	114, 122	eqtrd 2271	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( G gsumg ( F |` ( W i^i y ) ) ) = ( G gsumg ( F |` y ) ) ) /\ -. z e. W ) -> ( G gsumg ( F |` ( y u. { z } ) ) ) = ( ( G gsumg ( F |` y ) ) ( +g ` G ) .0. ) )
124		disjsn 3771	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( W i^i { z } ) = (/) <-> -. z e. W )
125	124	biimpri 133	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. z e. W -> ( W i^i { z } ) = (/) )
126	125	uneq2d 3383	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. z e. W -> ( ( W i^i y ) u. ( W i^i { z } ) ) = ( ( W i^i y ) u. (/) ) )
127		un0 3556	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( W i^i y ) u. (/) ) = ( W i^i y )
128	126, 127	eqtrdi 2287	. . . . . . . . . 10 |- ( -. z e. W -> ( ( W i^i y ) u. ( W i^i { z } ) ) = ( W i^i y ) )
129	72, 128	eqtrid 2283	. . . . . . . . 9 |- ( -. z e. W -> ( W i^i ( y u. { z } ) ) = ( W i^i y ) )
130	129	reseq2d 5065	. . . . . . . 8 |- ( -. z e. W -> ( F |` ( W i^i ( y u. { z } ) ) ) = ( F |` ( W i^i y ) ) )
131	130	oveq2d 6104	. . . . . . 7 |- ( -. z e. W -> ( G gsumg ( F |` ( W i^i ( y u. { z } ) ) ) ) = ( G gsumg ( F |` ( W i^i y ) ) ) )
132	131, 37	sylan9eqr 2293	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( G gsumg ( F |` ( W i^i y ) ) ) = ( G gsumg ( F |` y ) ) ) /\ -. z e. W ) -> ( G gsumg ( F |` ( W i^i ( y u. { z } ) ) ) ) = ( G gsumg ( F |` y ) ) )
133	113, 123, 132	3eqtr4rd 2282	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( G gsumg ( F |` ( W i^i y ) ) ) = ( G gsumg ( F |` y ) ) ) /\ -. z e. W ) -> ( G gsumg ( F |` ( W i^i ( y u. { z } ) ) ) ) = ( G gsumg ( F |` ( y u. { z } ) ) ) )
134		eleq1w 2299	. . . . . . . . 9 |- ( q = z -> ( q e. W <-> z e. W ) )
135	134	dcbid 850	. . . . . . . 8 |- ( q = z -> (DECID q e. W <-> DECID z e. W ) )
136		fissfi 7267	. . . . . . . . . 10 |- ( ( W C_ A /\ A e. Fin /\ W e. Fin ) -> A. q e. A DECID q e. W )
137	87, 89, 85, 136	syl3anc 1278	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. q e. A DECID q e. W )
138	137	ad2antrr 492	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> A. q e. A DECID q e. W )
139	135, 138, 57	rspcdva 2934	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> DECID z e. W )
140	139	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( G gsumg ( F |` ( W i^i y ) ) ) = ( G gsumg ( F |` y ) ) ) -> DECID z e. W )
141		exmiddc 848	. . . . . 6 |- (DECID z e. W -> ( z e. W \/ -. z e. W ) )
142	140, 141	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( G gsumg ( F |` ( W i^i y ) ) ) = ( G gsumg ( F |` y ) ) ) -> ( z e. W \/ -. z e. W ) )
143	106, 133, 142	mpjaodan 810	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( G gsumg ( F |` ( W i^i y ) ) ) = ( G gsumg ( F |` y ) ) ) -> ( G gsumg ( F |` ( W i^i ( y u. { z } ) ) ) ) = ( G gsumg ( F |` ( y u. { z } ) ) ) )
144	143	ex 115	. . 3 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( ( G gsumg ( F |` ( W i^i y ) ) ) = ( G gsumg ( F |` y ) ) -> ( G gsumg ( F |` ( W i^i ( y u. { z } ) ) ) ) = ( G gsumg ( F |` ( y u. { z } ) ) ) ) )
145	14, 20, 26, 32, 36, 144, 89	findcard2sd 7200	. 2 |- ( ph -> ( G gsumg ( F |` ( W i^i A ) ) ) = ( G gsumg ( F |` A ) ) )
146		df-ss 3233	. . . . 5 |- ( W C_ A <-> ( W i^i A ) = W )
147	87, 146	sylib 122	. . . 4 |- ( ph -> ( W i^i A ) = W )
148	147	reseq2d 5065	. . 3 |- ( ph -> ( F |` ( W i^i A ) ) = ( F |` W ) )
149	148	oveq2d 6104	. 2 |- ( ph -> ( G gsumg ( F |` ( W i^i A ) ) ) = ( G gsumg ( F |` W ) ) )
150	8, 145, 149	3eqtr2rd 2278	1 |- ( ph -> ( G gsumg ( F |` W ) ) = ( G gsumg F ) )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 720  DECID wdc 846   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   \ cdif 3217   u. cun 3218   i^i cin 3219   C_ wss 3220   (/)c0 3520   {csn 3709   |-> cmpt 4193   dom cdm 4776   |` cres 4778   Rel wrel 4781   -->wf 5376   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   Fincfn 7026   Basecbs 13410   +g cplusg 13490   0gc0g 13669   Mndcmnd 13788  CMndccmn 14177   gsum_g cgsu 14240

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-irdg 6645  df-frec 6666  df-1o 6691  df-oadd 6695  df-er 6811  df-en 7027  df-dom 7028  df-fin 7029  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-inn 9314  df-2 9372  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-fz 10429  df-fzo 10567  df-seqfrec 10906  df-ihash 11237  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-plusg 13503  df-0g 13671  df-gzsum 13672  df-mgm 13735  df-sgrp 13776  df-mnd 13789  df-minusg 13868  df-mulg 13982  df-cmn 14179  df-gsumfi 14241

This theorem is used by:  gsum2dfi  14273  psrlidmfi  15199  psrridmfi  15200