Theorem ballotfilemdifcfi 13203

Description: Lemma for ballotfi . The portion of a counting representing votes for B up to a specified integer is finite. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Jun-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
ballotth.m	⊢ 𝑀 ∈ ℕ
ballotth.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
ballotfilem.o	⊢ 𝑂 = {𝑐 ∈ (𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∩ Fin) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
ballotfilemc.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑂)
ballotfilemc.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
ballotfilemdifcfi	⊢ (𝜑 → ((1...𝐽) ∖ 𝐶) ∈ Fin)

Distinct variable groups:   𝑀,𝑐   𝑁,𝑐   𝑂,𝑐

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑐)   𝐶(𝑐)   𝐽(𝑐)

Proof of Theorem ballotfilemdifcfi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1zzd 9650	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
2		ballotfilemc.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
3	1, 2	fzfigd 10846	. 2 ⊢ (𝜑 → (1...𝐽) ∈ Fin)
4		difssd 3356	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1...𝐽) ∖ 𝐶) ⊆ (1...𝐽))
5		elfzelz 10407	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (1...𝐽) → 𝑥 ∈ ℤ)
6	5	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐽)) → 𝑥 ∈ ℤ)
7		1zzd 9650	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐽)) → 1 ∈ ℤ)
8	2	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐽)) → 𝐽 ∈ ℤ)
9		fzdcel 10423	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → DECID 𝑥 ∈ (1...𝐽))
10	6, 7, 8, 9	syl3anc 1278	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐽)) → DECID 𝑥 ∈ (1...𝐽))
11		ballotth.m	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ
12		ballotth.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
13		ballotfilem.o	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 = {𝑐 ∈ (𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∩ Fin) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
14		ballotfilemc.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑂)
15	14	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐽)) → 𝐶 ∈ 𝑂)
16	11, 12, 13, 15, 6	ballotfilemcdc 13201	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐽)) → DECID 𝑥 ∈ 𝐶)
17		dcn 854	. . . . . 6 ⊢ (DECID 𝑥 ∈ 𝐶 → DECID ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)
18	16, 17	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐽)) → DECID ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)
19	10, 18	dcand 945	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐽)) → DECID (𝑥 ∈ (1...𝐽) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶))
20		eldif 3229	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ((1...𝐽) ∖ 𝐶) ↔ (𝑥 ∈ (1...𝐽) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶))
21	20	dcbii 852	. . . 4 ⊢ (DECID 𝑥 ∈ ((1...𝐽) ∖ 𝐶) ↔ DECID (𝑥 ∈ (1...𝐽) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶))
22	19, 21	sylibr 134	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐽)) → DECID 𝑥 ∈ ((1...𝐽) ∖ 𝐶))
23	22	ralrimiva 2623	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (1...𝐽)DECID 𝑥 ∈ ((1...𝐽) ∖ 𝐶))
24		ssfidc 7235	. 2 ⊢ (((1...𝐽) ∈ Fin ∧ ((1...𝐽) ∖ 𝐶) ⊆ (1...𝐽) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐽)DECID 𝑥 ∈ ((1...𝐽) ∖ 𝐶)) → ((1...𝐽) ∖ 𝐶) ∈ Fin)
25	3, 4, 23, 24	syl3anc 1278	1 ⊢ (𝜑 → ((1...𝐽) ∖ 𝐶) ∈ Fin)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104  DECID wdc 846   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  {crab 2532   ∖ cdif 3217   ∩ cin 3219   ⊆ wss 3220  𝒫 cpw 3685  ‘cfv 5372  (class class class)co 6075  Fincfn 7012  1c1 8170   + caddc 8172  ℕcn 9283  ℤcz 9623  ...cfz 10390  ♯chash 11192

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-frec 6652  df-1o 6677  df-er 6797  df-en 7013  df-fin 7015  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-inn 9284  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-fz 10391

This theorem is referenced by:  ballotfilemfval  13207  ballotfilemfelz  13208  ballotfilemfp1  13209  ballotfilemfrc  13248