Theorem ballotfilemdifcfi 13208

Description: Lemma for ballotfi . The portion of a counting representing votes for B up to a specified integer is finite. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Jun-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
ballotth.m	⊢ 𝑀 ∈ ℕ
ballotth.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
ballotfilem.o	⊢ 𝑂 = {𝑐 ∈ (𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∩ Fin) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
ballotfilemc.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑂)
ballotfilemc.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
ballotfilemdifcfi	⊢ (𝜑 → ((1...𝐽) ∖ 𝐶) ∈ Fin)

Distinct variable groups:   𝑀,𝑐   𝑁,𝑐   𝑂,𝑐

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑐)   𝐶(𝑐)   𝐽(𝑐)

Proof of Theorem ballotfilemdifcfi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1zzd 9654	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
2		ballotfilemc.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
3	1, 2	fzfigd 10851	. 2 ⊢ (𝜑 → (1...𝐽) ∈ Fin)
4		difssd 3356	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1...𝐽) ∖ 𝐶) ⊆ (1...𝐽))
5		elfzelz 10411	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (1...𝐽) → 𝑥 ∈ ℤ)
6	5	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐽)) → 𝑥 ∈ ℤ)
7		1zzd 9654	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐽)) → 1 ∈ ℤ)
8	2	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐽)) → 𝐽 ∈ ℤ)
9		fzdcel 10427	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → DECID 𝑥 ∈ (1...𝐽))
10	6, 7, 8, 9	syl3anc 1278	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐽)) → DECID 𝑥 ∈ (1...𝐽))
11		ballotth.m	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ
12		ballotth.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
13		ballotfilem.o	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 = {𝑐 ∈ (𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∩ Fin) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
14		ballotfilemc.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑂)
15	14	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐽)) → 𝐶 ∈ 𝑂)
16	11, 12, 13, 15, 6	ballotfilemcdc 13206	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐽)) → DECID 𝑥 ∈ 𝐶)
17		dcn 854	. . . . . 6 ⊢ (DECID 𝑥 ∈ 𝐶 → DECID ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)
18	16, 17	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐽)) → DECID ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)
19	10, 18	dcand 945	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐽)) → DECID (𝑥 ∈ (1...𝐽) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶))
20		eldif 3229	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ((1...𝐽) ∖ 𝐶) ↔ (𝑥 ∈ (1...𝐽) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶))
21	20	dcbii 852	. . . 4 ⊢ (DECID 𝑥 ∈ ((1...𝐽) ∖ 𝐶) ↔ DECID (𝑥 ∈ (1...𝐽) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶))
22	19, 21	sylibr 134	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐽)) → DECID 𝑥 ∈ ((1...𝐽) ∖ 𝐶))
23	22	ralrimiva 2623	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (1...𝐽)DECID 𝑥 ∈ ((1...𝐽) ∖ 𝐶))
24		ssfidc 7239	. 2 ⊢ (((1...𝐽) ∈ Fin ∧ ((1...𝐽) ∖ 𝐶) ⊆ (1...𝐽) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐽)DECID 𝑥 ∈ ((1...𝐽) ∖ 𝐶)) → ((1...𝐽) ∖ 𝐶) ∈ Fin)
25	3, 4, 23, 24	syl3anc 1278	1 ⊢ (𝜑 → ((1...𝐽) ∖ 𝐶) ∈ Fin)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104  DECID wdc 846   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  {crab 2532   ∖ cdif 3217   ∩ cin 3219   ⊆ wss 3220  𝒫 cpw 3688  ‘cfv 5375  (class class class)co 6079  Fincfn 7016  1c1 8174   + caddc 8176  ℕcn 9287  ℤcz 9627  ...cfz 10394  ♯chash 11197

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-addcom 8273  ax-addass 8275  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-iord 4509  df-on 4511  df-ilim 4512  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-recs 6570  df-frec 6656  df-1o 6681  df-er 6801  df-en 7017  df-fin 7019  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-inn 9288  df-n0 9547  df-z 9628  df-uz 9905  df-fz 10395

This theorem is used by:  ballotfilemfval  13212  ballotfilemfelz  13213  ballotfilemfp1  13214  ballotfilemfrc  13253