Theorem ccat1st1st 11116

Description: The first symbol of a word concatenated with its first symbol is the first symbol of the word. This theorem holds even if 𝑊 is the empty word. (Contributed by AV, 26-Mar-2022.)

Assertion

Ref	Expression
ccat1st1st	⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘0) = (𝑊‘0))

Proof of Theorem ccat1st1st

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wrdfin 11035	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → 𝑊 ∈ Fin)
2		fihasheq0 10960	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Fin → ((♯‘𝑊) = 0 ↔ 𝑊 = ∅))
3	1, 2	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝑊) = 0 ↔ 𝑊 = ∅))
4	3	biimpa 296	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 0) → 𝑊 = ∅)
5		0ex 4179	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ V
6		s1cl 11098	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ ∈ V → ⟨“∅”⟩ ∈ Word V)
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ⟨“∅”⟩ ∈ Word V
8		ccatlid 11085	. . . . . . 7 ⊢ (⟨“∅”⟩ ∈ Word V → (∅ ++ ⟨“∅”⟩) = ⟨“∅”⟩)
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (∅ ++ ⟨“∅”⟩) = ⟨“∅”⟩
10	9	fveq1i 5590	. . . . 5 ⊢ ((∅ ++ ⟨“∅”⟩)‘0) = (⟨“∅”⟩‘0)
11		s1fv 11103	. . . . . 6 ⊢ (∅ ∈ V → (⟨“∅”⟩‘0) = ∅)
12	5, 11	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (⟨“∅”⟩‘0) = ∅
13	10, 12	eqtri 2227	. . . 4 ⊢ ((∅ ++ ⟨“∅”⟩)‘0) = ∅
14		id 19	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 = ∅ → 𝑊 = ∅)
15		fveq1 5588	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 = ∅ → (𝑊‘0) = (∅‘0))
16		0fv 5625	. . . . . . . 8 ⊢ (∅‘0) = ∅
17	15, 16	eqtrdi 2255	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 = ∅ → (𝑊‘0) = ∅)
18	17	s1eqd 11097	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 = ∅ → ⟨“(𝑊‘0)”⟩ = ⟨“∅”⟩)
19	14, 18	oveq12d 5975	. . . . 5 ⊢ (𝑊 = ∅ → (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) = (∅ ++ ⟨“∅”⟩))
20	19	fveq1d 5591	. . . 4 ⊢ (𝑊 = ∅ → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘0) = ((∅ ++ ⟨“∅”⟩)‘0))
21	13, 20, 17	3eqtr4a 2265	. . 3 ⊢ (𝑊 = ∅ → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘0) = (𝑊‘0))
22	4, 21	syl 14	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 0) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘0) = (𝑊‘0))
23		simpl 109	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 0) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
24	3	necon3bid 2418	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝑊) ≠ 0 ↔ 𝑊 ≠ ∅))
25	24	biimpa 296	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 0) → 𝑊 ≠ ∅)
26		fstwrdne 11054	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑊‘0) ∈ 𝑉)
27	25, 26	syldan 282	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 0) → (𝑊‘0) ∈ 𝑉)
28		lennncl 11036	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
29	25, 28	syldan 282	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 0) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
30		lbfzo0 10327	. . . 4 ⊢ (0 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
31	29, 30	sylibr 134	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 0) → 0 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
32		ccats1val1g 11114	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑊‘0) ∈ 𝑉 ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘0) = (𝑊‘0))
33	23, 27, 31, 32	syl3anc 1250	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 0) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘0) = (𝑊‘0))
34		lencl 11020	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
35	34	nn0zd 9513	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
36		0z 9403	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
37		zdceq 9468	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID (♯‘𝑊) = 0)
38	35, 36, 37	sylancl 413	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → DECID (♯‘𝑊) = 0)
39		dcne 2388	. . 3 ⊢ (DECID (♯‘𝑊) = 0 ↔ ((♯‘𝑊) = 0 ∨ (♯‘𝑊) ≠ 0))
40	38, 39	sylib 122	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝑊) = 0 ∨ (♯‘𝑊) ≠ 0))
41	22, 33, 40	mpjaodan 800	1 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘0) = (𝑊‘0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 710  DECID wdc 836   = wceq 1373   ∈ wcel 2177   ≠ wne 2377  Vcvv 2773  ∅c0 3464  ‘cfv 5280  (class class class)co 5957  Fincfn 6840  0cc0 7945  ℕcn 9056  ℤcz 9392  ..^cfzo 10284  ♯chash 10942  Word cword 11016   ++ cconcat 11069  ⟨“cs1 11092

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4167  ax-sep 4170  ax-nul 4178  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-iinf 4644  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1cn 8038  ax-1re 8039  ax-icn 8040  ax-addcl 8041  ax-addrcl 8042  ax-mulcl 8043  ax-mulrcl 8044  ax-addcom 8045  ax-mulcom 8046  ax-addass 8047  ax-mulass 8048  ax-distr 8049  ax-i2m1 8050  ax-0lt1 8051  ax-1rid 8052  ax-0id 8053  ax-rnegex 8054  ax-precex 8055  ax-cnre 8056  ax-pre-ltirr 8057  ax-pre-ltwlin 8058  ax-pre-lttrn 8059  ax-pre-apti 8060  ax-pre-ltadd 8061  ax-pre-mulgt0 8062

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-if 3576  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-iun 3935  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-tr 4151  df-id 4348  df-iord 4421  df-on 4423  df-ilim 4424  df-suc 4426  df-iom 4647  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-f1 5285  df-fo 5286  df-f1o 5287  df-fv 5288  df-riota 5912  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-1st 6239  df-2nd 6240  df-recs 6404  df-frec 6490  df-1o 6515  df-er 6633  df-en 6841  df-dom 6842  df-fin 6843  df-pnf 8129  df-mnf 8130  df-xr 8131  df-ltxr 8132  df-le 8133  df-sub 8265  df-neg 8266  df-reap 8668  df-ap 8675  df-inn 9057  df-n0 9316  df-z 9393  df-uz 9669  df-fz 10151  df-fzo 10285  df-ihash 10943  df-word 11017  df-concat 11070  df-s1 11093

This theorem is referenced by: (None)