Theorem ccat1st1st 11359

Description: The first symbol of a word concatenated with its first symbol is the first symbol of the word. This theorem holds even if 𝑊 is the empty word. (Contributed by AV, 26-Mar-2022.)

Assertion

Ref	Expression
ccat1st1st	⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘0) = (𝑊‘0))

Proof of Theorem ccat1st1st

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wrdfin 11273	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → 𝑊 ∈ Fin)
2		fihasheq0 11186	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Fin → ((♯‘𝑊) = 0 ↔ 𝑊 = ∅))
3	1, 2	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝑊) = 0 ↔ 𝑊 = ∅))
4	3	biimpa 296	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 0) → 𝑊 = ∅)
5		0ex 4243	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ V
6		s1cl 11339	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ ∈ V → ⟨“∅”⟩ ∈ Word V)
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ⟨“∅”⟩ ∈ Word V
8		ccatlid 11324	. . . . . . 7 ⊢ (⟨“∅”⟩ ∈ Word V → (∅ ++ ⟨“∅”⟩) = ⟨“∅”⟩)
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (∅ ++ ⟨“∅”⟩) = ⟨“∅”⟩
10	9	fveq1i 5678	. . . . 5 ⊢ ((∅ ++ ⟨“∅”⟩)‘0) = (⟨“∅”⟩‘0)
11		s1fv 11344	. . . . . 6 ⊢ (∅ ∈ V → (⟨“∅”⟩‘0) = ∅)
12	5, 11	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (⟨“∅”⟩‘0) = ∅
13	10, 12	eqtri 2255	. . . 4 ⊢ ((∅ ++ ⟨“∅”⟩)‘0) = ∅
14		id 19	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 = ∅ → 𝑊 = ∅)
15		fveq1 5676	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 = ∅ → (𝑊‘0) = (∅‘0))
16		0fv 5715	. . . . . . . 8 ⊢ (∅‘0) = ∅
17	15, 16	eqtrdi 2283	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 = ∅ → (𝑊‘0) = ∅)
18	17	s1eqd 11338	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 = ∅ → ⟨“(𝑊‘0)”⟩ = ⟨“∅”⟩)
19	14, 18	oveq12d 6078	. . . . 5 ⊢ (𝑊 = ∅ → (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) = (∅ ++ ⟨“∅”⟩))
20	19	fveq1d 5679	. . . 4 ⊢ (𝑊 = ∅ → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘0) = ((∅ ++ ⟨“∅”⟩)‘0))
21	13, 20, 17	3eqtr4a 2293	. . 3 ⊢ (𝑊 = ∅ → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘0) = (𝑊‘0))
22	4, 21	syl 14	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 0) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘0) = (𝑊‘0))
23		simpl 109	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 0) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
24	3	necon3bid 2455	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝑊) ≠ 0 ↔ 𝑊 ≠ ∅))
25	24	biimpa 296	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 0) → 𝑊 ≠ ∅)
26		fstwrdne 11293	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑊‘0) ∈ 𝑉)
27	25, 26	syldan 282	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 0) → (𝑊‘0) ∈ 𝑉)
28		lennncl 11274	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
29	25, 28	syldan 282	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 0) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
30		lbfzo0 10546	. . . 4 ⊢ (0 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
31	29, 30	sylibr 134	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 0) → 0 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
32		ccats1val1g 11357	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑊‘0) ∈ 𝑉 ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘0) = (𝑊‘0))
33	23, 27, 31, 32	syl3anc 1274	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 0) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘0) = (𝑊‘0))
34		lencl 11258	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
35	34	nn0zd 9721	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
36		0z 9610	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
37		zdceq 9675	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID (♯‘𝑊) = 0)
38	35, 36, 37	sylancl 413	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → DECID (♯‘𝑊) = 0)
39		dcne 2425	. . 3 ⊢ (DECID (♯‘𝑊) = 0 ↔ ((♯‘𝑊) = 0 ∨ (♯‘𝑊) ≠ 0))
40	38, 39	sylib 122	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝑊) = 0 ∨ (♯‘𝑊) ≠ 0))
41	22, 33, 40	mpjaodan 806	1 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘0) = (𝑊‘0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 716  DECID wdc 842   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   ≠ wne 2414  Vcvv 2815  ∅c0 3512  ‘cfv 5359  (class class class)co 6060  Fincfn 6990  0cc0 8145  ℕcn 9259  ℤcz 9599  ..^cfzo 10503  ♯chash 11168  Word cword 11254   ++ cconcat 11308  ⟨“cs1 11333

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4231  ax-sep 4234  ax-nul 4242  ax-pow 4293  ax-pr 4328  ax-un 4560  ax-setind 4666  ax-iinf 4717  ax-cnex 8236  ax-resscn 8237  ax-1cn 8238  ax-1re 8239  ax-icn 8240  ax-addcl 8241  ax-addrcl 8242  ax-mulcl 8243  ax-mulrcl 8244  ax-addcom 8245  ax-mulcom 8246  ax-addass 8247  ax-mulass 8248  ax-distr 8249  ax-i2m1 8250  ax-0lt1 8251  ax-1rid 8252  ax-0id 8253  ax-rnegex 8254  ax-precex 8255  ax-cnre 8256  ax-pre-ltirr 8257  ax-pre-ltwlin 8258  ax-pre-lttrn 8259  ax-pre-apti 8260  ax-pre-ltadd 8261  ax-pre-mulgt0 8262

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3626  df-pw 3677  df-sn 3701  df-pr 3702  df-op 3704  df-uni 3921  df-int 3956  df-iun 3999  df-br 4116  df-opab 4178  df-mpt 4179  df-tr 4215  df-id 4420  df-iord 4493  df-on 4495  df-ilim 4496  df-suc 4498  df-iom 4720  df-xp 4762  df-rel 4763  df-cnv 4764  df-co 4765  df-dm 4766  df-rn 4767  df-res 4768  df-ima 4769  df-iota 5319  df-fun 5361  df-fn 5362  df-f 5363  df-f1 5364  df-fo 5365  df-f1o 5366  df-fv 5367  df-riota 6013  df-ov 6063  df-oprab 6064  df-mpo 6065  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-recs 6551  df-frec 6637  df-1o 6662  df-er 6782  df-en 6991  df-dom 6992  df-fin 6993  df-pnf 8328  df-mnf 8329  df-xr 8330  df-ltxr 8331  df-le 8332  df-sub 8465  df-neg 8466  df-reap 8869  df-ap 8876  df-inn 9260  df-n0 9519  df-z 9600  df-uz 9877  df-fz 10367  df-fzo 10504  df-ihash 11169  df-word 11255  df-concat 11309  df-s1 11334

This theorem is referenced by: (None)