Theorem ccat1st1st 11329

Description: The first symbol of a word concatenated with its first symbol is the first symbol of the word. This theorem holds even if 𝑊 is the empty word. (Contributed by AV, 26-Mar-2022.)

Assertion

Ref	Expression
ccat1st1st	⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘0) = (𝑊‘0))

Proof of Theorem ccat1st1st

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wrdfin 11243	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → 𝑊 ∈ Fin)
2		fihasheq0 11156	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Fin → ((♯‘𝑊) = 0 ↔ 𝑊 = ∅))
3	1, 2	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝑊) = 0 ↔ 𝑊 = ∅))
4	3	biimpa 296	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 0) → 𝑊 = ∅)
5		0ex 4237	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ V
6		s1cl 11309	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ ∈ V → ⟨“∅”⟩ ∈ Word V)
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ⟨“∅”⟩ ∈ Word V
8		ccatlid 11294	. . . . . . 7 ⊢ (⟨“∅”⟩ ∈ Word V → (∅ ++ ⟨“∅”⟩) = ⟨“∅”⟩)
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (∅ ++ ⟨“∅”⟩) = ⟨“∅”⟩
10	9	fveq1i 5671	. . . . 5 ⊢ ((∅ ++ ⟨“∅”⟩)‘0) = (⟨“∅”⟩‘0)
11		s1fv 11314	. . . . . 6 ⊢ (∅ ∈ V → (⟨“∅”⟩‘0) = ∅)
12	5, 11	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (⟨“∅”⟩‘0) = ∅
13	10, 12	eqtri 2253	. . . 4 ⊢ ((∅ ++ ⟨“∅”⟩)‘0) = ∅
14		id 19	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 = ∅ → 𝑊 = ∅)
15		fveq1 5669	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 = ∅ → (𝑊‘0) = (∅‘0))
16		0fv 5708	. . . . . . . 8 ⊢ (∅‘0) = ∅
17	15, 16	eqtrdi 2281	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 = ∅ → (𝑊‘0) = ∅)
18	17	s1eqd 11308	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 = ∅ → ⟨“(𝑊‘0)”⟩ = ⟨“∅”⟩)
19	14, 18	oveq12d 6068	. . . . 5 ⊢ (𝑊 = ∅ → (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) = (∅ ++ ⟨“∅”⟩))
20	19	fveq1d 5672	. . . 4 ⊢ (𝑊 = ∅ → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘0) = ((∅ ++ ⟨“∅”⟩)‘0))
21	13, 20, 17	3eqtr4a 2291	. . 3 ⊢ (𝑊 = ∅ → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘0) = (𝑊‘0))
22	4, 21	syl 14	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 0) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘0) = (𝑊‘0))
23		simpl 109	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 0) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
24	3	necon3bid 2453	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝑊) ≠ 0 ↔ 𝑊 ≠ ∅))
25	24	biimpa 296	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 0) → 𝑊 ≠ ∅)
26		fstwrdne 11263	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑊‘0) ∈ 𝑉)
27	25, 26	syldan 282	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 0) → (𝑊‘0) ∈ 𝑉)
28		lennncl 11244	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
29	25, 28	syldan 282	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 0) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
30		lbfzo0 10519	. . . 4 ⊢ (0 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
31	29, 30	sylibr 134	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 0) → 0 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
32		ccats1val1g 11327	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑊‘0) ∈ 𝑉 ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘0) = (𝑊‘0))
33	23, 27, 31, 32	syl3anc 1274	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 0) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘0) = (𝑊‘0))
34		lencl 11228	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
35	34	nn0zd 9698	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
36		0z 9588	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
37		zdceq 9653	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID (♯‘𝑊) = 0)
38	35, 36, 37	sylancl 413	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → DECID (♯‘𝑊) = 0)
39		dcne 2423	. . 3 ⊢ (DECID (♯‘𝑊) = 0 ↔ ((♯‘𝑊) = 0 ∨ (♯‘𝑊) ≠ 0))
40	38, 39	sylib 122	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝑊) = 0 ∨ (♯‘𝑊) ≠ 0))
41	22, 33, 40	mpjaodan 806	1 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘0) = (𝑊‘0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 716  DECID wdc 842   = wceq 1398   ∈ wcel 2203   ≠ wne 2412  Vcvv 2813  ∅c0 3508  ‘cfv 5352  (class class class)co 6050  Fincfn 6975  0cc0 8127  ℕcn 9237  ℤcz 9577  ..^cfzo 10476  ♯chash 11138  Word cword 11224   ++ cconcat 11278  ⟨“cs1 11303

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-mulrcl 8226  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-precex 8237  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243  ax-pre-mulgt0 8244

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-iord 4487  df-on 4489  df-ilim 4490  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-frec 6622  df-1o 6647  df-er 6767  df-en 6976  df-dom 6977  df-fin 6978  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-reap 8849  df-ap 8856  df-inn 9238  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854  df-fz 10343  df-fzo 10477  df-ihash 11139  df-word 11225  df-concat 11279  df-s1 11304

This theorem is referenced by: (None)