Theorem clwwlknonccat 16290

Description: The concatenation of two words representing closed walks on a vertex 𝑋 represents a closed walk on vertex 𝑋. The resulting walk is a "double loop", starting at vertex 𝑋, coming back to 𝑋 by the first walk, following the second walk and finally coming back to 𝑋 again. (Contributed by AV, 24-Apr-2022.)

Assertion

Ref	Expression
clwwlknonccat	⊢ ((𝐴 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑀) ∧ 𝐵 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁)) → (𝐴 ++ 𝐵) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑀 + 𝑁)))

Proof of Theorem clwwlknonccat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐴‘0) = 𝑋) → 𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺))
2	1	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐴‘0) = 𝑋) ∧ (𝐵 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐵‘0) = 𝑋)) → 𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺))
3		simpl 109	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐵‘0) = 𝑋) → 𝐵 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺))
4	3	adantl 277	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐴‘0) = 𝑋) ∧ (𝐵 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐵‘0) = 𝑋)) → 𝐵 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺))
5		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐴‘0) = 𝑋) → (𝐴‘0) = 𝑋)
6	5	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐴‘0) = 𝑋) ∧ (𝐵 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐵‘0) = 𝑋)) → (𝐴‘0) = 𝑋)
7		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐵‘0) = 𝑋) → (𝐵‘0) = 𝑋)
8	7	eqcomd 2237	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐵‘0) = 𝑋) → 𝑋 = (𝐵‘0))
9	8	adantl 277	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐴‘0) = 𝑋) ∧ (𝐵 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐵‘0) = 𝑋)) → 𝑋 = (𝐵‘0))
10	6, 9	eqtrd 2264	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐴‘0) = 𝑋) ∧ (𝐵 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐵‘0) = 𝑋)) → (𝐴‘0) = (𝐵‘0))
11		clwwlknccat 16280	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → (𝐴 ++ 𝐵) ∈ ((𝑀 + 𝑁) ClWWalksN 𝐺))
12	2, 4, 10, 11	syl3anc 1273	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐴‘0) = 𝑋) ∧ (𝐵 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐵‘0) = 𝑋)) → (𝐴 ++ 𝐵) ∈ ((𝑀 + 𝑁) ClWWalksN 𝐺))
13		eqid 2231	. . . . . . . 8 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
14	13	clwwlknwrd 16271	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) → 𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
15	14	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐴‘0) = 𝑋) → 𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
16	15	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐴‘0) = 𝑋) ∧ (𝐵 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐵‘0) = 𝑋)) → 𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
17	13	clwwlknwrd 16271	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
18	17	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐵‘0) = 𝑋) → 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
19	18	adantl 277	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐴‘0) = 𝑋) ∧ (𝐵 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐵‘0) = 𝑋)) → 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
20		clwwlknnn 16269	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) → 𝑀 ∈ ℕ)
21		clwwlknlen 16268	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) → (♯‘𝐴) = 𝑀)
22		nngt0 9168	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 0 < 𝑀)
23		breq2 4092	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐴) = 𝑀 → (0 < (♯‘𝐴) ↔ 0 < 𝑀))
24	22, 23	syl5ibrcom 157	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((♯‘𝐴) = 𝑀 → 0 < (♯‘𝐴)))
25	20, 21, 24	sylc 62	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) → 0 < (♯‘𝐴))
26	25	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐴‘0) = 𝑋) → 0 < (♯‘𝐴))
27	26	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐴‘0) = 𝑋) ∧ (𝐵 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐵‘0) = 𝑋)) → 0 < (♯‘𝐴))
28		ccatfv0 11184	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 0 < (♯‘𝐴)) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘0) = (𝐴‘0))
29	16, 19, 27, 28	syl3anc 1273	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐴‘0) = 𝑋) ∧ (𝐵 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐵‘0) = 𝑋)) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘0) = (𝐴‘0))
30	29, 6	eqtrd 2264	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐴‘0) = 𝑋) ∧ (𝐵 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐵‘0) = 𝑋)) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘0) = 𝑋)
31	12, 30	jca 306	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐴‘0) = 𝑋) ∧ (𝐵 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐵‘0) = 𝑋)) → ((𝐴 ++ 𝐵) ∈ ((𝑀 + 𝑁) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝐴 ++ 𝐵)‘0) = 𝑋))
32		isclwwlknon 16287	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑀) ↔ (𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐴‘0) = 𝑋))
33		isclwwlknon 16287	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ↔ (𝐵 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐵‘0) = 𝑋))
34	32, 33	anbi12i 460	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑀) ∧ 𝐵 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁)) ↔ ((𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐴‘0) = 𝑋) ∧ (𝐵 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐵‘0) = 𝑋)))
35		isclwwlknon 16287	. 2 ⊢ ((𝐴 ++ 𝐵) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑀 + 𝑁)) ↔ ((𝐴 ++ 𝐵) ∈ ((𝑀 + 𝑁) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝐴 ++ 𝐵)‘0) = 𝑋))
36	31, 34, 35	3imtr4i 201	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑀) ∧ 𝐵 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁)) → (𝐴 ++ 𝐵) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑀 + 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1397   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4088  ‘cfv 5326  (class class class)co 6018  0cc0 8032   + caddc 8035   < clt 8214  ℕcn 9143  ♯chash 11038  Word cword 11117   ++ cconcat 11171  Vtxcvtx 15869   ClWWalksN cclwwlkn 16260  ClWWalksNOncclwwlknon 16283

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-frec 6557  df-1o 6582  df-er 6702  df-map 6819  df-en 6910  df-dom 6911  df-fin 6912  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-ap 8762  df-inn 9144  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756  df-rp 9889  df-fz 10244  df-fzo 10378  df-ihash 11039  df-word 11118  df-lsw 11163  df-concat 11172  df-ndx 13090  df-slot 13091  df-base 13093  df-vtx 15871  df-clwwlk 16249  df-clwwlkn 16261  df-clwwlknon 16284

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