Theorem clwwlknonccat 16674

Description: The concatenation of two words representing closed walks on a vertex 𝑋 represents a closed walk on vertex 𝑋. The resulting walk is a "double loop", starting at vertex 𝑋, coming back to 𝑋 by the first walk, following the second walk and finally coming back to 𝑋 again. (Contributed by AV, 24-Apr-2022.)

Assertion

Ref	Expression
clwwlknonccat	⊢ ((𝐴 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑀) ∧ 𝐵 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁)) → (𝐴 ++ 𝐵) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑀 + 𝑁)))

Proof of Theorem clwwlknonccat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐴‘0) = 𝑋) → 𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺))
2	1	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐴‘0) = 𝑋) ∧ (𝐵 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐵‘0) = 𝑋)) → 𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺))
3		simpl 109	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐵‘0) = 𝑋) → 𝐵 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺))
4	3	adantl 277	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐴‘0) = 𝑋) ∧ (𝐵 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐵‘0) = 𝑋)) → 𝐵 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺))
5		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐴‘0) = 𝑋) → (𝐴‘0) = 𝑋)
6	5	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐴‘0) = 𝑋) ∧ (𝐵 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐵‘0) = 𝑋)) → (𝐴‘0) = 𝑋)
7		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐵‘0) = 𝑋) → (𝐵‘0) = 𝑋)
8	7	eqcomd 2244	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐵‘0) = 𝑋) → 𝑋 = (𝐵‘0))
9	8	adantl 277	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐴‘0) = 𝑋) ∧ (𝐵 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐵‘0) = 𝑋)) → 𝑋 = (𝐵‘0))
10	6, 9	eqtrd 2271	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐴‘0) = 𝑋) ∧ (𝐵 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐵‘0) = 𝑋)) → (𝐴‘0) = (𝐵‘0))
11		clwwlknccat 16664	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → (𝐴 ++ 𝐵) ∈ ((𝑀 + 𝑁) ClWWalksN 𝐺))
12	2, 4, 10, 11	syl3anc 1278	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐴‘0) = 𝑋) ∧ (𝐵 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐵‘0) = 𝑋)) → (𝐴 ++ 𝐵) ∈ ((𝑀 + 𝑁) ClWWalksN 𝐺))
13		eqid 2238	. . . . . . . 8 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
14	13	clwwlknwrd 16655	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) → 𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
15	14	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐴‘0) = 𝑋) → 𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
16	15	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐴‘0) = 𝑋) ∧ (𝐵 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐵‘0) = 𝑋)) → 𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
17	13	clwwlknwrd 16655	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
18	17	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐵‘0) = 𝑋) → 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
19	18	adantl 277	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐴‘0) = 𝑋) ∧ (𝐵 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐵‘0) = 𝑋)) → 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
20		clwwlknnn 16653	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) → 𝑀 ∈ ℕ)
21		clwwlknlen 16652	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) → (♯‘𝐴) = 𝑀)
22		nngt0 9329	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 0 < 𝑀)
23		breq2 4134	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐴) = 𝑀 → (0 < (♯‘𝐴) ↔ 0 < 𝑀))
24	22, 23	syl5ibrcom 157	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((♯‘𝐴) = 𝑀 → 0 < (♯‘𝐴)))
25	20, 21, 24	sylc 62	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) → 0 < (♯‘𝐴))
26	25	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐴‘0) = 𝑋) → 0 < (♯‘𝐴))
27	26	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐴‘0) = 𝑋) ∧ (𝐵 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐵‘0) = 𝑋)) → 0 < (♯‘𝐴))
28		ccatfv0 11371	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 0 < (♯‘𝐴)) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘0) = (𝐴‘0))
29	16, 19, 27, 28	syl3anc 1278	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐴‘0) = 𝑋) ∧ (𝐵 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐵‘0) = 𝑋)) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘0) = (𝐴‘0))
30	29, 6	eqtrd 2271	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐴‘0) = 𝑋) ∧ (𝐵 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐵‘0) = 𝑋)) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘0) = 𝑋)
31	12, 30	jca 306	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐴‘0) = 𝑋) ∧ (𝐵 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐵‘0) = 𝑋)) → ((𝐴 ++ 𝐵) ∈ ((𝑀 + 𝑁) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝐴 ++ 𝐵)‘0) = 𝑋))
32		isclwwlknon 16671	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑀) ↔ (𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐴‘0) = 𝑋))
33		isclwwlknon 16671	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ↔ (𝐵 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐵‘0) = 𝑋))
34	32, 33	anbi12i 464	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑀) ∧ 𝐵 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁)) ↔ ((𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐴‘0) = 𝑋) ∧ (𝐵 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐵‘0) = 𝑋)))
35		isclwwlknon 16671	. 2 ⊢ ((𝐴 ++ 𝐵) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑀 + 𝑁)) ↔ ((𝐴 ++ 𝐵) ∈ ((𝑀 + 𝑁) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝐴 ++ 𝐵)‘0) = 𝑋))
36	31, 34, 35	3imtr4i 201	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑀) ∧ 𝐵 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁)) → (𝐴 ++ 𝐵) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑀 + 𝑁)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4130  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  0cc0 8179   + caddc 8182   < clt 8360  ℕcn 9304  ♯chash 11214  Word cword 11304   ++ cconcat 11358  Vtxcvtx 16253   ClWWalksN cclwwlkn 16644  ClWWalksNOncclwwlknon 16667

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-1o 6687  df-er 6807  df-map 6924  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-ap 8910  df-inn 9305  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-rp 10055  df-fz 10412  df-fzo 10550  df-ihash 11215  df-word 11305  df-lsw 11350  df-concat 11359  df-ndx 13355  df-slot 13356  df-base 13358  df-vtx 16255  df-clwwlk 16633  df-clwwlkn 16645  df-clwwlknon 16668

This theorem is used by: (None)