Theorem clwwlknccat 16418

Description: The concatenation of two words representing closed walks anchored at the same vertex represents a closed walk with a length which is the sum of the lengths of the two walks. The resulting walk is a "double loop", starting at the common vertex, coming back to the common vertex by the first walk, following the second walk and finally coming back to the common vertex again. (Contributed by AV, 24-Apr-2022.)

Assertion

Ref	Expression
clwwlknccat	⊢ ((𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → (𝐴 ++ 𝐵) ∈ ((𝑀 + 𝑁) ClWWalksN 𝐺))

Proof of Theorem clwwlknccat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isclwwlkni 16402	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) → (𝐴 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝐴) = 𝑀))
2		isclwwlkni 16402	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → (𝐵 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝐵) = 𝑁))
3		id 19	. . 3 ⊢ ((𝐴‘0) = (𝐵‘0) → (𝐴‘0) = (𝐵‘0))
4		simpl 109	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝐴) = 𝑀) → 𝐴 ∈ (ClWWalks‘𝐺))
5		simpl 109	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝐵) = 𝑁) → 𝐵 ∈ (ClWWalks‘𝐺))
6		clwwlkccat 16396	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → (𝐴 ++ 𝐵) ∈ (ClWWalks‘𝐺))
7	4, 5, 3, 6	syl3an 1316	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝐴) = 𝑀) ∧ (𝐵 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝐵) = 𝑁) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → (𝐴 ++ 𝐵) ∈ (ClWWalks‘𝐺))
8	1, 2, 3, 7	syl3an 1316	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → (𝐴 ++ 𝐵) ∈ (ClWWalks‘𝐺))
9		eqid 2232	. . . . . 6 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
10	9	clwwlknwrd 16409	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) → 𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
11	9	clwwlknwrd 16409	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
12		ccatlen 11283	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → (♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) = ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))
13	10, 11, 12	syl2an 289	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → (♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) = ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))
14		clwwlknlen 16406	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) → (♯‘𝐴) = 𝑀)
15		clwwlknlen 16406	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → (♯‘𝐵) = 𝑁)
16	14, 15	oveqan12d 6069	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) = (𝑀 + 𝑁))
17	13, 16	eqtrd 2265	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → (♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) = (𝑀 + 𝑁))
18	17	3adant3 1044	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → (♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) = (𝑀 + 𝑁))
19		clwwlknnn 16407	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) → 𝑀 ∈ ℕ)
20	19	nnnn0d 9553	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) → 𝑀 ∈ ℕ0)
21	20	3ad2ant1 1045	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
22		clwwlknnn 16407	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → 𝑁 ∈ ℕ)
23	22	nnnn0d 9553	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → 𝑁 ∈ ℕ0)
24	23	3ad2ant2 1046	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
25	21, 24	nn0addcld 9557	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0)
26		isclwwlkng 16401	. . 3 ⊢ ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0 → ((𝐴 ++ 𝐵) ∈ ((𝑀 + 𝑁) ClWWalksN 𝐺) ↔ ((𝐴 ++ 𝐵) ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ (♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) = (𝑀 + 𝑁))))
27	25, 26	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → ((𝐴 ++ 𝐵) ∈ ((𝑀 + 𝑁) ClWWalksN 𝐺) ↔ ((𝐴 ++ 𝐵) ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ (♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) = (𝑀 + 𝑁))))
28	8, 18, 27	mpbir2and 953	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → (𝐴 ++ 𝐵) ∈ ((𝑀 + 𝑁) ClWWalksN 𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  ‘cfv 5352  (class class class)co 6050  0cc0 8127   + caddc 8130  ℕ₀cn0 9496  ♯chash 11138  Word cword 11224   ++ cconcat 11278  Vtxcvtx 16007  ClWWalkscclwwlk 16386   ClWWalksN cclwwlkn 16398

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-mulrcl 8226  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-precex 8237  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243  ax-pre-mulgt0 8244

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-iord 4487  df-on 4489  df-ilim 4490  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-frec 6622  df-1o 6647  df-er 6767  df-map 6884  df-en 6976  df-dom 6977  df-fin 6978  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-reap 8849  df-ap 8856  df-inn 9238  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854  df-rp 9987  df-fz 10343  df-fzo 10477  df-ihash 11139  df-word 11225  df-lsw 11270  df-concat 11279  df-ndx 13215  df-slot 13216  df-base 13218  df-vtx 16009  df-clwwlk 16387  df-clwwlkn 16399

This theorem is referenced by:  clwwlknonccat  16428