Theorem clwwlknonel 16673

Description: Characterization of a word over the set of vertices representing a closed walk on vertex 𝑋 of (nonzero) length 𝑁 in a graph 𝐺. This theorem would not hold for 𝑁 = 0 if 𝑊 = 𝑋 = ∅. (Contributed by Alexander van der Vekens, 20-Sep-2018.) (Revised by AV, 28-May-2021.) (Revised by AV, 24-Mar-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
clwwlknonel.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
clwwlknonel.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
clwwlknonel	⊢ (𝑁 ≠ 0 → (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ↔ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁 ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)))

Distinct variable groups:   𝑖,𝐺   𝑖,𝑊

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑖)   𝑁(𝑖)   𝑉(𝑖)   𝑋(𝑖)

Proof of Theorem clwwlknonel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clwwlknonel.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		clwwlknonel.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
3	1, 2	isclwwlk 16635	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ↔ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))
4		simpl 109	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((♯‘𝑊) = 𝑁 ∧ 𝑊 = ∅) → (♯‘𝑊) = 𝑁)
5		fveq2 5695	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑊 = ∅ → (♯‘𝑊) = (♯‘∅))
6		hash0 11235	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (♯‘∅) = 0
7	5, 6	eqtrdi 2287	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑊 = ∅ → (♯‘𝑊) = 0)
8	7	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((♯‘𝑊) = 𝑁 ∧ 𝑊 = ∅) → (♯‘𝑊) = 0)
9	4, 8	eqtr3d 2273	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((♯‘𝑊) = 𝑁 ∧ 𝑊 = ∅) → 𝑁 = 0)
10	9	ex 115	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑊) = 𝑁 → (𝑊 = ∅ → 𝑁 = 0))
11	10	necon3d 2464	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑊) = 𝑁 → (𝑁 ≠ 0 → 𝑊 ≠ ∅))
12	11	impcom 125	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ≠ 0 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) → 𝑊 ≠ ∅)
13	12	biantrud 304	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ≠ 0 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅)))
14	13	bicomd 141	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ≠ 0 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ↔ 𝑊 ∈ Word 𝑉))
15	14	3anbi1d 1357	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ≠ 0 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) → (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)))
16	3, 15	bitrid 192	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ≠ 0 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) → (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)))
17	16	a1d 22	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ≠ 0 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) → ((𝑊‘0) = 𝑋 → (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))))
18	17	expimpd 363	. . 3 ⊢ (𝑁 ≠ 0 → (((♯‘𝑊) = 𝑁 ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))))
19	18	pm5.32rd 455	. 2 ⊢ (𝑁 ≠ 0 → ((𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = 𝑁 ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) ↔ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ ((♯‘𝑊) = 𝑁 ∧ (𝑊‘0) = 𝑋))))
20		isclwwlknon 16671	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ↔ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋))
21		isclwwlkn 16654	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ↔ (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁))
22	21	anbi1i 462	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) ↔ ((𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋))
23		anass 405	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) ↔ (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = 𝑁 ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)))
24	20, 22, 23	3bitri 206	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ↔ (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = 𝑁 ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)))
25		3anass 1013	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁 ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) ↔ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ ((♯‘𝑊) = 𝑁 ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)))
26	19, 24, 25	3bitr4g 223	1 ⊢ (𝑁 ≠ 0 → (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ↔ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁 ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ≠ wne 2420  ∀wral 2528  ∅c0 3520  {cpr 3710  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  0cc0 8179  1c1 8180   + caddc 8182   − cmin 8497  ..^cfzo 10549  ♯chash 11214  Word cword 11304  lastSclsw 11349  Vtxcvtx 16253  Edgcedg 16298  ClWWalkscclwwlk 16632   ClWWalksN cclwwlkn 16644  ClWWalksNOncclwwlknon 16667

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-1o 6687  df-er 6807  df-map 6924  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-ap 8910  df-inn 9305  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-fz 10412  df-fzo 10550  df-ihash 11215  df-word 11305  df-ndx 13355  df-slot 13356  df-base 13358  df-vtx 16255  df-clwwlk 16633  df-clwwlkn 16645  df-clwwlknon 16668

This theorem is used by:  clwwlknonex2  16680