Theorem eupthfi 16246

Description: Any graph with an Eulerian path is of finite size, i.e. with a finite number of edges. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.) (Revised by AV, 18-Feb-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
iseupth.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
eupthfi	⊢ (𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 → dom 𝐼 ∈ Fin)

Proof of Theorem eupthfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 9480	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		iseupth.i	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3	2	iseupth 16242	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–onto→dom 𝐼))
4	3	simplbi 274	. . . . 5 ⊢ (𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
5		trliswlk 16181	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
6		wlkcl 16129	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
7	4, 5, 6	3syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
8	7	nn0zd 9590	. . 3 ⊢ (𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℤ)
9		fzofig 10684	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℤ) → (0..^(♯‘𝐹)) ∈ Fin)
10	1, 8, 9	sylancr 414	. 2 ⊢ (𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 → (0..^(♯‘𝐹)) ∈ Fin)
11	2	eupthf1o 16245	. . . 4 ⊢ (𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼)
12		f1oeng 6925	. . . 4 ⊢ (((0..^(♯‘𝐹)) ∈ Fin ∧ 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼) → (0..^(♯‘𝐹)) ≈ dom 𝐼)
13	10, 11, 12	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 → (0..^(♯‘𝐹)) ≈ dom 𝐼)
14	13	ensymd 6952	. 2 ⊢ (𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 → dom 𝐼 ≈ (0..^(♯‘𝐹)))
15		enfii 7056	. 2 ⊢ (((0..^(♯‘𝐹)) ∈ Fin ∧ dom 𝐼 ≈ (0..^(♯‘𝐹))) → dom 𝐼 ∈ Fin)
16	10, 14, 15	syl2anc 411	1 ⊢ (𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 → dom 𝐼 ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4086  dom cdm 4723  –onto→wfo 5322  –1-1-onto→wf1o 5323  ‘cfv 5324  (class class class)co 6013   ≈ cen 6902  Fincfn 6904  0cc0 8022  ℕ₀cn0 9392  ℤcz 9469  ..^cfzo 10367  ♯chash 11027  iEdgciedg 15854  Walkscwlks 16114  Trailsctrls 16175  EulerPathsceupth 16237

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-addcom 8122  ax-mulcom 8123  ax-addass 8124  ax-mulass 8125  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-1rid 8129  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-apti 8137  ax-pre-ltadd 8138

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-ifp 984  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-frec 6552  df-1o 6577  df-er 6697  df-map 6814  df-en 6905  df-dom 6906  df-fin 6907  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-inn 9134  df-2 9192  df-3 9193  df-4 9194  df-5 9195  df-6 9196  df-7 9197  df-8 9198  df-9 9199  df-n0 9393  df-z 9470  df-dec 9602  df-uz 9746  df-fz 10234  df-fzo 10368  df-ihash 11028  df-word 11104  df-ndx 13075  df-slot 13076  df-base 13078  df-edgf 15846  df-vtx 15855  df-iedg 15856  df-wlks 16115  df-trls 16176  df-eupth 16238

This theorem is referenced by: (None)