Theorem fac2 10970

Description: The factorial of 2. (Contributed by NM, 17-Mar-2005.)

Assertion

Ref	Expression
fac2	⊢ (!‘2) = 2

Proof of Theorem fac2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-2 9185	. . 3 ⊢ 2 = (1 + 1)
2	1	fveq2i 5635	. 2 ⊢ (!‘2) = (!‘(1 + 1))
3		1nn0 9401	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
4		facp1 10969	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℕ0 → (!‘(1 + 1)) = ((!‘1) · (1 + 1)))
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (!‘(1 + 1)) = ((!‘1) · (1 + 1))
6		fac1 10968	. . . . 5 ⊢ (!‘1) = 1
7		1p1e2 9243	. . . . 5 ⊢ (1 + 1) = 2
8	6, 7	oveq12i 6022	. . . 4 ⊢ ((!‘1) · (1 + 1)) = (1 · 2)
9		2cn 9197	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
10	9	mullidi 8165	. . . 4 ⊢ (1 · 2) = 2
11	8, 10	eqtri 2250	. . 3 ⊢ ((!‘1) · (1 + 1)) = 2
12	5, 11	eqtri 2250	. 2 ⊢ (!‘(1 + 1)) = 2
13	2, 12	eqtri 2250	1 ⊢ (!‘2) = 2

Syntax hints:   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ‘cfv 5321  (class class class)co 6010  1c1 8016   + caddc 8018   · cmul 8020  2c2 9177  ℕ₀cn0 9385  !cfa 10964

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-iinf 4681  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-addcom 8115  ax-mulcom 8116  ax-addass 8117  ax-mulass 8118  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-0lt1 8121  ax-1rid 8122  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-cnre 8126  ax-pre-ltirr 8127  ax-pre-ltwlin 8128  ax-pre-lttrn 8129  ax-pre-ltadd 8131

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4385  df-iord 4458  df-on 4460  df-ilim 4461  df-suc 4463  df-iom 4684  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-f1 5326  df-fo 5327  df-f1o 5328  df-fv 5329  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-1st 6295  df-2nd 6296  df-recs 6462  df-frec 6548  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-xr 8201  df-ltxr 8202  df-le 8203  df-sub 8335  df-neg 8336  df-inn 9127  df-2 9185  df-n0 9386  df-z 9463  df-uz 9739  df-seqfrec 10687  df-fac 10965

This theorem is referenced by:  fac3  10971  bcn2  11003  4bc2eq6  11013  ef4p  12226  efgt1p2  12227  dveflem  15421