Theorem fac2 10965

Description: The factorial of 2. (Contributed by NM, 17-Mar-2005.)

Assertion

Ref	Expression
fac2	⊢ (!‘2) = 2

Proof of Theorem fac2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-2 9180	. . 3 ⊢ 2 = (1 + 1)
2	1	fveq2i 5632	. 2 ⊢ (!‘2) = (!‘(1 + 1))
3		1nn0 9396	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
4		facp1 10964	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℕ0 → (!‘(1 + 1)) = ((!‘1) · (1 + 1)))
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (!‘(1 + 1)) = ((!‘1) · (1 + 1))
6		fac1 10963	. . . . 5 ⊢ (!‘1) = 1
7		1p1e2 9238	. . . . 5 ⊢ (1 + 1) = 2
8	6, 7	oveq12i 6019	. . . 4 ⊢ ((!‘1) · (1 + 1)) = (1 · 2)
9		2cn 9192	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
10	9	mullidi 8160	. . . 4 ⊢ (1 · 2) = 2
11	8, 10	eqtri 2250	. . 3 ⊢ ((!‘1) · (1 + 1)) = 2
12	5, 11	eqtri 2250	. 2 ⊢ (!‘(1 + 1)) = 2
13	2, 12	eqtri 2250	1 ⊢ (!‘2) = 2

Syntax hints:   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ‘cfv 5318  (class class class)co 6007  1c1 8011   + caddc 8013   · cmul 8015  2c2 9172  ℕ₀cn0 9380  !cfa 10959

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-addcom 8110  ax-mulcom 8111  ax-addass 8112  ax-mulass 8113  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-1rid 8117  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-ltadd 8126

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-frec 6543  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-inn 9122  df-2 9180  df-n0 9381  df-z 9458  df-uz 9734  df-seqfrec 10682  df-fac 10960

This theorem is referenced by:  fac3  10966  bcn2  10998  4bc2eq6  11008  ef4p  12220  efgt1p2  12221  dveflem  15415