Theorem fac2 10842

Description: The factorial of 2. (Contributed by NM, 17-Mar-2005.)

Assertion

Ref	Expression
fac2	⊢ (!‘2) = 2

Proof of Theorem fac2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-2 9068	. . 3 ⊢ 2 = (1 + 1)
2	1	fveq2i 5564	. 2 ⊢ (!‘2) = (!‘(1 + 1))
3		1nn0 9284	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
4		facp1 10841	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℕ0 → (!‘(1 + 1)) = ((!‘1) · (1 + 1)))
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (!‘(1 + 1)) = ((!‘1) · (1 + 1))
6		fac1 10840	. . . . 5 ⊢ (!‘1) = 1
7		1p1e2 9126	. . . . 5 ⊢ (1 + 1) = 2
8	6, 7	oveq12i 5937	. . . 4 ⊢ ((!‘1) · (1 + 1)) = (1 · 2)
9		2cn 9080	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
10	9	mullidi 8048	. . . 4 ⊢ (1 · 2) = 2
11	8, 10	eqtri 2217	. . 3 ⊢ ((!‘1) · (1 + 1)) = 2
12	5, 11	eqtri 2217	. 2 ⊢ (!‘(1 + 1)) = 2
13	2, 12	eqtri 2217	1 ⊢ (!‘2) = 2

Syntax hints:   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925  1c1 7899   + caddc 7901   · cmul 7903  2c2 9060  ℕ₀cn0 9268  !cfa 10836

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990  ax-1cn 7991  ax-1re 7992  ax-icn 7993  ax-addcl 7994  ax-addrcl 7995  ax-mulcl 7996  ax-addcom 7998  ax-mulcom 7999  ax-addass 8000  ax-mulass 8001  ax-distr 8002  ax-i2m1 8003  ax-0lt1 8004  ax-1rid 8005  ax-0id 8006  ax-rnegex 8007  ax-cnre 8009  ax-pre-ltirr 8010  ax-pre-ltwlin 8011  ax-pre-lttrn 8012  ax-pre-ltadd 8014

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-frec 6458  df-pnf 8082  df-mnf 8083  df-xr 8084  df-ltxr 8085  df-le 8086  df-sub 8218  df-neg 8219  df-inn 9010  df-2 9068  df-n0 9269  df-z 9346  df-uz 9621  df-seqfrec 10559  df-fac 10837

This theorem is referenced by:  fac3  10843  bcn2  10875  4bc2eq6  10885  ef4p  11878  efgt1p2  11879  dveflem  15070