Theorem fac2 10743

Description: The factorial of 2. (Contributed by NM, 17-Mar-2005.)

Assertion

Ref	Expression
fac2	⊢ (!‘2) = 2

Proof of Theorem fac2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-2 9008	. . 3 ⊢ 2 = (1 + 1)
2	1	fveq2i 5537	. 2 ⊢ (!‘2) = (!‘(1 + 1))
3		1nn0 9222	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
4		facp1 10742	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℕ0 → (!‘(1 + 1)) = ((!‘1) · (1 + 1)))
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (!‘(1 + 1)) = ((!‘1) · (1 + 1))
6		fac1 10741	. . . . 5 ⊢ (!‘1) = 1
7		1p1e2 9066	. . . . 5 ⊢ (1 + 1) = 2
8	6, 7	oveq12i 5908	. . . 4 ⊢ ((!‘1) · (1 + 1)) = (1 · 2)
9		2cn 9020	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
10	9	mullidi 7990	. . . 4 ⊢ (1 · 2) = 2
11	8, 10	eqtri 2210	. . 3 ⊢ ((!‘1) · (1 + 1)) = 2
12	5, 11	eqtri 2210	. 2 ⊢ (!‘(1 + 1)) = 2
13	2, 12	eqtri 2210	1 ⊢ (!‘2) = 2

Syntax hints:   = wceq 1364   ∈ wcel 2160  ‘cfv 5235  (class class class)co 5896  1c1 7842   + caddc 7844   · cmul 7846  2c2 9000  ℕ₀cn0 9206  !cfa 10737

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7932  ax-resscn 7933  ax-1cn 7934  ax-1re 7935  ax-icn 7936  ax-addcl 7937  ax-addrcl 7938  ax-mulcl 7939  ax-addcom 7941  ax-mulcom 7942  ax-addass 7943  ax-mulass 7944  ax-distr 7945  ax-i2m1 7946  ax-0lt1 7947  ax-1rid 7948  ax-0id 7949  ax-rnegex 7950  ax-cnre 7952  ax-pre-ltirr 7953  ax-pre-ltwlin 7954  ax-pre-lttrn 7955  ax-pre-ltadd 7957

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5899  df-oprab 5900  df-mpo 5901  df-1st 6165  df-2nd 6166  df-recs 6330  df-frec 6416  df-pnf 8024  df-mnf 8025  df-xr 8026  df-ltxr 8027  df-le 8028  df-sub 8160  df-neg 8161  df-inn 8950  df-2 9008  df-n0 9207  df-z 9284  df-uz 9559  df-seqfrec 10477  df-fac 10738

This theorem is referenced by:  fac3  10744  bcn2  10776  4bc2eq6  10786  ef4p  11734  efgt1p2  11735  dveflem  14644