Theorem flapge 10731

Description: The floor function value is the greatest integer less than or equal to its argument. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
flapge	⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∨ (𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ 𝐵 ≤ (⌊‘𝐴)))

Distinct variable group:   𝐴,𝑞

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑞)

Proof of Theorem flapge

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flaplelt 10724	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∨ (𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞)) → ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1)))
2	1	simprd 114	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∨ (𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞)) → 𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1))
3	2	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∨ (𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1))
4		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∨ (𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℤ)
5	4	zred 9773	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∨ (𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℝ)
6		qre 10035	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℝ)
7		simpl 109	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) → 𝐴 ∈ ℝ)
8	6, 7	jaoi 728	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∨ (𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞)) → 𝐴 ∈ ℝ)
9	8	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∨ (𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ)
10		flapcl 10722	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∨ (𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞)) → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
11	10	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∨ (𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
12	11	peano2zd 9776	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∨ (𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℤ)
13	12	zred 9773	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∨ (𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℝ)
14		lelttr 8415	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℝ) → ((𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1)) → 𝐵 < ((⌊‘𝐴) + 1)))
15	5, 9, 13, 14	syl3anc 1278	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∨ (𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1)) → 𝐵 < ((⌊‘𝐴) + 1)))
16	3, 15	mpan2d 432	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∨ (𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵 ≤ 𝐴 → 𝐵 < ((⌊‘𝐴) + 1)))
17		zleltp1 9705	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℤ) → (𝐵 ≤ (⌊‘𝐴) ↔ 𝐵 < ((⌊‘𝐴) + 1)))
18	4, 11, 17	syl2anc 415	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∨ (𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵 ≤ (⌊‘𝐴) ↔ 𝐵 < ((⌊‘𝐴) + 1)))
19	16, 18	sylibrd 169	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∨ (𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵 ≤ 𝐴 → 𝐵 ≤ (⌊‘𝐴)))
20	1	simpld 112	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∨ (𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞)) → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
21	20	adantr 276	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∨ (𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
22	11	zred 9773	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∨ (𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
23		letr 8409	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵 ≤ (⌊‘𝐴) ∧ (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴) → 𝐵 ≤ 𝐴))
24	5, 22, 9, 23	syl3anc 1278	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∨ (𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐵 ≤ (⌊‘𝐴) ∧ (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴) → 𝐵 ≤ 𝐴))
25	21, 24	mpan2d 432	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∨ (𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵 ≤ (⌊‘𝐴) → 𝐵 ≤ 𝐴))
26	19, 25	impbid 129	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∨ (𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ 𝐵 ≤ (⌊‘𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 720   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528   class class class wbr 4130  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  ℝcr 8179  1c1 8181   + caddc 8183   < clt 8361   ≤ cle 8362   # cap 8912  ℤcz 9649  ℚcq 10029  ⌊cfl 10714

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-mulrcl 8279  ax-addcom 8280  ax-mulcom 8281  ax-addass 8282  ax-mulass 8283  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-1rid 8287  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-precex 8290  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-apti 8295  ax-pre-ltadd 8296  ax-pre-mulgt0 8297  ax-pre-mulext 8298  ax-arch 8299

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-reap 8906  df-ap 8913  df-div 9006  df-inn 9308  df-n0 9569  df-z 9650  df-q 10030  df-rp 10066  df-fl 10716

This theorem is used by:  prmefexple  16269  bposlem1  16272  bposlem4  16275  bposlem5  16276