bposlem5 - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem bposlem5 16276

Description: Lemma for bpos . Bound the product of all small primes in the binomial coefficient. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Mar-2014.) (Proof shortened by AV, 15-Sep-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
bpos.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5))
bpos.2	⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))
bpos.3	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑(𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))), 1))
bpos.4	⊢ 𝐾 = (⌊‘((2 · 𝑁) / 3))
bpos.5	⊢ 𝑀 = (⌊‘(√‘(2 · 𝑁)))

**Assertion**
Ref	Expression
bposlem5	⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ≤ ((2 · 𝑁)↑_𝑐(((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2)))

Distinct variable groups: 𝐹,𝑝 𝑛,𝑝,𝐾 𝑀,𝑝 𝑛,𝑁,𝑝 𝜑,𝑛,𝑝 Allowed substitution hints: 𝐹(𝑛) 𝑀(𝑛)

Proof of Theorem bposlem5 Dummy variables 𝑘 𝑥 𝑞 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bpos.3	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑(𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))), 1))
2		id 19	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℙ → 𝑛 ∈ ℙ)
3		5nn 9474	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 ∈ ℕ
4		bpos.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5))
5		eluznn 10010	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((5 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5)) → 𝑁 ∈ ℕ)
6	3, 4, 5	sylancr 418	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
7	6	nnnn0d 9625	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ₀)
8		fzctr 10551	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → 𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)))
9		bccl2 11222	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)) → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ)
10	7, 8, 9	3syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ)
11		pccl 13101	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℙ ∧ ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ) → (𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ₀)
12	2, 10, 11	syl2anr 290	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → (𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ₀)
13	12	ralrimiva 2623	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℙ (𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ₀)
14	1, 13	pcmptcl 13144	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℕ))
15	14	simprd 114	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℕ)
16		3nn 9472	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ
17		bpos.5	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (⌊‘(√‘(2 · 𝑁)))
18		2nn 9471	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ
19		nnmulcl 9328	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
20	18, 6, 19	sylancr 418	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
21	20	nnnn0d 9625	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℕ₀)
22		sqrtrirr 13008	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · 𝑁) ∈ ℕ₀ → ((√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℚ ∨ ((√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ (√‘(2 · 𝑁)) # 𝑞)))
23	21, 22	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℚ ∨ ((√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ (√‘(2 · 𝑁)) # 𝑞)))
24		flapcl 10722	. . . . . . . 8 ⊢ (((√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℚ ∨ ((√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ (√‘(2 · 𝑁)) # 𝑞)) → (⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) ∈ ℤ)
25	23, 24	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) ∈ ℤ)
26		sqrt9 11830	. . . . . . . . 9 ⊢ (√‘9) = 3
27		9re 9394	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 9 ∈ ℝ
28	27	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 9 ∈ ℝ)
29		10re 9804	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;10 ∈ ℝ
30	29	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ;10 ∈ ℝ)
31		2z 9677	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℤ
32	6	nnzd 9772	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
33		zmulcl 9703	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
34	31, 32, 33	sylancr 418	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
35	34	zred 9773	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
36		lep1 9178	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (9 ∈ ℝ → 9 ≤ (9 + 1))
37	27, 36	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 9 ≤ (9 + 1)
38		9p1e10 9784	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (9 + 1) = ;10
39	37, 38	breqtri 4155	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 9 ≤ ;10
40	39	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 9 ≤ ;10)
41		5cn 9387	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 5 ∈ ℂ
42		2cn 9378	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℂ
43		5t2e10 9886	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (5 · 2) = ;10
44	41, 42, 43	mulcomli 8334	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · 5) = ;10
45		eluzle 9944	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) → 5 ≤ 𝑁)
46	4, 45	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 5 ≤ 𝑁)
47	6	nnred 9320	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
48		5re 9386	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 5 ∈ ℝ
49		2re 9377	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℝ
50		2pos 9398	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 < 2
51	49, 50	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
52		lemul2 9190	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((5 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (5 ≤ 𝑁 ↔ (2 · 5) ≤ (2 · 𝑁)))
53	48, 51, 52	mp3an13 1369	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (5 ≤ 𝑁 ↔ (2 · 5) ≤ (2 · 𝑁)))
54	47, 53	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (5 ≤ 𝑁 ↔ (2 · 5) ≤ (2 · 𝑁)))
55	46, 54	mpbid 147	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (2 · 5) ≤ (2 · 𝑁))
56	44, 55	eqbrtrrid 4166	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ;10 ≤ (2 · 𝑁))
57	28, 30, 35, 40, 56	letrd 8452	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 9 ≤ (2 · 𝑁))
58		0re 8327	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℝ
59		9pos 9411	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < 9
60	58, 27, 59	ltleii 8430	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ≤ 9
61	27, 60	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (9 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 9)
62	20	nnrpd 10106	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ⁺)
63	62	rpge0d 10112	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (2 · 𝑁))
64	35, 63	jca 306	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2 · 𝑁)))
65		sqrtle 11818	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((9 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 9) ∧ ((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2 · 𝑁))) → (9 ≤ (2 · 𝑁) ↔ (√‘9) ≤ (√‘(2 · 𝑁))))
66	61, 64, 65	sylancr 418	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (9 ≤ (2 · 𝑁) ↔ (√‘9) ≤ (√‘(2 · 𝑁))))
67	57, 66	mpbid 147	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (√‘9) ≤ (√‘(2 · 𝑁)))
68	26, 67	eqbrtrrid 4166	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 3 ≤ (√‘(2 · 𝑁)))
69		3z 9678	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℤ
70		flapge 10731	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℚ ∨ ((√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ (√‘(2 · 𝑁)) # 𝑞)) ∧ 3 ∈ ℤ) → (3 ≤ (√‘(2 · 𝑁)) ↔ 3 ≤ (⌊‘(√‘(2 · 𝑁)))))
71	23, 69, 70	sylancl 417	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (3 ≤ (√‘(2 · 𝑁)) ↔ 3 ≤ (⌊‘(√‘(2 · 𝑁)))))
72	68, 71	mpbid 147	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 3 ≤ (⌊‘(√‘(2 · 𝑁))))
73	69	eluz1i 9939	. . . . . . 7 ⊢ ((⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) ∈ (ℤ_≥‘3) ↔ ((⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) ∈ ℤ ∧ 3 ≤ (⌊‘(√‘(2 · 𝑁)))))
74	25, 72, 73	sylanbrc 421	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) ∈ (ℤ_≥‘3))
75	17, 74	eqeltrid 2325	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ_≥‘3))
76		eluznn 10010	. . . . 5 ⊢ ((3 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ_≥‘3)) → 𝑀 ∈ ℕ)
77	16, 75, 76	sylancr 418	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
78	15, 77	ffvelcdmd 5844	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℕ)
79	78	nnred 9320	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℝ)
80		nnq 10043	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℚ)
81	77, 80	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℚ)
82		ppiqcl 16212	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℚ → (π‘𝑀) ∈ ℕ₀)
83	81, 82	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (π‘𝑀) ∈ ℕ₀)
84	20, 83	nnexpcld 11148	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑀)) ∈ ℕ)
85	84	nnred 9320	. 2 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑀)) ∈ ℝ)
86	35, 63	resqrtcld 11946	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ)
87		nndivre 9343	. . . . . 6 ⊢ (((√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ) → ((√‘(2 · 𝑁)) / 3) ∈ ℝ)
88	86, 16, 87	sylancl 417	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((√‘(2 · 𝑁)) / 3) ∈ ℝ)
89		readdcl 8306	. . . . 5 ⊢ ((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → (((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2) ∈ ℝ)
90	88, 49, 89	sylancl 417	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2) ∈ ℝ)
91	62, 90	rpcxpcld 16130	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑_𝑐(((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2)) ∈ ℝ⁺)
92	91	rpred 10108	. 2 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑_𝑐(((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2)) ∈ ℝ)
93		fveq2 5695	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑥) = (seq1( · , 𝐹)‘1))
94		fveq2 5695	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 1 → (π‘𝑥) = (π‘1))
95		ppi1 16231	. . . . . . . 8 ⊢ (π‘1) = 0
96	94, 95	eqtrdi 2287	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 1 → (π‘𝑥) = 0)
97	96	oveq2d 6101	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑥)) = ((2 · 𝑁)↑0))
98	93, 97	breq12d 4143	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑥) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑥)) ↔ (seq1( · , 𝐹)‘1) ≤ ((2 · 𝑁)↑0)))
99	98	imbi2d 230	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑥) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑥))) ↔ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘1) ≤ ((2 · 𝑁)↑0))))
100		fveq2 5695	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑥) = (seq1( · , 𝐹)‘𝑘))
101		fveq2 5695	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (π‘𝑥) = (π‘𝑘))
102	101	oveq2d 6101	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑥)) = ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑘)))
103	100, 102	breq12d 4143	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑥) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑥)) ↔ (seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑘))))
104	103	imbi2d 230	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑥) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑥))) ↔ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑘)))))
105		fveq2 5695	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (seq1( · , 𝐹)‘𝑥) = (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)))
106		fveq2 5695	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (π‘𝑥) = (π‘(𝑘 + 1)))
107	106	oveq2d 6101	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑥)) = ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1))))
108	105, 107	breq12d 4143	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑥) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑥)) ↔ (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1)))))
109	108	imbi2d 230	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑥) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑥))) ↔ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1))))))
110		fveq2 5695	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑥) = (seq1( · , 𝐹)‘𝑀))
111		fveq2 5695	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → (π‘𝑥) = (π‘𝑀))
112	111	oveq2d 6101	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑥)) = ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑀)))
113	110, 112	breq12d 4143	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑥) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑥)) ↔ (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑀))))
114	113	imbi2d 230	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → ((𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑥) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑥))) ↔ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑀)))))
115		1zzd 9676	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
116		eleq1 2301	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑢 → (𝑛 ∈ ℙ ↔ 𝑢 ∈ ℙ))
117		id 19	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑢 → 𝑛 = 𝑢)
118		oveq1 6092	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑢 → (𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = (𝑢 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))
119	117, 118	oveq12d 6103	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑢 → (𝑛↑(𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) = (𝑢↑(𝑢 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))))
120	116, 119	ifbieq1d 3663	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑢 → if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑(𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))), 1) = if(𝑢 ∈ ℙ, (𝑢↑(𝑢 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))), 1))
121		elnnuz 9969	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 ∈ ℕ ↔ 𝑢 ∈ (ℤ_≥‘1))
122	121	bilanri 389	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (ℤ_≥‘1)) → 𝑢 ∈ ℕ)
123	122	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (ℤ_≥‘1)) ∧ 𝑢 ∈ ℙ) → 𝑢 ∈ ℕ)
124		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (ℤ_≥‘1)) ∧ 𝑢 ∈ ℙ) → 𝑢 ∈ ℙ)
125	10	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (ℤ_≥‘1)) ∧ 𝑢 ∈ ℙ) → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ)
126	124, 125	pccld 13102	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (ℤ_≥‘1)) ∧ 𝑢 ∈ ℙ) → (𝑢 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ₀)
127	123, 126	nnexpcld 11148	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (ℤ_≥‘1)) ∧ 𝑢 ∈ ℙ) → (𝑢↑(𝑢 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) ∈ ℕ)
128		1nn 9318	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℕ
129	128	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (ℤ_≥‘1)) ∧ ¬ 𝑢 ∈ ℙ) → 1 ∈ ℕ)
130		prmdc 12927	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 ∈ ℕ → DECID 𝑢 ∈ ℙ)
131	122, 130	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (ℤ_≥‘1)) → DECID 𝑢 ∈ ℙ)
132	127, 129, 131	ifcldadc 3670	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (ℤ_≥‘1)) → if(𝑢 ∈ ℙ, (𝑢↑(𝑢 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))), 1) ∈ ℕ)
133	1, 120, 122, 132	fvmptd3 5799	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (ℤ_≥‘1)) → (𝐹‘𝑢) = if(𝑢 ∈ ℙ, (𝑢↑(𝑢 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))), 1))
134	133, 132	eqeltrd 2315	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (ℤ_≥‘1)) → (𝐹‘𝑢) ∈ ℕ)
135		nnmulcl 9328	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑢 ∈ ℕ ∧ 𝑣 ∈ ℕ) → (𝑢 · 𝑣) ∈ ℕ)
136	135	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℕ ∧ 𝑣 ∈ ℕ)) → (𝑢 · 𝑣) ∈ ℕ)
137	115, 134, 136	seq3-1 10914	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘1) = (𝐹‘1))
138		1nprm 12911	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ 1 ∈ ℙ
139		eleq1 2301	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 ∈ ℙ ↔ 1 ∈ ℙ))
140	138, 139	mtbiri 686	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 1 → ¬ 𝑛 ∈ ℙ)
141	140	iffalsed 3650	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 1 → if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑(𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))), 1) = 1)
142		1ex 8322	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ V
143	141, 1, 142	fvmpt 5782	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℕ → (𝐹‘1) = 1)
144	128, 143	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹‘1) = 1
145	137, 144	eqtrdi 2287	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘1) = 1)
146		1le1 8903	. . . . . 6 ⊢ 1 ≤ 1
147	145, 146	eqbrtrdi 4169	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘1) ≤ 1)
148	34	zcnd 9774	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
149	148	exp0d 11120	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑0) = 1)
150	147, 149	breqtrrd 4158	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘1) ≤ ((2 · 𝑁)↑0))
151	15	ffvelcdmda 5843	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℕ)
152	151	nnred 9320	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℝ)
153	152	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℝ)
154	20	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
155		nnq 10043	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℚ)
156	155	ad2antlr 493	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → 𝑘 ∈ ℚ)
157		ppiqcl 16212	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℚ → (π‘𝑘) ∈ ℕ₀)
158	156, 157	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (π‘𝑘) ∈ ℕ₀)
159	154, 158	nnexpcld 11148	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑘)) ∈ ℕ)
160	159	nnred 9320	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑘)) ∈ ℝ)
161		nnre 9314	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 · 𝑁) ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
162		nngt0 9332	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 · 𝑁) ∈ ℕ → 0 < (2 · 𝑁))
163	161, 162	jca 306	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 · 𝑁) ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 < (2 · 𝑁)))
164	20, 163	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 < (2 · 𝑁)))
165	164	ad2antrr 492	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 < (2 · 𝑁)))
166		lemul1 8924	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑘)) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 < (2 · 𝑁))) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑘)) ↔ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁)) ≤ (((2 · 𝑁)↑(π‘𝑘)) · (2 · 𝑁))))
167	153, 160, 165, 166	syl3anc 1278	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑘)) ↔ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁)) ≤ (((2 · 𝑁)↑(π‘𝑘)) · (2 · 𝑁))))
168		nnz 9668	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
169	168	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℤ)
170		ppiprm 16220	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (π‘(𝑘 + 1)) = ((π‘𝑘) + 1))
171	169, 170	sylan 283	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (π‘(𝑘 + 1)) = ((π‘𝑘) + 1))
172	171	oveq2d 6101	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1))) = ((2 · 𝑁)↑((π‘𝑘) + 1)))
173	148	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
174	173, 158	expp1d 11127	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((2 · 𝑁)↑((π‘𝑘) + 1)) = (((2 · 𝑁)↑(π‘𝑘)) · (2 · 𝑁)))
175	172, 174	eqtrd 2271	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1))) = (((2 · 𝑁)↑(π‘𝑘)) · (2 · 𝑁)))
176	175	breq2d 4142	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁)) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1))) ↔ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁)) ≤ (((2 · 𝑁)↑(π‘𝑘)) · (2 · 𝑁))))
177	167, 176	bitr4d 191	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑘)) ↔ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁)) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1)))))
178		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
179		nnuz 9968	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℕ = (ℤ_≥‘1)
180	178, 179	eleqtrdi 2331	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘1))
181	134	adantlr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑢 ∈ (ℤ_≥‘1)) → (𝐹‘𝑢) ∈ ℕ)
182	135	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑢 ∈ ℕ ∧ 𝑣 ∈ ℕ)) → (𝑢 · 𝑣) ∈ ℕ)
183	180, 181, 182	seq3p1 10917	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) = ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (𝐹‘(𝑘 + 1))))
184	183	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) = ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (𝐹‘(𝑘 + 1))))
185		eleq1 2301	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝑛 ∈ ℙ ↔ (𝑘 + 1) ∈ ℙ))
186		id 19	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 = (𝑘 + 1) → 𝑛 = (𝑘 + 1))
187		oveq1 6092	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = ((𝑘 + 1) pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))
188	186, 187	oveq12d 6103	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝑛↑(𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) = ((𝑘 + 1)↑((𝑘 + 1) pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))))
189	185, 188	ifbieq1d 3663	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = (𝑘 + 1) → if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑(𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))), 1) = if((𝑘 + 1) ∈ ℙ, ((𝑘 + 1)↑((𝑘 + 1) pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))), 1))
190		peano2nn 9319	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
191	190	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
192	191	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
193		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (𝑘 + 1) ∈ ℙ)
194	10	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ)
195	193, 194	pccld 13102	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((𝑘 + 1) pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ₀)
196	192, 195	nnexpcld 11148	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((𝑘 + 1)↑((𝑘 + 1) pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) ∈ ℕ)
197	128	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → 1 ∈ ℕ)
198		prmdc 12927	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑘 + 1) ∈ ℕ → DECID (𝑘 + 1) ∈ ℙ)
199	191, 198	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → DECID (𝑘 + 1) ∈ ℙ)
200	196, 197, 199	ifcldadc 3670	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → if((𝑘 + 1) ∈ ℙ, ((𝑘 + 1)↑((𝑘 + 1) pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))), 1) ∈ ℕ)
201	1, 189, 191, 200	fvmptd3 5799	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = if((𝑘 + 1) ∈ ℙ, ((𝑘 + 1)↑((𝑘 + 1) pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))), 1))
202		iftrue 3645	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 + 1) ∈ ℙ → if((𝑘 + 1) ∈ ℙ, ((𝑘 + 1)↑((𝑘 + 1) pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))), 1) = ((𝑘 + 1)↑((𝑘 + 1) pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))))
203	201, 202	sylan9eq 2291	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = ((𝑘 + 1)↑((𝑘 + 1) pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))))
204	6	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
205		bposlem1 16272	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((𝑘 + 1)↑((𝑘 + 1) pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) ≤ (2 · 𝑁))
206	204, 205	sylan 283	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((𝑘 + 1)↑((𝑘 + 1) pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) ≤ (2 · 𝑁))
207	203, 206	eqbrtrd 4152	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (2 · 𝑁))
208	14	simpld 112	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℕ)
209		ffvelcdm 5841	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
210	208, 190, 209	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
211	210	nnred 9320	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
212	211	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
213	35	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
214		nnre 9314	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℕ → (seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℝ)
215		nngt0 9332	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℕ → 0 < (seq1( · , 𝐹)‘𝑘))
216	214, 215	jca 306	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℕ → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < (seq1( · , 𝐹)‘𝑘)))
217	151, 216	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < (seq1( · , 𝐹)‘𝑘)))
218	217	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < (seq1( · , 𝐹)‘𝑘)))
219		lemul2 9190	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < (seq1( · , 𝐹)‘𝑘))) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (2 · 𝑁) ↔ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁))))
220	212, 213, 218, 219	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (2 · 𝑁) ↔ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁))))
221	207, 220	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁)))
222	184, 221	eqbrtrd 4152	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ≤ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁)))
223		ffvelcdm 5841	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℕ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
224	15, 190, 223	syl2an 289	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
225	224	nnred 9320	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
226	20	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
227	151, 226	nnmulcld 9356	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁)) ∈ ℕ)
228	227	nnred 9320	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁)) ∈ ℝ)
229		nnq 10043	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑘 + 1) ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℚ)
230	191, 229	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ ℚ)
231		ppiqcl 16212	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 + 1) ∈ ℚ → (π‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ₀)
232	230, 231	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (π‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ₀)
233	226, 232	nnexpcld 11148	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1))) ∈ ℕ)
234	233	nnred 9320	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
235		letr 8409	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ ∧ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁)) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ) → (((seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ≤ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁)) ∧ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁)) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1)))) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1)))))
236	225, 228, 234, 235	syl3anc 1278	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ≤ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁)) ∧ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁)) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1)))) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1)))))
237	236	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (((seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ≤ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁)) ∧ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁)) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1)))) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1)))))
238	222, 237	mpand 433	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁)) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1))) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1)))))
239	177, 238	sylbid 150	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑘)) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1)))))
240	183	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) = ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (𝐹‘(𝑘 + 1))))
241		iffalse 3648	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ (𝑘 + 1) ∈ ℙ → if((𝑘 + 1) ∈ ℙ, ((𝑘 + 1)↑((𝑘 + 1) pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))), 1) = 1)
242	201, 241	sylan9eq 2291	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = 1)
243	242	oveq2d 6101	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (𝐹‘(𝑘 + 1))) = ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · 1))
244	151	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℕ)
245	244	nncnd 9321	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℂ)
246	245	mulridd 8344	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · 1) = (seq1( · , 𝐹)‘𝑘))
247	240, 243, 246	3eqtrd 2275	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) = (seq1( · , 𝐹)‘𝑘))
248		ppinprm 16221	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (π‘(𝑘 + 1)) = (π‘𝑘))
249	169, 248	sylan 283	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (π‘(𝑘 + 1)) = (π‘𝑘))
250	249	oveq2d 6101	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1))) = ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑘)))
251	247, 250	breq12d 4143	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1))) ↔ (seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑘))))
252	251	biimprd 158	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑘)) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1)))))
253		exmiddc 848	. . . . . . . 8 ⊢ (DECID (𝑘 + 1) ∈ ℙ → ((𝑘 + 1) ∈ ℙ ∨ ¬ (𝑘 + 1) ∈ ℙ))
254	199, 253	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 + 1) ∈ ℙ ∨ ¬ (𝑘 + 1) ∈ ℙ))
255	239, 252, 254	mpjaodan 810	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑘)) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1)))))
256	255	expcom 116	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝜑 → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑘)) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1))))))
257	256	a2d 26	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑘))) → (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1))))))
258	99, 104, 109, 114, 150, 257	nnind 9323	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑀))))
259	77, 258	mpcom 36	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑀)))
260	83	nn0zd 9771	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (π‘𝑀) ∈ ℤ)
261		cxpexpnn 16093	. . . 4 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℕ ∧ (π‘𝑀) ∈ ℤ) → ((2 · 𝑁)↑_𝑐(π‘𝑀)) = ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑀)))
262	20, 260, 261	syl2anc 415	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑_𝑐(π‘𝑀)) = ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑀)))
263	83	nn0red 9626	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (π‘𝑀) ∈ ℝ)
264	77	nnred 9320	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
265		nndivre 9343	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ) → (𝑀 / 3) ∈ ℝ)
266	264, 16, 265	sylancl 417	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 / 3) ∈ ℝ)
267		readdcl 8306	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 / 3) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → ((𝑀 / 3) + 2) ∈ ℝ)
268	266, 49, 267	sylancl 417	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 / 3) + 2) ∈ ℝ)
269	77	nnnn0d 9625	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ₀)
270	269	nn0ge0d 9628	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
271		ppiqub 16254	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 ≤ 𝑀) → (π‘𝑀) ≤ ((𝑀 / 3) + 2))
272	81, 270, 271	syl2anc 415	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (π‘𝑀) ≤ ((𝑀 / 3) + 2))
273	49	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
274		flaplelt 10724	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℚ ∨ ((√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ (√‘(2 · 𝑁)) # 𝑞)) → ((⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) ≤ (√‘(2 · 𝑁)) ∧ (√‘(2 · 𝑁)) < ((⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) + 1)))
275	23, 274	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) ≤ (√‘(2 · 𝑁)) ∧ (√‘(2 · 𝑁)) < ((⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) + 1)))
276	275	simpld 112	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) ≤ (√‘(2 · 𝑁)))
277	17, 276	eqbrtrid 4165	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ (√‘(2 · 𝑁)))
278		3re 9381	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℝ
279		3pos 9401	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 3
280	278, 279	pm3.2i 272	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)
281	280	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3))
282		lediv1 9202	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ (√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)) → (𝑀 ≤ (√‘(2 · 𝑁)) ↔ (𝑀 / 3) ≤ ((√‘(2 · 𝑁)) / 3)))
283	264, 86, 281, 282	syl3anc 1278	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ≤ (√‘(2 · 𝑁)) ↔ (𝑀 / 3) ≤ ((√‘(2 · 𝑁)) / 3)))
284	277, 283	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 / 3) ≤ ((√‘(2 · 𝑁)) / 3))
285	266, 88, 273, 284	leadd1dd 8889	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 / 3) + 2) ≤ (((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2))
286	263, 268, 90, 272, 285	letrd 8452	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (π‘𝑀) ≤ (((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2))
287		2t1e2 9461	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 1) = 2
288	6	nnge1d 9350	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝑁)
289		1re 8326	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ
290		lemul2 9190	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (1 ≤ 𝑁 ↔ (2 · 1) ≤ (2 · 𝑁)))
291	289, 51, 290	mp3an13 1369	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (1 ≤ 𝑁 ↔ (2 · 1) ≤ (2 · 𝑁)))
292	47, 291	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 ≤ 𝑁 ↔ (2 · 1) ≤ (2 · 𝑁)))
293	288, 292	mpbid 147	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · 1) ≤ (2 · 𝑁))
294	287, 293	eqbrtrrid 4166	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ (2 · 𝑁))
295	31	eluz1i 9939	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 𝑁) ∈ (ℤ_≥‘2) ↔ ((2 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ 2 ≤ (2 · 𝑁)))
296	34, 294, 295	sylanbrc 421	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ (ℤ_≥‘2))
297		eluz2gt1 10012	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 𝑁) ∈ (ℤ_≥‘2) → 1 < (2 · 𝑁))
298	296, 297	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 < (2 · 𝑁))
299	35, 298, 263, 90	cxpled 16126	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((π‘𝑀) ≤ (((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2) ↔ ((2 · 𝑁)↑_𝑐(π‘𝑀)) ≤ ((2 · 𝑁)↑_𝑐(((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2))))
300	286, 299	mpbid 147	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑_𝑐(π‘𝑀)) ≤ ((2 · 𝑁)↑_𝑐(((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2)))
301	262, 300	eqbrtrrd 4154	. 2 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑀)) ≤ ((2 · 𝑁)↑_𝑐(((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2)))
302	79, 85, 92, 259, 301	letrd 8452	1 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ≤ ((2 · 𝑁)↑_𝑐(((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2)))

Colors of variables: wff set class

This proof depends on syntax axioms: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 104 ↔ wb 105 ∨ wo 720 DECID wdc 846 = wceq 1402 ∈ wcel 2209 ∀wral 2528 ∃wrex 2529 ifcif 3638 class class class wbr 4130 ↦ cmpt 4192 ⟶wf 5373 ‘cfv 5377 (class class class)co 6085 ℂcc 8178 ℝcr 8179 0cc0 8180 1c1 8181 + caddc 8183 · cmul 8185 < clt 8361 ≤ cle 8362 # cap 8912 / cdiv 9005 ℕcn 9307 2c2 9358 3c3 9359 5c5 9361 9c9 9365 ℕ₀cn0 9568 ℤcz 9649 cdc 9782 ℤ_≥cuz 9931 ℚcq 10029 ...cfz 10422 ⌊cfl 10714 seqcseq 10899 ↑cexp 10990 Ccbc 11201 √csqrt 11778 ℙcprime 12904 pCnt cpc 13086 ↑_𝑐ccxp 16050 πcppi 16195

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 623 ax-in2 624 ax-io 721 ax-5 1500 ax-7 1501 ax-gen 1502 ax-ie1 1546 ax-ie2 1547 ax-8 1557 ax-10 1558 ax-11 1559 ax-i12 1560 ax-bndl 1562 ax-4 1563 ax-17 1579 ax-i9 1583 ax-ial 1587 ax-i5r 1588 ax-14 2212 ax-ext 2220 ax-coll 4246 ax-sep 4249 ax-nul 4259 ax-pow 4311 ax-pr 4346 ax-un 4578 ax-setind 4684 ax-iinf 4735 ax-cnex 8271 ax-resscn 8272 ax-1cn 8273 ax-1re 8274 ax-icn 8275 ax-addcl 8276 ax-addrcl 8277 ax-mulcl 8278 ax-mulrcl 8279 ax-addcom 8280 ax-mulcom 8281 ax-addass 8282 ax-mulass 8283 ax-distr 8284 ax-i2m1 8285 ax-0lt1 8286 ax-1rid 8287 ax-0id 8288 ax-rnegex 8289 ax-precex 8290 ax-cnre 8291 ax-pre-ltirr 8292 ax-pre-ltwlin 8293 ax-pre-lttrn 8294 ax-pre-apti 8295 ax-pre-ltadd 8296 ax-pre-mulgt0 8297 ax-pre-mulext 8298 ax-arch 8299 ax-caucvg 8300 ax-pre-suploc 8301 ax-addf 8302 ax-mulf 8303

This proof depends on definitions: df-bi 117 df-stab 843 df-dc 847 df-3or 1010 df-3an 1011 df-tru 1405 df-fal 1408 df-nf 1514 df-sb 1816 df-eu 2089 df-mo 2090 df-clab 2225 df-cleq 2231 df-clel 2234 df-nfc 2381 df-ne 2421 df-nel 2516 df-ral 2533 df-rex 2534 df-reu 2535 df-rmo 2536 df-rab 2537 df-v 2823 df-sbc 3052 df-csb 3148 df-dif 3222 df-un 3224 df-in 3226 df-ss 3233 df-nul 3521 df-if 3639 df-pw 3690 df-sn 3715 df-pr 3716 df-op 3718 df-uni 3936 df-int 3971 df-iun 4014 df-disj 4107 df-br 4131 df-opab 4193 df-mpt 4194 df-tr 4230 df-id 4438 df-po 4441 df-iso 4442 df-iord 4511 df-on 4513 df-ilim 4514 df-suc 4516 df-iom 4738 df-xp 4780 df-rel 4781 df-cnv 4782 df-co 4783 df-dm 4784 df-rn 4785 df-res 4786 df-ima 4787 df-iota 5337 df-fun 5379 df-fn 5380 df-f 5381 df-f1 5382 df-fo 5383 df-f1o 5384 df-fv 5385 df-isom 5386 df-riota 6038 df-ov 6088 df-oprab 6089 df-mpo 6090 df-of 6302 df-1st 6374 df-2nd 6375 df-recs 6576 df-irdg 6641 df-frec 6662 df-1o 6687 df-2o 6688 df-oadd 6691 df-er 6807 df-map 6924 df-pm 6925 df-en 7023 df-dom 7024 df-fin 7025 df-sup 7325 df-inf 7326 df-pnf 8363 df-mnf 8364 df-xr 8365 df-ltxr 8366 df-le 8367 df-sub 8501 df-neg 8502 df-reap 8906 df-ap 8913 df-div 9006 df-inn 9308 df-2 9366 df-3 9367 df-4 9368 df-5 9369 df-6 9370 df-7 9371 df-8 9372 df-9 9373 df-n0 9569 df-z 9650 df-dec 9783 df-uz 9932 df-q 10030 df-rp 10066 df-xneg 10185 df-xadd 10186 df-ioo 10305 df-ico 10307 df-icc 10308 df-fz 10423 df-fzo 10561 df-fl 10716 df-mod 10775 df-seqfrec 10900 df-exp 10991 df-fac 11180 df-bc 11202 df-ihash 11231 df-shft 11596 df-cj 11623 df-re 11624 df-im 11625 df-rsqrt 11780 df-abs 11781 df-clim 12064 df-sumdc 12139 df-ef 12434 df-e 12435 df-dvds 12574 df-gcd 12750 df-prm 12905 df-numer 12982 df-denom 12983 df-pc 13087 df-rest 13648 df-topgen 13667 df-psmet 14964 df-xmet 14965 df-met 14966 df-bl 14967 df-mopn 14968 df-top 15190 df-topon 15203 df-bases 15235 df-ntr 15288 df-cn 15380 df-cnp 15381 df-tx 15445 df-cncf 15763 df-limced 15848 df-dvap 15849 df-relog 16051 df-rpcxp 16052 df-logb 16141 df-ppi 16198

This theorem is used by: bposlem6 16277

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