Theorem bposlem5 16213

Description: Lemma for bpos . Bound the product of all small primes in the binomial coefficient. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Mar-2014.) (Proof shortened by AV, 15-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
bpos.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘5))
bpos.2	⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))
bpos.3	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑(𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))), 1))
bpos.4	⊢ 𝐾 = (⌊‘((2 · 𝑁) / 3))
bpos.5	⊢ 𝑀 = (⌊‘(√‘(2 · 𝑁)))

Assertion

Ref	Expression
bposlem5	⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ≤ ((2 · 𝑁)↑𝑐(((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2)))

Distinct variable groups:   𝐹,𝑝   𝑛,𝑝,𝐾   𝑀,𝑝   𝑛,𝑁,𝑝   𝜑,𝑛,𝑝

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑛)   𝑀(𝑛)

Proof of Theorem bposlem5

Dummy variables 𝑘 𝑥 𝑞 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bpos.3	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑(𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))), 1))
2		id 19	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℙ → 𝑛 ∈ ℙ)
3		5nn 9473	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 ∈ ℕ
4		bpos.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘5))
5		eluznn 10009	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((5 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘5)) → 𝑁 ∈ ℕ)
6	3, 4, 5	sylancr 418	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
7	6	nnnn0d 9624	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
8		fzctr 10550	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)))
9		bccl2 11220	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)) → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ)
10	7, 8, 9	3syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ)
11		pccl 13098	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℙ ∧ ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ) → (𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ0)
12	2, 10, 11	syl2anr 290	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → (𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ0)
13	12	ralrimiva 2623	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℙ (𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ0)
14	1, 13	pcmptcl 13141	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℕ))
15	14	simprd 114	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℕ)
16		3nn 9471	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ
17		bpos.5	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (⌊‘(√‘(2 · 𝑁)))
18		2nn 9470	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ
19		nnmulcl 9327	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
20	18, 6, 19	sylancr 418	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
21	20	nnnn0d 9624	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℕ0)
22		sqrtrirr 13005	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · 𝑁) ∈ ℕ0 → ((√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℚ ∨ ((√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ (√‘(2 · 𝑁)) # 𝑞)))
23	21, 22	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℚ ∨ ((√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ (√‘(2 · 𝑁)) # 𝑞)))
24		flapcl 10721	. . . . . . . 8 ⊢ (((√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℚ ∨ ((√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ (√‘(2 · 𝑁)) # 𝑞)) → (⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) ∈ ℤ)
25	23, 24	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) ∈ ℤ)
26		sqrt9 11828	. . . . . . . . 9 ⊢ (√‘9) = 3
27		9re 9393	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 9 ∈ ℝ
28	27	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 9 ∈ ℝ)
29		10re 9803	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;10 ∈ ℝ
30	29	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ;10 ∈ ℝ)
31		2z 9676	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℤ
32	6	nnzd 9771	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
33		zmulcl 9702	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
34	31, 32, 33	sylancr 418	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
35	34	zred 9772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
36		lep1 9177	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (9 ∈ ℝ → 9 ≤ (9 + 1))
37	27, 36	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 9 ≤ (9 + 1)
38		9p1e10 9783	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (9 + 1) = ;10
39	37, 38	breqtri 4155	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 9 ≤ ;10
40	39	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 9 ≤ ;10)
41		5cn 9386	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 5 ∈ ℂ
42		2cn 9377	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℂ
43		5t2e10 9885	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (5 · 2) = ;10
44	41, 42, 43	mulcomli 8333	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · 5) = ;10
45		eluzle 9943	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) → 5 ≤ 𝑁)
46	4, 45	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 5 ≤ 𝑁)
47	6	nnred 9319	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
48		5re 9385	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 5 ∈ ℝ
49		2re 9376	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℝ
50		2pos 9397	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 < 2
51	49, 50	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
52		lemul2 9189	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((5 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (5 ≤ 𝑁 ↔ (2 · 5) ≤ (2 · 𝑁)))
53	48, 51, 52	mp3an13 1369	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (5 ≤ 𝑁 ↔ (2 · 5) ≤ (2 · 𝑁)))
54	47, 53	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (5 ≤ 𝑁 ↔ (2 · 5) ≤ (2 · 𝑁)))
55	46, 54	mpbid 147	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (2 · 5) ≤ (2 · 𝑁))
56	44, 55	eqbrtrrid 4166	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ;10 ≤ (2 · 𝑁))
57	28, 30, 35, 40, 56	letrd 8451	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 9 ≤ (2 · 𝑁))
58		0re 8326	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℝ
59		9pos 9410	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < 9
60	58, 27, 59	ltleii 8429	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ≤ 9
61	27, 60	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (9 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 9)
62	20	nnrpd 10105	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ+)
63	62	rpge0d 10111	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (2 · 𝑁))
64	35, 63	jca 306	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2 · 𝑁)))
65		sqrtle 11816	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((9 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 9) ∧ ((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2 · 𝑁))) → (9 ≤ (2 · 𝑁) ↔ (√‘9) ≤ (√‘(2 · 𝑁))))
66	61, 64, 65	sylancr 418	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (9 ≤ (2 · 𝑁) ↔ (√‘9) ≤ (√‘(2 · 𝑁))))
67	57, 66	mpbid 147	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (√‘9) ≤ (√‘(2 · 𝑁)))
68	26, 67	eqbrtrrid 4166	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 3 ≤ (√‘(2 · 𝑁)))
69		3z 9677	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℤ
70		flapge 10730	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℚ ∨ ((√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ (√‘(2 · 𝑁)) # 𝑞)) ∧ 3 ∈ ℤ) → (3 ≤ (√‘(2 · 𝑁)) ↔ 3 ≤ (⌊‘(√‘(2 · 𝑁)))))
71	23, 69, 70	sylancl 417	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (3 ≤ (√‘(2 · 𝑁)) ↔ 3 ≤ (⌊‘(√‘(2 · 𝑁)))))
72	68, 71	mpbid 147	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 3 ≤ (⌊‘(√‘(2 · 𝑁))))
73	69	eluz1i 9938	. . . . . . 7 ⊢ ((⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) ∈ (ℤ≥‘3) ↔ ((⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) ∈ ℤ ∧ 3 ≤ (⌊‘(√‘(2 · 𝑁)))))
74	25, 72, 73	sylanbrc 421	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) ∈ (ℤ≥‘3))
75	17, 74	eqeltrid 2325	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3))
76		eluznn 10009	. . . . 5 ⊢ ((3 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → 𝑀 ∈ ℕ)
77	16, 75, 76	sylancr 418	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
78	15, 77	ffvelcdmd 5844	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℕ)
79	78	nnred 9319	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℝ)
80		nnq 10042	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℚ)
81	77, 80	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℚ)
82		ppiqcl 16163	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℚ → (π‘𝑀) ∈ ℕ0)
83	81, 82	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (π‘𝑀) ∈ ℕ0)
84	20, 83	nnexpcld 11146	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑀)) ∈ ℕ)
85	84	nnred 9319	. 2 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑀)) ∈ ℝ)
86	35, 63	resqrtcld 11944	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ)
87		nndivre 9342	. . . . . 6 ⊢ (((√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ) → ((√‘(2 · 𝑁)) / 3) ∈ ℝ)
88	86, 16, 87	sylancl 417	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((√‘(2 · 𝑁)) / 3) ∈ ℝ)
89		readdcl 8305	. . . . 5 ⊢ ((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → (((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2) ∈ ℝ)
90	88, 49, 89	sylancl 417	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2) ∈ ℝ)
91	62, 90	rpcxpcld 16088	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑𝑐(((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2)) ∈ ℝ+)
92	91	rpred 10107	. 2 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑𝑐(((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2)) ∈ ℝ)
93		fveq2 5695	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑥) = (seq1( · , 𝐹)‘1))
94		fveq2 5695	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 1 → (π‘𝑥) = (π‘1))
95		ppi1 16176	. . . . . . . 8 ⊢ (π‘1) = 0
96	94, 95	eqtrdi 2287	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 1 → (π‘𝑥) = 0)
97	96	oveq2d 6101	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑥)) = ((2 · 𝑁)↑0))
98	93, 97	breq12d 4143	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑥) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑥)) ↔ (seq1( · , 𝐹)‘1) ≤ ((2 · 𝑁)↑0)))
99	98	imbi2d 230	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑥) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑥))) ↔ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘1) ≤ ((2 · 𝑁)↑0))))
100		fveq2 5695	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑥) = (seq1( · , 𝐹)‘𝑘))
101		fveq2 5695	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (π‘𝑥) = (π‘𝑘))
102	101	oveq2d 6101	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑥)) = ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑘)))
103	100, 102	breq12d 4143	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑥) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑥)) ↔ (seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑘))))
104	103	imbi2d 230	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑥) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑥))) ↔ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑘)))))
105		fveq2 5695	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (seq1( · , 𝐹)‘𝑥) = (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)))
106		fveq2 5695	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (π‘𝑥) = (π‘(𝑘 + 1)))
107	106	oveq2d 6101	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑥)) = ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1))))
108	105, 107	breq12d 4143	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑥) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑥)) ↔ (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1)))))
109	108	imbi2d 230	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑥) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑥))) ↔ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1))))))
110		fveq2 5695	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑥) = (seq1( · , 𝐹)‘𝑀))
111		fveq2 5695	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → (π‘𝑥) = (π‘𝑀))
112	111	oveq2d 6101	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑥)) = ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑀)))
113	110, 112	breq12d 4143	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑥) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑥)) ↔ (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑀))))
114	113	imbi2d 230	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → ((𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑥) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑥))) ↔ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑀)))))
115		1zzd 9675	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
116		eleq1 2301	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑢 → (𝑛 ∈ ℙ ↔ 𝑢 ∈ ℙ))
117		id 19	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑢 → 𝑛 = 𝑢)
118		oveq1 6092	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑢 → (𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = (𝑢 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))
119	117, 118	oveq12d 6103	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑢 → (𝑛↑(𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) = (𝑢↑(𝑢 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))))
120	116, 119	ifbieq1d 3663	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑢 → if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑(𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))), 1) = if(𝑢 ∈ ℙ, (𝑢↑(𝑢 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))), 1))
121		elnnuz 9968	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 ∈ ℕ ↔ 𝑢 ∈ (ℤ≥‘1))
122	121	bilanri 389	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (ℤ≥‘1)) → 𝑢 ∈ ℕ)
123	122	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (ℤ≥‘1)) ∧ 𝑢 ∈ ℙ) → 𝑢 ∈ ℕ)
124		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (ℤ≥‘1)) ∧ 𝑢 ∈ ℙ) → 𝑢 ∈ ℙ)
125	10	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (ℤ≥‘1)) ∧ 𝑢 ∈ ℙ) → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ)
126	124, 125	pccld 13099	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (ℤ≥‘1)) ∧ 𝑢 ∈ ℙ) → (𝑢 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ0)
127	123, 126	nnexpcld 11146	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (ℤ≥‘1)) ∧ 𝑢 ∈ ℙ) → (𝑢↑(𝑢 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) ∈ ℕ)
128		1nn 9317	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℕ
129	128	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (ℤ≥‘1)) ∧ ¬ 𝑢 ∈ ℙ) → 1 ∈ ℕ)
130		prmdc 12924	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 ∈ ℕ → DECID 𝑢 ∈ ℙ)
131	122, 130	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (ℤ≥‘1)) → DECID 𝑢 ∈ ℙ)
132	127, 129, 131	ifcldadc 3670	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (ℤ≥‘1)) → if(𝑢 ∈ ℙ, (𝑢↑(𝑢 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))), 1) ∈ ℕ)
133	1, 120, 122, 132	fvmptd3 5799	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (ℤ≥‘1)) → (𝐹‘𝑢) = if(𝑢 ∈ ℙ, (𝑢↑(𝑢 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))), 1))
134	133, 132	eqeltrd 2315	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (ℤ≥‘1)) → (𝐹‘𝑢) ∈ ℕ)
135		nnmulcl 9327	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑢 ∈ ℕ ∧ 𝑣 ∈ ℕ) → (𝑢 · 𝑣) ∈ ℕ)
136	135	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℕ ∧ 𝑣 ∈ ℕ)) → (𝑢 · 𝑣) ∈ ℕ)
137	115, 134, 136	seq3-1 10912	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘1) = (𝐹‘1))
138		1nprm 12908	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ 1 ∈ ℙ
139		eleq1 2301	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 ∈ ℙ ↔ 1 ∈ ℙ))
140	138, 139	mtbiri 686	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 1 → ¬ 𝑛 ∈ ℙ)
141	140	iffalsed 3650	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 1 → if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑(𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))), 1) = 1)
142		1ex 8321	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ V
143	141, 1, 142	fvmpt 5782	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℕ → (𝐹‘1) = 1)
144	128, 143	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹‘1) = 1
145	137, 144	eqtrdi 2287	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘1) = 1)
146		1le1 8902	. . . . . 6 ⊢ 1 ≤ 1
147	145, 146	eqbrtrdi 4169	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘1) ≤ 1)
148	34	zcnd 9773	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
149	148	exp0d 11118	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑0) = 1)
150	147, 149	breqtrrd 4158	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘1) ≤ ((2 · 𝑁)↑0))
151	15	ffvelcdmda 5843	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℕ)
152	151	nnred 9319	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℝ)
153	152	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℝ)
154	20	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
155		nnq 10042	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℚ)
156	155	ad2antlr 493	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → 𝑘 ∈ ℚ)
157		ppiqcl 16163	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℚ → (π‘𝑘) ∈ ℕ0)
158	156, 157	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (π‘𝑘) ∈ ℕ0)
159	154, 158	nnexpcld 11146	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑘)) ∈ ℕ)
160	159	nnred 9319	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑘)) ∈ ℝ)
161		nnre 9313	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 · 𝑁) ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
162		nngt0 9331	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 · 𝑁) ∈ ℕ → 0 < (2 · 𝑁))
163	161, 162	jca 306	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 · 𝑁) ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 < (2 · 𝑁)))
164	20, 163	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 < (2 · 𝑁)))
165	164	ad2antrr 492	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 < (2 · 𝑁)))
166		lemul1 8923	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑘)) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 < (2 · 𝑁))) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑘)) ↔ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁)) ≤ (((2 · 𝑁)↑(π‘𝑘)) · (2 · 𝑁))))
167	153, 160, 165, 166	syl3anc 1278	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑘)) ↔ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁)) ≤ (((2 · 𝑁)↑(π‘𝑘)) · (2 · 𝑁))))
168		nnz 9667	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
169	168	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℤ)
170		ppiprm 16170	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (π‘(𝑘 + 1)) = ((π‘𝑘) + 1))
171	169, 170	sylan 283	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (π‘(𝑘 + 1)) = ((π‘𝑘) + 1))
172	171	oveq2d 6101	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1))) = ((2 · 𝑁)↑((π‘𝑘) + 1)))
173	148	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
174	173, 158	expp1d 11125	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((2 · 𝑁)↑((π‘𝑘) + 1)) = (((2 · 𝑁)↑(π‘𝑘)) · (2 · 𝑁)))
175	172, 174	eqtrd 2271	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1))) = (((2 · 𝑁)↑(π‘𝑘)) · (2 · 𝑁)))
176	175	breq2d 4142	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁)) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1))) ↔ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁)) ≤ (((2 · 𝑁)↑(π‘𝑘)) · (2 · 𝑁))))
177	167, 176	bitr4d 191	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑘)) ↔ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁)) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1)))))
178		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
179		nnuz 9967	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
180	178, 179	eleqtrdi 2331	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1))
181	134	adantlr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑢 ∈ (ℤ≥‘1)) → (𝐹‘𝑢) ∈ ℕ)
182	135	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑢 ∈ ℕ ∧ 𝑣 ∈ ℕ)) → (𝑢 · 𝑣) ∈ ℕ)
183	180, 181, 182	seq3p1 10915	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) = ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (𝐹‘(𝑘 + 1))))
184	183	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) = ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (𝐹‘(𝑘 + 1))))
185		eleq1 2301	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝑛 ∈ ℙ ↔ (𝑘 + 1) ∈ ℙ))
186		id 19	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 = (𝑘 + 1) → 𝑛 = (𝑘 + 1))
187		oveq1 6092	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = ((𝑘 + 1) pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))
188	186, 187	oveq12d 6103	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝑛↑(𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) = ((𝑘 + 1)↑((𝑘 + 1) pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))))
189	185, 188	ifbieq1d 3663	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = (𝑘 + 1) → if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑(𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))), 1) = if((𝑘 + 1) ∈ ℙ, ((𝑘 + 1)↑((𝑘 + 1) pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))), 1))
190		peano2nn 9318	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
191	190	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
192	191	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
193		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (𝑘 + 1) ∈ ℙ)
194	10	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ)
195	193, 194	pccld 13099	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((𝑘 + 1) pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ0)
196	192, 195	nnexpcld 11146	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((𝑘 + 1)↑((𝑘 + 1) pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) ∈ ℕ)
197	128	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → 1 ∈ ℕ)
198		prmdc 12924	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑘 + 1) ∈ ℕ → DECID (𝑘 + 1) ∈ ℙ)
199	191, 198	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → DECID (𝑘 + 1) ∈ ℙ)
200	196, 197, 199	ifcldadc 3670	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → if((𝑘 + 1) ∈ ℙ, ((𝑘 + 1)↑((𝑘 + 1) pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))), 1) ∈ ℕ)
201	1, 189, 191, 200	fvmptd3 5799	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = if((𝑘 + 1) ∈ ℙ, ((𝑘 + 1)↑((𝑘 + 1) pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))), 1))
202		iftrue 3645	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 + 1) ∈ ℙ → if((𝑘 + 1) ∈ ℙ, ((𝑘 + 1)↑((𝑘 + 1) pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))), 1) = ((𝑘 + 1)↑((𝑘 + 1) pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))))
203	201, 202	sylan9eq 2291	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = ((𝑘 + 1)↑((𝑘 + 1) pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))))
204	6	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
205		bposlem1 16209	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((𝑘 + 1)↑((𝑘 + 1) pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) ≤ (2 · 𝑁))
206	204, 205	sylan 283	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((𝑘 + 1)↑((𝑘 + 1) pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) ≤ (2 · 𝑁))
207	203, 206	eqbrtrd 4152	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (2 · 𝑁))
208	14	simpld 112	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℕ)
209		ffvelcdm 5841	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
210	208, 190, 209	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
211	210	nnred 9319	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
212	211	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
213	35	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
214		nnre 9313	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℕ → (seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℝ)
215		nngt0 9331	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℕ → 0 < (seq1( · , 𝐹)‘𝑘))
216	214, 215	jca 306	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℕ → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < (seq1( · , 𝐹)‘𝑘)))
217	151, 216	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < (seq1( · , 𝐹)‘𝑘)))
218	217	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < (seq1( · , 𝐹)‘𝑘)))
219		lemul2 9189	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < (seq1( · , 𝐹)‘𝑘))) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (2 · 𝑁) ↔ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁))))
220	212, 213, 218, 219	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (2 · 𝑁) ↔ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁))))
221	207, 220	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁)))
222	184, 221	eqbrtrd 4152	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ≤ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁)))
223		ffvelcdm 5841	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℕ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
224	15, 190, 223	syl2an 289	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
225	224	nnred 9319	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
226	20	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
227	151, 226	nnmulcld 9355	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁)) ∈ ℕ)
228	227	nnred 9319	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁)) ∈ ℝ)
229		nnq 10042	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑘 + 1) ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℚ)
230	191, 229	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ ℚ)
231		ppiqcl 16163	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 + 1) ∈ ℚ → (π‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ0)
232	230, 231	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (π‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ0)
233	226, 232	nnexpcld 11146	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1))) ∈ ℕ)
234	233	nnred 9319	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
235		letr 8408	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ ∧ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁)) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ) → (((seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ≤ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁)) ∧ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁)) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1)))) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1)))))
236	225, 228, 234, 235	syl3anc 1278	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ≤ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁)) ∧ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁)) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1)))) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1)))))
237	236	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (((seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ≤ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁)) ∧ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁)) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1)))) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1)))))
238	222, 237	mpand 433	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁)) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1))) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1)))))
239	177, 238	sylbid 150	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑘)) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1)))))
240	183	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) = ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (𝐹‘(𝑘 + 1))))
241		iffalse 3648	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ (𝑘 + 1) ∈ ℙ → if((𝑘 + 1) ∈ ℙ, ((𝑘 + 1)↑((𝑘 + 1) pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))), 1) = 1)
242	201, 241	sylan9eq 2291	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = 1)
243	242	oveq2d 6101	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (𝐹‘(𝑘 + 1))) = ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · 1))
244	151	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℕ)
245	244	nncnd 9320	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℂ)
246	245	mulridd 8343	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · 1) = (seq1( · , 𝐹)‘𝑘))
247	240, 243, 246	3eqtrd 2275	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) = (seq1( · , 𝐹)‘𝑘))
248		ppinprm 16171	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (π‘(𝑘 + 1)) = (π‘𝑘))
249	169, 248	sylan 283	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (π‘(𝑘 + 1)) = (π‘𝑘))
250	249	oveq2d 6101	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1))) = ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑘)))
251	247, 250	breq12d 4143	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1))) ↔ (seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑘))))
252	251	biimprd 158	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑘)) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1)))))
253		exmiddc 848	. . . . . . . 8 ⊢ (DECID (𝑘 + 1) ∈ ℙ → ((𝑘 + 1) ∈ ℙ ∨ ¬ (𝑘 + 1) ∈ ℙ))
254	199, 253	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 + 1) ∈ ℙ ∨ ¬ (𝑘 + 1) ∈ ℙ))
255	239, 252, 254	mpjaodan 810	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑘)) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1)))))
256	255	expcom 116	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝜑 → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑘)) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1))))))
257	256	a2d 26	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑘))) → (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1))))))
258	99, 104, 109, 114, 150, 257	nnind 9322	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑀))))
259	77, 258	mpcom 36	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑀)))
260	83	nn0zd 9770	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (π‘𝑀) ∈ ℤ)
261		cxpexpnn 16051	. . . 4 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℕ ∧ (π‘𝑀) ∈ ℤ) → ((2 · 𝑁)↑𝑐(π‘𝑀)) = ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑀)))
262	20, 260, 261	syl2anc 415	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑𝑐(π‘𝑀)) = ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑀)))
263	83	nn0red 9625	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (π‘𝑀) ∈ ℝ)
264	77	nnred 9319	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
265		nndivre 9342	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ) → (𝑀 / 3) ∈ ℝ)
266	264, 16, 265	sylancl 417	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 / 3) ∈ ℝ)
267		readdcl 8305	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 / 3) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → ((𝑀 / 3) + 2) ∈ ℝ)
268	266, 49, 267	sylancl 417	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 / 3) + 2) ∈ ℝ)
269	77	nnnn0d 9624	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
270	269	nn0ge0d 9627	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
271		ppiqub 16194	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 ≤ 𝑀) → (π‘𝑀) ≤ ((𝑀 / 3) + 2))
272	81, 270, 271	syl2anc 415	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (π‘𝑀) ≤ ((𝑀 / 3) + 2))
273	49	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
274		flaplelt 10723	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℚ ∨ ((√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ (√‘(2 · 𝑁)) # 𝑞)) → ((⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) ≤ (√‘(2 · 𝑁)) ∧ (√‘(2 · 𝑁)) < ((⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) + 1)))
275	23, 274	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) ≤ (√‘(2 · 𝑁)) ∧ (√‘(2 · 𝑁)) < ((⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) + 1)))
276	275	simpld 112	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) ≤ (√‘(2 · 𝑁)))
277	17, 276	eqbrtrid 4165	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ (√‘(2 · 𝑁)))
278		3re 9380	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℝ
279		3pos 9400	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 3
280	278, 279	pm3.2i 272	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)
281	280	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3))
282		lediv1 9201	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ (√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)) → (𝑀 ≤ (√‘(2 · 𝑁)) ↔ (𝑀 / 3) ≤ ((√‘(2 · 𝑁)) / 3)))
283	264, 86, 281, 282	syl3anc 1278	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ≤ (√‘(2 · 𝑁)) ↔ (𝑀 / 3) ≤ ((√‘(2 · 𝑁)) / 3)))
284	277, 283	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 / 3) ≤ ((√‘(2 · 𝑁)) / 3))
285	266, 88, 273, 284	leadd1dd 8888	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 / 3) + 2) ≤ (((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2))
286	263, 268, 90, 272, 285	letrd 8451	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (π‘𝑀) ≤ (((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2))
287		2t1e2 9460	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 1) = 2
288	6	nnge1d 9349	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝑁)
289		1re 8325	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ
290		lemul2 9189	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (1 ≤ 𝑁 ↔ (2 · 1) ≤ (2 · 𝑁)))
291	289, 51, 290	mp3an13 1369	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (1 ≤ 𝑁 ↔ (2 · 1) ≤ (2 · 𝑁)))
292	47, 291	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 ≤ 𝑁 ↔ (2 · 1) ≤ (2 · 𝑁)))
293	288, 292	mpbid 147	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · 1) ≤ (2 · 𝑁))
294	287, 293	eqbrtrrid 4166	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ (2 · 𝑁))
295	31	eluz1i 9938	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 𝑁) ∈ (ℤ≥‘2) ↔ ((2 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ 2 ≤ (2 · 𝑁)))
296	34, 294, 295	sylanbrc 421	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ (ℤ≥‘2))
297		eluz2gt1 10011	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 𝑁) ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < (2 · 𝑁))
298	296, 297	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 < (2 · 𝑁))
299	35, 298, 263, 90	cxpled 16084	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((π‘𝑀) ≤ (((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2) ↔ ((2 · 𝑁)↑𝑐(π‘𝑀)) ≤ ((2 · 𝑁)↑𝑐(((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2))))
300	286, 299	mpbid 147	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑𝑐(π‘𝑀)) ≤ ((2 · 𝑁)↑𝑐(((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2)))
301	262, 300	eqbrtrrd 4154	. 2 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑀)) ≤ ((2 · 𝑁)↑𝑐(((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2)))
302	79, 85, 92, 259, 301	letrd 8451	1 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ≤ ((2 · 𝑁)↑𝑐(((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 720  DECID wdc 846   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  ∃wrex 2529  ifcif 3638   class class class wbr 4130   ↦ cmpt 4192  ⟶wf 5373  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  ℂcc 8177  ℝcr 8178  0cc0 8179  1c1 8180   + caddc 8182   · cmul 8184   < clt 8360   ≤ cle 8361   # cap 8911   / cdiv 9004  ℕcn 9306  2c2 9357  3c3 9358  5c5 9360  9c9 9364  ℕ₀cn0 9567  ℤcz 9648  ;cdc 9781  ℤ_≥cuz 9930  ℚcq 10028  ...cfz 10421  ⌊cfl 10713  seqcseq 10897  ↑cexp 10988  Ccbc 11199  √csqrt 11776  ℙcprime 12901   pCnt cpc 13083  ↑_𝑐ccxp 16008  πcppi 16152

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297  ax-arch 8298  ax-caucvg 8299  ax-pre-suploc 8300  ax-addf 8301  ax-mulf 8302

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-disj 4107  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-isom 5386  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-of 6302  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-irdg 6641  df-frec 6662  df-1o 6687  df-2o 6688  df-oadd 6691  df-er 6807  df-map 6924  df-pm 6925  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-sup 7324  df-inf 7325  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8500  df-neg 8501  df-reap 8905  df-ap 8912  df-div 9005  df-inn 9307  df-2 9365  df-3 9366  df-4 9367  df-5 9368  df-6 9369  df-7 9370  df-8 9371  df-9 9372  df-n0 9568  df-z 9649  df-dec 9782  df-uz 9931  df-q 10029  df-rp 10065  df-xneg 10184  df-xadd 10185  df-ioo 10304  df-ico 10306  df-icc 10307  df-fz 10422  df-fzo 10560  df-fl 10715  df-mod 10773  df-seqfrec 10898  df-exp 10989  df-fac 11178  df-bc 11200  df-ihash 11229  df-shft 11594  df-cj 11621  df-re 11622  df-im 11623  df-rsqrt 11778  df-abs 11779  df-clim 12061  df-sumdc 12136  df-ef 12431  df-e 12432  df-dvds 12571  df-gcd 12747  df-prm 12902  df-numer 12979  df-denom 12980  df-pc 13084  df-rest 13644  df-topgen 13663  df-psmet 14929  df-xmet 14930  df-met 14931  df-bl 14932  df-mopn 14933  df-top 15148  df-topon 15161  df-bases 15193  df-ntr 15246  df-cn 15338  df-cnp 15339  df-tx 15403  df-cncf 15721  df-limced 15806  df-dvap 15807  df-relog 16009  df-rpcxp 16010  df-logb 16099  df-ppi 16154

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