Theorem bposlem4 16314

Description: Lemma for bpos . (Contributed by Mario Carneiro, 13-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
bpos.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘5))
bpos.2	⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))
bpos.3	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑(𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))), 1))
bpos.4	⊢ 𝐾 = (⌊‘((2 · 𝑁) / 3))
bpos.5	⊢ 𝑀 = (⌊‘(√‘(2 · 𝑁)))

Assertion

Ref	Expression
bposlem4	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (3...𝐾))

Distinct variable groups:   𝐹,𝑝   𝑛,𝑝,𝐾   𝑀,𝑝   𝑛,𝑁,𝑝   𝜑,𝑛,𝑝

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑛)   𝑀(𝑛)

Proof of Theorem bposlem4

Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn 9477	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ
2		5nn 9480	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℕ
3		bpos.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘5))
4		eluznn 10016	. . . . . . . . 9 ⊢ ((5 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘5)) → 𝑁 ∈ ℕ)
5	2, 3, 4	sylancr 418	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
6		nnmulcl 9334	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
7	1, 5, 6	sylancr 418	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
8	7	nnnn0d 9631	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℕ0)
9		sqrtrirr 13014	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 𝑁) ∈ ℕ0 → ((√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℚ ∨ ((√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ (√‘(2 · 𝑁)) # 𝑞)))
10	8, 9	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℚ ∨ ((√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ (√‘(2 · 𝑁)) # 𝑞)))
11		flapcl 10728	. . . . 5 ⊢ (((√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℚ ∨ ((√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ (√‘(2 · 𝑁)) # 𝑞)) → (⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) ∈ ℤ)
12	10, 11	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) ∈ ℤ)
13		sqrt9 11836	. . . . . 6 ⊢ (√‘9) = 3
14		9re 9400	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 ∈ ℝ
15	14	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 9 ∈ ℝ)
16		10re 9810	. . . . . . . . 9 ⊢ ;10 ∈ ℝ
17	16	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ;10 ∈ ℝ)
18	7	nnred 9326	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
19		lep1 9183	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (9 ∈ ℝ → 9 ≤ (9 + 1))
20	14, 19	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ 9 ≤ (9 + 1)
21		9p1e10 9790	. . . . . . . . . 10 ⊢ (9 + 1) = ;10
22	20, 21	breqtri 4156	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 ≤ ;10
23	22	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 9 ≤ ;10)
24		5cn 9393	. . . . . . . . . 10 ⊢ 5 ∈ ℂ
25		2cn 9384	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
26		5t2e10 9892	. . . . . . . . . 10 ⊢ (5 · 2) = ;10
27	24, 25, 26	mulcomli 8339	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 5) = ;10
28		eluzle 9950	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) → 5 ≤ 𝑁)
29	3, 28	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 5 ≤ 𝑁)
30	5	nnred 9326	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
31		5re 9392	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 5 ∈ ℝ
32		2re 9383	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ
33		2pos 9404	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < 2
34	32, 33	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
35		lemul2 9195	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((5 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (5 ≤ 𝑁 ↔ (2 · 5) ≤ (2 · 𝑁)))
36	31, 34, 35	mp3an13 1369	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (5 ≤ 𝑁 ↔ (2 · 5) ≤ (2 · 𝑁)))
37	30, 36	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (5 ≤ 𝑁 ↔ (2 · 5) ≤ (2 · 𝑁)))
38	29, 37	mpbid 147	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 · 5) ≤ (2 · 𝑁))
39	27, 38	eqbrtrrid 4167	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ;10 ≤ (2 · 𝑁))
40	15, 17, 18, 23, 39	letrd 8457	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 9 ≤ (2 · 𝑁))
41		0re 8332	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ
42		9pos 9417	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 9
43	41, 14, 42	ltleii 8435	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ≤ 9
44	14, 43	pm3.2i 272	. . . . . . . 8 ⊢ (9 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 9)
45	7	nnrpd 10112	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ+)
46	45	rprege0d 10122	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2 · 𝑁)))
47		sqrtle 11824	. . . . . . . 8 ⊢ (((9 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 9) ∧ ((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2 · 𝑁))) → (9 ≤ (2 · 𝑁) ↔ (√‘9) ≤ (√‘(2 · 𝑁))))
48	44, 46, 47	sylancr 418	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (9 ≤ (2 · 𝑁) ↔ (√‘9) ≤ (√‘(2 · 𝑁))))
49	40, 48	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (√‘9) ≤ (√‘(2 · 𝑁)))
50	13, 49	eqbrtrrid 4167	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 3 ≤ (√‘(2 · 𝑁)))
51		3z 9684	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℤ
52		flapge 10737	. . . . . 6 ⊢ ((((√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℚ ∨ ((√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ (√‘(2 · 𝑁)) # 𝑞)) ∧ 3 ∈ ℤ) → (3 ≤ (√‘(2 · 𝑁)) ↔ 3 ≤ (⌊‘(√‘(2 · 𝑁)))))
53	10, 51, 52	sylancl 417	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (3 ≤ (√‘(2 · 𝑁)) ↔ 3 ≤ (⌊‘(√‘(2 · 𝑁)))))
54	50, 53	mpbid 147	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 3 ≤ (⌊‘(√‘(2 · 𝑁))))
55	51	eluz1i 9945	. . . 4 ⊢ ((⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) ∈ (ℤ≥‘3) ↔ ((⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) ∈ ℤ ∧ 3 ≤ (⌊‘(√‘(2 · 𝑁)))))
56	12, 54, 55	sylanbrc 421	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) ∈ (ℤ≥‘3))
57	7	nnzd 9778	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
58		3nn 9478	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ
59		znq 10040	. . . . . 6 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁) / 3) ∈ ℚ)
60	57, 58, 59	sylancl 417	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) / 3) ∈ ℚ)
61	60	flqcld 10731	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((2 · 𝑁) / 3)) ∈ ℤ)
62	12	zred 9779	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) ∈ ℝ)
63	45	rpge0d 10118	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (2 · 𝑁))
64	18, 63	resqrtcld 11952	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ)
65		nndivre 9349	. . . . . . 7 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁) / 3) ∈ ℝ)
66	18, 58, 65	sylancl 417	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) / 3) ∈ ℝ)
67		flaplelt 10730	. . . . . . . 8 ⊢ (((√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℚ ∨ ((√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ (√‘(2 · 𝑁)) # 𝑞)) → ((⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) ≤ (√‘(2 · 𝑁)) ∧ (√‘(2 · 𝑁)) < ((⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) + 1)))
68	10, 67	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) ≤ (√‘(2 · 𝑁)) ∧ (√‘(2 · 𝑁)) < ((⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) + 1)))
69	68	simpld 112	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) ≤ (√‘(2 · 𝑁)))
70		3re 9387	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℝ
71	70	a1i 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
72	45	sqrtgt0d 11948	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 < (√‘(2 · 𝑁)))
73		lemul2 9195	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ (√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ ∧ ((√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ ∧ 0 < (√‘(2 · 𝑁)))) → (3 ≤ (√‘(2 · 𝑁)) ↔ ((√‘(2 · 𝑁)) · 3) ≤ ((√‘(2 · 𝑁)) · (√‘(2 · 𝑁)))))
74	71, 64, 64, 72, 73	syl112anc 1282	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (3 ≤ (√‘(2 · 𝑁)) ↔ ((√‘(2 · 𝑁)) · 3) ≤ ((√‘(2 · 𝑁)) · (√‘(2 · 𝑁)))))
75	50, 74	mpbid 147	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((√‘(2 · 𝑁)) · 3) ≤ ((√‘(2 · 𝑁)) · (√‘(2 · 𝑁))))
76		remsqsqrt 11820	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2 · 𝑁)) → ((√‘(2 · 𝑁)) · (√‘(2 · 𝑁))) = (2 · 𝑁))
77	18, 63, 76	syl2anc 415	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((√‘(2 · 𝑁)) · (√‘(2 · 𝑁))) = (2 · 𝑁))
78	75, 77	breqtrd 4157	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((√‘(2 · 𝑁)) · 3) ≤ (2 · 𝑁))
79		3pos 9407	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 3
80	70, 79	pm3.2i 272	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)
81	80	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3))
82		lemuldiv 9219	. . . . . . . 8 ⊢ (((√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)) → (((√‘(2 · 𝑁)) · 3) ≤ (2 · 𝑁) ↔ (√‘(2 · 𝑁)) ≤ ((2 · 𝑁) / 3)))
83	64, 18, 81, 82	syl3anc 1278	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((√‘(2 · 𝑁)) · 3) ≤ (2 · 𝑁) ↔ (√‘(2 · 𝑁)) ≤ ((2 · 𝑁) / 3)))
84	78, 83	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (√‘(2 · 𝑁)) ≤ ((2 · 𝑁) / 3))
85	62, 64, 66, 69, 84	letrd 8457	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) ≤ ((2 · 𝑁) / 3))
86		flqge 10736	. . . . . 6 ⊢ ((((2 · 𝑁) / 3) ∈ ℚ ∧ (⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) ∈ ℤ) → ((⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) ≤ ((2 · 𝑁) / 3) ↔ (⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) ≤ (⌊‘((2 · 𝑁) / 3))))
87	60, 12, 86	syl2anc 415	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) ≤ ((2 · 𝑁) / 3) ↔ (⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) ≤ (⌊‘((2 · 𝑁) / 3))))
88	85, 87	mpbid 147	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) ≤ (⌊‘((2 · 𝑁) / 3)))
89		eluz2 9943	. . . 4 ⊢ ((⌊‘((2 · 𝑁) / 3)) ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(√‘(2 · 𝑁)))) ↔ ((⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) ∈ ℤ ∧ (⌊‘((2 · 𝑁) / 3)) ∈ ℤ ∧ (⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) ≤ (⌊‘((2 · 𝑁) / 3))))
90	12, 61, 88, 89	syl3anbrc 1212	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((2 · 𝑁) / 3)) ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(√‘(2 · 𝑁)))))
91		elfzuzb 10439	. . 3 ⊢ ((⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) ∈ (3...(⌊‘((2 · 𝑁) / 3))) ↔ ((⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (⌊‘((2 · 𝑁) / 3)) ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(√‘(2 · 𝑁))))))
92	56, 90, 91	sylanbrc 421	. 2 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) ∈ (3...(⌊‘((2 · 𝑁) / 3))))
93		bpos.5	. 2 ⊢ 𝑀 = (⌊‘(√‘(2 · 𝑁)))
94		bpos.4	. . 3 ⊢ 𝐾 = (⌊‘((2 · 𝑁) / 3))
95	94	oveq2i 6099	. 2 ⊢ (3...𝐾) = (3...(⌊‘((2 · 𝑁) / 3)))
96	92, 93, 95	3eltr4g 2324	1 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (3...𝐾))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 720   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  ∃wrex 2529  ifcif 3638   class class class wbr 4131   ↦ cmpt 4193  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  ℝcr 8184  0cc0 8185  1c1 8186   + caddc 8188   · cmul 8190   < clt 8366   ≤ cle 8367   # cap 8917   / cdiv 9010  ℕcn 9313  2c2 9364  3c3 9365  5c5 9367  9c9 9371  ℕ₀cn0 9574  ℤcz 9655  ;cdc 9788  ℤ_≥cuz 9937  ℚcq 10035  ...cfz 10428  ⌊cfl 10720  ↑cexp 10996  Ccbc 11207  √csqrt 11784  ℙcprime 12910   pCnt cpc 13092

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303  ax-arch 8304  ax-caucvg 8305

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-sup 7330  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-5 9375  df-6 9376  df-7 9377  df-8 9378  df-9 9379  df-n0 9575  df-z 9656  df-dec 9789  df-uz 9938  df-q 10036  df-rp 10072  df-fz 10429  df-fzo 10567  df-fl 10722  df-mod 10781  df-seqfrec 10906  df-exp 10997  df-cj 11629  df-re 11630  df-im 11631  df-rsqrt 11786  df-abs 11787  df-dvds 12580  df-gcd 12756  df-numer 12988  df-denom 12989

This theorem is used by:  bposlem6  16316