Theorem bposlem1 16209

Description: An upper bound on the prime powers dividing a central binomial coefficient. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
bposlem1	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃↑(𝑃 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) ≤ (2 · 𝑁))

Proof of Theorem bposlem1

Dummy variables 𝑢 𝑘 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1zzd 9675	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 1 ∈ ℤ)
2		2z 9676	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
3	2	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 2 ∈ ℤ)
4		nnz 9667	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
5	4	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℤ)
6	3, 5	zmulcld 9778	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
7	1, 6	fzfigd 10881	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (1...(2 · 𝑁)) ∈ Fin)
8	6	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
9		prmnn 12904	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
10	9	ad2antlr 493	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → 𝑃 ∈ ℕ)
11		elfznn 10470	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ)
12	11	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → 𝑘 ∈ ℕ)
13	12	nnnn0d 9624	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
14	10, 13	nnexpcld 11146	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (𝑃↑𝑘) ∈ ℕ)
15		znq 10033	. . . . . . . 8 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝑃↑𝑘) ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘)) ∈ ℚ)
16	8, 14, 15	syl2anc 415	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → ((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘)) ∈ ℚ)
17	16	flqcld 10724	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) ∈ ℤ)
18		simpll 531	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
19	18	nnzd 9771	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → 𝑁 ∈ ℤ)
20		znq 10033	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑃↑𝑘) ∈ ℕ) → (𝑁 / (𝑃↑𝑘)) ∈ ℚ)
21	19, 14, 20	syl2anc 415	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (𝑁 / (𝑃↑𝑘)) ∈ ℚ)
22	21	flqcld 10724	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))) ∈ ℤ)
23		zmulcl 9702	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))) ∈ ℤ) → (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘)))) ∈ ℤ)
24	2, 22, 23	sylancr 418	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘)))) ∈ ℤ)
25	17, 24	zsubcld 9777	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))))) ∈ ℤ)
26	25	zred 9772	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))))) ∈ ℝ)
27		1red 8341	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → 1 ∈ ℝ)
28		0red 8327	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → 0 ∈ ℝ)
29	12	nnzd 9771	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → 𝑘 ∈ ℤ)
30		1zzd 9675	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → 1 ∈ ℤ)
31		2nn 9470	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ
32		nnmulcl 9327	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
33	31, 32	mpan 428	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
34	33	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
35		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℙ)
36		zprmlogbap 16137	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((𝑃 logb (2 · 𝑁)) ∈ ℚ ∨ ((𝑃 logb (2 · 𝑁)) ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ (𝑃 logb (2 · 𝑁)) # 𝑞)))
37	34, 35, 36	syl2anc 415	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((𝑃 logb (2 · 𝑁)) ∈ ℚ ∨ ((𝑃 logb (2 · 𝑁)) ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ (𝑃 logb (2 · 𝑁)) # 𝑞)))
38		prmuz2 12926	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))
39	38	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))
40	34	nnrpd 10105	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ+)
41		relogbval 16106	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℝ+) → (𝑃 logb (2 · 𝑁)) = ((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))
42	39, 40, 41	syl2anc 415	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 logb (2 · 𝑁)) = ((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))
43	42	eleq1d 2307	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((𝑃 logb (2 · 𝑁)) ∈ ℚ ↔ ((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)) ∈ ℚ))
44	42	eleq1d 2307	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((𝑃 logb (2 · 𝑁)) ∈ ℝ ↔ ((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)) ∈ ℝ))
45	42	breq1d 4140	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((𝑃 logb (2 · 𝑁)) # 𝑞 ↔ ((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)) # 𝑞))
46	45	ralbidv 2550	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (∀𝑞 ∈ ℚ (𝑃 logb (2 · 𝑁)) # 𝑞 ↔ ∀𝑞 ∈ ℚ ((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)) # 𝑞))
47	44, 46	anbi12d 477	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (((𝑃 logb (2 · 𝑁)) ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ (𝑃 logb (2 · 𝑁)) # 𝑞) ↔ (((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)) ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)) # 𝑞)))
48	43, 47	orbi12d 805	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (((𝑃 logb (2 · 𝑁)) ∈ ℚ ∨ ((𝑃 logb (2 · 𝑁)) ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ (𝑃 logb (2 · 𝑁)) # 𝑞)) ↔ (((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)) ∈ ℚ ∨ (((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)) ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)) # 𝑞))))
49	37, 48	mpbid 147	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)) ∈ ℚ ∨ (((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)) ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)) # 𝑞)))
50		flapcl 10721	. . . . . . . 8 ⊢ ((((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)) ∈ ℚ ∨ (((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)) ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)) # 𝑞)) → (⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃))) ∈ ℤ)
51	49, 50	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃))) ∈ ℤ)
52	51	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃))) ∈ ℤ)
53		fzdcel 10454	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ (⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃))) ∈ ℤ) → DECID 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))))
54	29, 30, 52, 53	syl3anc 1278	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → DECID 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))))
55	27, 28, 54	ifcldcd 3678	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → if(𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))), 1, 0) ∈ ℝ)
56	33	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
57		nnrp 10074	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 · 𝑁) ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℝ+)
58		nnrp 10074	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃↑𝑘) ∈ ℕ → (𝑃↑𝑘) ∈ ℝ+)
59		rpdivcl 10090	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℝ+ ∧ (𝑃↑𝑘) ∈ ℝ+) → ((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘)) ∈ ℝ+)
60	57, 58, 59	syl2an 289	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℕ ∧ (𝑃↑𝑘) ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘)) ∈ ℝ+)
61	56, 14, 60	syl2anc 415	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → ((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘)) ∈ ℝ+)
62	61	rpred 10107	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → ((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘)) ∈ ℝ)
63	24	zred 9772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘)))) ∈ ℝ)
64	62, 63	resubcld 8709	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘)) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))))) ∈ ℝ)
65		2re 9376	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
66	65	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → 2 ∈ ℝ)
67	17	zred 9772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) ∈ ℝ)
68		flqle 10725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘)) ∈ ℚ → (⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) ≤ ((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘)))
69	16, 68	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) ≤ ((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘)))
70	67, 62, 63, 69	lesub1dd 8890	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))))) ≤ (((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘)) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))))))
71		nnrp 10074	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
72		rpdivcl 10090	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ+ ∧ (𝑃↑𝑘) ∈ ℝ+) → (𝑁 / (𝑃↑𝑘)) ∈ ℝ+)
73	71, 58, 72	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃↑𝑘) ∈ ℕ) → (𝑁 / (𝑃↑𝑘)) ∈ ℝ+)
74	18, 14, 73	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (𝑁 / (𝑃↑𝑘)) ∈ ℝ+)
75	74	rpred 10107	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (𝑁 / (𝑃↑𝑘)) ∈ ℝ)
76		1re 8325	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℝ
77		resubcl 8591	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 / (𝑃↑𝑘)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝑁 / (𝑃↑𝑘)) − 1) ∈ ℝ)
78	75, 76, 77	sylancl 417	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → ((𝑁 / (𝑃↑𝑘)) − 1) ∈ ℝ)
79		remulcl 8307	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ ((𝑁 / (𝑃↑𝑘)) − 1) ∈ ℝ) → (2 · ((𝑁 / (𝑃↑𝑘)) − 1)) ∈ ℝ)
80	65, 78, 79	sylancr 418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (2 · ((𝑁 / (𝑃↑𝑘)) − 1)) ∈ ℝ)
81		flqltp1 10726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 / (𝑃↑𝑘)) ∈ ℚ → (𝑁 / (𝑃↑𝑘)) < ((⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))) + 1))
82	21, 81	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (𝑁 / (𝑃↑𝑘)) < ((⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))) + 1))
83	22	zred 9772	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))) ∈ ℝ)
84	75, 27, 83	ltsubaddd 8870	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (((𝑁 / (𝑃↑𝑘)) − 1) < (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))) ↔ (𝑁 / (𝑃↑𝑘)) < ((⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))) + 1)))
85	82, 84	mpbird 167	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → ((𝑁 / (𝑃↑𝑘)) − 1) < (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))))
86		2pos 9397	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 < 2
87	65, 86	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
88		ltmul2 9188	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 / (𝑃↑𝑘)) − 1) ∈ ℝ ∧ (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (((𝑁 / (𝑃↑𝑘)) − 1) < (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))) ↔ (2 · ((𝑁 / (𝑃↑𝑘)) − 1)) < (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))))))
89	87, 88	mp3an3 1367	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 / (𝑃↑𝑘)) − 1) ∈ ℝ ∧ (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))) ∈ ℝ) → (((𝑁 / (𝑃↑𝑘)) − 1) < (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))) ↔ (2 · ((𝑁 / (𝑃↑𝑘)) − 1)) < (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))))))
90	78, 83, 89	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (((𝑁 / (𝑃↑𝑘)) − 1) < (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))) ↔ (2 · ((𝑁 / (𝑃↑𝑘)) − 1)) < (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))))))
91	85, 90	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (2 · ((𝑁 / (𝑃↑𝑘)) − 1)) < (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘)))))
92	80, 63, 62, 91	ltsub2dd 8887	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘)) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))))) < (((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘)) − (2 · ((𝑁 / (𝑃↑𝑘)) − 1))))
93		2cnd 9379	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → 2 ∈ ℂ)
94		nncn 9314	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
95	94	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → 𝑁 ∈ ℂ)
96	14	nncnd 9320	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (𝑃↑𝑘) ∈ ℂ)
97	14	nnap0d 9352	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (𝑃↑𝑘) # 0)
98	93, 95, 96, 97	divassapd 9158	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → ((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘)) = (2 · (𝑁 / (𝑃↑𝑘))))
99	75	recnd 8354	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (𝑁 / (𝑃↑𝑘)) ∈ ℂ)
100	93, 99	muls1d 8746	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (2 · ((𝑁 / (𝑃↑𝑘)) − 1)) = ((2 · (𝑁 / (𝑃↑𝑘))) − 2))
101	98, 100	oveq12d 6103	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘)) − (2 · ((𝑁 / (𝑃↑𝑘)) − 1))) = ((2 · (𝑁 / (𝑃↑𝑘))) − ((2 · (𝑁 / (𝑃↑𝑘))) − 2)))
102		remulcl 8307	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (𝑁 / (𝑃↑𝑘)) ∈ ℝ) → (2 · (𝑁 / (𝑃↑𝑘))) ∈ ℝ)
103	65, 75, 102	sylancr 418	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (2 · (𝑁 / (𝑃↑𝑘))) ∈ ℝ)
104	103	recnd 8354	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (2 · (𝑁 / (𝑃↑𝑘))) ∈ ℂ)
105		2cn 9377	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℂ
106		nncan 8556	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 · (𝑁 / (𝑃↑𝑘))) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((2 · (𝑁 / (𝑃↑𝑘))) − ((2 · (𝑁 / (𝑃↑𝑘))) − 2)) = 2)
107	104, 105, 106	sylancl 417	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → ((2 · (𝑁 / (𝑃↑𝑘))) − ((2 · (𝑁 / (𝑃↑𝑘))) − 2)) = 2)
108	101, 107	eqtrd 2271	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘)) − (2 · ((𝑁 / (𝑃↑𝑘)) − 1))) = 2)
109	92, 108	breqtrd 4156	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘)) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))))) < 2)
110	26, 64, 66, 70, 109	lelttrd 8452	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))))) < 2)
111		df-2 9365	. . . . . . . 8 ⊢ 2 = (1 + 1)
112	110, 111	breqtrdi 4171	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))))) < (1 + 1))
113		1z 9674	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℤ
114		zleltp1 9704	. . . . . . . 8 ⊢ ((((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))))) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))))) ≤ 1 ↔ ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))))) < (1 + 1)))
115	25, 113, 114	sylancl 417	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))))) ≤ 1 ↔ ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))))) < (1 + 1)))
116	112, 115	mpbird 167	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))))) ≤ 1)
117		iftrue 3645	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))) → if(𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))), 1, 0) = 1)
118	117	breq2d 4142	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))) → (((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))))) ≤ if(𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))), 1, 0) ↔ ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))))) ≤ 1))
119	116, 118	syl5ibrcom 157	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))) → ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))))) ≤ if(𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))), 1, 0)))
120	12	nnge1d 9349	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → 1 ≤ 𝑘)
121	120	biantrurd 305	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (𝑘 ≤ (⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃))) ↔ (1 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ (⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃))))))
122	35	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → 𝑃 ∈ ℙ)
123		elfzelz 10438	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁)) → 𝑘 ∈ ℤ)
124	123	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → 𝑘 ∈ ℤ)
125		prmefexple 16206	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℕ) → ((𝑃↑𝑘) ≤ (2 · 𝑁) ↔ 𝑘 ≤ (⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))))
126	122, 124, 56, 125	syl3anc 1278	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → ((𝑃↑𝑘) ≤ (2 · 𝑁) ↔ 𝑘 ≤ (⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))))
127		elfz 10427	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ (⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃))) ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))) ↔ (1 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ (⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃))))))
128	29, 30, 52, 127	syl3anc 1278	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))) ↔ (1 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ (⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃))))))
129	121, 126, 128	3bitr4rd 221	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))) ↔ (𝑃↑𝑘) ≤ (2 · 𝑁)))
130	129	notbid 677	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (¬ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))) ↔ ¬ (𝑃↑𝑘) ≤ (2 · 𝑁)))
131	14	nnzd 9771	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (𝑃↑𝑘) ∈ ℤ)
132		zltnle 9694	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝑃↑𝑘) ∈ ℤ) → ((2 · 𝑁) < (𝑃↑𝑘) ↔ ¬ (𝑃↑𝑘) ≤ (2 · 𝑁)))
133	8, 131, 132	syl2anc 415	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → ((2 · 𝑁) < (𝑃↑𝑘) ↔ ¬ (𝑃↑𝑘) ≤ (2 · 𝑁)))
134	130, 133	bitr4d 191	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (¬ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))) ↔ (2 · 𝑁) < (𝑃↑𝑘)))
135	61	rpge0d 10111	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → 0 ≤ ((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘)))
136	135	adantrr 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ (𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁)) ∧ (2 · 𝑁) < (𝑃↑𝑘))) → 0 ≤ ((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘)))
137	34	nnred 9319	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
138	137	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
139	14	nnred 9319	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (𝑃↑𝑘) ∈ ℝ)
140	14	nngt0d 9350	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → 0 < (𝑃↑𝑘))
141		ltdivmul 9208	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((𝑃↑𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑃↑𝑘))) → (((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘)) < 1 ↔ (2 · 𝑁) < ((𝑃↑𝑘) · 1)))
142	138, 27, 139, 140, 141	syl112anc 1282	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘)) < 1 ↔ (2 · 𝑁) < ((𝑃↑𝑘) · 1)))
143	96	mulridd 8343	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → ((𝑃↑𝑘) · 1) = (𝑃↑𝑘))
144	143	breq2d 4142	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → ((2 · 𝑁) < ((𝑃↑𝑘) · 1) ↔ (2 · 𝑁) < (𝑃↑𝑘)))
145	142, 144	bitrd 188	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘)) < 1 ↔ (2 · 𝑁) < (𝑃↑𝑘)))
146	145	biimprd 158	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → ((2 · 𝑁) < (𝑃↑𝑘) → ((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘)) < 1))
147	146	impr 379	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ (𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁)) ∧ (2 · 𝑁) < (𝑃↑𝑘))) → ((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘)) < 1)
148		0p1e1 9420	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 + 1) = 1
149	147, 148	breqtrrdi 4172	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ (𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁)) ∧ (2 · 𝑁) < (𝑃↑𝑘))) → ((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘)) < (0 + 1))
150	16	adantrr 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ (𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁)) ∧ (2 · 𝑁) < (𝑃↑𝑘))) → ((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘)) ∈ ℚ)
151		0z 9659	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℤ
152		flqbi 10738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘)) ∈ ℚ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) = 0 ↔ (0 ≤ ((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘)) ∧ ((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘)) < (0 + 1))))
153	150, 151, 152	sylancl 417	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ (𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁)) ∧ (2 · 𝑁) < (𝑃↑𝑘))) → ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) = 0 ↔ (0 ≤ ((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘)) ∧ ((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘)) < (0 + 1))))
154	136, 149, 153	mpbir2and 957	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ (𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁)) ∧ (2 · 𝑁) < (𝑃↑𝑘))) → (⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) = 0)
155	74	rpge0d 10111	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → 0 ≤ (𝑁 / (𝑃↑𝑘)))
156	155	adantrr 483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ (𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁)) ∧ (2 · 𝑁) < (𝑃↑𝑘))) → 0 ≤ (𝑁 / (𝑃↑𝑘)))
157		nnre 9313	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
158	157, 71	ltaddrp2d 10142	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 < (𝑁 + 𝑁))
159	94	2timesd 9552	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) = (𝑁 + 𝑁))
160	158, 159	breqtrrd 4158	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 < (2 · 𝑁))
161	160	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → 𝑁 < (2 · 𝑁))
162	157	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → 𝑁 ∈ ℝ)
163		lttr 8399	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ (𝑃↑𝑘) ∈ ℝ) → ((𝑁 < (2 · 𝑁) ∧ (2 · 𝑁) < (𝑃↑𝑘)) → 𝑁 < (𝑃↑𝑘)))
164	162, 138, 139, 163	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → ((𝑁 < (2 · 𝑁) ∧ (2 · 𝑁) < (𝑃↑𝑘)) → 𝑁 < (𝑃↑𝑘)))
165	161, 164	mpand 433	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → ((2 · 𝑁) < (𝑃↑𝑘) → 𝑁 < (𝑃↑𝑘)))
166		ltdivmul 9208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((𝑃↑𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑃↑𝑘))) → ((𝑁 / (𝑃↑𝑘)) < 1 ↔ 𝑁 < ((𝑃↑𝑘) · 1)))
167	162, 27, 139, 140, 166	syl112anc 1282	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → ((𝑁 / (𝑃↑𝑘)) < 1 ↔ 𝑁 < ((𝑃↑𝑘) · 1)))
168	143	breq2d 4142	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (𝑁 < ((𝑃↑𝑘) · 1) ↔ 𝑁 < (𝑃↑𝑘)))
169	167, 168	bitrd 188	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → ((𝑁 / (𝑃↑𝑘)) < 1 ↔ 𝑁 < (𝑃↑𝑘)))
170	165, 169	sylibrd 169	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → ((2 · 𝑁) < (𝑃↑𝑘) → (𝑁 / (𝑃↑𝑘)) < 1))
171	170	impr 379	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ (𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁)) ∧ (2 · 𝑁) < (𝑃↑𝑘))) → (𝑁 / (𝑃↑𝑘)) < 1)
172	171, 148	breqtrrdi 4172	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ (𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁)) ∧ (2 · 𝑁) < (𝑃↑𝑘))) → (𝑁 / (𝑃↑𝑘)) < (0 + 1))
173	21	adantrr 483	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ (𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁)) ∧ (2 · 𝑁) < (𝑃↑𝑘))) → (𝑁 / (𝑃↑𝑘)) ∈ ℚ)
174		flqbi 10738	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 / (𝑃↑𝑘)) ∈ ℚ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))) = 0 ↔ (0 ≤ (𝑁 / (𝑃↑𝑘)) ∧ (𝑁 / (𝑃↑𝑘)) < (0 + 1))))
175	173, 151, 174	sylancl 417	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ (𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁)) ∧ (2 · 𝑁) < (𝑃↑𝑘))) → ((⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))) = 0 ↔ (0 ≤ (𝑁 / (𝑃↑𝑘)) ∧ (𝑁 / (𝑃↑𝑘)) < (0 + 1))))
176	156, 172, 175	mpbir2and 957	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ (𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁)) ∧ (2 · 𝑁) < (𝑃↑𝑘))) → (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))) = 0)
177	176	oveq2d 6101	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ (𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁)) ∧ (2 · 𝑁) < (𝑃↑𝑘))) → (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘)))) = (2 · 0))
178		2t0e0 9468	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · 0) = 0
179	177, 178	eqtrdi 2287	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ (𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁)) ∧ (2 · 𝑁) < (𝑃↑𝑘))) → (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘)))) = 0)
180	154, 179	oveq12d 6103	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ (𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁)) ∧ (2 · 𝑁) < (𝑃↑𝑘))) → ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))))) = (0 − 0))
181		0m0e0 9418	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 − 0) = 0
182	180, 181	eqtrdi 2287	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ (𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁)) ∧ (2 · 𝑁) < (𝑃↑𝑘))) → ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))))) = 0)
183		0le0 9395	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ≤ 0
184	182, 183	eqbrtrdi 4169	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ (𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁)) ∧ (2 · 𝑁) < (𝑃↑𝑘))) → ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))))) ≤ 0)
185	184	expr 375	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → ((2 · 𝑁) < (𝑃↑𝑘) → ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))))) ≤ 0))
186	134, 185	sylbid 150	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (¬ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))) → ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))))) ≤ 0))
187		iffalse 3648	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))) → if(𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))), 1, 0) = 0)
188	187	eqcomd 2244	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))) → 0 = if(𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))), 1, 0))
189	188	breq2d 4142	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))) → (((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))))) ≤ 0 ↔ ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))))) ≤ if(𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))), 1, 0)))
190	186, 189	mpbidi 151	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (¬ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))) → ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))))) ≤ if(𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))), 1, 0)))
191		exmiddc 848	. . . . . 6 ⊢ (DECID 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))) → (𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))) ∨ ¬ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃))))))
192	54, 191	syl 14	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))) ∨ ¬ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃))))))
193	119, 190, 192	mpjaod 730	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))))) ≤ if(𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))), 1, 0))
194	7, 26, 55, 193	fsumle 12246	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → Σ𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))))) ≤ Σ𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))if(𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))), 1, 0))
195		pcbcctr 16201	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))))))
196	51	zred 9772	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃))) ∈ ℝ)
197		1red 8341	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 1 ∈ ℝ)
198	65	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 2 ∈ ℝ)
199		1lt2 9478	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 < 2
200	199	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 1 < 2)
201		2t1e2 9460	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 · 1) = 2
202	157	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℝ)
203		0le2 9396	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 ≤ 2
204	65, 203	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2)
205	204	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2))
206		nnge1 9329	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑁)
207	206	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 1 ≤ 𝑁)
208		lemul2a 9191	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2)) ∧ 1 ≤ 𝑁) → (2 · 1) ≤ (2 · 𝑁))
209	197, 202, 205, 207, 208	syl31anc 1281	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (2 · 1) ≤ (2 · 𝑁))
210	201, 209	eqbrtrrid 4166	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 2 ≤ (2 · 𝑁))
211	197, 198, 137, 200, 210	ltletrd 8752	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 1 < (2 · 𝑁))
212	137, 211	rplogcld 16040	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (log‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ+)
213	9	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℕ)
214	213	nnred 9319	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℝ)
215		eluz2gt1 10011	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝑃)
216	39, 215	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 1 < 𝑃)
217	214, 216	rplogcld 16040	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (log‘𝑃) ∈ ℝ+)
218	212, 217	rpdivcld 10125	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)) ∈ ℝ+)
219	218	rpred 10107	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)) ∈ ℝ)
220		flaplelt 10723	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)) ∈ ℚ ∨ (((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)) ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)) # 𝑞)) → ((⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃))) ≤ ((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)) ∧ ((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)) < ((⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃))) + 1)))
221	49, 220	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃))) ≤ ((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)) ∧ ((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)) < ((⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃))) + 1)))
222	221	simpld 112	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃))) ≤ ((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))
223	34	nnnn0d 9624	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ0)
224	213, 223	nnexpcld 11146	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃↑(2 · 𝑁)) ∈ ℕ)
225	224	nnred 9319	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃↑(2 · 𝑁)) ∈ ℝ)
226		bernneq3 11113	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℕ0) → (2 · 𝑁) < (𝑃↑(2 · 𝑁)))
227	39, 223, 226	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (2 · 𝑁) < (𝑃↑(2 · 𝑁)))
228	137, 225, 227	ltled 8446	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (2 · 𝑁) ≤ (𝑃↑(2 · 𝑁)))
229	40	reeflogd 16035	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (exp‘(log‘(2 · 𝑁))) = (2 · 𝑁))
230	213	nnrpd 10105	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℝ+)
231	34	nnzd 9771	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
232		reexplog 16023	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ+ ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℤ) → (𝑃↑(2 · 𝑁)) = (exp‘((2 · 𝑁) · (log‘𝑃))))
233	230, 231, 232	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃↑(2 · 𝑁)) = (exp‘((2 · 𝑁) · (log‘𝑃))))
234	233	eqcomd 2244	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (exp‘((2 · 𝑁) · (log‘𝑃))) = (𝑃↑(2 · 𝑁)))
235	228, 229, 234	3brtr4d 4162	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (exp‘(log‘(2 · 𝑁))) ≤ (exp‘((2 · 𝑁) · (log‘𝑃))))
236	40	relogcld 16034	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (log‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ)
237	217	rpred 10107	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (log‘𝑃) ∈ ℝ)
238	137, 237	remulcld 8356	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((2 · 𝑁) · (log‘𝑃)) ∈ ℝ)
239		efle 15926	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((log‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑁) · (log‘𝑃)) ∈ ℝ) → ((log‘(2 · 𝑁)) ≤ ((2 · 𝑁) · (log‘𝑃)) ↔ (exp‘(log‘(2 · 𝑁))) ≤ (exp‘((2 · 𝑁) · (log‘𝑃)))))
240	236, 238, 239	syl2anc 415	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((log‘(2 · 𝑁)) ≤ ((2 · 𝑁) · (log‘𝑃)) ↔ (exp‘(log‘(2 · 𝑁))) ≤ (exp‘((2 · 𝑁) · (log‘𝑃)))))
241	235, 240	mpbird 167	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (log‘(2 · 𝑁)) ≤ ((2 · 𝑁) · (log‘𝑃)))
242	236, 137, 217	ledivmul2d 10162	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)) ≤ (2 · 𝑁) ↔ (log‘(2 · 𝑁)) ≤ ((2 · 𝑁) · (log‘𝑃))))
243	241, 242	mpbird 167	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)) ≤ (2 · 𝑁))
244	196, 219, 137, 222, 243	letrd 8451	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃))) ≤ (2 · 𝑁))
245		eluz 9944	. . . . . . . 8 ⊢ (((⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃))) ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℤ) → ((2 · 𝑁) ∈ (ℤ≥‘(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))) ↔ (⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃))) ≤ (2 · 𝑁)))
246	51, 231, 245	syl2anc 415	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((2 · 𝑁) ∈ (ℤ≥‘(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))) ↔ (⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃))) ≤ (2 · 𝑁)))
247	244, 246	mpbird 167	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (2 · 𝑁) ∈ (ℤ≥‘(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))))
248		fzss2 10480	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 𝑁) ∈ (ℤ≥‘(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))) → (1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))) ⊆ (1...(2 · 𝑁)))
249	247, 248	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))) ⊆ (1...(2 · 𝑁)))
250		elfzelz 10438	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 ∈ (1...(2 · 𝑁)) → 𝑢 ∈ ℤ)
251	250	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑢 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → 𝑢 ∈ ℤ)
252		1zzd 9675	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑢 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → 1 ∈ ℤ)
253	51	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑢 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃))) ∈ ℤ)
254		fzdcel 10454	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑢 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ (⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃))) ∈ ℤ) → DECID 𝑢 ∈ (1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))))
255	251, 252, 253, 254	syl3anc 1278	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑢 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → DECID 𝑢 ∈ (1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))))
256	255	ralrimiva 2623	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ∀𝑢 ∈ (1...(2 · 𝑁))DECID 𝑢 ∈ (1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))))
257		sumhashdc 13146	. . . . 5 ⊢ (((1...(2 · 𝑁)) ∈ Fin ∧ (1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))) ⊆ (1...(2 · 𝑁)) ∧ ∀𝑢 ∈ (1...(2 · 𝑁))DECID 𝑢 ∈ (1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃))))) → Σ𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))if(𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))), 1, 0) = (♯‘(1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃))))))
258	7, 249, 256, 257	syl3anc 1278	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → Σ𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))if(𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))), 1, 0) = (♯‘(1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃))))))
259	218	rpge0d 10111	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 0 ≤ ((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))
260		flapge 10730	. . . . . . . 8 ⊢ (((((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)) ∈ ℚ ∨ (((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)) ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)) # 𝑞)) ∧ 0 ∈ ℤ) → (0 ≤ ((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)) ↔ 0 ≤ (⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))))
261	49, 151, 260	sylancl 417	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (0 ≤ ((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)) ↔ 0 ≤ (⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))))
262	259, 261	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 0 ≤ (⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃))))
263		elnn0z 9661	. . . . . 6 ⊢ ((⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃))) ∈ ℕ0 ↔ ((⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃))) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))))
264	51, 262, 263	sylanbrc 421	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃))) ∈ ℕ0)
265		hashfz1 11236	. . . . 5 ⊢ ((⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃))) ∈ ℕ0 → (♯‘(1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃))))) = (⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃))))
266	264, 265	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (♯‘(1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃))))) = (⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃))))
267	258, 266	eqtr2d 2272	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃))) = Σ𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))if(𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))), 1, 0))
268	194, 195, 267	3brtr4d 4162	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ≤ (⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃))))
269		nnnn0 9574	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
270		fzctr 10550	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)))
271		bccl2 11220	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)) → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ)
272	269, 270, 271	3syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ)
273	272	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ)
274	35, 273	pccld 13099	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ0)
275	274	nn0zd 9770	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℤ)
276		prmefexple 16206	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℕ) → ((𝑃↑(𝑃 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) ≤ (2 · 𝑁) ↔ (𝑃 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ≤ (⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))))
277	35, 275, 34, 276	syl3anc 1278	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((𝑃↑(𝑃 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) ≤ (2 · 𝑁) ↔ (𝑃 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ≤ (⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))))
278	268, 277	mpbird 167	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃↑(𝑃 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) ≤ (2 · 𝑁))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 720  DECID wdc 846   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528   ⊆ wss 3220  ifcif 3638   class class class wbr 4130  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  Fincfn 7022  ℂcc 8177  ℝcr 8178  0cc0 8179  1c1 8180   + caddc 8182   · cmul 8184   < clt 8360   ≤ cle 8361   − cmin 8498   # cap 8911   / cdiv 9004  ℕcn 9306  2c2 9357  ℕ₀cn0 9567  ℤcz 9648  ℤ_≥cuz 9930  ℚcq 10028  ℝ⁺crp 10064  ...cfz 10421  ⌊cfl 10713  ↑cexp 10988  Ccbc 11199  ♯chash 11228  Σcsu 12135  expce 12425  ℙcprime 12901   pCnt cpc 13083  logclog 16007   log_b clogb 16098

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297  ax-arch 8298  ax-caucvg 8299  ax-pre-suploc 8300  ax-addf 8301  ax-mulf 8302

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-disj 4107  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-isom 5386  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-of 6302  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-irdg 6641  df-frec 6662  df-1o 6687  df-2o 6688  df-oadd 6691  df-er 6807  df-map 6924  df-pm 6925  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-sup 7324  df-inf 7325  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8500  df-neg 8501  df-reap 8905  df-ap 8912  df-div 9005  df-inn 9307  df-2 9365  df-3 9366  df-4 9367  df-n0 9568  df-z 9649  df-uz 9931  df-q 10029  df-rp 10065  df-xneg 10184  df-xadd 10185  df-ioo 10304  df-ico 10306  df-icc 10307  df-fz 10422  df-fzo 10560  df-fl 10715  df-mod 10773  df-seqfrec 10898  df-exp 10989  df-fac 11178  df-bc 11200  df-ihash 11229  df-shft 11594  df-cj 11621  df-re 11622  df-im 11623  df-rsqrt 11778  df-abs 11779  df-clim 12061  df-sumdc 12136  df-ef 12431  df-e 12432  df-dvds 12571  df-gcd 12747  df-prm 12902  df-pc 13084  df-rest 13644  df-topgen 13663  df-psmet 14929  df-xmet 14930  df-met 14931  df-bl 14932  df-mopn 14933  df-top 15148  df-topon 15161  df-bases 15193  df-ntr 15246  df-cn 15338  df-cnp 15339  df-tx 15403  df-cncf 15721  df-limced 15806  df-dvap 15807  df-relog 16009  df-rpcxp 16010  df-logb 16099

This theorem is used by:  bposlem5  16213