Theorem gsumfzmhm2 13417

Description: Apply a group homomorphism to a group sum, mapping version with implicit substitution. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2015.) (Revised by AV, 6-Jun-2019.) (Revised by Jim Kingdon, 9-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummhm2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsummhm2.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsummhm2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsummhm2.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Mnd)
gsumfzmhm2.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
gsumfzmhm2.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
gsummhm2.k	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
gsumfzmhm2.f	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
gsummhm2.1	⊢ (𝑥 = 𝑋 → 𝐶 = 𝐷)
gsumfzmhm2.2	⊢ (𝑥 = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝑋)) → 𝐶 = 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
gsumfzmhm2	⊢ (𝜑 → (𝐻 Σg (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐷)) = 𝐸)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑁   𝑘,𝑀,𝑥   𝐵,𝑘,𝑥   𝐶,𝑘   𝑥,𝐷   𝑥,𝐸   𝜑,𝑘   𝑥,𝐺   𝑥,𝐻   𝑥,𝑋

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑘)   𝐸(𝑘)   𝐺(𝑘)   𝐻(𝑘)   𝑋(𝑘)   0 (𝑥,𝑘)

Proof of Theorem gsumfzmhm2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummhm2.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsummhm2.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		gsummhm2.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
4		gsummhm2.h	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Mnd)
5		gsumfzmhm2.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
6		gsumfzmhm2.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
7		gsummhm2.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
8		gsumfzmhm2.f	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
9	8	fmpttd 5714	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝑋):(𝑀...𝑁)⟶𝐵)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9	gsumfzmhm 13416	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 Σg ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∘ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝑋))) = ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘(𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝑋))))
11		eqidd 2194	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝑋) = (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝑋))
12		eqidd 2194	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))
13		gsummhm2.1	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → 𝐶 = 𝐷)
14	8, 11, 12, 13	fmptco 5725	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∘ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝑋)) = (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐷))
15	14	oveq2d 5935	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 Σg ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∘ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝑋))) = (𝐻 Σg (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐷)))
16		eqid 2193	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
17		gsumfzmhm2.2	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝑋)) → 𝐶 = 𝐸)
18	3	cmnmndd 13381	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
19	1, 2, 18, 5, 6, 9	gsumfzcl 13074	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝑋)) ∈ 𝐵)
20	17	eleq1d 2262	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝑋)) → (𝐶 ∈ (Base‘𝐻) ↔ 𝐸 ∈ (Base‘𝐻)))
21		eqid 2193	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
22	1, 21	mhmf 13040	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ (𝐺 MndHom 𝐻) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶):𝐵⟶(Base‘𝐻))
23	7, 22	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶):𝐵⟶(Base‘𝐻))
24	16	fmpt 5709	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ (Base‘𝐻) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶):𝐵⟶(Base‘𝐻))
25	23, 24	sylibr 134	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ (Base‘𝐻))
26	20, 25, 19	rspcdva 2870	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (Base‘𝐻))
27	16, 17, 19, 26	fvmptd3 5652	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘(𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝑋))) = 𝐸)
28	10, 15, 27	3eqtr3d 2234	1 ⊢ (𝜑 → (𝐻 Σg (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐷)) = 𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ∀wral 2472   ↦ cmpt 4091   ∘ ccom 4664  ⟶wf 5251  ‘cfv 5255  (class class class)co 5919  ℤcz 9320  ...cfz 10077  Basecbs 12621  0_gc0g 12870   Σ_g cgsu 12871  Mndcmnd 13000   MndHom cmhm 13032  CMndccmn 13357

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-addcom 7974  ax-addass 7976  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-iord 4398  df-on 4400  df-ilim 4401  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-frec 6446  df-1o 6471  df-er 6589  df-map 6706  df-en 6797  df-fin 6799  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-inn 8985  df-2 9043  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-fz 10078  df-fzo 10212  df-seqfrec 10522  df-ndx 12624  df-slot 12625  df-base 12627  df-plusg 12711  df-0g 12872  df-igsum 12873  df-mgm 12942  df-sgrp 12988  df-mnd 13001  df-mhm 13034  df-cmn 13359

This theorem is referenced by:  lgseisenlem4  15230