Theorem gsumfzmhm2 13847

Description: Apply a group homomorphism to a group sum, mapping version with implicit substitution. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2015.) (Revised by AV, 6-Jun-2019.) (Revised by Jim Kingdon, 9-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummhm2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsummhm2.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsummhm2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsummhm2.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Mnd)
gsumfzmhm2.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
gsumfzmhm2.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
gsummhm2.k	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
gsumfzmhm2.f	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
gsummhm2.1	⊢ (𝑥 = 𝑋 → 𝐶 = 𝐷)
gsumfzmhm2.2	⊢ (𝑥 = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝑋)) → 𝐶 = 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
gsumfzmhm2	⊢ (𝜑 → (𝐻 Σg (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐷)) = 𝐸)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑁   𝑘,𝑀,𝑥   𝐵,𝑘,𝑥   𝐶,𝑘   𝑥,𝐷   𝑥,𝐸   𝜑,𝑘   𝑥,𝐺   𝑥,𝐻   𝑥,𝑋

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑘)   𝐸(𝑘)   𝐺(𝑘)   𝐻(𝑘)   𝑋(𝑘)   0 (𝑥,𝑘)

Proof of Theorem gsumfzmhm2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummhm2.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsummhm2.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		gsummhm2.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
4		gsummhm2.h	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Mnd)
5		gsumfzmhm2.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
6		gsumfzmhm2.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
7		gsummhm2.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
8		gsumfzmhm2.f	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
9	8	fmpttd 5763	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝑋):(𝑀...𝑁)⟶𝐵)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9	gsumfzmhm 13846	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 Σg ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∘ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝑋))) = ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘(𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝑋))))
11		eqidd 2210	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝑋) = (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝑋))
12		eqidd 2210	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))
13		gsummhm2.1	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → 𝐶 = 𝐷)
14	8, 11, 12, 13	fmptco 5774	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∘ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝑋)) = (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐷))
15	14	oveq2d 5990	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 Σg ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∘ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝑋))) = (𝐻 Σg (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐷)))
16		eqid 2209	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
17		gsumfzmhm2.2	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝑋)) → 𝐶 = 𝐸)
18	3	cmnmndd 13811	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
19	1, 2, 18, 5, 6, 9	gsumfzcl 13498	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝑋)) ∈ 𝐵)
20	17	eleq1d 2278	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝑋)) → (𝐶 ∈ (Base‘𝐻) ↔ 𝐸 ∈ (Base‘𝐻)))
21		eqid 2209	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
22	1, 21	mhmf 13464	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ (𝐺 MndHom 𝐻) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶):𝐵⟶(Base‘𝐻))
23	7, 22	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶):𝐵⟶(Base‘𝐻))
24	16	fmpt 5758	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ (Base‘𝐻) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶):𝐵⟶(Base‘𝐻))
25	23, 24	sylibr 134	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ (Base‘𝐻))
26	20, 25, 19	rspcdva 2892	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (Base‘𝐻))
27	16, 17, 19, 26	fvmptd3 5701	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘(𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝑋))) = 𝐸)
28	10, 15, 27	3eqtr3d 2250	1 ⊢ (𝜑 → (𝐻 Σg (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐷)) = 𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1375   ∈ wcel 2180  ∀wral 2488   ↦ cmpt 4124   ∘ ccom 4700  ⟶wf 5290  ‘cfv 5294  (class class class)co 5974  ℤcz 9414  ...cfz 10172  Basecbs 12998  0_gc0g 13255   Σ_g cgsu 13256  Mndcmnd 13415   MndHom cmhm 13456  CMndccmn 13787

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-coll 4178  ax-sep 4181  ax-nul 4189  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606  ax-iinf 4657  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1cn 8060  ax-1re 8061  ax-icn 8062  ax-addcl 8063  ax-addrcl 8064  ax-mulcl 8065  ax-addcom 8067  ax-addass 8069  ax-distr 8071  ax-i2m1 8072  ax-0lt1 8073  ax-0id 8075  ax-rnegex 8076  ax-cnre 8078  ax-pre-ltirr 8079  ax-pre-ltwlin 8080  ax-pre-lttrn 8081  ax-pre-apti 8082  ax-pre-ltadd 8083

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 839  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-nel 2476  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rmo 2496  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-csb 3105  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-nul 3472  df-if 3583  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-iun 3946  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-tr 4162  df-id 4361  df-iord 4434  df-on 4436  df-ilim 4437  df-suc 4439  df-iom 4660  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-f1 5299  df-fo 5300  df-f1o 5301  df-fv 5302  df-riota 5927  df-ov 5977  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-1st 6256  df-2nd 6257  df-recs 6421  df-frec 6507  df-1o 6532  df-er 6650  df-map 6767  df-en 6858  df-fin 6860  df-pnf 8151  df-mnf 8152  df-xr 8153  df-ltxr 8154  df-le 8155  df-sub 8287  df-neg 8288  df-inn 9079  df-2 9137  df-n0 9338  df-z 9415  df-uz 9691  df-fz 10173  df-fzo 10307  df-seqfrec 10637  df-ndx 13001  df-slot 13002  df-base 13004  df-plusg 13089  df-0g 13257  df-igsum 13258  df-mgm 13355  df-sgrp 13401  df-mnd 13416  df-mhm 13458  df-cmn 13789

This theorem is referenced by:  lgseisenlem4  15717