Theorem gsumfzmhm2 13902

Description: Apply a group homomorphism to a group sum, mapping version with implicit substitution. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2015.) (Revised by AV, 6-Jun-2019.) (Revised by Jim Kingdon, 9-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummhm2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsummhm2.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsummhm2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsummhm2.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Mnd)
gsumfzmhm2.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
gsumfzmhm2.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
gsummhm2.k	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
gsumfzmhm2.f	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
gsummhm2.1	⊢ (𝑥 = 𝑋 → 𝐶 = 𝐷)
gsumfzmhm2.2	⊢ (𝑥 = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝑋)) → 𝐶 = 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
gsumfzmhm2	⊢ (𝜑 → (𝐻 Σg (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐷)) = 𝐸)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑁   𝑘,𝑀,𝑥   𝐵,𝑘,𝑥   𝐶,𝑘   𝑥,𝐷   𝑥,𝐸   𝜑,𝑘   𝑥,𝐺   𝑥,𝐻   𝑥,𝑋

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑘)   𝐸(𝑘)   𝐺(𝑘)   𝐻(𝑘)   𝑋(𝑘)   0 (𝑥,𝑘)

Proof of Theorem gsumfzmhm2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummhm2.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsummhm2.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		gsummhm2.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
4		gsummhm2.h	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Mnd)
5		gsumfzmhm2.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
6		gsumfzmhm2.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
7		gsummhm2.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
8		gsumfzmhm2.f	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
9	8	fmpttd 5795	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝑋):(𝑀...𝑁)⟶𝐵)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9	gsumfzmhm 13901	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 Σg ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∘ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝑋))) = ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘(𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝑋))))
11		eqidd 2230	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝑋) = (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝑋))
12		eqidd 2230	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))
13		gsummhm2.1	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → 𝐶 = 𝐷)
14	8, 11, 12, 13	fmptco 5806	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∘ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝑋)) = (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐷))
15	14	oveq2d 6026	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 Σg ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∘ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝑋))) = (𝐻 Σg (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐷)))
16		eqid 2229	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
17		gsumfzmhm2.2	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝑋)) → 𝐶 = 𝐸)
18	3	cmnmndd 13866	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
19	1, 2, 18, 5, 6, 9	gsumfzcl 13553	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝑋)) ∈ 𝐵)
20	17	eleq1d 2298	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝑋)) → (𝐶 ∈ (Base‘𝐻) ↔ 𝐸 ∈ (Base‘𝐻)))
21		eqid 2229	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
22	1, 21	mhmf 13519	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ (𝐺 MndHom 𝐻) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶):𝐵⟶(Base‘𝐻))
23	7, 22	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶):𝐵⟶(Base‘𝐻))
24	16	fmpt 5790	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ (Base‘𝐻) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶):𝐵⟶(Base‘𝐻))
25	23, 24	sylibr 134	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ (Base‘𝐻))
26	20, 25, 19	rspcdva 2912	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (Base‘𝐻))
27	16, 17, 19, 26	fvmptd3 5733	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘(𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝑋))) = 𝐸)
28	10, 15, 27	3eqtr3d 2270	1 ⊢ (𝜑 → (𝐻 Σg (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐷)) = 𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508   ↦ cmpt 4145   ∘ ccom 4724  ⟶wf 5317  ‘cfv 5321  (class class class)co 6010  ℤcz 9462  ...cfz 10221  Basecbs 13053  0_gc0g 13310   Σ_g cgsu 13311  Mndcmnd 13470   MndHom cmhm 13511  CMndccmn 13842

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-iinf 4681  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-addcom 8115  ax-addass 8117  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-0lt1 8121  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-cnre 8126  ax-pre-ltirr 8127  ax-pre-ltwlin 8128  ax-pre-lttrn 8129  ax-pre-apti 8130  ax-pre-ltadd 8131

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4385  df-iord 4458  df-on 4460  df-ilim 4461  df-suc 4463  df-iom 4684  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-f1 5326  df-fo 5327  df-f1o 5328  df-fv 5329  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-1st 6295  df-2nd 6296  df-recs 6462  df-frec 6548  df-1o 6573  df-er 6693  df-map 6810  df-en 6901  df-fin 6903  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-xr 8201  df-ltxr 8202  df-le 8203  df-sub 8335  df-neg 8336  df-inn 9127  df-2 9185  df-n0 9386  df-z 9463  df-uz 9739  df-fz 10222  df-fzo 10356  df-seqfrec 10687  df-ndx 13056  df-slot 13057  df-base 13059  df-plusg 13144  df-0g 13312  df-igsum 13313  df-mgm 13410  df-sgrp 13456  df-mnd 13471  df-mhm 13513  df-cmn 13844

This theorem is referenced by:  lgseisenlem4  15773