eupth2lem3lem4fi - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem eupth2lem3lem4fi 16697

Description: Lemma for eupth2lem3fi 16700. If an edge (not a loop) is added to a trail, the degree of the end vertices of this edge remains odd if it was odd before (regarding the subgraphs induced by the involved trails). (Contributed by Mario Carneiro, 8-Apr-2015.) (Revised by AV, 25-Feb-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
trlsegvdeg.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
trlsegvdeg.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
trlsegvdeg.f	⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
trlsegvdeg.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
trlsegvdeg.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
trlsegvdeg.w	⊢ (𝜑 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
trlsegvdeg.vx	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑋) = 𝑉)
trlsegvdeg.vy	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑌) = 𝑉)
trlsegvdeg.vz	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑍) = 𝑉)
trlsegvdeg.ix	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑋) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
trlsegvdeg.iy	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑌) = {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩})
trlsegvdeg.iz	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑍) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0...𝑁))))
eupth2lem3lem4fi.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UMGraph)
eupth2lem3lem4fi.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ Fin)
eupth2lem3lem4fi.o	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑥)} = if((𝑃‘0) = (𝑃‘𝑁), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘𝑁)}))
eupth2lem3lem4fi.e	⊢ (𝜑 → if-((𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) = {(𝑃‘𝑁)}, {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑁))))
eupth2lem3lem4.i	⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) ∈ 𝒫 𝑉)

**Assertion**
Ref	Expression
eupth2lem3lem4fi	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 = (𝑃‘𝑁) ∨ 𝑈 = (𝑃‘(𝑁 + 1)))) → (¬ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈)) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))})))

Distinct variable groups: 𝑥,𝑈 𝑥,𝑉 𝑥,𝑋 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑥) 𝑃(𝑥) 𝐹(𝑥) 𝐺(𝑥) 𝐼(𝑥) 𝑁(𝑥) 𝑌(𝑥) 𝑍(𝑥)

**Proof of Theorem eupth2lem3lem4fi**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		trlsegvdeg.w	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
2		trlsegvdeg.i	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3	2	trlf1 16612	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐼)
4		f1f 5596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐼 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼)
5	1, 3, 4	3syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼)
6		trlsegvdeg.n	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
7	5, 6	ffvelcdmd 5838	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ∈ dom 𝐼)
8	7	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘𝑁) = 𝑈) → (𝐹‘𝑁) ∈ dom 𝐼)
9		trlsegvdeg.u	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
10	9	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘𝑁) = 𝑈) → 𝑈 ∈ 𝑉)
11		trlsegvdeg.v	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
12		trlsegvdeg.f	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
13	11, 2, 12, 6, 9, 1	trlsegvdeglem1 16684	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑃‘𝑁) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∈ 𝑉))
14	13	simprd 114	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∈ 𝑉)
15	14	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘𝑁) = 𝑈) → (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∈ 𝑉)
16		neeq1 2433	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃‘𝑁) = 𝑈 → ((𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ↔ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))))
17	16	biimpcd 159	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) → ((𝑃‘𝑁) = 𝑈 → 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))))
18	17	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) → ((𝑃‘𝑁) = 𝑈 → 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))))
19	18	imp 124	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘𝑁) = 𝑈) → 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))
20		eupth2lem3lem4.i	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) ∈ 𝒫 𝑉)
21	20	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘𝑁) = 𝑈) → (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) ∈ 𝒫 𝑉)
22		trlsegvdeg.iy	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑌) = {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩})
23	22	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘𝑁) = 𝑈) → (iEdg‘𝑌) = {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩})
24		eupth2lem3lem4fi.e	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → if-((𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) = {(𝑃‘𝑁)}, {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑁))))
25	24	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) → if-((𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) = {(𝑃‘𝑁)}, {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑁))))
26		df-ne 2421	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ↔ ¬ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1)))
27		ifpfal 1003	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (¬ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1)) → (if-((𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) = {(𝑃‘𝑁)}, {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑁))) ↔ {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑁))))
28	26, 27	sylbi 121	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) → (if-((𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) = {(𝑃‘𝑁)}, {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑁))) ↔ {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑁))))
29	28	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) → (if-((𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) = {(𝑃‘𝑁)}, {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑁))) ↔ {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑁))))
30		preq1 3787	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃‘𝑁) = 𝑈 → {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} = {𝑈, (𝑃‘(𝑁 + 1))})
31	30	sseq1d 3277	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃‘𝑁) = 𝑈 → ({(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) ↔ {𝑈, (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑁))))
32	31	biimpcd 159	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ({(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) → ((𝑃‘𝑁) = 𝑈 → {𝑈, (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑁))))
33	29, 32	biimtrdi 163	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) → (if-((𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) = {(𝑃‘𝑁)}, {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑁))) → ((𝑃‘𝑁) = 𝑈 → {𝑈, (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑁)))))
34	25, 33	mpd 13	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) → ((𝑃‘𝑁) = 𝑈 → {𝑈, (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑁))))
35	34	imp 124	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘𝑁) = 𝑈) → {𝑈, (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑁)))
36		trlsegvdeg.vy	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑌) = 𝑉)
37	36	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘𝑁) = 𝑈) → (Vtx‘𝑌) = 𝑉)
38		eupth2lem3lem4fi.v	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ Fin)
39	38	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘𝑁) = 𝑈) → 𝑉 ∈ Fin)
40	9, 36	eleqtrrd 2318	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (Vtx‘𝑌))
41		df-vtx 16238	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Vtx = (𝑔 ∈ V ↦ if(𝑔 ∈ (V × V), (1^st ‘𝑔), (Base‘𝑔)))
42	41	mptrcl 5785	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑈 ∈ (Vtx‘𝑌) → 𝑌 ∈ V)
43	40, 42	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ V)
44	12	funfnd 5406	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐼 Fn dom 𝐼)
45		fnressn 5895	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐼 Fn dom 𝐼 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ dom 𝐼) → (𝐼 ↾ {(𝐹‘𝑁)}) = {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩})
46	44, 7, 45	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ↾ {(𝐹‘𝑁)}) = {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩})
47	22, 46	eqtr4d 2274	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑌) = (𝐼 ↾ {(𝐹‘𝑁)}))
48		eupth2lem3lem4fi.g	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UMGraph)
49	11, 2, 43, 36, 47, 48	umgrspan 16504	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ UMGraph)
50	49	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘𝑁) = 𝑈) → 𝑌 ∈ UMGraph)
51	8, 10, 15, 19, 21, 23, 35, 37, 39, 50	1hegrvtxdg1fi 16533	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘𝑁) = 𝑈) → ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈) = 1)
52	51	oveq2d 6095	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘𝑁) = 𝑈) → (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈)) = (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + 1))
53	52	breq2d 4140	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘𝑁) = 𝑈) → (2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈)) ↔ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + 1)))
54	53	notbid 677	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘𝑁) = 𝑈) → (¬ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈)) ↔ ¬ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + 1)))
55		trlsegvdeg.vx	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑋) = 𝑉)
56		trlsegvdeg.vz	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑍) = 𝑉)
57		trlsegvdeg.ix	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑋) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
58		trlsegvdeg.iz	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑍) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0...𝑁))))
59		umgrupgr 16336	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → 𝐺 ∈ UPGraph)
60	48, 59	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UPGraph)
61	11, 2, 12, 6, 9, 1, 55, 36, 56, 57, 22, 58, 60, 38	eupth2lem3lem1fi 16692	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) ∈ ℕ₀)
62	61	nn0zd 9749	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) ∈ ℤ)
63		2nn 9449	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℕ
64	63	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
65		1lt2 9457	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 < 2
66	65	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 < 2)
67		ndvdsp1 12682	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ ∧ 1 < 2) → (2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) → ¬ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + 1)))
68	62, 64, 66, 67	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) → ¬ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + 1)))
69	68	con2d 633	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + 1) → ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈)))
70		1z 9653	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℤ
71		n2dvds1 12662	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ¬ 2 ∥ 1
72		opoe 12645	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈)) ∧ (1 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 1)) → 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + 1))
73	70, 71, 72	mpanr12 443	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈)) → 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + 1))
74	73	ex 115	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) → 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + 1)))
75	62, 74	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) → 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + 1)))
76	69, 75	impbid 129	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + 1) ↔ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈)))
77		fveq2 5693	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑈 → ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑥) = ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈))
78	77	breq2d 4140	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑈 → (2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑥) ↔ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈)))
79	78	notbid 677	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑈 → (¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑥) ↔ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈)))
80	79	elrab3 2983	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (𝑈 ∈ {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑥)} ↔ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈)))
81	9, 80	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑥)} ↔ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈)))
82		eupth2lem3lem4fi.o	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑥)} = if((𝑃‘0) = (𝑃‘𝑁), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘𝑁)}))
83	82	eleq2d 2308	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑥)} ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘𝑁), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘𝑁)})))
84	76, 81, 83	3bitr2d 216	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + 1) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘𝑁), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘𝑁)})))
85	84	notbid 677	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (¬ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + 1) ↔ ¬ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘𝑁), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘𝑁)})))
86	85	ad2antrr 492	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘𝑁) = 𝑈) → (¬ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + 1) ↔ ¬ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘𝑁), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘𝑁)})))
87		trliswlk 16610	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
88	11	wlkp 16558	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉)
89	1, 87, 88	3syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉)
90		elfzofz 10553	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐹)))
91	6, 90	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐹)))
92	89, 91	ffvelcdmd 5838	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝑁) ∈ 𝑉)
93	92	ad2antrr 492	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘𝑁) = 𝑈) → (𝑃‘𝑁) ∈ 𝑉)
94		elfzuz2 10416	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐹)) → (♯‘𝐹) ∈ (ℤ_≥‘0))
95		eluzfz1 10418	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ (ℤ_≥‘0) → 0 ∈ (0...(♯‘𝐹)))
96	91, 94, 95	3syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0...(♯‘𝐹)))
97	89, 96	ffvelcdmd 5838	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘0) ∈ 𝑉)
98	97	ad2antrr 492	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘𝑁) = 𝑈) → (𝑃‘0) ∈ 𝑉)
99		fidceq 7165	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ (𝑃‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘𝑁) ∈ 𝑉) → DECID (𝑃‘0) = (𝑃‘𝑁))
100	39, 98, 93, 99	syl3anc 1278	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘𝑁) = 𝑈) → DECID (𝑃‘0) = (𝑃‘𝑁))
101		simplr 533	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘𝑁) = 𝑈) → (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))
102		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘𝑁) = 𝑈) → (𝑃‘𝑁) = 𝑈)
103	93, 100, 101, 102	eupth2lem2dc 16683	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘𝑁) = 𝑈) → (¬ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘𝑁), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘𝑁)}) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))})))
104	54, 86, 103	3bitrd 214	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘𝑁) = 𝑈) → (¬ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈)) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))})))
105	104	expcom 116	. . . . 5 ⊢ ((𝑃‘𝑁) = 𝑈 → ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) → (¬ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈)) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))}))))
106	105	eqcoms 2241	. . . 4 ⊢ (𝑈 = (𝑃‘𝑁) → ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) → (¬ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈)) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))}))))
107	7	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈) → (𝐹‘𝑁) ∈ dom 𝐼)
108	13	simpld 112	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝑁) ∈ 𝑉)
109	108	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈) → (𝑃‘𝑁) ∈ 𝑉)
110	9	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈) → 𝑈 ∈ 𝑉)
111		neeq2 2434	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈 → ((𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ↔ (𝑃‘𝑁) ≠ 𝑈))
112	111	biimpcd 159	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) → ((𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈 → (𝑃‘𝑁) ≠ 𝑈))
113	112	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) → ((𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈 → (𝑃‘𝑁) ≠ 𝑈))
114	113	imp 124	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈) → (𝑃‘𝑁) ≠ 𝑈)
115	20	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈) → (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) ∈ 𝒫 𝑉)
116	22	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈) → (iEdg‘𝑌) = {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩})
117		preq2 3788	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈 → {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} = {(𝑃‘𝑁), 𝑈})
118	117	sseq1d 3277	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈 → ({(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) ↔ {(𝑃‘𝑁), 𝑈} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑁))))
119	118	biimpcd 159	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ({(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) → ((𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈 → {(𝑃‘𝑁), 𝑈} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑁))))
120	29, 119	biimtrdi 163	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) → (if-((𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) = {(𝑃‘𝑁)}, {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑁))) → ((𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈 → {(𝑃‘𝑁), 𝑈} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑁)))))
121	25, 120	mpd 13	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) → ((𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈 → {(𝑃‘𝑁), 𝑈} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑁))))
122	121	imp 124	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈) → {(𝑃‘𝑁), 𝑈} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑁)))
123	36	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈) → (Vtx‘𝑌) = 𝑉)
124	38	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈) → 𝑉 ∈ Fin)
125	49	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈) → 𝑌 ∈ UMGraph)
126	107, 109, 110, 114, 115, 116, 122, 123, 124, 125	1hegrvtxdg1rfi 16534	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈) → ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈) = 1)
127	126	oveq2d 6095	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈) → (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈)) = (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + 1))
128	127	breq2d 4140	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈) → (2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈)) ↔ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + 1)))
129	128	notbid 677	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈) → (¬ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈)) ↔ ¬ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + 1)))
130	85	ad2antrr 492	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈) → (¬ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + 1) ↔ ¬ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘𝑁), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘𝑁)})))
131		noel 3525	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ¬ 𝑈 ∈ ∅
132		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) → (𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)))
133	132	iftrued 3647	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) → if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))}) = ∅)
134	133	eleq2d 2308	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) → (𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))}) ↔ 𝑈 ∈ ∅))
135	131, 134	mtbiri 686	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) → ¬ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))}))
136	135	olcd 746	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) → (𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))}) ∨ ¬ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))})))
137		df-dc 847	. . . . . . . . . 10 ⊢ (DECID 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))}) ↔ (𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))}) ∨ ¬ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))})))
138	136, 137	sylibr 134	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) → DECID 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))}))
139		fidceq 7165	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑈 ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘0) ∈ 𝑉) → DECID 𝑈 = (𝑃‘0))
140	38, 9, 97, 139	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → DECID 𝑈 = (𝑃‘0))
141	140	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈) ∧ ¬ (𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) → DECID 𝑈 = (𝑃‘0))
142		fidceq 7165	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑈 ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∈ 𝑉) → DECID 𝑈 = (𝑃‘(𝑁 + 1)))
143	38, 9, 14, 142	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → DECID 𝑈 = (𝑃‘(𝑁 + 1)))
144	143	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈) ∧ ¬ (𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) → DECID 𝑈 = (𝑃‘(𝑁 + 1)))
145		dcor 948	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (DECID 𝑈 = (𝑃‘0) → (DECID 𝑈 = (𝑃‘(𝑁 + 1)) → DECID (𝑈 = (𝑃‘0) ∨ 𝑈 = (𝑃‘(𝑁 + 1)))))
146	141, 144, 145	sylc 62	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈) ∧ ¬ (𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) → DECID (𝑈 = (𝑃‘0) ∨ 𝑈 = (𝑃‘(𝑁 + 1))))
147		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈) ∧ ¬ (𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) → ¬ (𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)))
148	147	iffalsed 3650	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈) ∧ ¬ (𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) → if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))}) = {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))})
149	148	eleq2d 2308	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈) ∧ ¬ (𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) → (𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))}) ↔ 𝑈 ∈ {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))}))
150		elprg 3728	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (𝑈 ∈ {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))} ↔ (𝑈 = (𝑃‘0) ∨ 𝑈 = (𝑃‘(𝑁 + 1)))))
151	9, 150	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))} ↔ (𝑈 = (𝑃‘0) ∨ 𝑈 = (𝑃‘(𝑁 + 1)))))
152	151	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈) ∧ ¬ (𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) → (𝑈 ∈ {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))} ↔ (𝑈 = (𝑃‘0) ∨ 𝑈 = (𝑃‘(𝑁 + 1)))))
153	149, 152	bitrd 188	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈) ∧ ¬ (𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) → (𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))}) ↔ (𝑈 = (𝑃‘0) ∨ 𝑈 = (𝑃‘(𝑁 + 1)))))
154	153	dcbid 850	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈) ∧ ¬ (𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) → (DECID 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))}) ↔ DECID (𝑈 = (𝑃‘0) ∨ 𝑈 = (𝑃‘(𝑁 + 1)))))
155	146, 154	mpbird 167	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈) ∧ ¬ (𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) → DECID 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))}))
156	97	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈) → (𝑃‘0) ∈ 𝑉)
157	14	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈) → (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∈ 𝑉)
158		fidceq 7165	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ (𝑃‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∈ 𝑉) → DECID (𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)))
159	124, 156, 157, 158	syl3anc 1278	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈) → DECID (𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)))
160		exmiddc 848	. . . . . . . . . 10 ⊢ (DECID (𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)) → ((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∨ ¬ (𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1))))
161	159, 160	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈) → ((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∨ ¬ (𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1))))
162	138, 155, 161	mpjaodan 810	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈) → DECID 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))}))
163		simplr 533	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈) → (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))
164	163	necomd 2506	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈) → (𝑃‘(𝑁 + 1)) ≠ (𝑃‘𝑁))
165		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈) → (𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈)
166	157, 159, 164, 165	eupth2lem2dc 16683	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈) → (¬ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))}) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘𝑁), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘𝑁)})))
167	166	a1d 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈) → (DECID 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))}) → (¬ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))}) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘𝑁), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘𝑁)}))))
168	167	con1biddc 888	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈) → (DECID 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))}) → (¬ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘𝑁), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘𝑁)}) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))}))))
169	162, 168	mpd 13	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈) → (¬ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘𝑁), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘𝑁)}) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))})))
170	129, 130, 169	3bitrd 214	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈) → (¬ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈)) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))})))
171	170	expcom 116	. . . . 5 ⊢ ((𝑃‘(𝑁 + 1)) = 𝑈 → ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) → (¬ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈)) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))}))))
172	171	eqcoms 2241	. . . 4 ⊢ (𝑈 = (𝑃‘(𝑁 + 1)) → ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) → (¬ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈)) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))}))))
173	106, 172	jaoi 728	. . 3 ⊢ ((𝑈 = (𝑃‘𝑁) ∨ 𝑈 = (𝑃‘(𝑁 + 1))) → ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) → (¬ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈)) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))}))))
174	173	com12 30	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) → ((𝑈 = (𝑃‘𝑁) ∨ 𝑈 = (𝑃‘(𝑁 + 1))) → (¬ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈)) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))}))))
175	174	3impia 1231	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 = (𝑃‘𝑁) ∨ 𝑈 = (𝑃‘(𝑁 + 1)))) → (¬ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈)) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))})))

Colors of variables: wff set class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 104 ↔ wb 105 ∨ wo 720 DECID wdc 846 if-wif 990 ∧ w3a 1009 = wceq 1402 ∈ wcel 2209 ≠ wne 2420 {crab 2532 Vcvv 2821 ⊆ wss 3220 ∅c0 3520 ifcif 3638 𝒫 cpw 3688 {csn 3708 {cpr 3709 ⟨cop 3711 class class class wbr 4128 × cxp 4770 dom cdm 4772 ↾ cres 4774 “ cima 4775 Fun wfun 5369 Fn wfn 5370 ⟶wf 5371 –1-1→wf1 5372 ‘cfv 5375 (class class class)co 6079 1^st c1st 6366 Fincfn 7016 0cc0 8173 1c1 8174 + caddc 8176 < clt 8354 ℕcn 9287 2c2 9338 ℤcz 9627 ℤ_≥cuz 9904 ...cfz 10394 ..^cfzo 10532 ♯chash 11197 ∥ cdvds 12537 Basecbs 13335 Vtxcvtx 16236 iEdgciedg 16237 UPGraphcupgr 16315 UMGraphcumgr 16316 VtxDegcvtxdg 16510 Walkscwlks 16541 Trailsctrls 16604

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 623 ax-in2 624 ax-io 721 ax-5 1500 ax-7 1501 ax-gen 1502 ax-ie1 1546 ax-ie2 1547 ax-8 1557 ax-10 1558 ax-11 1559 ax-i12 1560 ax-bndl 1562 ax-4 1563 ax-17 1579 ax-i9 1583 ax-ial 1587 ax-i5r 1588 ax-14 2212 ax-ext 2220 ax-coll 4244 ax-sep 4247 ax-nul 4257 ax-pow 4309 ax-pr 4344 ax-un 4576 ax-setind 4682 ax-iinf 4733 ax-cnex 8264 ax-resscn 8265 ax-1cn 8266 ax-1re 8267 ax-icn 8268 ax-addcl 8269 ax-addrcl 8270 ax-mulcl 8271 ax-mulrcl 8272 ax-addcom 8273 ax-mulcom 8274 ax-addass 8275 ax-mulass 8276 ax-distr 8277 ax-i2m1 8278 ax-0lt1 8279 ax-1rid 8280 ax-0id 8281 ax-rnegex 8282 ax-precex 8283 ax-cnre 8284 ax-pre-ltirr 8285 ax-pre-ltwlin 8286 ax-pre-lttrn 8287 ax-pre-apti 8288 ax-pre-ltadd 8289 ax-pre-mulgt0 8290 ax-pre-mulext 8291 ax-arch 8292

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 843 df-dc 847 df-ifp 991 df-3or 1010 df-3an 1011 df-tru 1405 df-fal 1408 df-xor 1425 df-nf 1514 df-sb 1816 df-eu 2089 df-mo 2090 df-clab 2225 df-cleq 2231 df-clel 2234 df-nfc 2381 df-ne 2421 df-nel 2516 df-ral 2533 df-rex 2534 df-reu 2535 df-rmo 2536 df-rab 2537 df-v 2823 df-sbc 3052 df-csb 3148 df-dif 3222 df-un 3224 df-in 3226 df-ss 3233 df-nul 3521 df-if 3639 df-pw 3690 df-sn 3714 df-pr 3715 df-op 3717 df-uni 3934 df-int 3969 df-iun 4012 df-br 4129 df-opab 4191 df-mpt 4192 df-tr 4228 df-id 4436 df-po 4439 df-iso 4440 df-iord 4509 df-on 4511 df-ilim 4512 df-suc 4514 df-iom 4736 df-xp 4778 df-rel 4779 df-cnv 4780 df-co 4781 df-dm 4782 df-rn 4783 df-res 4784 df-ima 4785 df-iota 5335 df-fun 5377 df-fn 5378 df-f 5379 df-f1 5380 df-fo 5381 df-f1o 5382 df-fv 5383 df-riota 6032 df-ov 6082 df-oprab 6083 df-mpo 6084 df-1st 6368 df-2nd 6369 df-recs 6570 df-frec 6656 df-1o 6681 df-2o 6682 df-er 6801 df-map 6918 df-en 7017 df-dom 7018 df-fin 7019 df-pnf 8356 df-mnf 8357 df-xr 8358 df-ltxr 8359 df-le 8360 df-sub 8493 df-neg 8494 df-reap 8897 df-ap 8904 df-div 8997 df-inn 9288 df-2 9346 df-3 9347 df-4 9348 df-5 9349 df-6 9350 df-7 9351 df-8 9352 df-9 9353 df-n0 9547 df-z 9628 df-dec 9761 df-uz 9905 df-q 10003 df-rp 10038 df-xadd 10158 df-fz 10395 df-fzo 10533 df-fl 10688 df-mod 10743 df-seqfrec 10868 df-exp 10959 df-ihash 11198 df-word 11288 df-cj 11590 df-re 11591 df-im 11592 df-rsqrt 11747 df-abs 11748 df-dvds 12538 df-ndx 13338 df-slot 13339 df-base 13341 df-edgf 16229 df-vtx 16238 df-iedg 16239 df-edg 16282 df-uhgrm 16293 df-upgren 16317 df-umgren 16318 df-subgr 16478 df-vtxdg 16511 df-wlks 16542 df-trls 16605

This theorem is referenced by: eupth2lem3lem7fi 16698

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