Theorem lgsquad2lem2 15814

Description: Lemma for lgsquad2 15815. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lgsquad2.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
lgsquad2.2	⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝑀)
lgsquad2.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
lgsquad2.4	⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝑁)
lgsquad2.5	⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
lgsquad2lem2.f	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑚 gcd 𝑁) = 1)) → ((𝑚 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑚)) = (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))
lgsquad2lem2.s	⊢ (𝜓 ↔ ∀𝑥 ∈ (1...𝑘)((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))

Assertion

Ref	Expression
lgsquad2lem2	⊢ (𝜑 → ((𝑀 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑀)) = (-1↑(((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))

Distinct variable groups:   𝑚,𝑀   𝑥,𝑚,𝑁   𝜑,𝑚,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝜓(𝑥,𝑘,𝑚)   𝑀(𝑥,𝑘)   𝑁(𝑘)

Proof of Theorem lgsquad2lem2

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lgsquad2.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
2		2nn 9305	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
3	2	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
4		lgsquad2.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
5	1	nnzd 9601	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
6		2z 9507	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
7		gcdcom 12546	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 2) = (2 gcd 𝑀))
8	5, 6, 7	sylancl 413	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 2) = (2 gcd 𝑀))
9		lgsquad2.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝑀)
10		2prm 12701	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℙ
11		coprm 12718	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (¬ 2 ∥ 𝑀 ↔ (2 gcd 𝑀) = 1))
12	10, 5, 11	sylancr 414	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (¬ 2 ∥ 𝑀 ↔ (2 gcd 𝑀) = 1))
13	9, 12	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2 gcd 𝑀) = 1)
14	8, 13	eqtrd 2264	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 2) = 1)
15		rpmulgcd 12599	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑀 gcd 2) = 1) → (𝑀 gcd (2 · 𝑁)) = (𝑀 gcd 𝑁))
16	1, 3, 4, 14, 15	syl31anc 1276	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd (2 · 𝑁)) = (𝑀 gcd 𝑁))
17		lgsquad2.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
18	16, 17	eqtrd 2264	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd (2 · 𝑁)) = 1)
19		oveq1 6025	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 1 → (𝑚 /L 𝑁) = (1 /L 𝑁))
20		oveq2 6026	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 1 → (𝑁 /L 𝑚) = (𝑁 /L 1))
21	19, 20	oveq12d 6036	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 1 → ((𝑚 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑚)) = ((1 /L 𝑁) · (𝑁 /L 1)))
22		oveq1 6025	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 = 1 → (𝑚 − 1) = (1 − 1))
23		1m1e0 9212	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 − 1) = 0
24	22, 23	eqtrdi 2280	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 1 → (𝑚 − 1) = 0)
25	24	oveq1d 6033	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 1 → ((𝑚 − 1) / 2) = (0 / 2))
26		2cn 9214	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℂ
27		2ap0 9236	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 # 0
28	26, 27	div0api 8926	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 / 2) = 0
29	25, 28	eqtrdi 2280	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 1 → ((𝑚 − 1) / 2) = 0)
30	29	oveq1d 6033	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 1 → (((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)) = (0 · ((𝑁 − 1) / 2)))
31	30	oveq2d 6034	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 1 → (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) = (-1↑(0 · ((𝑁 − 1) / 2))))
32	21, 31	eqeq12d 2246	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 1 → (((𝑚 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑚)) = (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) ↔ ((1 /L 𝑁) · (𝑁 /L 1)) = (-1↑(0 · ((𝑁 − 1) / 2)))))
33	32	imbi2d 230	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 1 → (((𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑚 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑚)) = (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ↔ ((𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((1 /L 𝑁) · (𝑁 /L 1)) = (-1↑(0 · ((𝑁 − 1) / 2))))))
34	33	imbi2d 230	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 1 → ((𝜑 → ((𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑚 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑚)) = (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))) ↔ (𝜑 → ((𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((1 /L 𝑁) · (𝑁 /L 1)) = (-1↑(0 · ((𝑁 − 1) / 2)))))))
35		oveq1 6025	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = (𝑥 gcd (2 · 𝑁)))
36	35	eqeq1d 2240	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → ((𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1 ↔ (𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1))
37		oveq1 6025	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → (𝑚 /L 𝑁) = (𝑥 /L 𝑁))
38		oveq2 6026	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → (𝑁 /L 𝑚) = (𝑁 /L 𝑥))
39	37, 38	oveq12d 6036	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → ((𝑚 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑚)) = ((𝑥 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑥)))
40		oveq1 6025	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → (𝑚 − 1) = (𝑥 − 1))
41	40	oveq1d 6033	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → ((𝑚 − 1) / 2) = ((𝑥 − 1) / 2))
42	41	oveq1d 6033	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → (((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)) = (((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))
43	42	oveq2d 6034	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))
44	39, 43	eqeq12d 2246	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → (((𝑚 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑚)) = (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) ↔ ((𝑥 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))
45	36, 44	imbi12d 234	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → (((𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑚 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑚)) = (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ↔ ((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))
46	45	imbi2d 230	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → ((𝜑 → ((𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑚 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑚)) = (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))) ↔ (𝜑 → ((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))))
47		oveq1 6025	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑦 → (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = (𝑦 gcd (2 · 𝑁)))
48	47	eqeq1d 2240	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑦 → ((𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1 ↔ (𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1))
49		oveq1 6025	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑦 → (𝑚 /L 𝑁) = (𝑦 /L 𝑁))
50		oveq2 6026	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑦 → (𝑁 /L 𝑚) = (𝑁 /L 𝑦))
51	49, 50	oveq12d 6036	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑦 → ((𝑚 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑚)) = ((𝑦 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑦)))
52		oveq1 6025	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑦 → (𝑚 − 1) = (𝑦 − 1))
53	52	oveq1d 6033	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑦 → ((𝑚 − 1) / 2) = ((𝑦 − 1) / 2))
54	53	oveq1d 6033	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑦 → (((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)) = (((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))
55	54	oveq2d 6034	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑦 → (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))
56	51, 55	eqeq12d 2246	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑦 → (((𝑚 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑚)) = (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) ↔ ((𝑦 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))
57	48, 56	imbi12d 234	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑦 → (((𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑚 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑚)) = (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ↔ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))
58	57	imbi2d 230	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑦 → ((𝜑 → ((𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑚 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑚)) = (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))) ↔ (𝜑 → ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))))
59		oveq1 6025	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = (𝑥 · 𝑦) → (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)))
60	59	eqeq1d 2240	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = (𝑥 · 𝑦) → ((𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1 ↔ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1))
61		oveq1 6025	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = (𝑥 · 𝑦) → (𝑚 /L 𝑁) = ((𝑥 · 𝑦) /L 𝑁))
62		oveq2 6026	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = (𝑥 · 𝑦) → (𝑁 /L 𝑚) = (𝑁 /L (𝑥 · 𝑦)))
63	61, 62	oveq12d 6036	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = (𝑥 · 𝑦) → ((𝑚 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑚)) = (((𝑥 · 𝑦) /L 𝑁) · (𝑁 /L (𝑥 · 𝑦))))
64		oveq1 6025	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = (𝑥 · 𝑦) → (𝑚 − 1) = ((𝑥 · 𝑦) − 1))
65	64	oveq1d 6033	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = (𝑥 · 𝑦) → ((𝑚 − 1) / 2) = (((𝑥 · 𝑦) − 1) / 2))
66	65	oveq1d 6033	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = (𝑥 · 𝑦) → (((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)) = ((((𝑥 · 𝑦) − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))
67	66	oveq2d 6034	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = (𝑥 · 𝑦) → (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) = (-1↑((((𝑥 · 𝑦) − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))
68	63, 67	eqeq12d 2246	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = (𝑥 · 𝑦) → (((𝑚 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑚)) = (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) ↔ (((𝑥 · 𝑦) /L 𝑁) · (𝑁 /L (𝑥 · 𝑦))) = (-1↑((((𝑥 · 𝑦) − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))
69	60, 68	imbi12d 234	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = (𝑥 · 𝑦) → (((𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑚 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑚)) = (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ↔ (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 → (((𝑥 · 𝑦) /L 𝑁) · (𝑁 /L (𝑥 · 𝑦))) = (-1↑((((𝑥 · 𝑦) − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))
70	69	imbi2d 230	. . . 4 ⊢ (𝑚 = (𝑥 · 𝑦) → ((𝜑 → ((𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑚 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑚)) = (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))) ↔ (𝜑 → (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 → (((𝑥 · 𝑦) /L 𝑁) · (𝑁 /L (𝑥 · 𝑦))) = (-1↑((((𝑥 · 𝑦) − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))))
71		oveq1 6025	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = (𝑀 gcd (2 · 𝑁)))
72	71	eqeq1d 2240	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → ((𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1 ↔ (𝑀 gcd (2 · 𝑁)) = 1))
73		oveq1 6025	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (𝑚 /L 𝑁) = (𝑀 /L 𝑁))
74		oveq2 6026	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (𝑁 /L 𝑚) = (𝑁 /L 𝑀))
75	73, 74	oveq12d 6036	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → ((𝑚 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑚)) = ((𝑀 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑀)))
76		oveq1 6025	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (𝑚 − 1) = (𝑀 − 1))
77	76	oveq1d 6033	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → ((𝑚 − 1) / 2) = ((𝑀 − 1) / 2))
78	77	oveq1d 6033	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)) = (((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))
79	78	oveq2d 6034	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) = (-1↑(((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))
80	75, 79	eqeq12d 2246	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (((𝑚 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑚)) = (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) ↔ ((𝑀 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑀)) = (-1↑(((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))
81	72, 80	imbi12d 234	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (((𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑚 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑚)) = (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ↔ ((𝑀 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑀 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑀)) = (-1↑(((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))
82	81	imbi2d 230	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → ((𝜑 → ((𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑚 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑚)) = (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))) ↔ (𝜑 → ((𝑀 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑀 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑀)) = (-1↑(((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))))
83		1t1e1 9296	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 1) = 1
84		neg1cn 9248	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℂ
85		exp0 10806	. . . . . . . 8 ⊢ (-1 ∈ ℂ → (-1↑0) = 1)
86	84, 85	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (-1↑0) = 1
87	83, 86	eqtr4i 2255	. . . . . 6 ⊢ (1 · 1) = (-1↑0)
88		sq1 10896	. . . . . . . . 9 ⊢ (1↑2) = 1
89	88	oveq1i 6028	. . . . . . . 8 ⊢ ((1↑2) /L 𝑁) = (1 /L 𝑁)
90		1z 9505	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℤ
91		1ne0 9211	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ≠ 0
92	90, 91	pm3.2i 272	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ∈ ℤ ∧ 1 ≠ 0)
93	4	nnzd 9601	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
94		1gcd 12565	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1 gcd 𝑁) = 1)
95	93, 94	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 gcd 𝑁) = 1)
96		lgssq 15772	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 ∈ ℤ ∧ 1 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (1 gcd 𝑁) = 1) → ((1↑2) /L 𝑁) = 1)
97	92, 93, 95, 96	mp3an2i 1378	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((1↑2) /L 𝑁) = 1)
98	89, 97	eqtr3id 2278	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 /L 𝑁) = 1)
99	88	oveq2i 6029	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 /L (1↑2)) = (𝑁 /L 1)
100		1nn 9154	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℕ
101	100	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ)
102		gcd1 12560	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 gcd 1) = 1)
103	93, 102	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 1) = 1)
104		lgssq2 15773	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℕ ∧ (𝑁 gcd 1) = 1) → (𝑁 /L (1↑2)) = 1)
105	93, 101, 103, 104	syl3anc 1273	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 /L (1↑2)) = 1)
106	99, 105	eqtr3id 2278	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁 /L 1) = 1)
107	98, 106	oveq12d 6036	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1 /L 𝑁) · (𝑁 /L 1)) = (1 · 1))
108		nnm1nn0 9443	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
109	4, 108	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
110	109	nn0cnd 9457	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
111	110	halfcld 9389	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℂ)
112	111	mul02d 8571	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0 · ((𝑁 − 1) / 2)) = 0)
113	112	oveq2d 6034	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (-1↑(0 · ((𝑁 − 1) / 2))) = (-1↑0))
114	87, 107, 113	3eqtr4a 2290	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1 /L 𝑁) · (𝑁 /L 1)) = (-1↑(0 · ((𝑁 − 1) / 2))))
115	114	a1d 22	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((1 /L 𝑁) · (𝑁 /L 1)) = (-1↑(0 · ((𝑁 − 1) / 2)))))
116		simprl 531	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℙ ∧ (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1)) → 𝑚 ∈ ℙ)
117		prmz 12685	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℙ → 𝑚 ∈ ℤ)
118	117	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℙ ∧ (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1)) → 𝑚 ∈ ℤ)
119	6	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℙ ∧ (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1)) → 2 ∈ ℤ)
120	4	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℙ ∧ (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1)) → 𝑁 ∈ ℕ)
121	120	nnzd 9601	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℙ ∧ (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1)) → 𝑁 ∈ ℤ)
122		zmulcl 9533	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
123	6, 121, 122	sylancr 414	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℙ ∧ (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1)) → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
124		simprr 533	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℙ ∧ (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1)) → (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1)
125		dvdsmul1 12376	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 2 ∥ (2 · 𝑁))
126	6, 121, 125	sylancr 414	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℙ ∧ (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1)) → 2 ∥ (2 · 𝑁))
127		rpdvds 12673	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑚 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℤ) ∧ ((𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1 ∧ 2 ∥ (2 · 𝑁))) → (𝑚 gcd 2) = 1)
128	118, 119, 123, 124, 126, 127	syl32anc 1281	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℙ ∧ (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1)) → (𝑚 gcd 2) = 1)
129		prmrp 12719	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑚 ∈ ℙ ∧ 2 ∈ ℙ) → ((𝑚 gcd 2) = 1 ↔ 𝑚 ≠ 2))
130	116, 10, 129	sylancl 413	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℙ ∧ (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1)) → ((𝑚 gcd 2) = 1 ↔ 𝑚 ≠ 2))
131	128, 130	mpbid 147	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℙ ∧ (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1)) → 𝑚 ≠ 2)
132		eldifsn 3800	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑚 ∈ ℙ ∧ 𝑚 ≠ 2))
133	116, 131, 132	sylanbrc 417	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℙ ∧ (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1)) → 𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}))
134		prmnn 12684	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ ℙ → 𝑚 ∈ ℕ)
135	134	ad2antrl 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℙ ∧ (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1)) → 𝑚 ∈ ℕ)
136	2	a1i 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℙ ∧ (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1)) → 2 ∈ ℕ)
137		rpmulgcd 12599	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 gcd 2) = 1) → (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = (𝑚 gcd 𝑁))
138	135, 136, 120, 128, 137	syl31anc 1276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℙ ∧ (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1)) → (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = (𝑚 gcd 𝑁))
139	138, 124	eqtr3d 2266	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℙ ∧ (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1)) → (𝑚 gcd 𝑁) = 1)
140	133, 139	jca 306	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℙ ∧ (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1)) → (𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑚 gcd 𝑁) = 1))
141		lgsquad2lem2.f	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑚 gcd 𝑁) = 1)) → ((𝑚 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑚)) = (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))
142	140, 141	syldan 282	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℙ ∧ (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1)) → ((𝑚 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑚)) = (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))
143	142	exp32 365	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ ℙ → ((𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑚 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑚)) = (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))
144	143	com12 30	. . . 4 ⊢ (𝑚 ∈ ℙ → (𝜑 → ((𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑚 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑚)) = (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))
145		jcab 607	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 → (((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ∧ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))) ↔ ((𝜑 → ((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))) ∧ (𝜑 → ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))))
146		simplrl 537	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘2))) ∧ (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 ∧ (((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ∧ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘2))
147		eluz2nn 9800	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑥 ∈ ℕ)
148	146, 147	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘2))) ∧ (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 ∧ (((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ∧ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))) → 𝑥 ∈ ℕ)
149		simplrr 538	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘2))) ∧ (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 ∧ (((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ∧ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))) → 𝑦 ∈ (ℤ≥‘2))
150		eluz2nn 9800	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑦 ∈ ℕ)
151	149, 150	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘2))) ∧ (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 ∧ (((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ∧ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))) → 𝑦 ∈ ℕ)
152	148, 151	nnmulcld 9192	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘2))) ∧ (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 ∧ (((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ∧ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℕ)
153		n2dvds1 12475	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ¬ 2 ∥ 1
154	93	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → 𝑁 ∈ ℤ)
155	6, 154, 125	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → 2 ∥ (2 · 𝑁))
156		eluzelz 9765	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑥 ∈ ℤ)
157		eluzelz 9765	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑦 ∈ ℤ)
158	156, 157	anim12i 338	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ))
159	158	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ))
160		zmulcl 9533	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ)
161	159, 160	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ)
162	6, 154, 122	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
163		dvdsgcd 12585	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℤ) → ((2 ∥ (𝑥 · 𝑦) ∧ 2 ∥ (2 · 𝑁)) → 2 ∥ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁))))
164	6, 161, 162, 163	mp3an2i 1378	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → ((2 ∥ (𝑥 · 𝑦) ∧ 2 ∥ (2 · 𝑁)) → 2 ∥ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁))))
165	155, 164	mpan2d 428	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → (2 ∥ (𝑥 · 𝑦) → 2 ∥ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁))))
166		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1)
167	166	breq2d 4100	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → (2 ∥ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) ↔ 2 ∥ 1))
168	165, 167	sylibd 149	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → (2 ∥ (𝑥 · 𝑦) → 2 ∥ 1))
169	153, 168	mtoi 670	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → ¬ 2 ∥ (𝑥 · 𝑦))
170	169	adantrr 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘2))) ∧ (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 ∧ (((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ∧ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))) → ¬ 2 ∥ (𝑥 · 𝑦))
171	4	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘2))) ∧ (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 ∧ (((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ∧ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))) → 𝑁 ∈ ℕ)
172		lgsquad2.4	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝑁)
173	172	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘2))) ∧ (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 ∧ (((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ∧ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))) → ¬ 2 ∥ 𝑁)
174		dvdsmul2 12377	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ (2 · 𝑁))
175	6, 154, 174	sylancr 414	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → 𝑁 ∥ (2 · 𝑁))
176		rpdvds 12673	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℤ) ∧ (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 ∧ 𝑁 ∥ (2 · 𝑁))) → ((𝑥 · 𝑦) gcd 𝑁) = 1)
177	161, 154, 162, 166, 175, 176	syl32anc 1281	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → ((𝑥 · 𝑦) gcd 𝑁) = 1)
178	177	adantrr 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘2))) ∧ (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 ∧ (((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ∧ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))) → ((𝑥 · 𝑦) gcd 𝑁) = 1)
179		eqidd 2232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘2))) ∧ (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 ∧ (((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ∧ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑥 · 𝑦))
180	159	simpld 112	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → 𝑥 ∈ ℤ)
181	180, 162	gcdcomd 12547	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → (𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = ((2 · 𝑁) gcd 𝑥))
182	162, 161	gcdcomd 12547	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → ((2 · 𝑁) gcd (𝑥 · 𝑦)) = ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)))
183	182, 166	eqtrd 2264	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → ((2 · 𝑁) gcd (𝑥 · 𝑦)) = 1)
184		dvdsmul1 12376	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝑥 ∥ (𝑥 · 𝑦))
185	159, 184	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → 𝑥 ∥ (𝑥 · 𝑦))
186		rpdvds 12673	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((2 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ) ∧ (((2 · 𝑁) gcd (𝑥 · 𝑦)) = 1 ∧ 𝑥 ∥ (𝑥 · 𝑦))) → ((2 · 𝑁) gcd 𝑥) = 1)
187	162, 180, 161, 183, 185, 186	syl32anc 1281	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → ((2 · 𝑁) gcd 𝑥) = 1)
188	181, 187	eqtrd 2264	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → (𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1)
189	188	adantrr 479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘2))) ∧ (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 ∧ (((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ∧ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))) → (𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1)
190		simprrl 541	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘2))) ∧ (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 ∧ (((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ∧ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))) → ((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))
191	189, 190	mpd 13	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘2))) ∧ (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 ∧ (((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ∧ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))) → ((𝑥 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))
192	159	simprd 114	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → 𝑦 ∈ ℤ)
193	192, 162	gcdcomd 12547	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → (𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = ((2 · 𝑁) gcd 𝑦))
194		dvdsmul2 12377	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝑦 ∥ (𝑥 · 𝑦))
195	159, 194	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → 𝑦 ∥ (𝑥 · 𝑦))
196		rpdvds 12673	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((2 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ) ∧ (((2 · 𝑁) gcd (𝑥 · 𝑦)) = 1 ∧ 𝑦 ∥ (𝑥 · 𝑦))) → ((2 · 𝑁) gcd 𝑦) = 1)
197	162, 192, 161, 183, 195, 196	syl32anc 1281	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → ((2 · 𝑁) gcd 𝑦) = 1)
198	193, 197	eqtrd 2264	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → (𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1)
199	198	adantrr 479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘2))) ∧ (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 ∧ (((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ∧ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))) → (𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1)
200		simprrr 542	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘2))) ∧ (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 ∧ (((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ∧ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))) → ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))
201	199, 200	mpd 13	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘2))) ∧ (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 ∧ (((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ∧ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))) → ((𝑦 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))
202	152, 170, 171, 173, 178, 148, 151, 179, 191, 201	lgsquad2lem1 15813	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘2))) ∧ (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 ∧ (((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ∧ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))) → (((𝑥 · 𝑦) /L 𝑁) · (𝑁 /L (𝑥 · 𝑦))) = (-1↑((((𝑥 · 𝑦) − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))
203	202	exp32 365	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘2))) → (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ∧ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))) → (((𝑥 · 𝑦) /L 𝑁) · (𝑁 /L (𝑥 · 𝑦))) = (-1↑((((𝑥 · 𝑦) − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))
204	203	com23 78	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘2))) → ((((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ∧ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))) → (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 → (((𝑥 · 𝑦) /L 𝑁) · (𝑁 /L (𝑥 · 𝑦))) = (-1↑((((𝑥 · 𝑦) − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))
205	204	expcom 116	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝜑 → ((((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ∧ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))) → (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 → (((𝑥 · 𝑦) /L 𝑁) · (𝑁 /L (𝑥 · 𝑦))) = (-1↑((((𝑥 · 𝑦) − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))))
206	205	a2d 26	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝜑 → (((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ∧ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))) → (𝜑 → (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 → (((𝑥 · 𝑦) /L 𝑁) · (𝑁 /L (𝑥 · 𝑦))) = (-1↑((((𝑥 · 𝑦) − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))))
207	145, 206	biimtrrid 153	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘2)) → (((𝜑 → ((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))) ∧ (𝜑 → ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))) → (𝜑 → (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 → (((𝑥 · 𝑦) /L 𝑁) · (𝑁 /L (𝑥 · 𝑦))) = (-1↑((((𝑥 · 𝑦) − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))))
208	34, 46, 58, 70, 82, 115, 144, 207	prmind 12695	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝜑 → ((𝑀 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑀 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑀)) = (-1↑(((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))
209	1, 208	mpcom 36	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑀 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑀)) = (-1↑(((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))
210	18, 209	mpd 13	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑀)) = (-1↑(((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1397   ∈ wcel 2202   ≠ wne 2402  ∀wral 2510   ∖ cdif 3197  {csn 3669   class class class wbr 4088  ‘cfv 5326  (class class class)co 6018  ℂcc 8030  0cc0 8032  1c1 8033   · cmul 8037   − cmin 8350  -cneg 8351   / cdiv 8852  ℕcn 9143  2c2 9194  ℕ₀cn0 9402  ℤcz 9479  ℤ_≥cuz 9755  ...cfz 10243  ↑cexp 10801   ∥ cdvds 12350   gcd cgcd 12526  ℙcprime 12681   /_L clgs 15729

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149  ax-pre-mulext 8150  ax-arch 8151  ax-caucvg 8152

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 838  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-xor 1420  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-isom 5335  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-irdg 6536  df-frec 6557  df-1o 6582  df-2o 6583  df-oadd 6586  df-er 6702  df-en 6910  df-dom 6911  df-fin 6912  df-sup 7183  df-inf 7184  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-ap 8762  df-div 8853  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-5 9205  df-6 9206  df-7 9207  df-8 9208  df-9 9209  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756  df-q 9854  df-rp 9889  df-fz 10244  df-fzo 10378  df-fl 10531  df-mod 10586  df-seqfrec 10711  df-exp 10802  df-ihash 11039  df-cj 11404  df-re 11405  df-im 11406  df-rsqrt 11560  df-abs 11561  df-clim 11841  df-proddc 12114  df-dvds 12351  df-gcd 12527  df-prm 12682  df-phi 12785  df-pc 12860  df-lgs 15730

This theorem is referenced by:  lgsquad2  15815