Theorem pcge0 12851

Description: The prime count of an integer is greater than or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pcge0	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 0 ≤ (𝑃 pCnt 𝑁))

Proof of Theorem pcge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0lepnf 9998	. . 3 ⊢ 0 ≤ +∞
2		oveq2 6015	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑃 pCnt 𝑁) = (𝑃 pCnt 0))
3		pc0 12842	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 pCnt 0) = +∞)
4	3	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑃 pCnt 0) = +∞)
5	2, 4	sylan9eqr 2284	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = 0) → (𝑃 pCnt 𝑁) = +∞)
6	1, 5	breqtrrid 4121	. 2 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = 0) → 0 ≤ (𝑃 pCnt 𝑁))
7		pczcl 12836	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0)
8	7	nn0ge0d 9436	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 0 ≤ (𝑃 pCnt 𝑁))
9	8	anassrs 400	. 2 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≠ 0) → 0 ≤ (𝑃 pCnt 𝑁))
10		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
11		0zd 9469	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 0 ∈ ℤ)
12		zdceq 9533	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID 𝑁 = 0)
13	10, 11, 12	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝑁 = 0)
14		dcne 2411	. . 3 ⊢ (DECID 𝑁 = 0 ↔ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ≠ 0))
15	13, 14	sylib 122	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ≠ 0))
16	6, 9, 15	mpjaodan 803	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 0 ≤ (𝑃 pCnt 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 713  DECID wdc 839   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ≠ wne 2400   class class class wbr 4083  (class class class)co 6007  0cc0 8010  +∞cpnf 8189   ≤ cle 8193  ℤcz 9457  ℙcprime 12644   pCnt cpc 12822

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-mulrcl 8109  ax-addcom 8110  ax-mulcom 8111  ax-addass 8112  ax-mulass 8113  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-1rid 8117  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-precex 8120  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-apti 8125  ax-pre-ltadd 8126  ax-pre-mulgt0 8127  ax-pre-mulext 8128  ax-arch 8129  ax-caucvg 8130

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-isom 5327  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-frec 6543  df-1o 6568  df-2o 6569  df-er 6688  df-en 6896  df-sup 7162  df-inf 7163  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-reap 8733  df-ap 8740  df-div 8831  df-inn 9122  df-2 9180  df-3 9181  df-4 9182  df-n0 9381  df-z 9458  df-uz 9734  df-q 9827  df-rp 9862  df-fz 10217  df-fzo 10351  df-fl 10502  df-mod 10557  df-seqfrec 10682  df-exp 10773  df-cj 11368  df-re 11369  df-im 11370  df-rsqrt 11524  df-abs 11525  df-dvds 12314  df-gcd 12490  df-prm 12645  df-pc 12823

This theorem is referenced by:  pcgcd1  12866  pcz  12870