Theorem wlkreslem 16232

Description: Lemma for wlkres 16233. (Contributed by AV, 5-Mar-2021.) (Revised by AV, 30-Nov-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
wlkres.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
wlkres.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
wlkres.d	⊢ (𝜑 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
wlkres.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
wlkres.s	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑆) = 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
wlkreslem	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)

Proof of Theorem wlkreslem

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wlkres.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
2		wlkres.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3	2	wlkvtxm 16194	. . 3 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑉)
4	1, 3	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑉)
5		wlkres.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑆) = 𝑉)
6	5	eleq2d 2301	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (Vtx‘𝑆) ↔ 𝑥 ∈ 𝑉))
7	6	biimpar 297	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 𝑥 ∈ (Vtx‘𝑆))
8		df-vtx 15868	. . . 4 ⊢ Vtx = (𝑔 ∈ V ↦ if(𝑔 ∈ (V × V), (1st ‘𝑔), (Base‘𝑔)))
9	8	mptrcl 5729	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (Vtx‘𝑆) → 𝑆 ∈ V)
10	7, 9	syl 14	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 𝑆 ∈ V)
11	4, 10	exlimddv 1947	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1397  ∃wex 1540   ∈ wcel 2202  Vcvv 2802  ifcif 3605   class class class wbr 4088   × cxp 4723  ‘cfv 5326  (class class class)co 6018  1^st c1st 6301  0cc0 8032  ..^cfzo 10377  ♯chash 11038  Basecbs 13084  Vtxcvtx 15866  iEdgciedg 15867  Walkscwlks 16171

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-ifp 986  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-frec 6557  df-1o 6582  df-er 6702  df-map 6819  df-en 6910  df-dom 6911  df-fin 6912  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-5 9205  df-6 9206  df-7 9207  df-8 9208  df-9 9209  df-n0 9403  df-z 9480  df-dec 9612  df-uz 9756  df-fz 10244  df-fzo 10378  df-ihash 11039  df-word 11115  df-ndx 13087  df-slot 13088  df-base 13090  df-edgf 15859  df-vtx 15868  df-iedg 15869  df-wlks 16172

This theorem is referenced by:  wlkres  16233