Theorem wlkreslem 16790

Description: Lemma for wlkres 16791. (Contributed by AV, 5-Mar-2021.) (Revised by AV, 30-Nov-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
wlkres.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
wlkres.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
wlkres.d	⊢ (𝜑 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
wlkres.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
wlkres.s	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑆) = 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
wlkreslem	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)

Proof of Theorem wlkreslem

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wlkres.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
2		wlkres.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3	2	wlkvtxm 16752	. . 3 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑉)
4	1, 3	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑉)
5		wlkres.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑆) = 𝑉)
6	5	eleq2d 2308	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (Vtx‘𝑆) ↔ 𝑥 ∈ 𝑉))
7	6	biimpar 297	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 𝑥 ∈ (Vtx‘𝑆))
8		df-vtx 16426	. . . 4 ⊢ Vtx = (𝑔 ∈ V ↦ if(𝑔 ∈ (V × V), (1st ‘𝑔), (Base‘𝑔)))
9	8	mptrcl 5788	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (Vtx‘𝑆) → 𝑆 ∈ V)
10	7, 9	syl 14	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 𝑆 ∈ V)
11	4, 10	exlimddv 1954	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402  ∃wex 1545   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821  ifcif 3638   class class class wbr 4130   × cxp 4772  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  1^st c1st 6372  0cc0 8180  ..^cfzo 10560  ♯chash 11230  Basecbs 13404  Vtxcvtx 16424  iEdgciedg 16425  Walkscwlks 16729

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-addcom 8280  ax-mulcom 8281  ax-addass 8282  ax-mulass 8283  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-1rid 8287  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-apti 8295  ax-pre-ltadd 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-ifp 991  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-1o 6687  df-er 6807  df-map 6924  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-inn 9308  df-2 9366  df-3 9367  df-4 9368  df-5 9369  df-6 9370  df-7 9371  df-8 9372  df-9 9373  df-n0 9569  df-z 9650  df-dec 9783  df-uz 9932  df-fz 10423  df-fzo 10561  df-ihash 11231  df-word 11321  df-ndx 13407  df-slot 13408  df-base 13410  df-edgf 16417  df-vtx 16426  df-iedg 16427  df-wlks 16730

This theorem is used by:  wlkres  16791