Theorem wlkvtxm 16384

Description: A graph with a walk has at least one vertex. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Feb-2026.)

Hypothesis

Ref	Expression
wlkvtxm.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
wlkvtxm	⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑉)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑉   𝑥,𝑃

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem wlkvtxm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2234	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2	1	wlkp 16378	. . . 4 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))
3		wlkcl 16376	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
4		elnn0uz 9898	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ↔ (♯‘𝐹) ∈ (ℤ≥‘0))
5	3, 4	sylib 122	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ (ℤ≥‘0))
6		eluzfz1 10371	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ (ℤ≥‘0) → 0 ∈ (0...(♯‘𝐹)))
7	5, 6	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 0 ∈ (0...(♯‘𝐹)))
8	2, 7	ffvelcdmd 5815	. . 3 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺))
9		wlkvtxm.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
10	8, 9	eleqtrrdi 2328	. 2 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝑃‘0) ∈ 𝑉)
11		elex2 2832	. 2 ⊢ ((𝑃‘0) ∈ 𝑉 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑉)
12	10, 11	syl 14	1 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398  ∃wex 1541   ∈ wcel 2205   class class class wbr 4111  ‘cfv 5354  (class class class)co 6052  0cc0 8132  ℕ₀cn0 9501  ℤ_≥cuz 9859  ...cfz 10348  ♯chash 11146  Vtxcvtx 16056  Walkscwlks 16361

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712  ax-cnex 8223  ax-resscn 8224  ax-1cn 8225  ax-1re 8226  ax-icn 8227  ax-addcl 8228  ax-addrcl 8229  ax-mulcl 8230  ax-addcom 8232  ax-mulcom 8233  ax-addass 8234  ax-mulass 8235  ax-distr 8236  ax-i2m1 8237  ax-0lt1 8238  ax-1rid 8239  ax-0id 8240  ax-rnegex 8241  ax-cnre 8243  ax-pre-ltirr 8244  ax-pre-ltwlin 8245  ax-pre-lttrn 8246  ax-pre-apti 8247  ax-pre-ltadd 8248

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-ifp 987  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-if 3623  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-id 4416  df-iord 4489  df-on 4491  df-ilim 4492  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-recs 6538  df-frec 6624  df-1o 6649  df-er 6769  df-map 6886  df-en 6978  df-dom 6979  df-fin 6980  df-pnf 8315  df-mnf 8316  df-xr 8317  df-ltxr 8318  df-le 8319  df-sub 8451  df-neg 8452  df-inn 9243  df-2 9301  df-3 9302  df-4 9303  df-5 9304  df-6 9305  df-7 9306  df-8 9307  df-9 9308  df-n0 9502  df-z 9583  df-dec 9716  df-uz 9860  df-fz 10349  df-fzo 10484  df-ihash 11147  df-word 11233  df-ndx 13236  df-slot 13237  df-base 13239  df-edgf 16049  df-vtx 16058  df-iedg 16059  df-wlks 16362

This theorem is referenced by:  wlkreslem  16422