Theorem wlkvtxm 16112

Description: A graph with a walk has at least one vertex. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Feb-2026.)

Hypothesis

Ref	Expression
wlkvtxm.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
wlkvtxm	⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑉)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑉   𝑥,𝑃

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem wlkvtxm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2229	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2	1	wlkp 16106	. . . 4 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))
3		wlkcl 16104	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
4		elnn0uz 9777	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ↔ (♯‘𝐹) ∈ (ℤ≥‘0))
5	3, 4	sylib 122	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ (ℤ≥‘0))
6		eluzfz1 10244	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ (ℤ≥‘0) → 0 ∈ (0...(♯‘𝐹)))
7	5, 6	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 0 ∈ (0...(♯‘𝐹)))
8	2, 7	ffvelcdmd 5776	. . 3 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺))
9		wlkvtxm.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
10	8, 9	eleqtrrdi 2323	. 2 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝑃‘0) ∈ 𝑉)
11		elex2 2816	. 2 ⊢ ((𝑃‘0) ∈ 𝑉 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑉)
12	10, 11	syl 14	1 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395  ∃wex 1538   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4083  ‘cfv 5321  (class class class)co 6010  0cc0 8015  ℕ₀cn0 9385  ℤ_≥cuz 9738  ...cfz 10221  ♯chash 11014  Vtxcvtx 15834  Walkscwlks 16089

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-iinf 4681  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-addcom 8115  ax-mulcom 8116  ax-addass 8117  ax-mulass 8118  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-0lt1 8121  ax-1rid 8122  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-cnre 8126  ax-pre-ltirr 8127  ax-pre-ltwlin 8128  ax-pre-lttrn 8129  ax-pre-apti 8130  ax-pre-ltadd 8131

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-ifp 984  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4385  df-iord 4458  df-on 4460  df-ilim 4461  df-suc 4463  df-iom 4684  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-f1 5326  df-fo 5327  df-f1o 5328  df-fv 5329  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-1st 6295  df-2nd 6296  df-recs 6462  df-frec 6548  df-1o 6573  df-er 6693  df-map 6810  df-en 6901  df-dom 6902  df-fin 6903  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-xr 8201  df-ltxr 8202  df-le 8203  df-sub 8335  df-neg 8336  df-inn 9127  df-2 9185  df-3 9186  df-4 9187  df-5 9188  df-6 9189  df-7 9190  df-8 9191  df-9 9192  df-n0 9386  df-z 9463  df-dec 9595  df-uz 9739  df-fz 10222  df-fzo 10356  df-ihash 11015  df-word 11090  df-ndx 13056  df-slot 13057  df-base 13059  df-edgf 15827  df-vtx 15836  df-iedg 15837  df-wlks 16090

This theorem is referenced by:  wlkreslem  16148