Theorem zringnzr 14525

Description: The ring of integers is a nonzero ring. (Contributed by AV, 18-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
zringnzr	⊢ ℤring ∈ NzRing

Proof of Theorem zringnzr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zringring 14516	. 2 ⊢ ℤring ∈ Ring
2		1ne0 9141	. 2 ⊢ 1 ≠ 0
3		zring1 14524	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘ℤring)
4		zring0 14523	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘ℤring)
5	3, 4	isnzr 14104	. 2 ⊢ (ℤring ∈ NzRing ↔ (ℤring ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0))
6	1, 2, 5	mpbir2an 945	1 ⊢ ℤring ∈ NzRing

Syntax hints:   ∈ wcel 2178   ≠ wne 2378  0cc0 7962  1c1 7963  Ringcrg 13919  NzRingcnzr 14102  ℤ_ringczring 14513

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4176  ax-sep 4179  ax-pow 4235  ax-pr 4270  ax-un 4499  ax-setind 4604  ax-cnex 8053  ax-resscn 8054  ax-1cn 8055  ax-1re 8056  ax-icn 8057  ax-addcl 8058  ax-addrcl 8059  ax-mulcl 8060  ax-mulrcl 8061  ax-addcom 8062  ax-mulcom 8063  ax-addass 8064  ax-mulass 8065  ax-distr 8066  ax-i2m1 8067  ax-0lt1 8068  ax-1rid 8069  ax-0id 8070  ax-rnegex 8071  ax-precex 8072  ax-cnre 8073  ax-pre-ltirr 8074  ax-pre-ltwlin 8075  ax-pre-lttrn 8076  ax-pre-apti 8077  ax-pre-ltadd 8078  ax-pre-mulgt0 8079  ax-addf 8084  ax-mulf 8085

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2779  df-sbc 3007  df-csb 3103  df-dif 3177  df-un 3179  df-in 3181  df-ss 3188  df-nul 3470  df-pw 3629  df-sn 3650  df-pr 3651  df-tp 3652  df-op 3653  df-uni 3866  df-int 3901  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4123  df-mpt 4124  df-id 4359  df-xp 4700  df-rel 4701  df-cnv 4702  df-co 4703  df-dm 4704  df-rn 4705  df-res 4706  df-ima 4707  df-iota 5252  df-fun 5293  df-fn 5294  df-f 5295  df-f1 5296  df-fo 5297  df-f1o 5298  df-fv 5299  df-riota 5924  df-ov 5972  df-oprab 5973  df-mpo 5974  df-1st 6251  df-2nd 6252  df-pnf 8146  df-mnf 8147  df-xr 8148  df-ltxr 8149  df-le 8150  df-sub 8282  df-neg 8283  df-reap 8685  df-inn 9074  df-2 9132  df-3 9133  df-4 9134  df-5 9135  df-6 9136  df-7 9137  df-8 9138  df-9 9139  df-n0 9333  df-z 9410  df-dec 9542  df-uz 9686  df-rp 9813  df-fz 10168  df-cj 11314  df-abs 11471  df-struct 12995  df-ndx 12996  df-slot 12997  df-base 12999  df-sets 13000  df-iress 13001  df-plusg 13083  df-mulr 13084  df-starv 13085  df-tset 13089  df-ple 13090  df-ds 13092  df-unif 13093  df-0g 13251  df-topgen 13253  df-mgm 13349  df-sgrp 13395  df-mnd 13410  df-grp 13496  df-minusg 13497  df-subg 13667  df-cmn 13783  df-mgp 13844  df-ur 13883  df-ring 13921  df-cring 13922  df-nzr 14103  df-subrg 14142  df-bl 14469  df-mopn 14470  df-fg 14472  df-metu 14473  df-cnfld 14480  df-zring 14514

This theorem is referenced by: (None)