Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  subfacval3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subfacval3 35174
Description: Another closed form expression for the subfactorial. The expression ⌊‘(𝑥 + 1 / 2) is a way of saying "rounded to the nearest integer". (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
derang.d 𝐷 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑥1-1-onto𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}))
subfac.n 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐷‘(1...𝑛)))
Assertion
Ref Expression
subfacval3 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑆𝑁) = (⌊‘(((!‘𝑁) / e) + (1 / 2))))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑛,𝑥,𝑦,𝑁   𝐷,𝑛   𝑆,𝑛,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦,𝑓)   𝑆(𝑓)

Proof of Theorem subfacval3
StepHypRef Expression
1 nnnn0 12531 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
2 derang.d . . . . . . . . 9 𝐷 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑥1-1-onto𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}))
3 subfac.n . . . . . . . . 9 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐷‘(1...𝑛)))
42, 3subfacf 35160 . . . . . . . 8 𝑆:ℕ0⟶ℕ0
54ffvelcdmi 7103 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑆𝑁) ∈ ℕ0)
61, 5syl 17 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑆𝑁) ∈ ℕ0)
76nn0zd 12637 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑆𝑁) ∈ ℤ)
87zred 12720 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑆𝑁) ∈ ℝ)
9 faccl 14319 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
101, 9syl 17 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
1110nnred 12279 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℝ)
12 epr 16241 . . . . . 6 e ∈ ℝ+
13 rerpdivcl 13063 . . . . . 6 (((!‘𝑁) ∈ ℝ ∧ e ∈ ℝ+) → ((!‘𝑁) / e) ∈ ℝ)
1411, 12, 13sylancl 586 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘𝑁) / e) ∈ ℝ)
15 halfre 12478 . . . . 5 (1 / 2) ∈ ℝ
16 readdcl 11236 . . . . 5 ((((!‘𝑁) / e) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (((!‘𝑁) / e) + (1 / 2)) ∈ ℝ)
1714, 15, 16sylancl 586 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (((!‘𝑁) / e) + (1 / 2)) ∈ ℝ)
18 elnn1uz2 12965 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)))
19 fveq2 6907 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 = 1 → (!‘𝑁) = (!‘1))
20 fac1 14313 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (!‘1) = 1
2119, 20eqtrdi 2791 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 = 1 → (!‘𝑁) = 1)
2221oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 = 1 → ((!‘𝑁) / e) = (1 / e))
23 fveq2 6907 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 = 1 → (𝑆𝑁) = (𝑆‘1))
242, 3subfac1 35163 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑆‘1) = 0
2523, 24eqtrdi 2791 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 = 1 → (𝑆𝑁) = 0)
2622, 25oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 = 1 → (((!‘𝑁) / e) − (𝑆𝑁)) = ((1 / e) − 0))
27 rpreccl 13059 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (e ∈ ℝ+ → (1 / e) ∈ ℝ+)
2812, 27ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 / e) ∈ ℝ+
29 rpre 13041 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 / e) ∈ ℝ+ → (1 / e) ∈ ℝ)
3028, 29ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 / e) ∈ ℝ
3130recni 11273 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 / e) ∈ ℂ
3231subid1i 11579 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 / e) − 0) = (1 / e)
3326, 32eqtrdi 2791 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 = 1 → (((!‘𝑁) / e) − (𝑆𝑁)) = (1 / e))
3433fveq2d 6911 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 = 1 → (abs‘(((!‘𝑁) / e) − (𝑆𝑁))) = (abs‘(1 / e)))
35 rpge0 13046 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 / e) ∈ ℝ+ → 0 ≤ (1 / e))
3628, 35ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 0 ≤ (1 / e)
37 absid 15332 . . . . . . . . . . . 12 (((1 / e) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / e)) → (abs‘(1 / e)) = (1 / e))
3830, 36, 37mp2an 692 . . . . . . . . . . 11 (abs‘(1 / e)) = (1 / e)
3934, 38eqtrdi 2791 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = 1 → (abs‘(((!‘𝑁) / e) − (𝑆𝑁))) = (1 / e))
40 egt2lt3 16239 . . . . . . . . . . . 12 (2 < e ∧ e < 3)
4140simpli 483 . . . . . . . . . . 11 2 < e
42 2re 12338 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ
43 ere 16122 . . . . . . . . . . . 12 e ∈ ℝ
44 2pos 12367 . . . . . . . . . . . 12 0 < 2
45 epos 16240 . . . . . . . . . . . 12 0 < e
4642, 43, 44, 45ltrecii 12182 . . . . . . . . . . 11 (2 < e ↔ (1 / e) < (1 / 2))
4741, 46mpbi 230 . . . . . . . . . 10 (1 / e) < (1 / 2)
4839, 47eqbrtrdi 5187 . . . . . . . . 9 (𝑁 = 1 → (abs‘(((!‘𝑁) / e) − (𝑆𝑁))) < (1 / 2))
49 eluz2nn 12922 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
5014, 8resubcld 11689 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → (((!‘𝑁) / e) − (𝑆𝑁)) ∈ ℝ)
5150recnd 11287 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (((!‘𝑁) / e) − (𝑆𝑁)) ∈ ℂ)
5249, 51syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (((!‘𝑁) / e) − (𝑆𝑁)) ∈ ℂ)
5352abscld 15472 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (abs‘(((!‘𝑁) / e) − (𝑆𝑁))) ∈ ℝ)
5449nnrecred 12315 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
5515a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (1 / 2) ∈ ℝ)
562, 3subfaclim 35173 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (abs‘(((!‘𝑁) / e) − (𝑆𝑁))) < (1 / 𝑁))
5749, 56syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (abs‘(((!‘𝑁) / e) − (𝑆𝑁))) < (1 / 𝑁))
58 eluzle 12889 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 2 ≤ 𝑁)
59 nnre 12271 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
60 nngt0 12295 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
61 lerec 12149 . . . . . . . . . . . . . 14 (((2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → (2 ≤ 𝑁 ↔ (1 / 𝑁) ≤ (1 / 2)))
6242, 44, 61mpanl12 702 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁) → (2 ≤ 𝑁 ↔ (1 / 𝑁) ≤ (1 / 2)))
6359, 60, 62syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (2 ≤ 𝑁 ↔ (1 / 𝑁) ≤ (1 / 2)))
6449, 63syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2 ≤ 𝑁 ↔ (1 / 𝑁) ≤ (1 / 2)))
6558, 64mpbid 232 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (1 / 𝑁) ≤ (1 / 2))
6653, 54, 55, 57, 65ltletrd 11419 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (abs‘(((!‘𝑁) / e) − (𝑆𝑁))) < (1 / 2))
6748, 66jaoi 857 . . . . . . . 8 ((𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (abs‘(((!‘𝑁) / e) − (𝑆𝑁))) < (1 / 2))
6818, 67sylbi 217 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (abs‘(((!‘𝑁) / e) − (𝑆𝑁))) < (1 / 2))
6915a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 2) ∈ ℝ)
7014, 8, 69absdifltd 15469 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((abs‘(((!‘𝑁) / e) − (𝑆𝑁))) < (1 / 2) ↔ (((𝑆𝑁) − (1 / 2)) < ((!‘𝑁) / e) ∧ ((!‘𝑁) / e) < ((𝑆𝑁) + (1 / 2)))))
7168, 70mpbid 232 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑆𝑁) − (1 / 2)) < ((!‘𝑁) / e) ∧ ((!‘𝑁) / e) < ((𝑆𝑁) + (1 / 2))))
7271simpld 494 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑆𝑁) − (1 / 2)) < ((!‘𝑁) / e))
738, 69, 14ltsubaddd 11857 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑆𝑁) − (1 / 2)) < ((!‘𝑁) / e) ↔ (𝑆𝑁) < (((!‘𝑁) / e) + (1 / 2))))
7472, 73mpbid 232 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑆𝑁) < (((!‘𝑁) / e) + (1 / 2)))
758, 17, 74ltled 11407 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑆𝑁) ≤ (((!‘𝑁) / e) + (1 / 2)))
76 readdcl 11236 . . . . . 6 (((𝑆𝑁) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → ((𝑆𝑁) + (1 / 2)) ∈ ℝ)
778, 15, 76sylancl 586 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑆𝑁) + (1 / 2)) ∈ ℝ)
7871simprd 495 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘𝑁) / e) < ((𝑆𝑁) + (1 / 2)))
7914, 77, 69, 78ltadd1dd 11872 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (((!‘𝑁) / e) + (1 / 2)) < (((𝑆𝑁) + (1 / 2)) + (1 / 2)))
808recnd 11287 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑆𝑁) ∈ ℂ)
8169recnd 11287 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 2) ∈ ℂ)
8280, 81, 81addassd 11281 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑆𝑁) + (1 / 2)) + (1 / 2)) = ((𝑆𝑁) + ((1 / 2) + (1 / 2))))
83 ax-1cn 11211 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
84 2halves 12492 . . . . . . 7 (1 ∈ ℂ → ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1)
8583, 84ax-mp 5 . . . . . 6 ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1
8685oveq2i 7442 . . . . 5 ((𝑆𝑁) + ((1 / 2) + (1 / 2))) = ((𝑆𝑁) + 1)
8782, 86eqtrdi 2791 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑆𝑁) + (1 / 2)) + (1 / 2)) = ((𝑆𝑁) + 1))
8879, 87breqtrd 5174 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (((!‘𝑁) / e) + (1 / 2)) < ((𝑆𝑁) + 1))
89 flbi 13853 . . . 4 (((((!‘𝑁) / e) + (1 / 2)) ∈ ℝ ∧ (𝑆𝑁) ∈ ℤ) → ((⌊‘(((!‘𝑁) / e) + (1 / 2))) = (𝑆𝑁) ↔ ((𝑆𝑁) ≤ (((!‘𝑁) / e) + (1 / 2)) ∧ (((!‘𝑁) / e) + (1 / 2)) < ((𝑆𝑁) + 1))))
9017, 7, 89syl2anc 584 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ((⌊‘(((!‘𝑁) / e) + (1 / 2))) = (𝑆𝑁) ↔ ((𝑆𝑁) ≤ (((!‘𝑁) / e) + (1 / 2)) ∧ (((!‘𝑁) / e) + (1 / 2)) < ((𝑆𝑁) + 1))))
9175, 88, 90mpbir2and 713 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (⌊‘(((!‘𝑁) / e) + (1 / 2))) = (𝑆𝑁))
9291eqcomd 2741 1 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑆𝑁) = (⌊‘(((!‘𝑁) / e) + (1 / 2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847   = wceq 1537  wcel 2106  {cab 2712  wne 2938  wral 3059   class class class wbr 5148  cmpt 5231  1-1-ontowf1o 6562  cfv 6563  (class class class)co 7431  Fincfn 8984  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   < clt 11293  cle 11294  cmin 11490   / cdiv 11918  cn 12264  2c2 12319  3c3 12320  0cn0 12524  cz 12611  cuz 12876  +crp 13032  ...cfz 13544  cfl 13827  !cfa 14309  chash 14366  abscabs 15270  eceu 16095
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-ico 13390  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14310  df-bc 14339  df-hash 14367  df-shft 15103  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-limsup 15504  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-ef 16100  df-e 16101
This theorem is referenced by:  derangfmla  35175
  Copyright terms: Public domain W3C validator