Theorem subfacval3 33051

Description: Another closed form expression for the subfactorial. The expression ⌊‘(𝑥 + 1 / 2) is a way of saying "rounded to the nearest integer". (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
derang.d	⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑥–1-1-onto→𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)}))
subfac.n	⊢ 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐷‘(1...𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
subfacval3	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑆‘𝑁) = (⌊‘(((!‘𝑁) / e) + (1 / 2))))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑛,𝑥,𝑦,𝑁   𝐷,𝑛   𝑆,𝑛,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦,𝑓)   𝑆(𝑓)

Proof of Theorem subfacval3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnn0 12170	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		derang.d	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑥–1-1-onto→𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)}))
3		subfac.n	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐷‘(1...𝑛)))
4	2, 3	subfacf 33037	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆:ℕ0⟶ℕ0
5	4	ffvelrni 6942	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑆‘𝑁) ∈ ℕ0)
6	1, 5	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑆‘𝑁) ∈ ℕ0)
7	6	nn0zd 12353	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑆‘𝑁) ∈ ℤ)
8	7	zred 12355	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑆‘𝑁) ∈ ℝ)
9		faccl 13925	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
10	1, 9	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
11	10	nnred 11918	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℝ)
12		epr 15845	. . . . . 6 ⊢ e ∈ ℝ+
13		rerpdivcl 12689	. . . . . 6 ⊢ (((!‘𝑁) ∈ ℝ ∧ e ∈ ℝ+) → ((!‘𝑁) / e) ∈ ℝ)
14	11, 12, 13	sylancl 585	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘𝑁) / e) ∈ ℝ)
15		halfre 12117	. . . . 5 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
16		readdcl 10885	. . . . 5 ⊢ ((((!‘𝑁) / e) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (((!‘𝑁) / e) + (1 / 2)) ∈ ℝ)
17	14, 15, 16	sylancl 585	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((!‘𝑁) / e) + (1 / 2)) ∈ ℝ)
18		elnn1uz2 12594	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)))
19		fveq2 6756	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 = 1 → (!‘𝑁) = (!‘1))
20		fac1 13919	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (!‘1) = 1
21	19, 20	eqtrdi 2795	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 = 1 → (!‘𝑁) = 1)
22	21	oveq1d 7270	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 = 1 → ((!‘𝑁) / e) = (1 / e))
23		fveq2 6756	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑆‘𝑁) = (𝑆‘1))
24	2, 3	subfac1 33040	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑆‘1) = 0
25	23, 24	eqtrdi 2795	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑆‘𝑁) = 0)
26	22, 25	oveq12d 7273	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 = 1 → (((!‘𝑁) / e) − (𝑆‘𝑁)) = ((1 / e) − 0))
27		rpreccl 12685	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (e ∈ ℝ+ → (1 / e) ∈ ℝ+)
28	12, 27	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 / e) ∈ ℝ+
29		rpre 12667	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((1 / e) ∈ ℝ+ → (1 / e) ∈ ℝ)
30	28, 29	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 / e) ∈ ℝ
31	30	recni 10920	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 / e) ∈ ℂ
32	31	subid1i 11223	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 / e) − 0) = (1 / e)
33	26, 32	eqtrdi 2795	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 = 1 → (((!‘𝑁) / e) − (𝑆‘𝑁)) = (1 / e))
34	33	fveq2d 6760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 = 1 → (abs‘(((!‘𝑁) / e) − (𝑆‘𝑁))) = (abs‘(1 / e)))
35		rpge0 12672	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 / e) ∈ ℝ+ → 0 ≤ (1 / e))
36	28, 35	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ≤ (1 / e)
37		absid 14936	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((1 / e) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / e)) → (abs‘(1 / e)) = (1 / e))
38	30, 36, 37	mp2an 688	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (abs‘(1 / e)) = (1 / e)
39	34, 38	eqtrdi 2795	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = 1 → (abs‘(((!‘𝑁) / e) − (𝑆‘𝑁))) = (1 / e))
40		egt2lt3 15843	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 < e ∧ e < 3)
41	40	simpli 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 < e
42		2re 11977	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ
43		ere 15726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ e ∈ ℝ
44		2pos 12006	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < 2
45		epos 15844	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < e
46	42, 43, 44, 45	ltrecii 11821	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 < e ↔ (1 / e) < (1 / 2))
47	41, 46	mpbi 229	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 / e) < (1 / 2)
48	39, 47	eqbrtrdi 5109	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = 1 → (abs‘(((!‘𝑁) / e) − (𝑆‘𝑁))) < (1 / 2))
49		eluz2nn 12553	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
50	14, 8	resubcld 11333	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((!‘𝑁) / e) − (𝑆‘𝑁)) ∈ ℝ)
51	50	recnd 10934	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((!‘𝑁) / e) − (𝑆‘𝑁)) ∈ ℂ)
52	49, 51	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (((!‘𝑁) / e) − (𝑆‘𝑁)) ∈ ℂ)
53	52	abscld 15076	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (abs‘(((!‘𝑁) / e) − (𝑆‘𝑁))) ∈ ℝ)
54	49	nnrecred 11954	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
55	15	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (1 / 2) ∈ ℝ)
56	2, 3	subfaclim 33050	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (abs‘(((!‘𝑁) / e) − (𝑆‘𝑁))) < (1 / 𝑁))
57	49, 56	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (abs‘(((!‘𝑁) / e) − (𝑆‘𝑁))) < (1 / 𝑁))
58		eluzle 12524	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ≤ 𝑁)
59		nnre 11910	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
60		nngt0 11934	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
61		lerec 11788	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → (2 ≤ 𝑁 ↔ (1 / 𝑁) ≤ (1 / 2)))
62	42, 44, 61	mpanl12 698	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁) → (2 ≤ 𝑁 ↔ (1 / 𝑁) ≤ (1 / 2)))
63	59, 60, 62	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 ≤ 𝑁 ↔ (1 / 𝑁) ≤ (1 / 2)))
64	49, 63	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 ≤ 𝑁 ↔ (1 / 𝑁) ≤ (1 / 2)))
65	58, 64	mpbid 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (1 / 𝑁) ≤ (1 / 2))
66	53, 54, 55, 57, 65	ltletrd 11065	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (abs‘(((!‘𝑁) / e) − (𝑆‘𝑁))) < (1 / 2))
67	48, 66	jaoi 853	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (abs‘(((!‘𝑁) / e) − (𝑆‘𝑁))) < (1 / 2))
68	18, 67	sylbi 216	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (abs‘(((!‘𝑁) / e) − (𝑆‘𝑁))) < (1 / 2))
69	15	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 2) ∈ ℝ)
70	14, 8, 69	absdifltd 15073	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((abs‘(((!‘𝑁) / e) − (𝑆‘𝑁))) < (1 / 2) ↔ (((𝑆‘𝑁) − (1 / 2)) < ((!‘𝑁) / e) ∧ ((!‘𝑁) / e) < ((𝑆‘𝑁) + (1 / 2)))))
71	68, 70	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑆‘𝑁) − (1 / 2)) < ((!‘𝑁) / e) ∧ ((!‘𝑁) / e) < ((𝑆‘𝑁) + (1 / 2))))
72	71	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑆‘𝑁) − (1 / 2)) < ((!‘𝑁) / e))
73	8, 69, 14	ltsubaddd 11501	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑆‘𝑁) − (1 / 2)) < ((!‘𝑁) / e) ↔ (𝑆‘𝑁) < (((!‘𝑁) / e) + (1 / 2))))
74	72, 73	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑆‘𝑁) < (((!‘𝑁) / e) + (1 / 2)))
75	8, 17, 74	ltled 11053	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑆‘𝑁) ≤ (((!‘𝑁) / e) + (1 / 2)))
76		readdcl 10885	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆‘𝑁) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → ((𝑆‘𝑁) + (1 / 2)) ∈ ℝ)
77	8, 15, 76	sylancl 585	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑆‘𝑁) + (1 / 2)) ∈ ℝ)
78	71	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘𝑁) / e) < ((𝑆‘𝑁) + (1 / 2)))
79	14, 77, 69, 78	ltadd1dd 11516	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((!‘𝑁) / e) + (1 / 2)) < (((𝑆‘𝑁) + (1 / 2)) + (1 / 2)))
80	8	recnd 10934	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑆‘𝑁) ∈ ℂ)
81	69	recnd 10934	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 2) ∈ ℂ)
82	80, 81, 81	addassd 10928	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑆‘𝑁) + (1 / 2)) + (1 / 2)) = ((𝑆‘𝑁) + ((1 / 2) + (1 / 2))))
83		ax-1cn 10860	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
84		2halves 12131	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℂ → ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1)
85	83, 84	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1
86	85	oveq2i 7266	. . . . 5 ⊢ ((𝑆‘𝑁) + ((1 / 2) + (1 / 2))) = ((𝑆‘𝑁) + 1)
87	82, 86	eqtrdi 2795	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑆‘𝑁) + (1 / 2)) + (1 / 2)) = ((𝑆‘𝑁) + 1))
88	79, 87	breqtrd 5096	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((!‘𝑁) / e) + (1 / 2)) < ((𝑆‘𝑁) + 1))
89		flbi 13464	. . . 4 ⊢ (((((!‘𝑁) / e) + (1 / 2)) ∈ ℝ ∧ (𝑆‘𝑁) ∈ ℤ) → ((⌊‘(((!‘𝑁) / e) + (1 / 2))) = (𝑆‘𝑁) ↔ ((𝑆‘𝑁) ≤ (((!‘𝑁) / e) + (1 / 2)) ∧ (((!‘𝑁) / e) + (1 / 2)) < ((𝑆‘𝑁) + 1))))
90	17, 7, 89	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((⌊‘(((!‘𝑁) / e) + (1 / 2))) = (𝑆‘𝑁) ↔ ((𝑆‘𝑁) ≤ (((!‘𝑁) / e) + (1 / 2)) ∧ (((!‘𝑁) / e) + (1 / 2)) < ((𝑆‘𝑁) + 1))))
91	75, 88, 90	mpbir2and 709	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (⌊‘(((!‘𝑁) / e) + (1 / 2))) = (𝑆‘𝑁))
92	91	eqcomd 2744	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑆‘𝑁) = (⌊‘(((!‘𝑁) / e) + (1 / 2))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 843   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  {cab 2715   ≠ wne 2942  ∀wral 3063   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153  –1-1-onto→wf1o 6417  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Fincfn 8691  ℂcc 10800  ℝcr 10801  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805   < clt 10940   ≤ cle 10941   − cmin 11135   / cdiv 11562  ℕcn 11903  2c2 11958  3c3 11959  ℕ₀cn0 12163  ℤcz 12249  ℤ_≥cuz 12511  ℝ⁺crp 12659  ...cfz 13168  ⌊cfl 13438  !cfa 13915  ♯chash 13972  abscabs 14873  eceu 15700

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-oadd 8271  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-dju 9590  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-n0 12164  df-xnn0 12236  df-z 12250  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-ico 13014  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-seq 13650  df-exp 13711  df-fac 13916  df-bc 13945  df-hash 13973  df-shft 14706  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-limsup 15108  df-clim 15125  df-rlim 15126  df-sum 15326  df-ef 15705  df-e 15706

This theorem is referenced by:  derangfmla  33052