Theorem subfacval3 35231

Description: Another closed form expression for the subfactorial. The expression ⌊‘(𝑥 + 1 / 2) is a way of saying "rounded to the nearest integer". (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
derang.d	⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑥–1-1-onto→𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)}))
subfac.n	⊢ 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐷‘(1...𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
subfacval3	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑆‘𝑁) = (⌊‘(((!‘𝑁) / e) + (1 / 2))))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑛,𝑥,𝑦,𝑁   𝐷,𝑛   𝑆,𝑛,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦,𝑓)   𝑆(𝑓)

Proof of Theorem subfacval3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnn0 12388	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		derang.d	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑥–1-1-onto→𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)}))
3		subfac.n	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐷‘(1...𝑛)))
4	2, 3	subfacf 35217	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆:ℕ0⟶ℕ0
5	4	ffvelcdmi 7016	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑆‘𝑁) ∈ ℕ0)
6	1, 5	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑆‘𝑁) ∈ ℕ0)
7	6	nn0zd 12494	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑆‘𝑁) ∈ ℤ)
8	7	zred 12577	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑆‘𝑁) ∈ ℝ)
9		faccl 14190	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
10	1, 9	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
11	10	nnred 12140	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℝ)
12		epr 16117	. . . . . 6 ⊢ e ∈ ℝ+
13		rerpdivcl 12922	. . . . . 6 ⊢ (((!‘𝑁) ∈ ℝ ∧ e ∈ ℝ+) → ((!‘𝑁) / e) ∈ ℝ)
14	11, 12, 13	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘𝑁) / e) ∈ ℝ)
15		halfre 12334	. . . . 5 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
16		readdcl 11089	. . . . 5 ⊢ ((((!‘𝑁) / e) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (((!‘𝑁) / e) + (1 / 2)) ∈ ℝ)
17	14, 15, 16	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((!‘𝑁) / e) + (1 / 2)) ∈ ℝ)
18		elnn1uz2 12823	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)))
19		fveq2 6822	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 = 1 → (!‘𝑁) = (!‘1))
20		fac1 14184	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (!‘1) = 1
21	19, 20	eqtrdi 2782	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 = 1 → (!‘𝑁) = 1)
22	21	oveq1d 7361	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 = 1 → ((!‘𝑁) / e) = (1 / e))
23		fveq2 6822	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑆‘𝑁) = (𝑆‘1))
24	2, 3	subfac1 35220	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑆‘1) = 0
25	23, 24	eqtrdi 2782	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑆‘𝑁) = 0)
26	22, 25	oveq12d 7364	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 = 1 → (((!‘𝑁) / e) − (𝑆‘𝑁)) = ((1 / e) − 0))
27		rpreccl 12918	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (e ∈ ℝ+ → (1 / e) ∈ ℝ+)
28	12, 27	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 / e) ∈ ℝ+
29		rpre 12899	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((1 / e) ∈ ℝ+ → (1 / e) ∈ ℝ)
30	28, 29	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 / e) ∈ ℝ
31	30	recni 11126	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 / e) ∈ ℂ
32	31	subid1i 11433	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 / e) − 0) = (1 / e)
33	26, 32	eqtrdi 2782	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 = 1 → (((!‘𝑁) / e) − (𝑆‘𝑁)) = (1 / e))
34	33	fveq2d 6826	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 = 1 → (abs‘(((!‘𝑁) / e) − (𝑆‘𝑁))) = (abs‘(1 / e)))
35		rpge0 12904	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 / e) ∈ ℝ+ → 0 ≤ (1 / e))
36	28, 35	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ≤ (1 / e)
37		absid 15203	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((1 / e) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / e)) → (abs‘(1 / e)) = (1 / e))
38	30, 36, 37	mp2an 692	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (abs‘(1 / e)) = (1 / e)
39	34, 38	eqtrdi 2782	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = 1 → (abs‘(((!‘𝑁) / e) − (𝑆‘𝑁))) = (1 / e))
40		egt2lt3 16115	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 < e ∧ e < 3)
41	40	simpli 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 < e
42		2re 12199	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ
43		ere 15996	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ e ∈ ℝ
44		2pos 12228	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < 2
45		epos 16116	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < e
46	42, 43, 44, 45	ltrecii 12038	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 < e ↔ (1 / e) < (1 / 2))
47	41, 46	mpbi 230	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 / e) < (1 / 2)
48	39, 47	eqbrtrdi 5130	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = 1 → (abs‘(((!‘𝑁) / e) − (𝑆‘𝑁))) < (1 / 2))
49		eluz2nn 12786	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
50	14, 8	resubcld 11545	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((!‘𝑁) / e) − (𝑆‘𝑁)) ∈ ℝ)
51	50	recnd 11140	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((!‘𝑁) / e) − (𝑆‘𝑁)) ∈ ℂ)
52	49, 51	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (((!‘𝑁) / e) − (𝑆‘𝑁)) ∈ ℂ)
53	52	abscld 15346	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (abs‘(((!‘𝑁) / e) − (𝑆‘𝑁))) ∈ ℝ)
54	49	nnrecred 12176	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
55	15	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (1 / 2) ∈ ℝ)
56	2, 3	subfaclim 35230	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (abs‘(((!‘𝑁) / e) − (𝑆‘𝑁))) < (1 / 𝑁))
57	49, 56	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (abs‘(((!‘𝑁) / e) − (𝑆‘𝑁))) < (1 / 𝑁))
58		eluzle 12745	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ≤ 𝑁)
59		nnre 12132	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
60		nngt0 12156	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
61		lerec 12005	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → (2 ≤ 𝑁 ↔ (1 / 𝑁) ≤ (1 / 2)))
62	42, 44, 61	mpanl12 702	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁) → (2 ≤ 𝑁 ↔ (1 / 𝑁) ≤ (1 / 2)))
63	59, 60, 62	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 ≤ 𝑁 ↔ (1 / 𝑁) ≤ (1 / 2)))
64	49, 63	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 ≤ 𝑁 ↔ (1 / 𝑁) ≤ (1 / 2)))
65	58, 64	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (1 / 𝑁) ≤ (1 / 2))
66	53, 54, 55, 57, 65	ltletrd 11273	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (abs‘(((!‘𝑁) / e) − (𝑆‘𝑁))) < (1 / 2))
67	48, 66	jaoi 857	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (abs‘(((!‘𝑁) / e) − (𝑆‘𝑁))) < (1 / 2))
68	18, 67	sylbi 217	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (abs‘(((!‘𝑁) / e) − (𝑆‘𝑁))) < (1 / 2))
69	15	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 2) ∈ ℝ)
70	14, 8, 69	absdifltd 15343	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((abs‘(((!‘𝑁) / e) − (𝑆‘𝑁))) < (1 / 2) ↔ (((𝑆‘𝑁) − (1 / 2)) < ((!‘𝑁) / e) ∧ ((!‘𝑁) / e) < ((𝑆‘𝑁) + (1 / 2)))))
71	68, 70	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑆‘𝑁) − (1 / 2)) < ((!‘𝑁) / e) ∧ ((!‘𝑁) / e) < ((𝑆‘𝑁) + (1 / 2))))
72	71	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑆‘𝑁) − (1 / 2)) < ((!‘𝑁) / e))
73	8, 69, 14	ltsubaddd 11713	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑆‘𝑁) − (1 / 2)) < ((!‘𝑁) / e) ↔ (𝑆‘𝑁) < (((!‘𝑁) / e) + (1 / 2))))
74	72, 73	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑆‘𝑁) < (((!‘𝑁) / e) + (1 / 2)))
75	8, 17, 74	ltled 11261	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑆‘𝑁) ≤ (((!‘𝑁) / e) + (1 / 2)))
76		readdcl 11089	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆‘𝑁) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → ((𝑆‘𝑁) + (1 / 2)) ∈ ℝ)
77	8, 15, 76	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑆‘𝑁) + (1 / 2)) ∈ ℝ)
78	71	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘𝑁) / e) < ((𝑆‘𝑁) + (1 / 2)))
79	14, 77, 69, 78	ltadd1dd 11728	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((!‘𝑁) / e) + (1 / 2)) < (((𝑆‘𝑁) + (1 / 2)) + (1 / 2)))
80	8	recnd 11140	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑆‘𝑁) ∈ ℂ)
81	69	recnd 11140	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 2) ∈ ℂ)
82	80, 81, 81	addassd 11134	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑆‘𝑁) + (1 / 2)) + (1 / 2)) = ((𝑆‘𝑁) + ((1 / 2) + (1 / 2))))
83		ax-1cn 11064	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
84		2halves 12339	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℂ → ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1)
85	83, 84	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1
86	85	oveq2i 7357	. . . . 5 ⊢ ((𝑆‘𝑁) + ((1 / 2) + (1 / 2))) = ((𝑆‘𝑁) + 1)
87	82, 86	eqtrdi 2782	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑆‘𝑁) + (1 / 2)) + (1 / 2)) = ((𝑆‘𝑁) + 1))
88	79, 87	breqtrd 5117	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((!‘𝑁) / e) + (1 / 2)) < ((𝑆‘𝑁) + 1))
89		flbi 13720	. . . 4 ⊢ (((((!‘𝑁) / e) + (1 / 2)) ∈ ℝ ∧ (𝑆‘𝑁) ∈ ℤ) → ((⌊‘(((!‘𝑁) / e) + (1 / 2))) = (𝑆‘𝑁) ↔ ((𝑆‘𝑁) ≤ (((!‘𝑁) / e) + (1 / 2)) ∧ (((!‘𝑁) / e) + (1 / 2)) < ((𝑆‘𝑁) + 1))))
90	17, 7, 89	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((⌊‘(((!‘𝑁) / e) + (1 / 2))) = (𝑆‘𝑁) ↔ ((𝑆‘𝑁) ≤ (((!‘𝑁) / e) + (1 / 2)) ∧ (((!‘𝑁) / e) + (1 / 2)) < ((𝑆‘𝑁) + 1))))
91	75, 88, 90	mpbir2and 713	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (⌊‘(((!‘𝑁) / e) + (1 / 2))) = (𝑆‘𝑁))
92	91	eqcomd 2737	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑆‘𝑁) = (⌊‘(((!‘𝑁) / e) + (1 / 2))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  {cab 2709   ≠ wne 2928  ∀wral 3047   class class class wbr 5091   ↦ cmpt 5172  –1-1-onto→wf1o 6480  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Fincfn 8869  ℂcc 11004  ℝcr 11005  0cc0 11006  1c1 11007   + caddc 11009   < clt 11146   ≤ cle 11147   − cmin 11344   / cdiv 11774  ℕcn 12125  2c2 12180  3c3 12181  ℕ₀cn0 12381  ℤcz 12468  ℤ_≥cuz 12732  ℝ⁺crp 12890  ...cfz 13407  ⌊cfl 13694  !cfa 14180  ♯chash 14237  abscabs 15141  eceu 15969

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-inf2 9531  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-oadd 8389  df-er 8622  df-map 8752  df-pm 8753  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-sup 9326  df-inf 9327  df-oi 9396  df-dju 9794  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-n0 12382  df-xnn0 12455  df-z 12469  df-uz 12733  df-q 12847  df-rp 12891  df-ico 13251  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-fl 13696  df-seq 13909  df-exp 13969  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-shft 14974  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-limsup 15378  df-clim 15395  df-rlim 15396  df-sum 15594  df-ef 15974  df-e 15975

This theorem is referenced by:  derangfmla  35232