Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  subfacval3 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem subfacval3 34475
Description: Another closed form expression for the subfactorial. The expression βŒŠβ€˜(π‘₯ + 1 / 2) is a way of saying "rounded to the nearest integer". (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
derang.d 𝐷 = (π‘₯ ∈ Fin ↦ (β™―β€˜{𝑓 ∣ (𝑓:π‘₯–1-1-ontoβ†’π‘₯ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ (π‘“β€˜π‘¦) β‰  𝑦)}))
subfac.n 𝑆 = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (π·β€˜(1...𝑛)))
Assertion
Ref Expression
subfacval3 (𝑁 ∈ β„• β†’ (π‘†β€˜π‘) = (βŒŠβ€˜(((!β€˜π‘) / e) + (1 / 2))))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑛,π‘₯,𝑦,𝑁   𝐷,𝑛   𝑆,𝑛,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐷(π‘₯,𝑦,𝑓)   𝑆(𝑓)
Proof of Theorem subfacval3
StepHypRef Expression
1 nnnn0 12484 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
2 derang.d . . . . . . . . 9 𝐷 = (π‘₯ ∈ Fin ↦ (β™―β€˜{𝑓 ∣ (𝑓:π‘₯–1-1-ontoβ†’π‘₯ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ (π‘“β€˜π‘¦) β‰  𝑦)}))
3 subfac.n . . . . . . . . 9 𝑆 = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (π·β€˜(1...𝑛)))
42, 3subfacf 34461 . . . . . . . 8 𝑆:β„•0βŸΆβ„•0
54ffvelcdmi 7086 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (π‘†β€˜π‘) ∈ β„•0)
61, 5syl 17 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„• β†’ (π‘†β€˜π‘) ∈ β„•0)
76nn0zd 12589 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ (π‘†β€˜π‘) ∈ β„€)
87zred 12671 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ (π‘†β€˜π‘) ∈ ℝ)
9 faccl 14248 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (!β€˜π‘) ∈ β„•)
101, 9syl 17 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ (!β€˜π‘) ∈ β„•)
1110nnred 12232 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„• β†’ (!β€˜π‘) ∈ ℝ)
12 epr 16156 . . . . . 6 e ∈ ℝ+
13 rerpdivcl 13009 . . . . . 6 (((!β€˜π‘) ∈ ℝ ∧ e ∈ ℝ+) β†’ ((!β€˜π‘) / e) ∈ ℝ)
1411, 12, 13sylancl 585 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((!β€˜π‘) / e) ∈ ℝ)
15 halfre 12431 . . . . 5 (1 / 2) ∈ ℝ
16 readdcl 11196 . . . . 5 ((((!β€˜π‘) / e) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) β†’ (((!β€˜π‘) / e) + (1 / 2)) ∈ ℝ)
1714, 15, 16sylancl 585 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ (((!β€˜π‘) / e) + (1 / 2)) ∈ ℝ)
18 elnn1uz2 12914 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„• ↔ (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)))
19 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 = 1 β†’ (!β€˜π‘) = (!β€˜1))
20 fac1 14242 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (!β€˜1) = 1
2119, 20eqtrdi 2787 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 = 1 β†’ (!β€˜π‘) = 1)
2221oveq1d 7427 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 = 1 β†’ ((!β€˜π‘) / e) = (1 / e))
23 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 = 1 β†’ (π‘†β€˜π‘) = (π‘†β€˜1))
242, 3subfac1 34464 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘†β€˜1) = 0
2523, 24eqtrdi 2787 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 = 1 β†’ (π‘†β€˜π‘) = 0)
2622, 25oveq12d 7430 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 = 1 β†’ (((!β€˜π‘) / e) βˆ’ (π‘†β€˜π‘)) = ((1 / e) βˆ’ 0))
27 rpreccl 13005 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (e ∈ ℝ+ β†’ (1 / e) ∈ ℝ+)
2812, 27ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 / e) ∈ ℝ+
29 rpre 12987 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 / e) ∈ ℝ+ β†’ (1 / e) ∈ ℝ)
3028, 29ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 / e) ∈ ℝ
3130recni 11233 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 / e) ∈ β„‚
3231subid1i 11537 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 / e) βˆ’ 0) = (1 / e)
3326, 32eqtrdi 2787 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 = 1 β†’ (((!β€˜π‘) / e) βˆ’ (π‘†β€˜π‘)) = (1 / e))
3433fveq2d 6896 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 = 1 β†’ (absβ€˜(((!β€˜π‘) / e) βˆ’ (π‘†β€˜π‘))) = (absβ€˜(1 / e)))
35 rpge0 12992 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 / e) ∈ ℝ+ β†’ 0 ≀ (1 / e))
3628, 35ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 0 ≀ (1 / e)
37 absid 15248 . . . . . . . . . . . 12 (((1 / e) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (1 / e)) β†’ (absβ€˜(1 / e)) = (1 / e))
3830, 36, 37mp2an 689 . . . . . . . . . . 11 (absβ€˜(1 / e)) = (1 / e)
3934, 38eqtrdi 2787 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = 1 β†’ (absβ€˜(((!β€˜π‘) / e) βˆ’ (π‘†β€˜π‘))) = (1 / e))
40 egt2lt3 16154 . . . . . . . . . . . 12 (2 < e ∧ e < 3)
4140simpli 483 . . . . . . . . . . 11 2 < e
42 2re 12291 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ
43 ere 16037 . . . . . . . . . . . 12 e ∈ ℝ
44 2pos 12320 . . . . . . . . . . . 12 0 < 2
45 epos 16155 . . . . . . . . . . . 12 0 < e
4642, 43, 44, 45ltrecii 12135 . . . . . . . . . . 11 (2 < e ↔ (1 / e) < (1 / 2))
4741, 46mpbi 229 . . . . . . . . . 10 (1 / e) < (1 / 2)
4839, 47eqbrtrdi 5188 . . . . . . . . 9 (𝑁 = 1 β†’ (absβ€˜(((!β€˜π‘) / e) βˆ’ (π‘†β€˜π‘))) < (1 / 2))
49 eluz2nn 12873 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
5014, 8resubcld 11647 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ β„• β†’ (((!β€˜π‘) / e) βˆ’ (π‘†β€˜π‘)) ∈ ℝ)
5150recnd 11247 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ β„• β†’ (((!β€˜π‘) / e) βˆ’ (π‘†β€˜π‘)) ∈ β„‚)
5249, 51syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (((!β€˜π‘) / e) βˆ’ (π‘†β€˜π‘)) ∈ β„‚)
5352abscld 15388 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (absβ€˜(((!β€˜π‘) / e) βˆ’ (π‘†β€˜π‘))) ∈ ℝ)
5449nnrecred 12268 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
5515a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (1 / 2) ∈ ℝ)
562, 3subfaclim 34474 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ β„• β†’ (absβ€˜(((!β€˜π‘) / e) βˆ’ (π‘†β€˜π‘))) < (1 / 𝑁))
5749, 56syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (absβ€˜(((!β€˜π‘) / e) βˆ’ (π‘†β€˜π‘))) < (1 / 𝑁))
58 eluzle 12840 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 2 ≀ 𝑁)
59 nnre 12224 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
60 nngt0 12248 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ β„• β†’ 0 < 𝑁)
61 lerec 12102 . . . . . . . . . . . . . 14 (((2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) β†’ (2 ≀ 𝑁 ↔ (1 / 𝑁) ≀ (1 / 2)))
6242, 44, 61mpanl12 699 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁) β†’ (2 ≀ 𝑁 ↔ (1 / 𝑁) ≀ (1 / 2)))
6359, 60, 62syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ β„• β†’ (2 ≀ 𝑁 ↔ (1 / 𝑁) ≀ (1 / 2)))
6449, 63syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (2 ≀ 𝑁 ↔ (1 / 𝑁) ≀ (1 / 2)))
6558, 64mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (1 / 𝑁) ≀ (1 / 2))
6653, 54, 55, 57, 65ltletrd 11379 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (absβ€˜(((!β€˜π‘) / e) βˆ’ (π‘†β€˜π‘))) < (1 / 2))
6748, 66jaoi 854 . . . . . . . 8 ((𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (absβ€˜(((!β€˜π‘) / e) βˆ’ (π‘†β€˜π‘))) < (1 / 2))
6818, 67sylbi 216 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ (absβ€˜(((!β€˜π‘) / e) βˆ’ (π‘†β€˜π‘))) < (1 / 2))
6915a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„• β†’ (1 / 2) ∈ ℝ)
7014, 8, 69absdifltd 15385 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((absβ€˜(((!β€˜π‘) / e) βˆ’ (π‘†β€˜π‘))) < (1 / 2) ↔ (((π‘†β€˜π‘) βˆ’ (1 / 2)) < ((!β€˜π‘) / e) ∧ ((!β€˜π‘) / e) < ((π‘†β€˜π‘) + (1 / 2)))))
7168, 70mpbid 231 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„• β†’ (((π‘†β€˜π‘) βˆ’ (1 / 2)) < ((!β€˜π‘) / e) ∧ ((!β€˜π‘) / e) < ((π‘†β€˜π‘) + (1 / 2))))
7271simpld 494 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((π‘†β€˜π‘) βˆ’ (1 / 2)) < ((!β€˜π‘) / e))
738, 69, 14ltsubaddd 11815 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ (((π‘†β€˜π‘) βˆ’ (1 / 2)) < ((!β€˜π‘) / e) ↔ (π‘†β€˜π‘) < (((!β€˜π‘) / e) + (1 / 2))))
7472, 73mpbid 231 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ (π‘†β€˜π‘) < (((!β€˜π‘) / e) + (1 / 2)))
758, 17, 74ltled 11367 . . 3 (𝑁 ∈ β„• β†’ (π‘†β€˜π‘) ≀ (((!β€˜π‘) / e) + (1 / 2)))
76 readdcl 11196 . . . . . 6 (((π‘†β€˜π‘) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) β†’ ((π‘†β€˜π‘) + (1 / 2)) ∈ ℝ)
778, 15, 76sylancl 585 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((π‘†β€˜π‘) + (1 / 2)) ∈ ℝ)
7871simprd 495 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((!β€˜π‘) / e) < ((π‘†β€˜π‘) + (1 / 2)))
7914, 77, 69, 78ltadd1dd 11830 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ (((!β€˜π‘) / e) + (1 / 2)) < (((π‘†β€˜π‘) + (1 / 2)) + (1 / 2)))
808recnd 11247 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„• β†’ (π‘†β€˜π‘) ∈ β„‚)
8169recnd 11247 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„• β†’ (1 / 2) ∈ β„‚)
8280, 81, 81addassd 11241 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ (((π‘†β€˜π‘) + (1 / 2)) + (1 / 2)) = ((π‘†β€˜π‘) + ((1 / 2) + (1 / 2))))
83 ax-1cn 11171 . . . . . . 7 1 ∈ β„‚
84 2halves 12445 . . . . . . 7 (1 ∈ β„‚ β†’ ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1)
8583, 84ax-mp 5 . . . . . 6 ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1
8685oveq2i 7423 . . . . 5 ((π‘†β€˜π‘) + ((1 / 2) + (1 / 2))) = ((π‘†β€˜π‘) + 1)
8782, 86eqtrdi 2787 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ (((π‘†β€˜π‘) + (1 / 2)) + (1 / 2)) = ((π‘†β€˜π‘) + 1))
8879, 87breqtrd 5175 . . 3 (𝑁 ∈ β„• β†’ (((!β€˜π‘) / e) + (1 / 2)) < ((π‘†β€˜π‘) + 1))
89 flbi 13786 . . . 4 (((((!β€˜π‘) / e) + (1 / 2)) ∈ ℝ ∧ (π‘†β€˜π‘) ∈ β„€) β†’ ((βŒŠβ€˜(((!β€˜π‘) / e) + (1 / 2))) = (π‘†β€˜π‘) ↔ ((π‘†β€˜π‘) ≀ (((!β€˜π‘) / e) + (1 / 2)) ∧ (((!β€˜π‘) / e) + (1 / 2)) < ((π‘†β€˜π‘) + 1))))
9017, 7, 89syl2anc 583 . . 3 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((βŒŠβ€˜(((!β€˜π‘) / e) + (1 / 2))) = (π‘†β€˜π‘) ↔ ((π‘†β€˜π‘) ≀ (((!β€˜π‘) / e) + (1 / 2)) ∧ (((!β€˜π‘) / e) + (1 / 2)) < ((π‘†β€˜π‘) + 1))))
9175, 88, 90mpbir2and 710 . 2 (𝑁 ∈ β„• β†’ (βŒŠβ€˜(((!β€˜π‘) / e) + (1 / 2))) = (π‘†β€˜π‘))
9291eqcomd 2737 1 (𝑁 ∈ β„• β†’ (π‘†β€˜π‘) = (βŒŠβ€˜(((!β€˜π‘) / e) + (1 / 2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  {cab 2708   β‰  wne 2939  βˆ€wral 3060   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6543  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7412  Fincfn 8942  β„‚cc 11111  β„cr 11112  0cc0 11113  1c1 11114   + caddc 11116   < clt 11253   ≀ cle 11254   βˆ’ cmin 11449   / cdiv 11876  β„•cn 12217  2c2 12272  3c3 12273  β„•0cn0 12477  β„€cz 12563  β„€β‰₯cuz 12827  β„+crp 12979  ...cfz 13489  βŒŠcfl 13760  !cfa 14238  β™―chash 14295  abscabs 15186  eceu 16011
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-inf2 9639  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-oadd 8473  df-er 8706  df-map 8825  df-pm 8826  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-sup 9440  df-inf 9441  df-oi 9508  df-dju 9899  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-n0 12478  df-xnn0 12550  df-z 12564  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-ico 13335  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-seq 13972  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15019  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-limsup 15420  df-clim 15437  df-rlim 15438  df-sum 15638  df-ef 16016  df-e 16017
This theorem is referenced by:  derangfmla  34476
  Copyright terms: Public domain W3C validator