Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  subfacval3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subfacval3 32493
Description: Another closed form expression for the subfactorial. The expression ⌊‘(𝑥 + 1 / 2) is a way of saying "rounded to the nearest integer". (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
derang.d 𝐷 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑥1-1-onto𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}))
subfac.n 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐷‘(1...𝑛)))
Assertion
Ref Expression
subfacval3 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑆𝑁) = (⌊‘(((!‘𝑁) / e) + (1 / 2))))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑛,𝑥,𝑦,𝑁   𝐷,𝑛   𝑆,𝑛,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦,𝑓)   𝑆(𝑓)

Proof of Theorem subfacval3
StepHypRef Expression
1 nnnn0 11901 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
2 derang.d . . . . . . . . 9 𝐷 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑥1-1-onto𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}))
3 subfac.n . . . . . . . . 9 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐷‘(1...𝑛)))
42, 3subfacf 32479 . . . . . . . 8 𝑆:ℕ0⟶ℕ0
54ffvelrni 6841 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑆𝑁) ∈ ℕ0)
61, 5syl 17 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑆𝑁) ∈ ℕ0)
76nn0zd 12082 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑆𝑁) ∈ ℤ)
87zred 12084 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑆𝑁) ∈ ℝ)
9 faccl 13648 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
101, 9syl 17 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
1110nnred 11649 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℝ)
12 epr 15561 . . . . . 6 e ∈ ℝ+
13 rerpdivcl 12416 . . . . . 6 (((!‘𝑁) ∈ ℝ ∧ e ∈ ℝ+) → ((!‘𝑁) / e) ∈ ℝ)
1411, 12, 13sylancl 589 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘𝑁) / e) ∈ ℝ)
15 halfre 11848 . . . . 5 (1 / 2) ∈ ℝ
16 readdcl 10618 . . . . 5 ((((!‘𝑁) / e) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (((!‘𝑁) / e) + (1 / 2)) ∈ ℝ)
1714, 15, 16sylancl 589 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (((!‘𝑁) / e) + (1 / 2)) ∈ ℝ)
18 elnn1uz2 12322 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)))
19 fveq2 6661 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 = 1 → (!‘𝑁) = (!‘1))
20 fac1 13642 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (!‘1) = 1
2119, 20syl6eq 2875 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 = 1 → (!‘𝑁) = 1)
2221oveq1d 7164 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 = 1 → ((!‘𝑁) / e) = (1 / e))
23 fveq2 6661 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 = 1 → (𝑆𝑁) = (𝑆‘1))
242, 3subfac1 32482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑆‘1) = 0
2523, 24syl6eq 2875 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 = 1 → (𝑆𝑁) = 0)
2622, 25oveq12d 7167 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 = 1 → (((!‘𝑁) / e) − (𝑆𝑁)) = ((1 / e) − 0))
27 rpreccl 12412 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (e ∈ ℝ+ → (1 / e) ∈ ℝ+)
2812, 27ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 / e) ∈ ℝ+
29 rpre 12394 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 / e) ∈ ℝ+ → (1 / e) ∈ ℝ)
3028, 29ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 / e) ∈ ℝ
3130recni 10653 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 / e) ∈ ℂ
3231subid1i 10956 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 / e) − 0) = (1 / e)
3326, 32syl6eq 2875 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 = 1 → (((!‘𝑁) / e) − (𝑆𝑁)) = (1 / e))
3433fveq2d 6665 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 = 1 → (abs‘(((!‘𝑁) / e) − (𝑆𝑁))) = (abs‘(1 / e)))
35 rpge0 12399 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 / e) ∈ ℝ+ → 0 ≤ (1 / e))
3628, 35ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 0 ≤ (1 / e)
37 absid 14656 . . . . . . . . . . . 12 (((1 / e) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / e)) → (abs‘(1 / e)) = (1 / e))
3830, 36, 37mp2an 691 . . . . . . . . . . 11 (abs‘(1 / e)) = (1 / e)
3934, 38syl6eq 2875 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = 1 → (abs‘(((!‘𝑁) / e) − (𝑆𝑁))) = (1 / e))
40 egt2lt3 15559 . . . . . . . . . . . 12 (2 < e ∧ e < 3)
4140simpli 487 . . . . . . . . . . 11 2 < e
42 2re 11708 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ
43 ere 15442 . . . . . . . . . . . 12 e ∈ ℝ
44 2pos 11737 . . . . . . . . . . . 12 0 < 2
45 epos 15560 . . . . . . . . . . . 12 0 < e
4642, 43, 44, 45ltrecii 11554 . . . . . . . . . . 11 (2 < e ↔ (1 / e) < (1 / 2))
4741, 46mpbi 233 . . . . . . . . . 10 (1 / e) < (1 / 2)
4839, 47eqbrtrdi 5091 . . . . . . . . 9 (𝑁 = 1 → (abs‘(((!‘𝑁) / e) − (𝑆𝑁))) < (1 / 2))
49 eluz2nn 12281 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
5014, 8resubcld 11066 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → (((!‘𝑁) / e) − (𝑆𝑁)) ∈ ℝ)
5150recnd 10667 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (((!‘𝑁) / e) − (𝑆𝑁)) ∈ ℂ)
5249, 51syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (((!‘𝑁) / e) − (𝑆𝑁)) ∈ ℂ)
5352abscld 14796 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (abs‘(((!‘𝑁) / e) − (𝑆𝑁))) ∈ ℝ)
5449nnrecred 11685 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
5515a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (1 / 2) ∈ ℝ)
562, 3subfaclim 32492 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (abs‘(((!‘𝑁) / e) − (𝑆𝑁))) < (1 / 𝑁))
5749, 56syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (abs‘(((!‘𝑁) / e) − (𝑆𝑁))) < (1 / 𝑁))
58 eluzle 12253 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 2 ≤ 𝑁)
59 nnre 11641 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
60 nngt0 11665 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
61 lerec 11521 . . . . . . . . . . . . . 14 (((2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → (2 ≤ 𝑁 ↔ (1 / 𝑁) ≤ (1 / 2)))
6242, 44, 61mpanl12 701 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁) → (2 ≤ 𝑁 ↔ (1 / 𝑁) ≤ (1 / 2)))
6359, 60, 62syl2anc 587 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (2 ≤ 𝑁 ↔ (1 / 𝑁) ≤ (1 / 2)))
6449, 63syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2 ≤ 𝑁 ↔ (1 / 𝑁) ≤ (1 / 2)))
6558, 64mpbid 235 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (1 / 𝑁) ≤ (1 / 2))
6653, 54, 55, 57, 65ltletrd 10798 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (abs‘(((!‘𝑁) / e) − (𝑆𝑁))) < (1 / 2))
6748, 66jaoi 854 . . . . . . . 8 ((𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (abs‘(((!‘𝑁) / e) − (𝑆𝑁))) < (1 / 2))
6818, 67sylbi 220 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (abs‘(((!‘𝑁) / e) − (𝑆𝑁))) < (1 / 2))
6915a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 2) ∈ ℝ)
7014, 8, 69absdifltd 14793 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((abs‘(((!‘𝑁) / e) − (𝑆𝑁))) < (1 / 2) ↔ (((𝑆𝑁) − (1 / 2)) < ((!‘𝑁) / e) ∧ ((!‘𝑁) / e) < ((𝑆𝑁) + (1 / 2)))))
7168, 70mpbid 235 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑆𝑁) − (1 / 2)) < ((!‘𝑁) / e) ∧ ((!‘𝑁) / e) < ((𝑆𝑁) + (1 / 2))))
7271simpld 498 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑆𝑁) − (1 / 2)) < ((!‘𝑁) / e))
738, 69, 14ltsubaddd 11234 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑆𝑁) − (1 / 2)) < ((!‘𝑁) / e) ↔ (𝑆𝑁) < (((!‘𝑁) / e) + (1 / 2))))
7472, 73mpbid 235 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑆𝑁) < (((!‘𝑁) / e) + (1 / 2)))
758, 17, 74ltled 10786 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑆𝑁) ≤ (((!‘𝑁) / e) + (1 / 2)))
76 readdcl 10618 . . . . . 6 (((𝑆𝑁) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → ((𝑆𝑁) + (1 / 2)) ∈ ℝ)
778, 15, 76sylancl 589 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑆𝑁) + (1 / 2)) ∈ ℝ)
7871simprd 499 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘𝑁) / e) < ((𝑆𝑁) + (1 / 2)))
7914, 77, 69, 78ltadd1dd 11249 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (((!‘𝑁) / e) + (1 / 2)) < (((𝑆𝑁) + (1 / 2)) + (1 / 2)))
808recnd 10667 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑆𝑁) ∈ ℂ)
8169recnd 10667 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 2) ∈ ℂ)
8280, 81, 81addassd 10661 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑆𝑁) + (1 / 2)) + (1 / 2)) = ((𝑆𝑁) + ((1 / 2) + (1 / 2))))
83 ax-1cn 10593 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
84 2halves 11862 . . . . . . 7 (1 ∈ ℂ → ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1)
8583, 84ax-mp 5 . . . . . 6 ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1
8685oveq2i 7160 . . . . 5 ((𝑆𝑁) + ((1 / 2) + (1 / 2))) = ((𝑆𝑁) + 1)
8782, 86syl6eq 2875 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑆𝑁) + (1 / 2)) + (1 / 2)) = ((𝑆𝑁) + 1))
8879, 87breqtrd 5078 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (((!‘𝑁) / e) + (1 / 2)) < ((𝑆𝑁) + 1))
89 flbi 13190 . . . 4 (((((!‘𝑁) / e) + (1 / 2)) ∈ ℝ ∧ (𝑆𝑁) ∈ ℤ) → ((⌊‘(((!‘𝑁) / e) + (1 / 2))) = (𝑆𝑁) ↔ ((𝑆𝑁) ≤ (((!‘𝑁) / e) + (1 / 2)) ∧ (((!‘𝑁) / e) + (1 / 2)) < ((𝑆𝑁) + 1))))
9017, 7, 89syl2anc 587 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ((⌊‘(((!‘𝑁) / e) + (1 / 2))) = (𝑆𝑁) ↔ ((𝑆𝑁) ≤ (((!‘𝑁) / e) + (1 / 2)) ∧ (((!‘𝑁) / e) + (1 / 2)) < ((𝑆𝑁) + 1))))
9175, 88, 90mpbir2and 712 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (⌊‘(((!‘𝑁) / e) + (1 / 2))) = (𝑆𝑁))
9291eqcomd 2830 1 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑆𝑁) = (⌊‘(((!‘𝑁) / e) + (1 / 2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  wo 844   = wceq 1538  wcel 2115  {cab 2802  wne 3014  wral 3133   class class class wbr 5052  cmpt 5132  1-1-ontowf1o 6342  cfv 6343  (class class class)co 7149  Fincfn 8505  cc 10533  cr 10534  0cc0 10535  1c1 10536   + caddc 10538   < clt 10673  cle 10674  cmin 10868   / cdiv 11295  cn 11634  2c2 11689  3c3 11690  0cn0 11894  cz 11978  cuz 12240  +crp 12386  ...cfz 12894  cfl 13164  !cfa 13638  chash 13695  abscabs 14593  eceu 15416
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-inf2 9101  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612  ax-pre-sup 10613  ax-addf 10614  ax-mulf 10615
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-se 5502  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-isom 6352  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-2o 8099  df-oadd 8102  df-er 8285  df-map 8404  df-pm 8405  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-sup 8903  df-inf 8904  df-oi 8971  df-dju 9327  df-card 9365  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-div 11296  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-4 11699  df-n0 11895  df-xnn0 11965  df-z 11979  df-uz 12241  df-q 12346  df-rp 12387  df-ico 12741  df-fz 12895  df-fzo 13038  df-fl 13166  df-seq 13374  df-exp 13435  df-fac 13639  df-bc 13668  df-hash 13696  df-shft 14426  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-limsup 14828  df-clim 14845  df-rlim 14846  df-sum 15043  df-ef 15421  df-e 15422
This theorem is referenced by:  derangfmla  32494
  Copyright terms: Public domain W3C validator