Theorem subfacval3 35161

Description: Another closed form expression for the subfactorial. The expression ⌊‘(𝑥 + 1 / 2) is a way of saying "rounded to the nearest integer". (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
derang.d	⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑥–1-1-onto→𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)}))
subfac.n	⊢ 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐷‘(1...𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
subfacval3	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑆‘𝑁) = (⌊‘(((!‘𝑁) / e) + (1 / 2))))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑛,𝑥,𝑦,𝑁   𝐷,𝑛   𝑆,𝑛,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦,𝑓)   𝑆(𝑓)

Proof of Theorem subfacval3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnn0 12409	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		derang.d	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑥–1-1-onto→𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)}))
3		subfac.n	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐷‘(1...𝑛)))
4	2, 3	subfacf 35147	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆:ℕ0⟶ℕ0
5	4	ffvelcdmi 7021	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑆‘𝑁) ∈ ℕ0)
6	1, 5	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑆‘𝑁) ∈ ℕ0)
7	6	nn0zd 12515	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑆‘𝑁) ∈ ℤ)
8	7	zred 12598	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑆‘𝑁) ∈ ℝ)
9		faccl 14208	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
10	1, 9	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
11	10	nnred 12161	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℝ)
12		epr 16135	. . . . . 6 ⊢ e ∈ ℝ+
13		rerpdivcl 12943	. . . . . 6 ⊢ (((!‘𝑁) ∈ ℝ ∧ e ∈ ℝ+) → ((!‘𝑁) / e) ∈ ℝ)
14	11, 12, 13	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘𝑁) / e) ∈ ℝ)
15		halfre 12355	. . . . 5 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
16		readdcl 11111	. . . . 5 ⊢ ((((!‘𝑁) / e) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (((!‘𝑁) / e) + (1 / 2)) ∈ ℝ)
17	14, 15, 16	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((!‘𝑁) / e) + (1 / 2)) ∈ ℝ)
18		elnn1uz2 12844	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)))
19		fveq2 6826	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 = 1 → (!‘𝑁) = (!‘1))
20		fac1 14202	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (!‘1) = 1
21	19, 20	eqtrdi 2780	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 = 1 → (!‘𝑁) = 1)
22	21	oveq1d 7368	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 = 1 → ((!‘𝑁) / e) = (1 / e))
23		fveq2 6826	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑆‘𝑁) = (𝑆‘1))
24	2, 3	subfac1 35150	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑆‘1) = 0
25	23, 24	eqtrdi 2780	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑆‘𝑁) = 0)
26	22, 25	oveq12d 7371	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 = 1 → (((!‘𝑁) / e) − (𝑆‘𝑁)) = ((1 / e) − 0))
27		rpreccl 12939	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (e ∈ ℝ+ → (1 / e) ∈ ℝ+)
28	12, 27	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 / e) ∈ ℝ+
29		rpre 12920	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((1 / e) ∈ ℝ+ → (1 / e) ∈ ℝ)
30	28, 29	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 / e) ∈ ℝ
31	30	recni 11148	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 / e) ∈ ℂ
32	31	subid1i 11454	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 / e) − 0) = (1 / e)
33	26, 32	eqtrdi 2780	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 = 1 → (((!‘𝑁) / e) − (𝑆‘𝑁)) = (1 / e))
34	33	fveq2d 6830	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 = 1 → (abs‘(((!‘𝑁) / e) − (𝑆‘𝑁))) = (abs‘(1 / e)))
35		rpge0 12925	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 / e) ∈ ℝ+ → 0 ≤ (1 / e))
36	28, 35	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ≤ (1 / e)
37		absid 15221	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((1 / e) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / e)) → (abs‘(1 / e)) = (1 / e))
38	30, 36, 37	mp2an 692	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (abs‘(1 / e)) = (1 / e)
39	34, 38	eqtrdi 2780	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = 1 → (abs‘(((!‘𝑁) / e) − (𝑆‘𝑁))) = (1 / e))
40		egt2lt3 16133	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 < e ∧ e < 3)
41	40	simpli 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 < e
42		2re 12220	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ
43		ere 16014	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ e ∈ ℝ
44		2pos 12249	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < 2
45		epos 16134	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < e
46	42, 43, 44, 45	ltrecii 12059	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 < e ↔ (1 / e) < (1 / 2))
47	41, 46	mpbi 230	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 / e) < (1 / 2)
48	39, 47	eqbrtrdi 5134	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = 1 → (abs‘(((!‘𝑁) / e) − (𝑆‘𝑁))) < (1 / 2))
49		eluz2nn 12807	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
50	14, 8	resubcld 11566	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((!‘𝑁) / e) − (𝑆‘𝑁)) ∈ ℝ)
51	50	recnd 11162	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((!‘𝑁) / e) − (𝑆‘𝑁)) ∈ ℂ)
52	49, 51	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (((!‘𝑁) / e) − (𝑆‘𝑁)) ∈ ℂ)
53	52	abscld 15364	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (abs‘(((!‘𝑁) / e) − (𝑆‘𝑁))) ∈ ℝ)
54	49	nnrecred 12197	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
55	15	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (1 / 2) ∈ ℝ)
56	2, 3	subfaclim 35160	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (abs‘(((!‘𝑁) / e) − (𝑆‘𝑁))) < (1 / 𝑁))
57	49, 56	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (abs‘(((!‘𝑁) / e) − (𝑆‘𝑁))) < (1 / 𝑁))
58		eluzle 12766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ≤ 𝑁)
59		nnre 12153	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
60		nngt0 12177	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
61		lerec 12026	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → (2 ≤ 𝑁 ↔ (1 / 𝑁) ≤ (1 / 2)))
62	42, 44, 61	mpanl12 702	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁) → (2 ≤ 𝑁 ↔ (1 / 𝑁) ≤ (1 / 2)))
63	59, 60, 62	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 ≤ 𝑁 ↔ (1 / 𝑁) ≤ (1 / 2)))
64	49, 63	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 ≤ 𝑁 ↔ (1 / 𝑁) ≤ (1 / 2)))
65	58, 64	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (1 / 𝑁) ≤ (1 / 2))
66	53, 54, 55, 57, 65	ltletrd 11294	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (abs‘(((!‘𝑁) / e) − (𝑆‘𝑁))) < (1 / 2))
67	48, 66	jaoi 857	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (abs‘(((!‘𝑁) / e) − (𝑆‘𝑁))) < (1 / 2))
68	18, 67	sylbi 217	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (abs‘(((!‘𝑁) / e) − (𝑆‘𝑁))) < (1 / 2))
69	15	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 2) ∈ ℝ)
70	14, 8, 69	absdifltd 15361	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((abs‘(((!‘𝑁) / e) − (𝑆‘𝑁))) < (1 / 2) ↔ (((𝑆‘𝑁) − (1 / 2)) < ((!‘𝑁) / e) ∧ ((!‘𝑁) / e) < ((𝑆‘𝑁) + (1 / 2)))))
71	68, 70	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑆‘𝑁) − (1 / 2)) < ((!‘𝑁) / e) ∧ ((!‘𝑁) / e) < ((𝑆‘𝑁) + (1 / 2))))
72	71	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑆‘𝑁) − (1 / 2)) < ((!‘𝑁) / e))
73	8, 69, 14	ltsubaddd 11734	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑆‘𝑁) − (1 / 2)) < ((!‘𝑁) / e) ↔ (𝑆‘𝑁) < (((!‘𝑁) / e) + (1 / 2))))
74	72, 73	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑆‘𝑁) < (((!‘𝑁) / e) + (1 / 2)))
75	8, 17, 74	ltled 11282	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑆‘𝑁) ≤ (((!‘𝑁) / e) + (1 / 2)))
76		readdcl 11111	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆‘𝑁) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → ((𝑆‘𝑁) + (1 / 2)) ∈ ℝ)
77	8, 15, 76	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑆‘𝑁) + (1 / 2)) ∈ ℝ)
78	71	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘𝑁) / e) < ((𝑆‘𝑁) + (1 / 2)))
79	14, 77, 69, 78	ltadd1dd 11749	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((!‘𝑁) / e) + (1 / 2)) < (((𝑆‘𝑁) + (1 / 2)) + (1 / 2)))
80	8	recnd 11162	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑆‘𝑁) ∈ ℂ)
81	69	recnd 11162	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 2) ∈ ℂ)
82	80, 81, 81	addassd 11156	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑆‘𝑁) + (1 / 2)) + (1 / 2)) = ((𝑆‘𝑁) + ((1 / 2) + (1 / 2))))
83		ax-1cn 11086	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
84		2halves 12360	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℂ → ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1)
85	83, 84	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1
86	85	oveq2i 7364	. . . . 5 ⊢ ((𝑆‘𝑁) + ((1 / 2) + (1 / 2))) = ((𝑆‘𝑁) + 1)
87	82, 86	eqtrdi 2780	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑆‘𝑁) + (1 / 2)) + (1 / 2)) = ((𝑆‘𝑁) + 1))
88	79, 87	breqtrd 5121	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((!‘𝑁) / e) + (1 / 2)) < ((𝑆‘𝑁) + 1))
89		flbi 13738	. . . 4 ⊢ (((((!‘𝑁) / e) + (1 / 2)) ∈ ℝ ∧ (𝑆‘𝑁) ∈ ℤ) → ((⌊‘(((!‘𝑁) / e) + (1 / 2))) = (𝑆‘𝑁) ↔ ((𝑆‘𝑁) ≤ (((!‘𝑁) / e) + (1 / 2)) ∧ (((!‘𝑁) / e) + (1 / 2)) < ((𝑆‘𝑁) + 1))))
90	17, 7, 89	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((⌊‘(((!‘𝑁) / e) + (1 / 2))) = (𝑆‘𝑁) ↔ ((𝑆‘𝑁) ≤ (((!‘𝑁) / e) + (1 / 2)) ∧ (((!‘𝑁) / e) + (1 / 2)) < ((𝑆‘𝑁) + 1))))
91	75, 88, 90	mpbir2and 713	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (⌊‘(((!‘𝑁) / e) + (1 / 2))) = (𝑆‘𝑁))
92	91	eqcomd 2735	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑆‘𝑁) = (⌊‘(((!‘𝑁) / e) + (1 / 2))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {cab 2707   ≠ wne 2925  ∀wral 3044   class class class wbr 5095   ↦ cmpt 5176  –1-1-onto→wf1o 6485  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  Fincfn 8879  ℂcc 11026  ℝcr 11027  0cc0 11028  1c1 11029   + caddc 11031   < clt 11168   ≤ cle 11169   − cmin 11365   / cdiv 11795  ℕcn 12146  2c2 12201  3c3 12202  ℕ₀cn0 12402  ℤcz 12489  ℤ_≥cuz 12753  ℝ⁺crp 12911  ...cfz 13428  ⌊cfl 13712  !cfa 14198  ♯chash 14255  abscabs 15159  eceu 15987

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-inf2 9556  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-oadd 8399  df-er 8632  df-map 8762  df-pm 8763  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-sup 9351  df-inf 9352  df-oi 9421  df-dju 9816  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-n0 12403  df-xnn0 12476  df-z 12490  df-uz 12754  df-q 12868  df-rp 12912  df-ico 13272  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-fl 13714  df-seq 13927  df-exp 13987  df-fac 14199  df-bc 14228  df-hash 14256  df-shft 14992  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-limsup 15396  df-clim 15413  df-rlim 15414  df-sum 15612  df-ef 15992  df-e 15993

This theorem is referenced by:  derangfmla  35162