Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  subfacval3 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem subfacval3 34249
Description: Another closed form expression for the subfactorial. The expression βŒŠβ€˜(π‘₯ + 1 / 2) is a way of saying "rounded to the nearest integer". (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
derang.d 𝐷 = (π‘₯ ∈ Fin ↦ (β™―β€˜{𝑓 ∣ (𝑓:π‘₯–1-1-ontoβ†’π‘₯ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ (π‘“β€˜π‘¦) β‰  𝑦)}))
subfac.n 𝑆 = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (π·β€˜(1...𝑛)))
Assertion
Ref Expression
subfacval3 (𝑁 ∈ β„• β†’ (π‘†β€˜π‘) = (βŒŠβ€˜(((!β€˜π‘) / e) + (1 / 2))))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑛,π‘₯,𝑦,𝑁   𝐷,𝑛   𝑆,𝑛,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐷(π‘₯,𝑦,𝑓)   𝑆(𝑓)
Proof of Theorem subfacval3
StepHypRef Expression
1 nnnn0 12481 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
2 derang.d . . . . . . . . 9 𝐷 = (π‘₯ ∈ Fin ↦ (β™―β€˜{𝑓 ∣ (𝑓:π‘₯–1-1-ontoβ†’π‘₯ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ (π‘“β€˜π‘¦) β‰  𝑦)}))
3 subfac.n . . . . . . . . 9 𝑆 = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (π·β€˜(1...𝑛)))
42, 3subfacf 34235 . . . . . . . 8 𝑆:β„•0βŸΆβ„•0
54ffvelcdmi 7085 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (π‘†β€˜π‘) ∈ β„•0)
61, 5syl 17 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„• β†’ (π‘†β€˜π‘) ∈ β„•0)
76nn0zd 12586 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ (π‘†β€˜π‘) ∈ β„€)
87zred 12668 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ (π‘†β€˜π‘) ∈ ℝ)
9 faccl 14245 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (!β€˜π‘) ∈ β„•)
101, 9syl 17 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ (!β€˜π‘) ∈ β„•)
1110nnred 12229 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„• β†’ (!β€˜π‘) ∈ ℝ)
12 epr 16153 . . . . . 6 e ∈ ℝ+
13 rerpdivcl 13006 . . . . . 6 (((!β€˜π‘) ∈ ℝ ∧ e ∈ ℝ+) β†’ ((!β€˜π‘) / e) ∈ ℝ)
1411, 12, 13sylancl 586 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((!β€˜π‘) / e) ∈ ℝ)
15 halfre 12428 . . . . 5 (1 / 2) ∈ ℝ
16 readdcl 11195 . . . . 5 ((((!β€˜π‘) / e) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) β†’ (((!β€˜π‘) / e) + (1 / 2)) ∈ ℝ)
1714, 15, 16sylancl 586 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ (((!β€˜π‘) / e) + (1 / 2)) ∈ ℝ)
18 elnn1uz2 12911 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„• ↔ (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)))
19 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 = 1 β†’ (!β€˜π‘) = (!β€˜1))
20 fac1 14239 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (!β€˜1) = 1
2119, 20eqtrdi 2788 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 = 1 β†’ (!β€˜π‘) = 1)
2221oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 = 1 β†’ ((!β€˜π‘) / e) = (1 / e))
23 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 = 1 β†’ (π‘†β€˜π‘) = (π‘†β€˜1))
242, 3subfac1 34238 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘†β€˜1) = 0
2523, 24eqtrdi 2788 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 = 1 β†’ (π‘†β€˜π‘) = 0)
2622, 25oveq12d 7429 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 = 1 β†’ (((!β€˜π‘) / e) βˆ’ (π‘†β€˜π‘)) = ((1 / e) βˆ’ 0))
27 rpreccl 13002 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (e ∈ ℝ+ β†’ (1 / e) ∈ ℝ+)
2812, 27ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 / e) ∈ ℝ+
29 rpre 12984 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 / e) ∈ ℝ+ β†’ (1 / e) ∈ ℝ)
3028, 29ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 / e) ∈ ℝ
3130recni 11230 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 / e) ∈ β„‚
3231subid1i 11534 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 / e) βˆ’ 0) = (1 / e)
3326, 32eqtrdi 2788 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 = 1 β†’ (((!β€˜π‘) / e) βˆ’ (π‘†β€˜π‘)) = (1 / e))
3433fveq2d 6895 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 = 1 β†’ (absβ€˜(((!β€˜π‘) / e) βˆ’ (π‘†β€˜π‘))) = (absβ€˜(1 / e)))
35 rpge0 12989 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 / e) ∈ ℝ+ β†’ 0 ≀ (1 / e))
3628, 35ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 0 ≀ (1 / e)
37 absid 15245 . . . . . . . . . . . 12 (((1 / e) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (1 / e)) β†’ (absβ€˜(1 / e)) = (1 / e))
3830, 36, 37mp2an 690 . . . . . . . . . . 11 (absβ€˜(1 / e)) = (1 / e)
3934, 38eqtrdi 2788 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = 1 β†’ (absβ€˜(((!β€˜π‘) / e) βˆ’ (π‘†β€˜π‘))) = (1 / e))
40 egt2lt3 16151 . . . . . . . . . . . 12 (2 < e ∧ e < 3)
4140simpli 484 . . . . . . . . . . 11 2 < e
42 2re 12288 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ
43 ere 16034 . . . . . . . . . . . 12 e ∈ ℝ
44 2pos 12317 . . . . . . . . . . . 12 0 < 2
45 epos 16152 . . . . . . . . . . . 12 0 < e
4642, 43, 44, 45ltrecii 12132 . . . . . . . . . . 11 (2 < e ↔ (1 / e) < (1 / 2))
4741, 46mpbi 229 . . . . . . . . . 10 (1 / e) < (1 / 2)
4839, 47eqbrtrdi 5187 . . . . . . . . 9 (𝑁 = 1 β†’ (absβ€˜(((!β€˜π‘) / e) βˆ’ (π‘†β€˜π‘))) < (1 / 2))
49 eluz2nn 12870 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
5014, 8resubcld 11644 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ β„• β†’ (((!β€˜π‘) / e) βˆ’ (π‘†β€˜π‘)) ∈ ℝ)
5150recnd 11244 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ β„• β†’ (((!β€˜π‘) / e) βˆ’ (π‘†β€˜π‘)) ∈ β„‚)
5249, 51syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (((!β€˜π‘) / e) βˆ’ (π‘†β€˜π‘)) ∈ β„‚)
5352abscld 15385 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (absβ€˜(((!β€˜π‘) / e) βˆ’ (π‘†β€˜π‘))) ∈ ℝ)
5449nnrecred 12265 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
5515a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (1 / 2) ∈ ℝ)
562, 3subfaclim 34248 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ β„• β†’ (absβ€˜(((!β€˜π‘) / e) βˆ’ (π‘†β€˜π‘))) < (1 / 𝑁))
5749, 56syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (absβ€˜(((!β€˜π‘) / e) βˆ’ (π‘†β€˜π‘))) < (1 / 𝑁))
58 eluzle 12837 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 2 ≀ 𝑁)
59 nnre 12221 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
60 nngt0 12245 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ β„• β†’ 0 < 𝑁)
61 lerec 12099 . . . . . . . . . . . . . 14 (((2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) β†’ (2 ≀ 𝑁 ↔ (1 / 𝑁) ≀ (1 / 2)))
6242, 44, 61mpanl12 700 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁) β†’ (2 ≀ 𝑁 ↔ (1 / 𝑁) ≀ (1 / 2)))
6359, 60, 62syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ β„• β†’ (2 ≀ 𝑁 ↔ (1 / 𝑁) ≀ (1 / 2)))
6449, 63syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (2 ≀ 𝑁 ↔ (1 / 𝑁) ≀ (1 / 2)))
6558, 64mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (1 / 𝑁) ≀ (1 / 2))
6653, 54, 55, 57, 65ltletrd 11376 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (absβ€˜(((!β€˜π‘) / e) βˆ’ (π‘†β€˜π‘))) < (1 / 2))
6748, 66jaoi 855 . . . . . . . 8 ((𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (absβ€˜(((!β€˜π‘) / e) βˆ’ (π‘†β€˜π‘))) < (1 / 2))
6818, 67sylbi 216 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ (absβ€˜(((!β€˜π‘) / e) βˆ’ (π‘†β€˜π‘))) < (1 / 2))
6915a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„• β†’ (1 / 2) ∈ ℝ)
7014, 8, 69absdifltd 15382 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((absβ€˜(((!β€˜π‘) / e) βˆ’ (π‘†β€˜π‘))) < (1 / 2) ↔ (((π‘†β€˜π‘) βˆ’ (1 / 2)) < ((!β€˜π‘) / e) ∧ ((!β€˜π‘) / e) < ((π‘†β€˜π‘) + (1 / 2)))))
7168, 70mpbid 231 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„• β†’ (((π‘†β€˜π‘) βˆ’ (1 / 2)) < ((!β€˜π‘) / e) ∧ ((!β€˜π‘) / e) < ((π‘†β€˜π‘) + (1 / 2))))
7271simpld 495 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((π‘†β€˜π‘) βˆ’ (1 / 2)) < ((!β€˜π‘) / e))
738, 69, 14ltsubaddd 11812 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ (((π‘†β€˜π‘) βˆ’ (1 / 2)) < ((!β€˜π‘) / e) ↔ (π‘†β€˜π‘) < (((!β€˜π‘) / e) + (1 / 2))))
7472, 73mpbid 231 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ (π‘†β€˜π‘) < (((!β€˜π‘) / e) + (1 / 2)))
758, 17, 74ltled 11364 . . 3 (𝑁 ∈ β„• β†’ (π‘†β€˜π‘) ≀ (((!β€˜π‘) / e) + (1 / 2)))
76 readdcl 11195 . . . . . 6 (((π‘†β€˜π‘) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) β†’ ((π‘†β€˜π‘) + (1 / 2)) ∈ ℝ)
778, 15, 76sylancl 586 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((π‘†β€˜π‘) + (1 / 2)) ∈ ℝ)
7871simprd 496 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((!β€˜π‘) / e) < ((π‘†β€˜π‘) + (1 / 2)))
7914, 77, 69, 78ltadd1dd 11827 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ (((!β€˜π‘) / e) + (1 / 2)) < (((π‘†β€˜π‘) + (1 / 2)) + (1 / 2)))
808recnd 11244 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„• β†’ (π‘†β€˜π‘) ∈ β„‚)
8169recnd 11244 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„• β†’ (1 / 2) ∈ β„‚)
8280, 81, 81addassd 11238 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ (((π‘†β€˜π‘) + (1 / 2)) + (1 / 2)) = ((π‘†β€˜π‘) + ((1 / 2) + (1 / 2))))
83 ax-1cn 11170 . . . . . . 7 1 ∈ β„‚
84 2halves 12442 . . . . . . 7 (1 ∈ β„‚ β†’ ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1)
8583, 84ax-mp 5 . . . . . 6 ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1
8685oveq2i 7422 . . . . 5 ((π‘†β€˜π‘) + ((1 / 2) + (1 / 2))) = ((π‘†β€˜π‘) + 1)
8782, 86eqtrdi 2788 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ (((π‘†β€˜π‘) + (1 / 2)) + (1 / 2)) = ((π‘†β€˜π‘) + 1))
8879, 87breqtrd 5174 . . 3 (𝑁 ∈ β„• β†’ (((!β€˜π‘) / e) + (1 / 2)) < ((π‘†β€˜π‘) + 1))
89 flbi 13783 . . . 4 (((((!β€˜π‘) / e) + (1 / 2)) ∈ ℝ ∧ (π‘†β€˜π‘) ∈ β„€) β†’ ((βŒŠβ€˜(((!β€˜π‘) / e) + (1 / 2))) = (π‘†β€˜π‘) ↔ ((π‘†β€˜π‘) ≀ (((!β€˜π‘) / e) + (1 / 2)) ∧ (((!β€˜π‘) / e) + (1 / 2)) < ((π‘†β€˜π‘) + 1))))
9017, 7, 89syl2anc 584 . . 3 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((βŒŠβ€˜(((!β€˜π‘) / e) + (1 / 2))) = (π‘†β€˜π‘) ↔ ((π‘†β€˜π‘) ≀ (((!β€˜π‘) / e) + (1 / 2)) ∧ (((!β€˜π‘) / e) + (1 / 2)) < ((π‘†β€˜π‘) + 1))))
9175, 88, 90mpbir2and 711 . 2 (𝑁 ∈ β„• β†’ (βŒŠβ€˜(((!β€˜π‘) / e) + (1 / 2))) = (π‘†β€˜π‘))
9291eqcomd 2738 1 (𝑁 ∈ β„• β†’ (π‘†β€˜π‘) = (βŒŠβ€˜(((!β€˜π‘) / e) + (1 / 2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {cab 2709   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6542  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  Fincfn 8941  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   < clt 11250   ≀ cle 11251   βˆ’ cmin 11446   / cdiv 11873  β„•cn 12214  2c2 12269  3c3 12270  β„•0cn0 12474  β„€cz 12560  β„€β‰₯cuz 12824  β„+crp 12976  ...cfz 13486  βŒŠcfl 13757  !cfa 14235  β™―chash 14292  abscabs 15183  eceu 16008
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-oadd 8472  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-n0 12475  df-xnn0 12547  df-z 12561  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-ico 13332  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-fl 13759  df-seq 13969  df-exp 14030  df-fac 14236  df-bc 14265  df-hash 14293  df-shft 15016  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-limsup 15417  df-clim 15434  df-rlim 15435  df-sum 15635  df-ef 16013  df-e 16014
This theorem is referenced by:  derangfmla  34250
  Copyright terms: Public domain W3C validator