Theorem dnibndlem10 36453

Description: Lemma for dnibnd 36457. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dnibndlem10.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
dnibndlem10.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
dnibndlem10.3	⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))))

Assertion

Ref	Expression
dnibndlem10	⊢ (𝜑 → 1 ≤ (𝐵 − 𝐴))

Proof of Theorem dnibndlem10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1red 11291	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
2		dnibndlem10.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		halfre 12507	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
4	3	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
5	2, 4	readdcld 11319	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
6		reflcl 13847	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
7	5, 6	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
8	7, 4	jca 511	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ))
9		resubcl 11600	. . . . 5 ⊢ (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) ∈ ℝ)
10	8, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) ∈ ℝ)
11		dnibndlem10.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
12	11, 4	readdcld 11319	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
13		reflcl 13847	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
14	12, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
15	14, 4	readdcld 11319	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) ∈ ℝ)
16	10, 15	jca 511	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) ∈ ℝ ∧ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) ∈ ℝ))
17		resubcl 11600	. . 3 ⊢ ((((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) ∈ ℝ ∧ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) ∈ ℝ) → (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2))) ∈ ℝ)
18	16, 17	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2))) ∈ ℝ)
19	2, 11	resubcld 11718	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
20	14	recnd 11318	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℂ)
21		2cnd 12371	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
22	4	recnd 11318	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℂ)
23	20, 21, 22	addsubassd 11667	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) − (1 / 2)) = ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (2 − (1 / 2))))
24	23	oveq1d 7463	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) − (1 / 2)) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2))) = (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (2 − (1 / 2))) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2))))
25	21, 22	subcld 11647	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 − (1 / 2)) ∈ ℂ)
26	20, 25, 22	pnpcand 11684	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (2 − (1 / 2))) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2))) = ((2 − (1 / 2)) − (1 / 2)))
27	21, 22, 22	subsub4d 11678	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 − (1 / 2)) − (1 / 2)) = (2 − ((1 / 2) + (1 / 2))))
28		ax-1cn 11242	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
29		2halves 12521	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ∈ ℂ → ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1)
30	28, 29	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1
31	30	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1)
32	31	oveq2d 7464	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 − ((1 / 2) + (1 / 2))) = (2 − 1))
33		2m1e1 12419	. . . . . . 7 ⊢ (2 − 1) = 1
34	33	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 − 1) = 1)
35	27, 32, 34	3eqtrd 2784	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2 − (1 / 2)) − (1 / 2)) = 1)
36	24, 26, 35	3eqtrd 2784	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) − (1 / 2)) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2))) = 1)
37	36	eqcomd 2746	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 = ((((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) − (1 / 2)) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2))))
38		2re 12367	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
39	38	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
40	14, 39	readdcld 11319	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) ∈ ℝ)
41	40, 4	jca 511	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ))
42		resubcl 11600	. . . . 5 ⊢ ((((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) − (1 / 2)) ∈ ℝ)
43	41, 42	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) − (1 / 2)) ∈ ℝ)
44		dnibndlem10.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))))
45	40, 7, 4, 44	lesub1dd 11906	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) − (1 / 2)) ≤ ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)))
46	43, 10, 15, 45	lesub1dd 11906	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) − (1 / 2)) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2))) ≤ (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2))))
47	37, 46	eqbrtrd 5188	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2))))
48		flle 13850	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ≤ (𝐵 + (1 / 2)))
49	5, 48	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ≤ (𝐵 + (1 / 2)))
50	7, 4, 2	lesubaddd 11887	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) ≤ 𝐵 ↔ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ≤ (𝐵 + (1 / 2))))
51	49, 50	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) ≤ 𝐵)
52		fllep1 13852	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (𝐴 + (1 / 2)) ≤ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1))
53	12, 52	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (1 / 2)) ≤ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1))
54	20, 22, 22	addassd 11312	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) + (1 / 2)) = ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + ((1 / 2) + (1 / 2))))
55	31	oveq2d 7464	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + ((1 / 2) + (1 / 2))) = ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1))
56	54, 55	eqtrd 2780	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) + (1 / 2)) = ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1))
57	56	eqcomd 2746	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) = (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) + (1 / 2)))
58	53, 57	breqtrd 5192	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (1 / 2)) ≤ (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) + (1 / 2)))
59	11, 15, 4	leadd1d 11884	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) ↔ (𝐴 + (1 / 2)) ≤ (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) + (1 / 2))))
60	58, 59	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)))
61	10, 11, 2, 15, 51, 60	le2subd 11910	. 2 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2))) ≤ (𝐵 − 𝐴))
62	1, 18, 19, 47, 61	letrd 11447	1 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (𝐵 − 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  ℝcr 11183  1c1 11185   + caddc 11187   ≤ cle 11325   − cmin 11520   / cdiv 11947  2c2 12348  ⌊cfl 13841

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-sup 9511  df-inf 9512  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-fl 13843

This theorem is referenced by:  dnibndlem12  36455