Theorem dnibndlem10 36505

Description: Lemma for dnibnd 36509. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dnibndlem10.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
dnibndlem10.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
dnibndlem10.3	⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))))

Assertion

Ref	Expression
dnibndlem10	⊢ (𝜑 → 1 ≤ (𝐵 − 𝐴))

Proof of Theorem dnibndlem10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1red 11236	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
2		dnibndlem10.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		halfre 12454	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
4	3	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
5	2, 4	readdcld 11264	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
6		reflcl 13813	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
7	5, 6	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
8	7, 4	jca 511	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ))
9		resubcl 11547	. . . . 5 ⊢ (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) ∈ ℝ)
10	8, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) ∈ ℝ)
11		dnibndlem10.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
12	11, 4	readdcld 11264	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
13		reflcl 13813	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
14	12, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
15	14, 4	readdcld 11264	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) ∈ ℝ)
16	10, 15	jca 511	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) ∈ ℝ ∧ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) ∈ ℝ))
17		resubcl 11547	. . 3 ⊢ ((((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) ∈ ℝ ∧ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) ∈ ℝ) → (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2))) ∈ ℝ)
18	16, 17	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2))) ∈ ℝ)
19	2, 11	resubcld 11665	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
20	14	recnd 11263	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℂ)
21		2cnd 12318	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
22	4	recnd 11263	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℂ)
23	20, 21, 22	addsubassd 11614	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) − (1 / 2)) = ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (2 − (1 / 2))))
24	23	oveq1d 7420	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) − (1 / 2)) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2))) = (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (2 − (1 / 2))) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2))))
25	21, 22	subcld 11594	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 − (1 / 2)) ∈ ℂ)
26	20, 25, 22	pnpcand 11631	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (2 − (1 / 2))) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2))) = ((2 − (1 / 2)) − (1 / 2)))
27	21, 22, 22	subsub4d 11625	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 − (1 / 2)) − (1 / 2)) = (2 − ((1 / 2) + (1 / 2))))
28		ax-1cn 11187	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
29		2halves 12459	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ∈ ℂ → ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1)
30	28, 29	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1
31	30	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1)
32	31	oveq2d 7421	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 − ((1 / 2) + (1 / 2))) = (2 − 1))
33		2m1e1 12366	. . . . . . 7 ⊢ (2 − 1) = 1
34	33	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 − 1) = 1)
35	27, 32, 34	3eqtrd 2774	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2 − (1 / 2)) − (1 / 2)) = 1)
36	24, 26, 35	3eqtrd 2774	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) − (1 / 2)) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2))) = 1)
37	36	eqcomd 2741	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 = ((((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) − (1 / 2)) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2))))
38		2re 12314	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
39	38	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
40	14, 39	readdcld 11264	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) ∈ ℝ)
41	40, 4	jca 511	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ))
42		resubcl 11547	. . . . 5 ⊢ ((((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) − (1 / 2)) ∈ ℝ)
43	41, 42	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) − (1 / 2)) ∈ ℝ)
44		dnibndlem10.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))))
45	40, 7, 4, 44	lesub1dd 11853	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) − (1 / 2)) ≤ ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)))
46	43, 10, 15, 45	lesub1dd 11853	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) − (1 / 2)) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2))) ≤ (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2))))
47	37, 46	eqbrtrd 5141	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2))))
48		flle 13816	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ≤ (𝐵 + (1 / 2)))
49	5, 48	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ≤ (𝐵 + (1 / 2)))
50	7, 4, 2	lesubaddd 11834	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) ≤ 𝐵 ↔ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ≤ (𝐵 + (1 / 2))))
51	49, 50	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) ≤ 𝐵)
52		fllep1 13818	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (𝐴 + (1 / 2)) ≤ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1))
53	12, 52	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (1 / 2)) ≤ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1))
54	20, 22, 22	addassd 11257	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) + (1 / 2)) = ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + ((1 / 2) + (1 / 2))))
55	31	oveq2d 7421	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + ((1 / 2) + (1 / 2))) = ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1))
56	54, 55	eqtrd 2770	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) + (1 / 2)) = ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1))
57	56	eqcomd 2741	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) = (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) + (1 / 2)))
58	53, 57	breqtrd 5145	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (1 / 2)) ≤ (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) + (1 / 2)))
59	11, 15, 4	leadd1d 11831	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) ↔ (𝐴 + (1 / 2)) ≤ (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) + (1 / 2))))
60	58, 59	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)))
61	10, 11, 2, 15, 51, 60	le2subd 11857	. 2 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2))) ≤ (𝐵 − 𝐴))
62	1, 18, 19, 47, 61	letrd 11392	1 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (𝐵 − 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5119  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  ℂcc 11127  ℝcr 11128  1c1 11130   + caddc 11132   ≤ cle 11270   − cmin 11466   / cdiv 11894  2c2 12295  ⌊cfl 13807

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-sup 9454  df-inf 9455  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-fl 13809

This theorem is referenced by:  dnibndlem12  36507