Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dnibndlem10 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dnibndlem10 36488
Description: Lemma for dnibnd 36492. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
dnibndlem10.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
dnibndlem10.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
dnibndlem10.3 (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))))
Assertion
Ref Expression
dnibndlem10 (𝜑 → 1 ≤ (𝐵𝐴))

Proof of Theorem dnibndlem10
StepHypRef Expression
1 1red 11262 . 2 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
2 dnibndlem10.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 halfre 12480 . . . . . . . . 9 (1 / 2) ∈ ℝ
43a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
52, 4readdcld 11290 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
6 reflcl 13836 . . . . . . 7 ((𝐵 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
75, 6syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
87, 4jca 511 . . . . 5 (𝜑 → ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ))
9 resubcl 11573 . . . . 5 (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) ∈ ℝ)
108, 9syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) ∈ ℝ)
11 dnibndlem10.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
1211, 4readdcld 11290 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
13 reflcl 13836 . . . . . 6 ((𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
1412, 13syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
1514, 4readdcld 11290 . . . 4 (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) ∈ ℝ)
1610, 15jca 511 . . 3 (𝜑 → (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) ∈ ℝ ∧ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) ∈ ℝ))
17 resubcl 11573 . . 3 ((((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) ∈ ℝ ∧ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) ∈ ℝ) → (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2))) ∈ ℝ)
1816, 17syl 17 . 2 (𝜑 → (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2))) ∈ ℝ)
192, 11resubcld 11691 . 2 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
2014recnd 11289 . . . . . . 7 (𝜑 → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℂ)
21 2cnd 12344 . . . . . . 7 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
224recnd 11289 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℂ)
2320, 21, 22addsubassd 11640 . . . . . 6 (𝜑 → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) − (1 / 2)) = ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (2 − (1 / 2))))
2423oveq1d 7446 . . . . 5 (𝜑 → ((((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) − (1 / 2)) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2))) = (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (2 − (1 / 2))) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2))))
2521, 22subcld 11620 . . . . . 6 (𝜑 → (2 − (1 / 2)) ∈ ℂ)
2620, 25, 22pnpcand 11657 . . . . 5 (𝜑 → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (2 − (1 / 2))) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2))) = ((2 − (1 / 2)) − (1 / 2)))
2721, 22, 22subsub4d 11651 . . . . . 6 (𝜑 → ((2 − (1 / 2)) − (1 / 2)) = (2 − ((1 / 2) + (1 / 2))))
28 ax-1cn 11213 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
29 2halves 12494 . . . . . . . . 9 (1 ∈ ℂ → ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1)
3028, 29ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1
3130a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1)
3231oveq2d 7447 . . . . . 6 (𝜑 → (2 − ((1 / 2) + (1 / 2))) = (2 − 1))
33 2m1e1 12392 . . . . . . 7 (2 − 1) = 1
3433a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (2 − 1) = 1)
3527, 32, 343eqtrd 2781 . . . . 5 (𝜑 → ((2 − (1 / 2)) − (1 / 2)) = 1)
3624, 26, 353eqtrd 2781 . . . 4 (𝜑 → ((((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) − (1 / 2)) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2))) = 1)
3736eqcomd 2743 . . 3 (𝜑 → 1 = ((((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) − (1 / 2)) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2))))
38 2re 12340 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
3938a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
4014, 39readdcld 11290 . . . . . 6 (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) ∈ ℝ)
4140, 4jca 511 . . . . 5 (𝜑 → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ))
42 resubcl 11573 . . . . 5 ((((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) − (1 / 2)) ∈ ℝ)
4341, 42syl 17 . . . 4 (𝜑 → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) − (1 / 2)) ∈ ℝ)
44 dnibndlem10.3 . . . . 5 (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))))
4540, 7, 4, 44lesub1dd 11879 . . . 4 (𝜑 → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) − (1 / 2)) ≤ ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)))
4643, 10, 15, 45lesub1dd 11879 . . 3 (𝜑 → ((((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) − (1 / 2)) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2))) ≤ (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2))))
4737, 46eqbrtrd 5165 . 2 (𝜑 → 1 ≤ (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2))))
48 flle 13839 . . . . 5 ((𝐵 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ≤ (𝐵 + (1 / 2)))
495, 48syl 17 . . . 4 (𝜑 → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ≤ (𝐵 + (1 / 2)))
507, 4, 2lesubaddd 11860 . . . 4 (𝜑 → (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) ≤ 𝐵 ↔ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ≤ (𝐵 + (1 / 2))))
5149, 50mpbird 257 . . 3 (𝜑 → ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) ≤ 𝐵)
52 fllep1 13841 . . . . . 6 ((𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (𝐴 + (1 / 2)) ≤ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1))
5312, 52syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 + (1 / 2)) ≤ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1))
5420, 22, 22addassd 11283 . . . . . . 7 (𝜑 → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) + (1 / 2)) = ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + ((1 / 2) + (1 / 2))))
5531oveq2d 7447 . . . . . . 7 (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + ((1 / 2) + (1 / 2))) = ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1))
5654, 55eqtrd 2777 . . . . . 6 (𝜑 → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) + (1 / 2)) = ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1))
5756eqcomd 2743 . . . . 5 (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) = (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) + (1 / 2)))
5853, 57breqtrd 5169 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 + (1 / 2)) ≤ (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) + (1 / 2)))
5911, 15, 4leadd1d 11857 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 ≤ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) ↔ (𝐴 + (1 / 2)) ≤ (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) + (1 / 2))))
6058, 59mpbird 257 . . 3 (𝜑𝐴 ≤ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)))
6110, 11, 2, 15, 51, 60le2subd 11883 . 2 (𝜑 → (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2))) ≤ (𝐵𝐴))
621, 18, 19, 47, 61letrd 11418 1 (𝜑 → 1 ≤ (𝐵𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  1c1 11156   + caddc 11158  cle 11296  cmin 11492   / cdiv 11920  2c2 12321  cfl 13830
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fl 13832
This theorem is referenced by:  dnibndlem12  36490
  Copyright terms: Public domain W3C validator