Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dnibndlem10 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dnibndlem10 36201
Description: Lemma for dnibnd 36205. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
dnibndlem10.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
dnibndlem10.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
dnibndlem10.3 (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))))
Assertion
Ref Expression
dnibndlem10 (𝜑 → 1 ≤ (𝐵𝐴))

Proof of Theorem dnibndlem10
StepHypRef Expression
1 1red 11254 . 2 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
2 dnibndlem10.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 halfre 12470 . . . . . . . . 9 (1 / 2) ∈ ℝ
43a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
52, 4readdcld 11282 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
6 reflcl 13808 . . . . . . 7 ((𝐵 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
75, 6syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
87, 4jca 510 . . . . 5 (𝜑 → ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ))
9 resubcl 11563 . . . . 5 (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) ∈ ℝ)
108, 9syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) ∈ ℝ)
11 dnibndlem10.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
1211, 4readdcld 11282 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
13 reflcl 13808 . . . . . 6 ((𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
1412, 13syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
1514, 4readdcld 11282 . . . 4 (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) ∈ ℝ)
1610, 15jca 510 . . 3 (𝜑 → (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) ∈ ℝ ∧ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) ∈ ℝ))
17 resubcl 11563 . . 3 ((((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) ∈ ℝ ∧ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) ∈ ℝ) → (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2))) ∈ ℝ)
1816, 17syl 17 . 2 (𝜑 → (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2))) ∈ ℝ)
192, 11resubcld 11681 . 2 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
2014recnd 11281 . . . . . . 7 (𝜑 → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℂ)
21 2cnd 12334 . . . . . . 7 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
224recnd 11281 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℂ)
2320, 21, 22addsubassd 11630 . . . . . 6 (𝜑 → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) − (1 / 2)) = ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (2 − (1 / 2))))
2423oveq1d 7429 . . . . 5 (𝜑 → ((((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) − (1 / 2)) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2))) = (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (2 − (1 / 2))) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2))))
2521, 22subcld 11610 . . . . . 6 (𝜑 → (2 − (1 / 2)) ∈ ℂ)
2620, 25, 22pnpcand 11647 . . . . 5 (𝜑 → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (2 − (1 / 2))) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2))) = ((2 − (1 / 2)) − (1 / 2)))
2721, 22, 22subsub4d 11641 . . . . . 6 (𝜑 → ((2 − (1 / 2)) − (1 / 2)) = (2 − ((1 / 2) + (1 / 2))))
28 ax-1cn 11205 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
29 2halves 12484 . . . . . . . . 9 (1 ∈ ℂ → ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1)
3028, 29ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1
3130a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1)
3231oveq2d 7430 . . . . . 6 (𝜑 → (2 − ((1 / 2) + (1 / 2))) = (2 − 1))
33 2m1e1 12382 . . . . . . 7 (2 − 1) = 1
3433a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (2 − 1) = 1)
3527, 32, 343eqtrd 2770 . . . . 5 (𝜑 → ((2 − (1 / 2)) − (1 / 2)) = 1)
3624, 26, 353eqtrd 2770 . . . 4 (𝜑 → ((((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) − (1 / 2)) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2))) = 1)
3736eqcomd 2732 . . 3 (𝜑 → 1 = ((((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) − (1 / 2)) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2))))
38 2re 12330 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
3938a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
4014, 39readdcld 11282 . . . . . 6 (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) ∈ ℝ)
4140, 4jca 510 . . . . 5 (𝜑 → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ))
42 resubcl 11563 . . . . 5 ((((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) − (1 / 2)) ∈ ℝ)
4341, 42syl 17 . . . 4 (𝜑 → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) − (1 / 2)) ∈ ℝ)
44 dnibndlem10.3 . . . . 5 (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))))
4540, 7, 4, 44lesub1dd 11869 . . . 4 (𝜑 → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) − (1 / 2)) ≤ ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)))
4643, 10, 15, 45lesub1dd 11869 . . 3 (𝜑 → ((((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) − (1 / 2)) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2))) ≤ (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2))))
4737, 46eqbrtrd 5166 . 2 (𝜑 → 1 ≤ (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2))))
48 flle 13811 . . . . 5 ((𝐵 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ≤ (𝐵 + (1 / 2)))
495, 48syl 17 . . . 4 (𝜑 → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ≤ (𝐵 + (1 / 2)))
507, 4, 2lesubaddd 11850 . . . 4 (𝜑 → (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) ≤ 𝐵 ↔ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ≤ (𝐵 + (1 / 2))))
5149, 50mpbird 256 . . 3 (𝜑 → ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) ≤ 𝐵)
52 fllep1 13813 . . . . . 6 ((𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (𝐴 + (1 / 2)) ≤ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1))
5312, 52syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 + (1 / 2)) ≤ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1))
5420, 22, 22addassd 11275 . . . . . . 7 (𝜑 → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) + (1 / 2)) = ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + ((1 / 2) + (1 / 2))))
5531oveq2d 7430 . . . . . . 7 (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + ((1 / 2) + (1 / 2))) = ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1))
5654, 55eqtrd 2766 . . . . . 6 (𝜑 → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) + (1 / 2)) = ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1))
5756eqcomd 2732 . . . . 5 (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) = (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) + (1 / 2)))
5853, 57breqtrd 5170 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 + (1 / 2)) ≤ (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) + (1 / 2)))
5911, 15, 4leadd1d 11847 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 ≤ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) ↔ (𝐴 + (1 / 2)) ≤ (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) + (1 / 2))))
6058, 59mpbird 256 . . 3 (𝜑𝐴 ≤ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)))
6110, 11, 2, 15, 51, 60le2subd 11873 . 2 (𝜑 → (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2))) ≤ (𝐵𝐴))
621, 18, 19, 47, 61letrd 11410 1 (𝜑 → 1 ≤ (𝐵𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099   class class class wbr 5144  cfv 6544  (class class class)co 7414  cc 11145  cr 11146  1c1 11148   + caddc 11150  cle 11288  cmin 11483   / cdiv 11910  2c2 12311  cfl 13802
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7736  ax-cnex 11203  ax-resscn 11204  ax-1cn 11205  ax-icn 11206  ax-addcl 11207  ax-addrcl 11208  ax-mulcl 11209  ax-mulrcl 11210  ax-mulcom 11211  ax-addass 11212  ax-mulass 11213  ax-distr 11214  ax-i2m1 11215  ax-1ne0 11216  ax-1rid 11217  ax-rnegex 11218  ax-rrecex 11219  ax-cnre 11220  ax-pre-lttri 11221  ax-pre-lttrn 11222  ax-pre-ltadd 11223  ax-pre-mulgt0 11224  ax-pre-sup 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3421  df-v 3465  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4324  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4907  df-iun 4996  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6303  df-ord 6369  df-on 6370  df-lim 6371  df-suc 6372  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7867  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9476  df-inf 9477  df-pnf 11289  df-mnf 11290  df-xr 11291  df-ltxr 11292  df-le 11293  df-sub 11485  df-neg 11486  df-div 11911  df-nn 12257  df-2 12319  df-n0 12517  df-z 12603  df-uz 12867  df-fl 13804
This theorem is referenced by:  dnibndlem12  36203
  Copyright terms: Public domain W3C validator