Theorem dnibndlem10 36689

Description: Lemma for dnibnd 36693. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dnibndlem10.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
dnibndlem10.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
dnibndlem10.3	⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))))

Assertion

Ref	Expression
dnibndlem10	⊢ (𝜑 → 1 ≤ (𝐵 − 𝐴))

Proof of Theorem dnibndlem10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1red 11137	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
2		dnibndlem10.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		halfre 12358	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
4	3	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
5	2, 4	readdcld 11165	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
6		reflcl 13720	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
7	5, 6	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
8	7, 4	jca 511	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ))
9		resubcl 11449	. . . . 5 ⊢ (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) ∈ ℝ)
10	8, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) ∈ ℝ)
11		dnibndlem10.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
12	11, 4	readdcld 11165	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
13		reflcl 13720	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
14	12, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
15	14, 4	readdcld 11165	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) ∈ ℝ)
16	10, 15	jca 511	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) ∈ ℝ ∧ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) ∈ ℝ))
17		resubcl 11449	. . 3 ⊢ ((((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) ∈ ℝ ∧ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) ∈ ℝ) → (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2))) ∈ ℝ)
18	16, 17	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2))) ∈ ℝ)
19	2, 11	resubcld 11569	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
20	14	recnd 11164	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℂ)
21		2cnd 12227	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
22	4	recnd 11164	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℂ)
23	20, 21, 22	addsubassd 11516	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) − (1 / 2)) = ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (2 − (1 / 2))))
24	23	oveq1d 7375	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) − (1 / 2)) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2))) = (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (2 − (1 / 2))) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2))))
25	21, 22	subcld 11496	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 − (1 / 2)) ∈ ℂ)
26	20, 25, 22	pnpcand 11533	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (2 − (1 / 2))) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2))) = ((2 − (1 / 2)) − (1 / 2)))
27	21, 22, 22	subsub4d 11527	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 − (1 / 2)) − (1 / 2)) = (2 − ((1 / 2) + (1 / 2))))
28		ax-1cn 11088	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
29		2halves 12363	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ∈ ℂ → ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1)
30	28, 29	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1
31	30	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1)
32	31	oveq2d 7376	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 − ((1 / 2) + (1 / 2))) = (2 − 1))
33		2m1e1 12270	. . . . . . 7 ⊢ (2 − 1) = 1
34	33	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 − 1) = 1)
35	27, 32, 34	3eqtrd 2776	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2 − (1 / 2)) − (1 / 2)) = 1)
36	24, 26, 35	3eqtrd 2776	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) − (1 / 2)) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2))) = 1)
37	36	eqcomd 2743	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 = ((((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) − (1 / 2)) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2))))
38		2re 12223	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
39	38	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
40	14, 39	readdcld 11165	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) ∈ ℝ)
41	40, 4	jca 511	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ))
42		resubcl 11449	. . . . 5 ⊢ ((((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) − (1 / 2)) ∈ ℝ)
43	41, 42	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) − (1 / 2)) ∈ ℝ)
44		dnibndlem10.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))))
45	40, 7, 4, 44	lesub1dd 11757	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) − (1 / 2)) ≤ ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)))
46	43, 10, 15, 45	lesub1dd 11757	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) − (1 / 2)) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2))) ≤ (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2))))
47	37, 46	eqbrtrd 5121	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2))))
48		flle 13723	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ≤ (𝐵 + (1 / 2)))
49	5, 48	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ≤ (𝐵 + (1 / 2)))
50	7, 4, 2	lesubaddd 11738	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) ≤ 𝐵 ↔ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ≤ (𝐵 + (1 / 2))))
51	49, 50	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) ≤ 𝐵)
52		fllep1 13725	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (𝐴 + (1 / 2)) ≤ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1))
53	12, 52	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (1 / 2)) ≤ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1))
54	20, 22, 22	addassd 11158	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) + (1 / 2)) = ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + ((1 / 2) + (1 / 2))))
55	31	oveq2d 7376	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + ((1 / 2) + (1 / 2))) = ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1))
56	54, 55	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) + (1 / 2)) = ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1))
57	56	eqcomd 2743	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) = (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) + (1 / 2)))
58	53, 57	breqtrd 5125	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (1 / 2)) ≤ (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) + (1 / 2)))
59	11, 15, 4	leadd1d 11735	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) ↔ (𝐴 + (1 / 2)) ≤ (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) + (1 / 2))))
60	58, 59	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)))
61	10, 11, 2, 15, 51, 60	le2subd 11761	. 2 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2))) ≤ (𝐵 − 𝐴))
62	1, 18, 19, 47, 61	letrd 11294	1 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (𝐵 − 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5099  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  ℂcc 11028  ℝcr 11029  1c1 11031   + caddc 11033   ≤ cle 11171   − cmin 11368   / cdiv 11798  2c2 12204  ⌊cfl 13714

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-sup 9349  df-inf 9350  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12150  df-2 12212  df-n0 12406  df-z 12493  df-uz 12756  df-fl 13716

This theorem is referenced by:  dnibndlem12  36691