Theorem dnibndlem10 36482

Description: Lemma for dnibnd 36486. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dnibndlem10.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
dnibndlem10.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
dnibndlem10.3	⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))))

Assertion

Ref	Expression
dnibndlem10	⊢ (𝜑 → 1 ≤ (𝐵 − 𝐴))

Proof of Theorem dnibndlem10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1red 11182	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
2		dnibndlem10.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		halfre 12402	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
4	3	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
5	2, 4	readdcld 11210	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
6		reflcl 13765	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
7	5, 6	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
8	7, 4	jca 511	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ))
9		resubcl 11493	. . . . 5 ⊢ (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) ∈ ℝ)
10	8, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) ∈ ℝ)
11		dnibndlem10.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
12	11, 4	readdcld 11210	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
13		reflcl 13765	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
14	12, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
15	14, 4	readdcld 11210	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) ∈ ℝ)
16	10, 15	jca 511	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) ∈ ℝ ∧ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) ∈ ℝ))
17		resubcl 11493	. . 3 ⊢ ((((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) ∈ ℝ ∧ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) ∈ ℝ) → (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2))) ∈ ℝ)
18	16, 17	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2))) ∈ ℝ)
19	2, 11	resubcld 11613	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
20	14	recnd 11209	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℂ)
21		2cnd 12271	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
22	4	recnd 11209	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℂ)
23	20, 21, 22	addsubassd 11560	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) − (1 / 2)) = ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (2 − (1 / 2))))
24	23	oveq1d 7405	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) − (1 / 2)) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2))) = (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (2 − (1 / 2))) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2))))
25	21, 22	subcld 11540	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 − (1 / 2)) ∈ ℂ)
26	20, 25, 22	pnpcand 11577	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (2 − (1 / 2))) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2))) = ((2 − (1 / 2)) − (1 / 2)))
27	21, 22, 22	subsub4d 11571	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 − (1 / 2)) − (1 / 2)) = (2 − ((1 / 2) + (1 / 2))))
28		ax-1cn 11133	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
29		2halves 12407	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ∈ ℂ → ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1)
30	28, 29	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1
31	30	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1)
32	31	oveq2d 7406	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 − ((1 / 2) + (1 / 2))) = (2 − 1))
33		2m1e1 12314	. . . . . . 7 ⊢ (2 − 1) = 1
34	33	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 − 1) = 1)
35	27, 32, 34	3eqtrd 2769	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2 − (1 / 2)) − (1 / 2)) = 1)
36	24, 26, 35	3eqtrd 2769	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) − (1 / 2)) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2))) = 1)
37	36	eqcomd 2736	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 = ((((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) − (1 / 2)) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2))))
38		2re 12267	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
39	38	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
40	14, 39	readdcld 11210	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) ∈ ℝ)
41	40, 4	jca 511	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ))
42		resubcl 11493	. . . . 5 ⊢ ((((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) − (1 / 2)) ∈ ℝ)
43	41, 42	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) − (1 / 2)) ∈ ℝ)
44		dnibndlem10.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))))
45	40, 7, 4, 44	lesub1dd 11801	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) − (1 / 2)) ≤ ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)))
46	43, 10, 15, 45	lesub1dd 11801	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) − (1 / 2)) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2))) ≤ (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2))))
47	37, 46	eqbrtrd 5132	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2))))
48		flle 13768	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ≤ (𝐵 + (1 / 2)))
49	5, 48	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ≤ (𝐵 + (1 / 2)))
50	7, 4, 2	lesubaddd 11782	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) ≤ 𝐵 ↔ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ≤ (𝐵 + (1 / 2))))
51	49, 50	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) ≤ 𝐵)
52		fllep1 13770	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (𝐴 + (1 / 2)) ≤ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1))
53	12, 52	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (1 / 2)) ≤ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1))
54	20, 22, 22	addassd 11203	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) + (1 / 2)) = ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + ((1 / 2) + (1 / 2))))
55	31	oveq2d 7406	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + ((1 / 2) + (1 / 2))) = ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1))
56	54, 55	eqtrd 2765	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) + (1 / 2)) = ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1))
57	56	eqcomd 2736	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) = (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) + (1 / 2)))
58	53, 57	breqtrd 5136	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (1 / 2)) ≤ (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) + (1 / 2)))
59	11, 15, 4	leadd1d 11779	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) ↔ (𝐴 + (1 / 2)) ≤ (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) + (1 / 2))))
60	58, 59	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)))
61	10, 11, 2, 15, 51, 60	le2subd 11805	. 2 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2))) ≤ (𝐵 − 𝐴))
62	1, 18, 19, 47, 61	letrd 11338	1 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (𝐵 − 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  ℝcr 11074  1c1 11076   + caddc 11078   ≤ cle 11216   − cmin 11412   / cdiv 11842  2c2 12248  ⌊cfl 13759

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-sup 9400  df-inf 9401  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-fl 13761

This theorem is referenced by:  dnibndlem12  36484