Theorem dnibndlem10 36808

Description: Lemma for dnibnd 36812. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dnibndlem10.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
dnibndlem10.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
dnibndlem10.3	⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))))

Assertion

Ref	Expression
dnibndlem10	⊢ (𝜑 → 1 ≤ (𝐵 − 𝐴))

Proof of Theorem dnibndlem10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1red 11140	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
2		dnibndlem10.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		halfre 12385	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
4	3	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
5	2, 4	readdcld 11169	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
6		reflcl 13750	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
7	5, 6	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
8	7, 4	jca 517	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ))
9		resubcl 11453	. . . . 5 ⊢ (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) ∈ ℝ)
10	8, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) ∈ ℝ)
11		dnibndlem10.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
12	11, 4	readdcld 11169	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
13		reflcl 13750	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
14	12, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
15	14, 4	readdcld 11169	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) ∈ ℝ)
16	10, 15	jca 517	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) ∈ ℝ ∧ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) ∈ ℝ))
17		resubcl 11453	. . 3 ⊢ ((((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) ∈ ℝ ∧ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) ∈ ℝ) → (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2))) ∈ ℝ)
18	16, 17	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2))) ∈ ℝ)
19	2, 11	resubcld 11573	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
20	14	recnd 11168	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℂ)
21		2cnd 12254	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
22	4	recnd 11168	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℂ)
23	20, 21, 22	addsubassd 11520	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) − (1 / 2)) = ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (2 − (1 / 2))))
24	23	oveq1d 7375	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) − (1 / 2)) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2))) = (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (2 − (1 / 2))) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2))))
25	21, 22	subcld 11500	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 − (1 / 2)) ∈ ℂ)
26	20, 25, 22	pnpcand 11537	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (2 − (1 / 2))) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2))) = ((2 − (1 / 2)) − (1 / 2)))
27	21, 22, 22	subsub4d 11531	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 − (1 / 2)) − (1 / 2)) = (2 − ((1 / 2) + (1 / 2))))
28		ax-1cn 11091	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
29		2halves 12390	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ∈ ℂ → ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1)
30	28, 29	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1
31	30	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1)
32	31	oveq2d 7376	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 − ((1 / 2) + (1 / 2))) = (2 − 1))
33		2m1e1 12297	. . . . . . 7 ⊢ (2 − 1) = 1
34	33	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 − 1) = 1)
35	27, 32, 34	3eqtrd 2780	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2 − (1 / 2)) − (1 / 2)) = 1)
36	24, 26, 35	3eqtrd 2780	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) − (1 / 2)) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2))) = 1)
37	36	eqcomd 2747	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 = ((((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) − (1 / 2)) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2))))
38		2re 12250	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
39	38	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
40	14, 39	readdcld 11169	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) ∈ ℝ)
41	40, 4	jca 517	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ))
42		resubcl 11453	. . . . 5 ⊢ ((((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) − (1 / 2)) ∈ ℝ)
43	41, 42	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) − (1 / 2)) ∈ ℝ)
44		dnibndlem10.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))))
45	40, 7, 4, 44	lesub1dd 11761	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) − (1 / 2)) ≤ ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)))
46	43, 10, 15, 45	lesub1dd 11761	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) − (1 / 2)) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2))) ≤ (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2))))
47	37, 46	eqbrtrd 5097	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2))))
48		flle 13753	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ≤ (𝐵 + (1 / 2)))
49	5, 48	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ≤ (𝐵 + (1 / 2)))
50	7, 4, 2	lesubaddd 11742	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) ≤ 𝐵 ↔ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ≤ (𝐵 + (1 / 2))))
51	49, 50	mpbird 259	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) ≤ 𝐵)
52		fllep1 13755	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (𝐴 + (1 / 2)) ≤ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1))
53	12, 52	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (1 / 2)) ≤ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1))
54	20, 22, 22	addassd 11162	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) + (1 / 2)) = ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + ((1 / 2) + (1 / 2))))
55	31	oveq2d 7376	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + ((1 / 2) + (1 / 2))) = ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1))
56	54, 55	eqtrd 2776	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) + (1 / 2)) = ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1))
57	56	eqcomd 2747	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) = (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) + (1 / 2)))
58	53, 57	breqtrd 5101	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (1 / 2)) ≤ (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) + (1 / 2)))
59	11, 15, 4	leadd1d 11739	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) ↔ (𝐴 + (1 / 2)) ≤ (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) + (1 / 2))))
60	58, 59	mpbird 259	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)))
61	10, 11, 2, 15, 51, 60	le2subd 11765	. 2 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2))) ≤ (𝐵 − 𝐴))
62	1, 18, 19, 47, 61	letrd 11298	1 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (𝐵 − 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   class class class wbr 5075  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360  ℂcc 11031  ℝcr 11032  1c1 11034   + caddc 11036   ≤ cle 11175   − cmin 11372   / cdiv 11802  2c2 12231  ⌊cfl 13744

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-pre-sup 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-sup 9349  df-inf 9350  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-2 12239  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-fl 13746

This theorem is referenced by:  dnibndlem12  36810