Theorem dnibndlem5 36730

Description: Lemma for dnibnd 36739. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
dnibndlem5	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 < (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) − 𝐴))

Proof of Theorem dnibndlem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		halfre 12379	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
3	2	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 / 2) ∈ ℝ)
4		readdcl 11110	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
5	1, 3, 4	syl2anc2 586	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
6		flltp1 13748	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (𝐴 + (1 / 2)) < ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1))
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + (1 / 2)) < ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1))
8		ax-1cn 11085	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
9		2halves 12384	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ∈ ℂ → ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1)
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1
11	10	eqcomi 2744	. . . . . . 7 ⊢ 1 = ((1 / 2) + (1 / 2))
12	11	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 1 = ((1 / 2) + (1 / 2)))
13	12	oveq2d 7372	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) = ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + ((1 / 2) + (1 / 2))))
14		reflcl 13744	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
15	5, 14	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
16	15	recnd 11162	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℂ)
17	3	recnd 11162	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 / 2) ∈ ℂ)
18	16, 17, 17	3jca 1129	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ))
19		addass 11114	. . . . . . 7 ⊢ (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ) → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) + (1 / 2)) = ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + ((1 / 2) + (1 / 2))))
20	18, 19	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) + (1 / 2)) = ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + ((1 / 2) + (1 / 2))))
21	20	eqcomd 2741	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + ((1 / 2) + (1 / 2))) = (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) + (1 / 2)))
22	13, 21	eqtrd 2770	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) = (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) + (1 / 2)))
23	7, 22	breqtrd 5100	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + (1 / 2)) < (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) + (1 / 2)))
24	15, 3	jca 511	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ))
25		readdcl 11110	. . . . 5 ⊢ (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) ∈ ℝ)
26	24, 25	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) ∈ ℝ)
27	1, 26, 3	ltadd1d 11732	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) ↔ (𝐴 + (1 / 2)) < (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) + (1 / 2))))
28	23, 27	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)))
29	1, 26	posdifd 11726	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) ↔ 0 < (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) − 𝐴)))
30	28, 29	mpbid 232	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 < (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) − 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5074  ‘cfv 6487  (class class class)co 7356  ℂcc 11025  ℝcr 11026  0cc0 11027  1c1 11028   + caddc 11030   < clt 11168   − cmin 11366   / cdiv 11796  2c2 12225  ⌊cfl 13738

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-pre-sup 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3060  df-rmo 3340  df-reu 3341  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8632  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-sup 9344  df-inf 9345  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12164  df-2 12233  df-n0 12427  df-z 12514  df-uz 12778  df-fl 13740

This theorem is referenced by:  dnibndlem9  36734