Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dnibndlem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dnibndlem5 33063
Description: Lemma for dnibnd 33072. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.)
Assertion
Ref Expression
dnibndlem5 (𝐴 ∈ ℝ → 0 < (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) − 𝐴))

Proof of Theorem dnibndlem5
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ)
2 halfre 11601 . . . . . . . 8 (1 / 2) ∈ ℝ
32a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (1 / 2) ∈ ℝ)
41, 3jca 507 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ))
5 readdcl 10357 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
64, 5syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
7 flltp1 12925 . . . . 5 ((𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (𝐴 + (1 / 2)) < ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1))
86, 7syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + (1 / 2)) < ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1))
9 ax-1cn 10332 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
10 2halves 11615 . . . . . . . . 9 (1 ∈ ℂ → ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1)
119, 10ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1
1211eqcomi 2787 . . . . . . 7 1 = ((1 / 2) + (1 / 2))
1312a1i 11 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → 1 = ((1 / 2) + (1 / 2)))
1413oveq2d 6940 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) = ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + ((1 / 2) + (1 / 2))))
15 reflcl 12921 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
166, 15syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
1716recnd 10407 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℂ)
183recnd 10407 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (1 / 2) ∈ ℂ)
1917, 18, 183jca 1119 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ))
20 addass 10361 . . . . . . 7 (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ) → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) + (1 / 2)) = ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + ((1 / 2) + (1 / 2))))
2119, 20syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) + (1 / 2)) = ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + ((1 / 2) + (1 / 2))))
2221eqcomd 2784 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + ((1 / 2) + (1 / 2))) = (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) + (1 / 2)))
2314, 22eqtrd 2814 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) = (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) + (1 / 2)))
248, 23breqtrd 4914 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + (1 / 2)) < (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) + (1 / 2)))
2516, 3jca 507 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ))
26 readdcl 10357 . . . . 5 (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) ∈ ℝ)
2725, 26syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) ∈ ℝ)
281, 27, 3ltadd1d 10971 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) ↔ (𝐴 + (1 / 2)) < (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) + (1 / 2))))
2924, 28mpbird 249 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)))
301, 27posdifd 10965 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) ↔ 0 < (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) − 𝐴)))
3129, 30mpbid 224 1 (𝐴 ∈ ℝ → 0 < (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) − 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386  w3a 1071   = wceq 1601  wcel 2107   class class class wbr 4888  cfv 6137  (class class class)co 6924  cc 10272  cr 10273  0cc0 10274  1c1 10275   + caddc 10277   < clt 10413  cmin 10608   / cdiv 11035  2c2 11435  cfl 12915
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351  ax-pre-sup 10352
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-er 8028  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-sup 8638  df-inf 8639  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-div 11036  df-nn 11380  df-2 11443  df-n0 11648  df-z 11734  df-uz 11998  df-fl 12917
This theorem is referenced by:  dnibndlem9  33067
  Copyright terms: Public domain W3C validator