Theorem dnibndlem5 36758

Description: Lemma for dnibnd 36767. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
dnibndlem5	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 < (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) − 𝐴))

Proof of Theorem dnibndlem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		halfre 12381	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
3	2	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 / 2) ∈ ℝ)
4		readdcl 11112	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
5	1, 3, 4	syl2anc2 586	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
6		flltp1 13750	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (𝐴 + (1 / 2)) < ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1))
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + (1 / 2)) < ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1))
8		ax-1cn 11087	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
9		2halves 12386	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ∈ ℂ → ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1)
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1
11	10	eqcomi 2746	. . . . . . 7 ⊢ 1 = ((1 / 2) + (1 / 2))
12	11	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 1 = ((1 / 2) + (1 / 2)))
13	12	oveq2d 7376	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) = ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + ((1 / 2) + (1 / 2))))
14		reflcl 13746	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
15	5, 14	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
16	15	recnd 11164	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℂ)
17	3	recnd 11164	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 / 2) ∈ ℂ)
18	16, 17, 17	3jca 1129	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ))
19		addass 11116	. . . . . . 7 ⊢ (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ) → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) + (1 / 2)) = ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + ((1 / 2) + (1 / 2))))
20	18, 19	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) + (1 / 2)) = ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + ((1 / 2) + (1 / 2))))
21	20	eqcomd 2743	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + ((1 / 2) + (1 / 2))) = (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) + (1 / 2)))
22	13, 21	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) = (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) + (1 / 2)))
23	7, 22	breqtrd 5112	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + (1 / 2)) < (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) + (1 / 2)))
24	15, 3	jca 511	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ))
25		readdcl 11112	. . . . 5 ⊢ (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) ∈ ℝ)
26	24, 25	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) ∈ ℝ)
27	1, 26, 3	ltadd1d 11734	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) ↔ (𝐴 + (1 / 2)) < (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) + (1 / 2))))
28	23, 27	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)))
29	1, 26	posdifd 11728	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) ↔ 0 < (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) − 𝐴)))
30	28, 29	mpbid 232	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 < (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) − 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  ℂcc 11027  ℝcr 11028  0cc0 11029  1c1 11030   + caddc 11032   < clt 11170   − cmin 11368   / cdiv 11798  2c2 12227  ⌊cfl 13740

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9348  df-inf 9349  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fl 13742

This theorem is referenced by:  dnibndlem9  36762