Theorem dnibndlem5 35347

Description: Lemma for dnibnd 35356. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
dnibndlem5	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 < (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) − 𝐴))

Proof of Theorem dnibndlem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		halfre 12423	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
3	2	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 / 2) ∈ ℝ)
4		readdcl 11190	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
5	1, 3, 4	syl2anc2 586	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
6		flltp1 13762	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (𝐴 + (1 / 2)) < ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1))
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + (1 / 2)) < ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1))
8		ax-1cn 11165	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
9		2halves 12437	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ∈ ℂ → ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1)
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1
11	10	eqcomi 2742	. . . . . . 7 ⊢ 1 = ((1 / 2) + (1 / 2))
12	11	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 1 = ((1 / 2) + (1 / 2)))
13	12	oveq2d 7422	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) = ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + ((1 / 2) + (1 / 2))))
14		reflcl 13758	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
15	5, 14	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
16	15	recnd 11239	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℂ)
17	3	recnd 11239	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 / 2) ∈ ℂ)
18	16, 17, 17	3jca 1129	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ))
19		addass 11194	. . . . . . 7 ⊢ (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ) → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) + (1 / 2)) = ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + ((1 / 2) + (1 / 2))))
20	18, 19	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) + (1 / 2)) = ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + ((1 / 2) + (1 / 2))))
21	20	eqcomd 2739	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + ((1 / 2) + (1 / 2))) = (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) + (1 / 2)))
22	13, 21	eqtrd 2773	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) = (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) + (1 / 2)))
23	7, 22	breqtrd 5174	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + (1 / 2)) < (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) + (1 / 2)))
24	15, 3	jca 513	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ))
25		readdcl 11190	. . . . 5 ⊢ (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) ∈ ℝ)
26	24, 25	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) ∈ ℝ)
27	1, 26, 3	ltadd1d 11804	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) ↔ (𝐴 + (1 / 2)) < (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) + (1 / 2))))
28	23, 27	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)))
29	1, 26	posdifd 11798	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) ↔ 0 < (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) − 𝐴)))
30	28, 29	mpbid 231	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 < (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) − 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5148  ‘cfv 6541  (class class class)co 7406  ℂcc 11105  ℝcr 11106  0cc0 11107  1c1 11108   + caddc 11110   < clt 11245   − cmin 11441   / cdiv 11868  2c2 12264  ⌊cfl 13752

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-fl 13754

This theorem is referenced by:  dnibndlem9  35351