Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrx2linesl Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem rrx2linesl 47429
Description: The line passing through the two different points 𝑋 and π‘Œ in a real Euclidean space of dimension 2, expressed by the slope 𝑆 between the two points ("point-slope form"), sometimes also written as ((π‘β€˜2) βˆ’ (π‘‹β€˜2)) = (𝑆 Β· ((π‘β€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1))). (Contributed by AV, 22-Jan-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
rrx2line.i 𝐼 = {1, 2}
rrx2line.e 𝐸 = (ℝ^β€˜πΌ)
rrx2line.b 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
rrx2line.l 𝐿 = (LineMβ€˜πΈ)
rrx2linesl.s 𝑆 = (((π‘Œβ€˜2) βˆ’ (π‘‹β€˜2)) / ((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1)))
Assertion
Ref Expression
rrx2linesl ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜1) β‰  (π‘Œβ€˜1)) β†’ (π‘‹πΏπ‘Œ) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (π‘β€˜2) = ((𝑆 Β· ((π‘β€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1))) + (π‘‹β€˜2))})
Distinct variable groups:   𝐸,𝑝   𝐼,𝑝   𝑃,𝑝   𝑋,𝑝   π‘Œ,𝑝
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑝)   𝐿(𝑝)
Proof of Theorem rrx2linesl
Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq1 6891 . . . 4 (𝑋 = π‘Œ β†’ (π‘‹β€˜1) = (π‘Œβ€˜1))
21necon3i 2974 . . 3 ((π‘‹β€˜1) β‰  (π‘Œβ€˜1) β†’ 𝑋 β‰  π‘Œ)
3 rrx2line.i . . . 4 𝐼 = {1, 2}
4 rrx2line.e . . . 4 𝐸 = (ℝ^β€˜πΌ)
5 rrx2line.b . . . 4 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
6 rrx2line.l . . . 4 𝐿 = (LineMβ€˜πΈ)
73, 4, 5, 6rrx2line 47426 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) β†’ (π‘‹πΏπ‘Œ) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ ((π‘β€˜1) = (((1 βˆ’ 𝑑) Β· (π‘‹β€˜1)) + (𝑑 Β· (π‘Œβ€˜1))) ∧ (π‘β€˜2) = (((1 βˆ’ 𝑑) Β· (π‘‹β€˜2)) + (𝑑 Β· (π‘Œβ€˜2))))})
82, 7syl3an3 1166 . 2 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜1) β‰  (π‘Œβ€˜1)) β†’ (π‘‹πΏπ‘Œ) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ ((π‘β€˜1) = (((1 βˆ’ 𝑑) Β· (π‘‹β€˜1)) + (𝑑 Β· (π‘Œβ€˜1))) ∧ (π‘β€˜2) = (((1 βˆ’ 𝑑) Β· (π‘‹β€˜2)) + (𝑑 Β· (π‘Œβ€˜2))))})
9 reex 11201 . . . . . . . 8 ℝ ∈ V
10 prex 5433 . . . . . . . . 9 {1, 2} ∈ V
113, 10eqeltri 2830 . . . . . . . 8 𝐼 ∈ V
129, 11elmap 8865 . . . . . . 7 (𝑝 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↔ 𝑝:πΌβŸΆβ„)
13 id 22 . . . . . . . 8 (𝑝:πΌβŸΆβ„ β†’ 𝑝:πΌβŸΆβ„)
14 1ex 11210 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ V
1514prid1 4767 . . . . . . . . . 10 1 ∈ {1, 2}
1615, 3eleqtrri 2833 . . . . . . . . 9 1 ∈ 𝐼
1716a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑝:πΌβŸΆβ„ β†’ 1 ∈ 𝐼)
1813, 17ffvelcdmd 7088 . . . . . . 7 (𝑝:πΌβŸΆβ„ β†’ (π‘β€˜1) ∈ ℝ)
1912, 18sylbi 216 . . . . . 6 (𝑝 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) β†’ (π‘β€˜1) ∈ ℝ)
2019, 5eleq2s 2852 . . . . 5 (𝑝 ∈ 𝑃 β†’ (π‘β€˜1) ∈ ℝ)
2120adantl 483 . . . 4 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜1) β‰  (π‘Œβ€˜1)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (π‘β€˜1) ∈ ℝ)
229, 11elmap 8865 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↔ 𝑋:πΌβŸΆβ„)
23 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑋:πΌβŸΆβ„ β†’ 𝑋:πΌβŸΆβ„)
2416a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑋:πΌβŸΆβ„ β†’ 1 ∈ 𝐼)
2523, 24ffvelcdmd 7088 . . . . . . . 8 (𝑋:πΌβŸΆβ„ β†’ (π‘‹β€˜1) ∈ ℝ)
2622, 25sylbi 216 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) β†’ (π‘‹β€˜1) ∈ ℝ)
2726, 5eleq2s 2852 . . . . . 6 (𝑋 ∈ 𝑃 β†’ (π‘‹β€˜1) ∈ ℝ)
28273ad2ant1 1134 . . . . 5 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜1) β‰  (π‘Œβ€˜1)) β†’ (π‘‹β€˜1) ∈ ℝ)
2928adantr 482 . . . 4 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜1) β‰  (π‘Œβ€˜1)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (π‘‹β€˜1) ∈ ℝ)
309, 11elmap 8865 . . . . . . . 8 (π‘Œ ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↔ π‘Œ:πΌβŸΆβ„)
31 id 22 . . . . . . . . 9 (π‘Œ:πΌβŸΆβ„ β†’ π‘Œ:πΌβŸΆβ„)
3216a1i 11 . . . . . . . . 9 (π‘Œ:πΌβŸΆβ„ β†’ 1 ∈ 𝐼)
3331, 32ffvelcdmd 7088 . . . . . . . 8 (π‘Œ:πΌβŸΆβ„ β†’ (π‘Œβ€˜1) ∈ ℝ)
3430, 33sylbi 216 . . . . . . 7 (π‘Œ ∈ (ℝ ↑m 𝐼) β†’ (π‘Œβ€˜1) ∈ ℝ)
3534, 5eleq2s 2852 . . . . . 6 (π‘Œ ∈ 𝑃 β†’ (π‘Œβ€˜1) ∈ ℝ)
36353ad2ant2 1135 . . . . 5 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜1) β‰  (π‘Œβ€˜1)) β†’ (π‘Œβ€˜1) ∈ ℝ)
3736adantr 482 . . . 4 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜1) β‰  (π‘Œβ€˜1)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (π‘Œβ€˜1) ∈ ℝ)
38 simpl3 1194 . . . 4 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜1) β‰  (π‘Œβ€˜1)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (π‘‹β€˜1) β‰  (π‘Œβ€˜1))
39 2ex 12289 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ V
4039prid2 4768 . . . . . . . . . 10 2 ∈ {1, 2}
4140, 3eleqtrri 2833 . . . . . . . . 9 2 ∈ 𝐼
4241a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑝:πΌβŸΆβ„ β†’ 2 ∈ 𝐼)
4313, 42ffvelcdmd 7088 . . . . . . 7 (𝑝:πΌβŸΆβ„ β†’ (π‘β€˜2) ∈ ℝ)
4412, 43sylbi 216 . . . . . 6 (𝑝 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) β†’ (π‘β€˜2) ∈ ℝ)
4544, 5eleq2s 2852 . . . . 5 (𝑝 ∈ 𝑃 β†’ (π‘β€˜2) ∈ ℝ)
4645adantl 483 . . . 4 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜1) β‰  (π‘Œβ€˜1)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (π‘β€˜2) ∈ ℝ)
4741a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑋:πΌβŸΆβ„ β†’ 2 ∈ 𝐼)
4823, 47ffvelcdmd 7088 . . . . . . . 8 (𝑋:πΌβŸΆβ„ β†’ (π‘‹β€˜2) ∈ ℝ)
4922, 48sylbi 216 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) β†’ (π‘‹β€˜2) ∈ ℝ)
5049, 5eleq2s 2852 . . . . . 6 (𝑋 ∈ 𝑃 β†’ (π‘‹β€˜2) ∈ ℝ)
51503ad2ant1 1134 . . . . 5 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜1) β‰  (π‘Œβ€˜1)) β†’ (π‘‹β€˜2) ∈ ℝ)
5251adantr 482 . . . 4 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜1) β‰  (π‘Œβ€˜1)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (π‘‹β€˜2) ∈ ℝ)
535eleq2i 2826 . . . . . . . 8 (π‘Œ ∈ 𝑃 ↔ π‘Œ ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
5453, 30bitri 275 . . . . . . 7 (π‘Œ ∈ 𝑃 ↔ π‘Œ:πΌβŸΆβ„)
5541a1i 11 . . . . . . . 8 (π‘Œ:πΌβŸΆβ„ β†’ 2 ∈ 𝐼)
5631, 55ffvelcdmd 7088 . . . . . . 7 (π‘Œ:πΌβŸΆβ„ β†’ (π‘Œβ€˜2) ∈ ℝ)
5754, 56sylbi 216 . . . . . 6 (π‘Œ ∈ 𝑃 β†’ (π‘Œβ€˜2) ∈ ℝ)
58573ad2ant2 1135 . . . . 5 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜1) β‰  (π‘Œβ€˜1)) β†’ (π‘Œβ€˜2) ∈ ℝ)
5958adantr 482 . . . 4 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜1) β‰  (π‘Œβ€˜1)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (π‘Œβ€˜2) ∈ ℝ)
60 rrx2linesl.s . . . 4 𝑆 = (((π‘Œβ€˜2) βˆ’ (π‘‹β€˜2)) / ((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1)))
6121, 29, 37, 38, 46, 52, 59, 60affinecomb1 47388 . . 3 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜1) β‰  (π‘Œβ€˜1)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ ((π‘β€˜1) = (((1 βˆ’ 𝑑) Β· (π‘‹β€˜1)) + (𝑑 Β· (π‘Œβ€˜1))) ∧ (π‘β€˜2) = (((1 βˆ’ 𝑑) Β· (π‘‹β€˜2)) + (𝑑 Β· (π‘Œβ€˜2)))) ↔ (π‘β€˜2) = ((𝑆 Β· ((π‘β€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1))) + (π‘‹β€˜2))))
6261rabbidva 3440 . 2 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜1) β‰  (π‘Œβ€˜1)) β†’ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ ((π‘β€˜1) = (((1 βˆ’ 𝑑) Β· (π‘‹β€˜1)) + (𝑑 Β· (π‘Œβ€˜1))) ∧ (π‘β€˜2) = (((1 βˆ’ 𝑑) Β· (π‘‹β€˜2)) + (𝑑 Β· (π‘Œβ€˜2))))} = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (π‘β€˜2) = ((𝑆 Β· ((π‘β€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1))) + (π‘‹β€˜2))})
638, 62eqtrd 2773 1 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜1) β‰  (π‘Œβ€˜1)) β†’ (π‘‹πΏπ‘Œ) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (π‘β€˜2) = ((𝑆 Β· ((π‘β€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1))) + (π‘‹β€˜2))})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆƒwrex 3071  {crab 3433  Vcvv 3475  {cpr 4631  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ↑m cmap 8820  β„cr 11109  1c1 11111   + caddc 11113   Β· cmul 11115   βˆ’ cmin 11444   / cdiv 11871  2c2 12267  β„^crrx 24900  LineMcline 47413
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-tpos 8211  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-sup 9437  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-0g 17387  df-prds 17393  df-pws 17395  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-mhm 18671  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-subg 19003  df-ghm 19090  df-cmn 19650  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-cring 20059  df-oppr 20150  df-dvdsr 20171  df-unit 20172  df-invr 20202  df-dvr 20215  df-rnghom 20251  df-subrg 20317  df-drng 20359  df-field 20360  df-staf 20453  df-srng 20454  df-lmod 20473  df-lss 20543  df-sra 20785  df-rgmod 20786  df-cnfld 20945  df-refld 21158  df-dsmm 21287  df-frlm 21302  df-tng 24093  df-tcph 24686  df-rrx 24902  df-line 47415
This theorem is referenced by:  line2  47438
  Copyright terms: Public domain W3C validator