Theorem rrx2linesl 49994

Description: The line passing through the two different points 𝑋 and 𝑌 in a real Euclidean space of dimension 2, expressed by the slope 𝑆 between the two points ("point-slope form"), sometimes also written as ((𝑝‘1) − (𝑋‘1)) = (𝑆 · ((𝑝‘0) − (𝑋‘0))). (Contributed by AV, 22-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrx2line.i	⊢ 𝐼 = (0..^2)
rrx2line.e	⊢ 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
rrx2line.b	⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
rrx2line.l	⊢ 𝐿 = (LineM‘𝐸)
rrx2linesl.s	⊢ 𝑆 = (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) / ((𝑌‘0) − (𝑋‘0)))

Assertion

Ref	Expression
rrx2linesl	⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘0) ≠ (𝑌‘0)) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝‘1) = ((𝑆 · ((𝑝‘0) − (𝑋‘0))) + (𝑋‘1))})

Distinct variable groups:   𝐸,𝑝   𝐼,𝑝   𝑃,𝑝   𝑋,𝑝   𝑌,𝑝

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑝)   𝐿(𝑝)

Proof of Theorem rrx2linesl

Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq1 6892	. . . 4 ⊢ (𝑋 = 𝑌 → (𝑋‘0) = (𝑌‘0))
2	1	necon3i 2990	. . 3 ⊢ ((𝑋‘0) ≠ (𝑌‘0) → 𝑋 ≠ 𝑌)
3		rrx2line.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (0..^2)
4		rrx2line.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
5		rrx2line.b	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
6		rrx2line.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LineM‘𝐸)
7	3, 4, 5, 6	rrx2line 49991	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘0) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘0)) + (𝑡 · (𝑌‘0))) ∧ (𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))))})
8	2, 7	syl3an3 1183	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘0) ≠ (𝑌‘0)) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘0) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘0)) + (𝑡 · (𝑌‘0))) ∧ (𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))))})
9	3, 5	rrx2pxel 49962	. . . . 5 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → (𝑝‘0) ∈ ℝ)
10	9	adantl 487	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘0) ≠ (𝑌‘0)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑝‘0) ∈ ℝ)
11	3, 5	rrx2pxel 49962	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘0) ∈ ℝ)
12	11	3ad2ant1 1151	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘0) ≠ (𝑌‘0)) → (𝑋‘0) ∈ ℝ)
13	12	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘0) ≠ (𝑌‘0)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑋‘0) ∈ ℝ)
14	3, 5	rrx2pxel 49962	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 → (𝑌‘0) ∈ ℝ)
15	14	3ad2ant2 1152	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘0) ≠ (𝑌‘0)) → (𝑌‘0) ∈ ℝ)
16	15	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘0) ≠ (𝑌‘0)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑌‘0) ∈ ℝ)
17		simpl3 1212	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘0) ≠ (𝑌‘0)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑋‘0) ≠ (𝑌‘0))
18	3, 5	rrx2pyel 49963	. . . . 5 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → (𝑝‘1) ∈ ℝ)
19	18	adantl 487	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘0) ≠ (𝑌‘0)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑝‘1) ∈ ℝ)
20	3, 5	rrx2pyel 49963	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
21	20	3ad2ant1 1151	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘0) ≠ (𝑌‘0)) → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
22	21	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘0) ≠ (𝑌‘0)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
23	3, 5	rrx2pyel 49963	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 → (𝑌‘1) ∈ ℝ)
24	23	3ad2ant2 1152	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘0) ≠ (𝑌‘0)) → (𝑌‘1) ∈ ℝ)
25	24	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘0) ≠ (𝑌‘0)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑌‘1) ∈ ℝ)
26		rrx2linesl.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) / ((𝑌‘0) − (𝑋‘0)))
27	10, 13, 16, 17, 19, 22, 25, 26	affinecomb1 49953	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘0) ≠ (𝑌‘0)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘0) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘0)) + (𝑡 · (𝑌‘0))) ∧ (𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1)))) ↔ (𝑝‘1) = ((𝑆 · ((𝑝‘0) − (𝑋‘0))) + (𝑋‘1))))
28	27	rabbidva 3421	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘0) ≠ (𝑌‘0)) → {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘0) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘0)) + (𝑡 · (𝑌‘0))) ∧ (𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))))} = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝‘1) = ((𝑆 · ((𝑝‘0) − (𝑋‘0))) + (𝑋‘1))})
29	8, 28	eqtrd 2798	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘0) ≠ (𝑌‘0)) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝‘1) = ((𝑆 · ((𝑝‘0) − (𝑋‘0))) + (𝑋‘1))})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2958  ∃wrex 3089  {crab 3415  ‘cfv 6546  (class class class)co 7427   ↑_m cmap 8858  ℝcr 11209  0cc0 11210  1c1 11211   + caddc 11213   · cmul 11215   − cmin 11551   / cdiv 11983  2c2 12407  ..^cfzo 13798  ℝ^crrx 25716  Line_Mcline 49979

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-cnex 11266  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-pre-mulgt0 11287  ax-pre-sup 11288  ax-addf 11289  ax-mulf 11290

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4838  df-uni 4870  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-of 7700  df-om 7885  df-1st 8008  df-2nd 8009  df-supp 8188  df-tpos 8254  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8487  df-er 8728  df-map 8860  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9365  df-sup 9444  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-sub 11553  df-neg 11554  df-div 11984  df-nn 12346  df-2 12415  df-3 12416  df-4 12417  df-5 12418  df-6 12419  df-7 12420  df-8 12421  df-9 12422  df-n0 12617  df-z 12704  df-dec 12825  df-uz 12976  df-rp 13131  df-fz 13650  df-fzo 13799  df-seq 14155  df-exp 14215  df-cj 15278  df-re 15279  df-im 15280  df-sqrt 15414  df-abs 15415  df-struct 17337  df-sets 17354  df-slot 17372  df-ndx 17384  df-base 17400  df-ress 17421  df-plusg 17453  df-mulr 17454  df-starv 17455  df-sca 17456  df-vsca 17457  df-ip 17458  df-tset 17459  df-ple 17460  df-ds 17462  df-unif 17463  df-hom 17464  df-cco 17465  df-0g 17624  df-prds 17630  df-pws 17632  df-mgm 18828  df-sgrp 18920  df-mnd 18936  df-mhm 18990  df-grp 19159  df-minusg 19160  df-sbg 19161  df-subg 19345  df-ghm 19440  df-cmn 20008  df-abl 20009  df-mgp 20373  df-rng 20387  df-ur 20420  df-ring 20473  df-cring 20474  df-oppr 20579  df-dvdsr 20599  df-unit 20600  df-invr 20630  df-dvr 20643  df-rhm 20714  df-subrng 20810  df-subrg 20834  df-drng 20994  df-field 20995  df-staf 21108  df-srng 21109  df-lmod 21149  df-lss 21219  df-sra 21460  df-rgmod 21461  df-cnfld 21691  df-refld 21923  df-dsmm 22050  df-frlm 22065  df-tng 24915  df-tcph 25502  df-rrx 25718  df-line 49981

This theorem is used by:  line2  50003