Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrx2linesl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrx2linesl 48664
Description: The line passing through the two different points 𝑋 and 𝑌 in a real Euclidean space of dimension 2, expressed by the slope 𝑆 between the two points ("point-slope form"), sometimes also written as ((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) = (𝑆 · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))). (Contributed by AV, 22-Jan-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
rrx2line.i 𝐼 = {1, 2}
rrx2line.e 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
rrx2line.b 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
rrx2line.l 𝐿 = (LineM𝐸)
rrx2linesl.s 𝑆 = (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)))
Assertion
Ref Expression
rrx2linesl ((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝𝑃 ∣ (𝑝‘2) = ((𝑆 · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) + (𝑋‘2))})
Distinct variable groups:   𝐸,𝑝   𝐼,𝑝   𝑃,𝑝   𝑋,𝑝   𝑌,𝑝
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑝)   𝐿(𝑝)

Proof of Theorem rrx2linesl
Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq1 6905 . . . 4 (𝑋 = 𝑌 → (𝑋‘1) = (𝑌‘1))
21necon3i 2973 . . 3 ((𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1) → 𝑋𝑌)
3 rrx2line.i . . . 4 𝐼 = {1, 2}
4 rrx2line.e . . . 4 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
5 rrx2line.b . . . 4 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
6 rrx2line.l . . . 4 𝐿 = (LineM𝐸)
73, 4, 5, 6rrx2line 48661 . . 3 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2))))})
82, 7syl3an3 1166 . 2 ((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2))))})
9 reex 11246 . . . . . . . 8 ℝ ∈ V
10 prex 5437 . . . . . . . . 9 {1, 2} ∈ V
113, 10eqeltri 2837 . . . . . . . 8 𝐼 ∈ V
129, 11elmap 8911 . . . . . . 7 (𝑝 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↔ 𝑝:𝐼⟶ℝ)
13 id 22 . . . . . . . 8 (𝑝:𝐼⟶ℝ → 𝑝:𝐼⟶ℝ)
14 1ex 11257 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ V
1514prid1 4762 . . . . . . . . . 10 1 ∈ {1, 2}
1615, 3eleqtrri 2840 . . . . . . . . 9 1 ∈ 𝐼
1716a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑝:𝐼⟶ℝ → 1 ∈ 𝐼)
1813, 17ffvelcdmd 7105 . . . . . . 7 (𝑝:𝐼⟶ℝ → (𝑝‘1) ∈ ℝ)
1912, 18sylbi 217 . . . . . 6 (𝑝 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) → (𝑝‘1) ∈ ℝ)
2019, 5eleq2s 2859 . . . . 5 (𝑝𝑃 → (𝑝‘1) ∈ ℝ)
2120adantl 481 . . . 4 (((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑝‘1) ∈ ℝ)
229, 11elmap 8911 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↔ 𝑋:𝐼⟶ℝ)
23 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑋:𝐼⟶ℝ → 𝑋:𝐼⟶ℝ)
2416a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑋:𝐼⟶ℝ → 1 ∈ 𝐼)
2523, 24ffvelcdmd 7105 . . . . . . . 8 (𝑋:𝐼⟶ℝ → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
2622, 25sylbi 217 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
2726, 5eleq2s 2859 . . . . . 6 (𝑋𝑃 → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
28273ad2ant1 1134 . . . . 5 ((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
2928adantr 480 . . . 4 (((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
309, 11elmap 8911 . . . . . . . 8 (𝑌 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↔ 𝑌:𝐼⟶ℝ)
31 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑌:𝐼⟶ℝ → 𝑌:𝐼⟶ℝ)
3216a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑌:𝐼⟶ℝ → 1 ∈ 𝐼)
3331, 32ffvelcdmd 7105 . . . . . . . 8 (𝑌:𝐼⟶ℝ → (𝑌‘1) ∈ ℝ)
3430, 33sylbi 217 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) → (𝑌‘1) ∈ ℝ)
3534, 5eleq2s 2859 . . . . . 6 (𝑌𝑃 → (𝑌‘1) ∈ ℝ)
36353ad2ant2 1135 . . . . 5 ((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) → (𝑌‘1) ∈ ℝ)
3736adantr 480 . . . 4 (((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑌‘1) ∈ ℝ)
38 simpl3 1194 . . . 4 (((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))
39 2ex 12343 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ V
4039prid2 4763 . . . . . . . . . 10 2 ∈ {1, 2}
4140, 3eleqtrri 2840 . . . . . . . . 9 2 ∈ 𝐼
4241a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑝:𝐼⟶ℝ → 2 ∈ 𝐼)
4313, 42ffvelcdmd 7105 . . . . . . 7 (𝑝:𝐼⟶ℝ → (𝑝‘2) ∈ ℝ)
4412, 43sylbi 217 . . . . . 6 (𝑝 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) → (𝑝‘2) ∈ ℝ)
4544, 5eleq2s 2859 . . . . 5 (𝑝𝑃 → (𝑝‘2) ∈ ℝ)
4645adantl 481 . . . 4 (((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑝‘2) ∈ ℝ)
4741a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑋:𝐼⟶ℝ → 2 ∈ 𝐼)
4823, 47ffvelcdmd 7105 . . . . . . . 8 (𝑋:𝐼⟶ℝ → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
4922, 48sylbi 217 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
5049, 5eleq2s 2859 . . . . . 6 (𝑋𝑃 → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
51503ad2ant1 1134 . . . . 5 ((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
5251adantr 480 . . . 4 (((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
535eleq2i 2833 . . . . . . . 8 (𝑌𝑃𝑌 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
5453, 30bitri 275 . . . . . . 7 (𝑌𝑃𝑌:𝐼⟶ℝ)
5541a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑌:𝐼⟶ℝ → 2 ∈ 𝐼)
5631, 55ffvelcdmd 7105 . . . . . . 7 (𝑌:𝐼⟶ℝ → (𝑌‘2) ∈ ℝ)
5754, 56sylbi 217 . . . . . 6 (𝑌𝑃 → (𝑌‘2) ∈ ℝ)
58573ad2ant2 1135 . . . . 5 ((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) → (𝑌‘2) ∈ ℝ)
5958adantr 480 . . . 4 (((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑌‘2) ∈ ℝ)
60 rrx2linesl.s . . . 4 𝑆 = (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)))
6121, 29, 37, 38, 46, 52, 59, 60affinecomb1 48623 . . 3 (((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) ∧ 𝑝𝑃) → (∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2)))) ↔ (𝑝‘2) = ((𝑆 · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) + (𝑋‘2))))
6261rabbidva 3443 . 2 ((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) → {𝑝𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2))))} = {𝑝𝑃 ∣ (𝑝‘2) = ((𝑆 · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) + (𝑋‘2))})
638, 62eqtrd 2777 1 ((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝𝑃 ∣ (𝑝‘2) = ((𝑆 · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) + (𝑋‘2))})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wrex 3070  {crab 3436  Vcvv 3480  {cpr 4628  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  m cmap 8866  cr 11154  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  cmin 11492   / cdiv 11920  2c2 12321  ℝ^crrx 25417  LineMcline 48648
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234  ax-mulf 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-sup 9482  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17486  df-prds 17492  df-pws 17494  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-subg 19141  df-ghm 19231  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-dvr 20401  df-rhm 20472  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-drng 20731  df-field 20732  df-staf 20840  df-srng 20841  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-cnfld 21365  df-refld 21623  df-dsmm 21752  df-frlm 21767  df-tng 24597  df-tcph 25203  df-rrx 25419  df-line 48650
This theorem is referenced by:  line2  48673
  Copyright terms: Public domain W3C validator