Theorem rrx2linesl 50186

Description: The line passing through the two different points 𝑋 and 𝑌 in a real Euclidean space of dimension 2, expressed by the slope 𝑆 between the two points ("point-slope form"), sometimes also written as ((𝑝‘1) − (𝑋‘1)) = (𝑆 · ((𝑝‘0) − (𝑋‘0))). (Contributed by AV, 22-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrx2line.i	⊢ 𝐼 = (0..^2)
rrx2line.e	⊢ 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
rrx2line.b	⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
rrx2line.l	⊢ 𝐿 = (LineM‘𝐸)
rrx2linesl.s	⊢ 𝑆 = (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) / ((𝑌‘0) − (𝑋‘0)))

Assertion

Ref	Expression
rrx2linesl	⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘0) ≠ (𝑌‘0)) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝‘1) = ((𝑆 · ((𝑝‘0) − (𝑋‘0))) + (𝑋‘1))})

Distinct variable groups:   𝐸,𝑝   𝐼,𝑝   𝑃,𝑝   𝑋,𝑝   𝑌,𝑝

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑝)   𝐿(𝑝)

Proof of Theorem rrx2linesl

Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq1 6915	. . . 4 ⊢ (𝑋 = 𝑌 → (𝑋‘0) = (𝑌‘0))
2	1	necon3i 2991	. . 3 ⊢ ((𝑋‘0) ≠ (𝑌‘0) → 𝑋 ≠ 𝑌)
3		rrx2line.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (0..^2)
4		rrx2line.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
5		rrx2line.b	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
6		rrx2line.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LineM‘𝐸)
7	3, 4, 5, 6	rrx2line 50183	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘0) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘0)) + (𝑡 · (𝑌‘0))) ∧ (𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))))})
8	2, 7	syl3an3 1183	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘0) ≠ (𝑌‘0)) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘0) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘0)) + (𝑡 · (𝑌‘0))) ∧ (𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))))})
9	3, 5	rrx2pxel 50154	. . . . 5 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → (𝑝‘0) ∈ ℝ)
10	9	adantl 487	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘0) ≠ (𝑌‘0)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑝‘0) ∈ ℝ)
11	3, 5	rrx2pxel 50154	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘0) ∈ ℝ)
12	11	3ad2ant1 1151	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘0) ≠ (𝑌‘0)) → (𝑋‘0) ∈ ℝ)
13	12	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘0) ≠ (𝑌‘0)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑋‘0) ∈ ℝ)
14	3, 5	rrx2pxel 50154	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 → (𝑌‘0) ∈ ℝ)
15	14	3ad2ant2 1152	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘0) ≠ (𝑌‘0)) → (𝑌‘0) ∈ ℝ)
16	15	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘0) ≠ (𝑌‘0)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑌‘0) ∈ ℝ)
17		simpl3 1212	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘0) ≠ (𝑌‘0)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑋‘0) ≠ (𝑌‘0))
18	3, 5	rrx2pyel 50155	. . . . 5 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → (𝑝‘1) ∈ ℝ)
19	18	adantl 487	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘0) ≠ (𝑌‘0)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑝‘1) ∈ ℝ)
20	3, 5	rrx2pyel 50155	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
21	20	3ad2ant1 1151	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘0) ≠ (𝑌‘0)) → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
22	21	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘0) ≠ (𝑌‘0)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
23	3, 5	rrx2pyel 50155	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 → (𝑌‘1) ∈ ℝ)
24	23	3ad2ant2 1152	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘0) ≠ (𝑌‘0)) → (𝑌‘1) ∈ ℝ)
25	24	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘0) ≠ (𝑌‘0)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑌‘1) ∈ ℝ)
26		rrx2linesl.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) / ((𝑌‘0) − (𝑋‘0)))
27	10, 13, 16, 17, 19, 22, 25, 26	affinecomb1 50145	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘0) ≠ (𝑌‘0)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘0) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘0)) + (𝑡 · (𝑌‘0))) ∧ (𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1)))) ↔ (𝑝‘1) = ((𝑆 · ((𝑝‘0) − (𝑋‘0))) + (𝑋‘1))))
28	27	rabbidva 3422	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘0) ≠ (𝑌‘0)) → {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘0) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘0)) + (𝑡 · (𝑌‘0))) ∧ (𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))))} = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝‘1) = ((𝑆 · ((𝑝‘0) − (𝑋‘0))) + (𝑋‘1))})
29	8, 28	eqtrd 2798	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘0) ≠ (𝑌‘0)) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝‘1) = ((𝑆 · ((𝑝‘0) − (𝑋‘0))) + (𝑋‘1))})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∃wrex 3090  {crab 3416  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451   ↑_m cmap 8885  ℝcr 11238  0cc0 11239  1c1 11240   + caddc 11242   · cmul 11244   − cmin 11580   / cdiv 12013  2c2 12437  ..^cfzo 13828  ℝ^crrx 25759  Line_Mcline 50171

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317  ax-addf 11318  ax-mulf 11319

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-of 7725  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-supp 8215  df-tpos 8281  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-map 8887  df-ixp 8964  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-fsupp 9392  df-sup 9471  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-rp 13161  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-seq 14185  df-exp 14245  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445  df-abs 15446  df-struct 17369  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-ress 17453  df-plusg 17486  df-mulr 17487  df-starv 17488  df-sca 17489  df-vsca 17490  df-ip 17491  df-tset 17492  df-ple 17493  df-ds 17495  df-unif 17496  df-hom 17497  df-cco 17498  df-euf 17499  df-0g 17662  df-prds 17668  df-pws 17670  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-mhm 19028  df-grp 19197  df-minusg 19198  df-sbg 19199  df-subg 19383  df-ghm 19478  df-cmn 20047  df-abl 20048  df-mgp 20412  df-rng 20426  df-ur 20459  df-ring 20512  df-cring 20513  df-oppr 20618  df-dvdsr 20638  df-unit 20639  df-invr 20669  df-dvr 20682  df-rhm 20753  df-subrng 20849  df-subrg 20873  df-drng 21033  df-field 21034  df-staf 21147  df-srng 21148  df-lmod 21188  df-lss 21258  df-sra 21499  df-rgmod 21500  df-cnfld 21730  df-refld 21966  df-dsmm 22093  df-frlm 22108  df-tng 24958  df-tcph 25545  df-rrx 25761  df-line 50173

This theorem is used by:  line2  50195