Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrx2linesl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrx2linesl 46915
Description: The line passing through the two different points 𝑋 and π‘Œ in a real Euclidean space of dimension 2, expressed by the slope 𝑆 between the two points ("point-slope form"), sometimes also written as ((π‘β€˜2) βˆ’ (π‘‹β€˜2)) = (𝑆 Β· ((π‘β€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1))). (Contributed by AV, 22-Jan-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
rrx2line.i 𝐼 = {1, 2}
rrx2line.e 𝐸 = (ℝ^β€˜πΌ)
rrx2line.b 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
rrx2line.l 𝐿 = (LineMβ€˜πΈ)
rrx2linesl.s 𝑆 = (((π‘Œβ€˜2) βˆ’ (π‘‹β€˜2)) / ((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1)))
Assertion
Ref Expression
rrx2linesl ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜1) β‰  (π‘Œβ€˜1)) β†’ (π‘‹πΏπ‘Œ) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (π‘β€˜2) = ((𝑆 Β· ((π‘β€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1))) + (π‘‹β€˜2))})
Distinct variable groups:   𝐸,𝑝   𝐼,𝑝   𝑃,𝑝   𝑋,𝑝   π‘Œ,𝑝
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑝)   𝐿(𝑝)

Proof of Theorem rrx2linesl
Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq1 6842 . . . 4 (𝑋 = π‘Œ β†’ (π‘‹β€˜1) = (π‘Œβ€˜1))
21necon3i 2973 . . 3 ((π‘‹β€˜1) β‰  (π‘Œβ€˜1) β†’ 𝑋 β‰  π‘Œ)
3 rrx2line.i . . . 4 𝐼 = {1, 2}
4 rrx2line.e . . . 4 𝐸 = (ℝ^β€˜πΌ)
5 rrx2line.b . . . 4 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
6 rrx2line.l . . . 4 𝐿 = (LineMβ€˜πΈ)
73, 4, 5, 6rrx2line 46912 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) β†’ (π‘‹πΏπ‘Œ) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ ((π‘β€˜1) = (((1 βˆ’ 𝑑) Β· (π‘‹β€˜1)) + (𝑑 Β· (π‘Œβ€˜1))) ∧ (π‘β€˜2) = (((1 βˆ’ 𝑑) Β· (π‘‹β€˜2)) + (𝑑 Β· (π‘Œβ€˜2))))})
82, 7syl3an3 1166 . 2 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜1) β‰  (π‘Œβ€˜1)) β†’ (π‘‹πΏπ‘Œ) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ ((π‘β€˜1) = (((1 βˆ’ 𝑑) Β· (π‘‹β€˜1)) + (𝑑 Β· (π‘Œβ€˜1))) ∧ (π‘β€˜2) = (((1 βˆ’ 𝑑) Β· (π‘‹β€˜2)) + (𝑑 Β· (π‘Œβ€˜2))))})
9 reex 11147 . . . . . . . 8 ℝ ∈ V
10 prex 5390 . . . . . . . . 9 {1, 2} ∈ V
113, 10eqeltri 2830 . . . . . . . 8 𝐼 ∈ V
129, 11elmap 8812 . . . . . . 7 (𝑝 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↔ 𝑝:πΌβŸΆβ„)
13 id 22 . . . . . . . 8 (𝑝:πΌβŸΆβ„ β†’ 𝑝:πΌβŸΆβ„)
14 1ex 11156 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ V
1514prid1 4724 . . . . . . . . . 10 1 ∈ {1, 2}
1615, 3eleqtrri 2833 . . . . . . . . 9 1 ∈ 𝐼
1716a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑝:πΌβŸΆβ„ β†’ 1 ∈ 𝐼)
1813, 17ffvelcdmd 7037 . . . . . . 7 (𝑝:πΌβŸΆβ„ β†’ (π‘β€˜1) ∈ ℝ)
1912, 18sylbi 216 . . . . . 6 (𝑝 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) β†’ (π‘β€˜1) ∈ ℝ)
2019, 5eleq2s 2852 . . . . 5 (𝑝 ∈ 𝑃 β†’ (π‘β€˜1) ∈ ℝ)
2120adantl 483 . . . 4 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜1) β‰  (π‘Œβ€˜1)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (π‘β€˜1) ∈ ℝ)
229, 11elmap 8812 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↔ 𝑋:πΌβŸΆβ„)
23 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑋:πΌβŸΆβ„ β†’ 𝑋:πΌβŸΆβ„)
2416a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑋:πΌβŸΆβ„ β†’ 1 ∈ 𝐼)
2523, 24ffvelcdmd 7037 . . . . . . . 8 (𝑋:πΌβŸΆβ„ β†’ (π‘‹β€˜1) ∈ ℝ)
2622, 25sylbi 216 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) β†’ (π‘‹β€˜1) ∈ ℝ)
2726, 5eleq2s 2852 . . . . . 6 (𝑋 ∈ 𝑃 β†’ (π‘‹β€˜1) ∈ ℝ)
28273ad2ant1 1134 . . . . 5 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜1) β‰  (π‘Œβ€˜1)) β†’ (π‘‹β€˜1) ∈ ℝ)
2928adantr 482 . . . 4 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜1) β‰  (π‘Œβ€˜1)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (π‘‹β€˜1) ∈ ℝ)
309, 11elmap 8812 . . . . . . . 8 (π‘Œ ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↔ π‘Œ:πΌβŸΆβ„)
31 id 22 . . . . . . . . 9 (π‘Œ:πΌβŸΆβ„ β†’ π‘Œ:πΌβŸΆβ„)
3216a1i 11 . . . . . . . . 9 (π‘Œ:πΌβŸΆβ„ β†’ 1 ∈ 𝐼)
3331, 32ffvelcdmd 7037 . . . . . . . 8 (π‘Œ:πΌβŸΆβ„ β†’ (π‘Œβ€˜1) ∈ ℝ)
3430, 33sylbi 216 . . . . . . 7 (π‘Œ ∈ (ℝ ↑m 𝐼) β†’ (π‘Œβ€˜1) ∈ ℝ)
3534, 5eleq2s 2852 . . . . . 6 (π‘Œ ∈ 𝑃 β†’ (π‘Œβ€˜1) ∈ ℝ)
36353ad2ant2 1135 . . . . 5 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜1) β‰  (π‘Œβ€˜1)) β†’ (π‘Œβ€˜1) ∈ ℝ)
3736adantr 482 . . . 4 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜1) β‰  (π‘Œβ€˜1)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (π‘Œβ€˜1) ∈ ℝ)
38 simpl3 1194 . . . 4 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜1) β‰  (π‘Œβ€˜1)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (π‘‹β€˜1) β‰  (π‘Œβ€˜1))
39 2ex 12235 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ V
4039prid2 4725 . . . . . . . . . 10 2 ∈ {1, 2}
4140, 3eleqtrri 2833 . . . . . . . . 9 2 ∈ 𝐼
4241a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑝:πΌβŸΆβ„ β†’ 2 ∈ 𝐼)
4313, 42ffvelcdmd 7037 . . . . . . 7 (𝑝:πΌβŸΆβ„ β†’ (π‘β€˜2) ∈ ℝ)
4412, 43sylbi 216 . . . . . 6 (𝑝 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) β†’ (π‘β€˜2) ∈ ℝ)
4544, 5eleq2s 2852 . . . . 5 (𝑝 ∈ 𝑃 β†’ (π‘β€˜2) ∈ ℝ)
4645adantl 483 . . . 4 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜1) β‰  (π‘Œβ€˜1)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (π‘β€˜2) ∈ ℝ)
4741a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑋:πΌβŸΆβ„ β†’ 2 ∈ 𝐼)
4823, 47ffvelcdmd 7037 . . . . . . . 8 (𝑋:πΌβŸΆβ„ β†’ (π‘‹β€˜2) ∈ ℝ)
4922, 48sylbi 216 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) β†’ (π‘‹β€˜2) ∈ ℝ)
5049, 5eleq2s 2852 . . . . . 6 (𝑋 ∈ 𝑃 β†’ (π‘‹β€˜2) ∈ ℝ)
51503ad2ant1 1134 . . . . 5 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜1) β‰  (π‘Œβ€˜1)) β†’ (π‘‹β€˜2) ∈ ℝ)
5251adantr 482 . . . 4 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜1) β‰  (π‘Œβ€˜1)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (π‘‹β€˜2) ∈ ℝ)
535eleq2i 2826 . . . . . . . 8 (π‘Œ ∈ 𝑃 ↔ π‘Œ ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
5453, 30bitri 275 . . . . . . 7 (π‘Œ ∈ 𝑃 ↔ π‘Œ:πΌβŸΆβ„)
5541a1i 11 . . . . . . . 8 (π‘Œ:πΌβŸΆβ„ β†’ 2 ∈ 𝐼)
5631, 55ffvelcdmd 7037 . . . . . . 7 (π‘Œ:πΌβŸΆβ„ β†’ (π‘Œβ€˜2) ∈ ℝ)
5754, 56sylbi 216 . . . . . 6 (π‘Œ ∈ 𝑃 β†’ (π‘Œβ€˜2) ∈ ℝ)
58573ad2ant2 1135 . . . . 5 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜1) β‰  (π‘Œβ€˜1)) β†’ (π‘Œβ€˜2) ∈ ℝ)
5958adantr 482 . . . 4 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜1) β‰  (π‘Œβ€˜1)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (π‘Œβ€˜2) ∈ ℝ)
60 rrx2linesl.s . . . 4 𝑆 = (((π‘Œβ€˜2) βˆ’ (π‘‹β€˜2)) / ((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1)))
6121, 29, 37, 38, 46, 52, 59, 60affinecomb1 46874 . . 3 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜1) β‰  (π‘Œβ€˜1)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ ((π‘β€˜1) = (((1 βˆ’ 𝑑) Β· (π‘‹β€˜1)) + (𝑑 Β· (π‘Œβ€˜1))) ∧ (π‘β€˜2) = (((1 βˆ’ 𝑑) Β· (π‘‹β€˜2)) + (𝑑 Β· (π‘Œβ€˜2)))) ↔ (π‘β€˜2) = ((𝑆 Β· ((π‘β€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1))) + (π‘‹β€˜2))))
6261rabbidva 3413 . 2 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜1) β‰  (π‘Œβ€˜1)) β†’ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ ((π‘β€˜1) = (((1 βˆ’ 𝑑) Β· (π‘‹β€˜1)) + (𝑑 Β· (π‘Œβ€˜1))) ∧ (π‘β€˜2) = (((1 βˆ’ 𝑑) Β· (π‘‹β€˜2)) + (𝑑 Β· (π‘Œβ€˜2))))} = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (π‘β€˜2) = ((𝑆 Β· ((π‘β€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1))) + (π‘‹β€˜2))})
638, 62eqtrd 2773 1 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜1) β‰  (π‘Œβ€˜1)) β†’ (π‘‹πΏπ‘Œ) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (π‘β€˜2) = ((𝑆 Β· ((π‘β€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1))) + (π‘‹β€˜2))})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆƒwrex 3070  {crab 3406  Vcvv 3444  {cpr 4589  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   ↑m cmap 8768  β„cr 11055  1c1 11057   + caddc 11059   Β· cmul 11061   βˆ’ cmin 11390   / cdiv 11817  2c2 12213  β„^crrx 24763  LineMcline 46899
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134  ax-addf 11135  ax-mulf 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-tpos 8158  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-map 8770  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-sup 9383  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-rp 12921  df-fz 13431  df-seq 13913  df-exp 13974  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-starv 17153  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-unif 17161  df-hom 17162  df-cco 17163  df-0g 17328  df-prds 17334  df-pws 17336  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-mhm 18606  df-grp 18756  df-minusg 18757  df-sbg 18758  df-subg 18930  df-ghm 19011  df-cmn 19569  df-mgp 19902  df-ur 19919  df-ring 19971  df-cring 19972  df-oppr 20054  df-dvdsr 20075  df-unit 20076  df-invr 20106  df-dvr 20117  df-rnghom 20153  df-drng 20199  df-field 20200  df-subrg 20234  df-staf 20318  df-srng 20319  df-lmod 20338  df-lss 20408  df-sra 20649  df-rgmod 20650  df-cnfld 20813  df-refld 21025  df-dsmm 21154  df-frlm 21169  df-tng 23956  df-tcph 24549  df-rrx 24765  df-line 46901
This theorem is referenced by:  line2  46924
  Copyright terms: Public domain W3C validator