Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrx2linesl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrx2linesl 44968
 Description: The line passing through the two different points 𝑋 and 𝑌 in a real Euclidean space of dimension 2, expressed by the slope 𝑆 between the two points ("point-slope form"), sometimes also written as ((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) = (𝑆 · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))). (Contributed by AV, 22-Jan-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
rrx2line.i 𝐼 = {1, 2}
rrx2line.e 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
rrx2line.b 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
rrx2line.l 𝐿 = (LineM𝐸)
rrx2linesl.s 𝑆 = (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)))
Assertion
Ref Expression
rrx2linesl ((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝𝑃 ∣ (𝑝‘2) = ((𝑆 · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) + (𝑋‘2))})
Distinct variable groups:   𝐸,𝑝   𝐼,𝑝   𝑃,𝑝   𝑋,𝑝   𝑌,𝑝
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑝)   𝐿(𝑝)

Proof of Theorem rrx2linesl
Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq1 6642 . . . 4 (𝑋 = 𝑌 → (𝑋‘1) = (𝑌‘1))
21necon3i 3039 . . 3 ((𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1) → 𝑋𝑌)
3 rrx2line.i . . . 4 𝐼 = {1, 2}
4 rrx2line.e . . . 4 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
5 rrx2line.b . . . 4 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
6 rrx2line.l . . . 4 𝐿 = (LineM𝐸)
73, 4, 5, 6rrx2line 44965 . . 3 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2))))})
82, 7syl3an3 1162 . 2 ((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2))))})
9 reex 10605 . . . . . . . 8 ℝ ∈ V
10 prex 5306 . . . . . . . . 9 {1, 2} ∈ V
113, 10eqeltri 2908 . . . . . . . 8 𝐼 ∈ V
129, 11elmap 8410 . . . . . . 7 (𝑝 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↔ 𝑝:𝐼⟶ℝ)
13 id 22 . . . . . . . 8 (𝑝:𝐼⟶ℝ → 𝑝:𝐼⟶ℝ)
14 1ex 10614 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ V
1514prid1 4671 . . . . . . . . . 10 1 ∈ {1, 2}
1615, 3eleqtrri 2911 . . . . . . . . 9 1 ∈ 𝐼
1716a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑝:𝐼⟶ℝ → 1 ∈ 𝐼)
1813, 17ffvelrnd 6825 . . . . . . 7 (𝑝:𝐼⟶ℝ → (𝑝‘1) ∈ ℝ)
1912, 18sylbi 220 . . . . . 6 (𝑝 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) → (𝑝‘1) ∈ ℝ)
2019, 5eleq2s 2930 . . . . 5 (𝑝𝑃 → (𝑝‘1) ∈ ℝ)
2120adantl 485 . . . 4 (((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑝‘1) ∈ ℝ)
229, 11elmap 8410 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↔ 𝑋:𝐼⟶ℝ)
23 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑋:𝐼⟶ℝ → 𝑋:𝐼⟶ℝ)
2416a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑋:𝐼⟶ℝ → 1 ∈ 𝐼)
2523, 24ffvelrnd 6825 . . . . . . . 8 (𝑋:𝐼⟶ℝ → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
2622, 25sylbi 220 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
2726, 5eleq2s 2930 . . . . . 6 (𝑋𝑃 → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
28273ad2ant1 1130 . . . . 5 ((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
2928adantr 484 . . . 4 (((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
309, 11elmap 8410 . . . . . . . 8 (𝑌 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↔ 𝑌:𝐼⟶ℝ)
31 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑌:𝐼⟶ℝ → 𝑌:𝐼⟶ℝ)
3216a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑌:𝐼⟶ℝ → 1 ∈ 𝐼)
3331, 32ffvelrnd 6825 . . . . . . . 8 (𝑌:𝐼⟶ℝ → (𝑌‘1) ∈ ℝ)
3430, 33sylbi 220 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) → (𝑌‘1) ∈ ℝ)
3534, 5eleq2s 2930 . . . . . 6 (𝑌𝑃 → (𝑌‘1) ∈ ℝ)
36353ad2ant2 1131 . . . . 5 ((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) → (𝑌‘1) ∈ ℝ)
3736adantr 484 . . . 4 (((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑌‘1) ∈ ℝ)
38 simpl3 1190 . . . 4 (((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))
39 2ex 11692 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ V
4039prid2 4672 . . . . . . . . . 10 2 ∈ {1, 2}
4140, 3eleqtrri 2911 . . . . . . . . 9 2 ∈ 𝐼
4241a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑝:𝐼⟶ℝ → 2 ∈ 𝐼)
4313, 42ffvelrnd 6825 . . . . . . 7 (𝑝:𝐼⟶ℝ → (𝑝‘2) ∈ ℝ)
4412, 43sylbi 220 . . . . . 6 (𝑝 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) → (𝑝‘2) ∈ ℝ)
4544, 5eleq2s 2930 . . . . 5 (𝑝𝑃 → (𝑝‘2) ∈ ℝ)
4645adantl 485 . . . 4 (((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑝‘2) ∈ ℝ)
4741a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑋:𝐼⟶ℝ → 2 ∈ 𝐼)
4823, 47ffvelrnd 6825 . . . . . . . 8 (𝑋:𝐼⟶ℝ → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
4922, 48sylbi 220 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
5049, 5eleq2s 2930 . . . . . 6 (𝑋𝑃 → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
51503ad2ant1 1130 . . . . 5 ((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
5251adantr 484 . . . 4 (((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
535eleq2i 2903 . . . . . . . 8 (𝑌𝑃𝑌 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
5453, 30bitri 278 . . . . . . 7 (𝑌𝑃𝑌:𝐼⟶ℝ)
5541a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑌:𝐼⟶ℝ → 2 ∈ 𝐼)
5631, 55ffvelrnd 6825 . . . . . . 7 (𝑌:𝐼⟶ℝ → (𝑌‘2) ∈ ℝ)
5754, 56sylbi 220 . . . . . 6 (𝑌𝑃 → (𝑌‘2) ∈ ℝ)
58573ad2ant2 1131 . . . . 5 ((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) → (𝑌‘2) ∈ ℝ)
5958adantr 484 . . . 4 (((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑌‘2) ∈ ℝ)
60 rrx2linesl.s . . . 4 𝑆 = (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)))
6121, 29, 37, 38, 46, 52, 59, 60affinecomb1 44927 . . 3 (((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) ∧ 𝑝𝑃) → (∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2)))) ↔ (𝑝‘2) = ((𝑆 · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) + (𝑋‘2))))
6261rabbidva 3455 . 2 ((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) → {𝑝𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2))))} = {𝑝𝑃 ∣ (𝑝‘2) = ((𝑆 · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) + (𝑋‘2))})
638, 62eqtrd 2856 1 ((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝𝑃 ∣ (𝑝‘2) = ((𝑆 · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) + (𝑋‘2))})
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ≠ wne 3007  ∃wrex 3127  {crab 3130  Vcvv 3471  {cpr 4542  ⟶wf 6324  ‘cfv 6328  (class class class)co 7130   ↑m cmap 8381  ℝcr 10513  1c1 10515   + caddc 10517   · cmul 10519   − cmin 10847   / cdiv 11274  2c2 11670  ℝ^crrx 23966  LineMcline 44952 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591  ax-pre-sup 10592  ax-addf 10593  ax-mulf 10594 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-int 4850  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-of 7384  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-supp 7806  df-tpos 7867  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-1o 8077  df-oadd 8081  df-er 8264  df-map 8383  df-ixp 8437  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-fin 8488  df-fsupp 8810  df-sup 8882  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-div 11275  df-nn 11616  df-2 11678  df-3 11679  df-4 11680  df-5 11681  df-6 11682  df-7 11683  df-8 11684  df-9 11685  df-n0 11876  df-z 11960  df-dec 12077  df-uz 12222  df-rp 12368  df-fz 12876  df-seq 13353  df-exp 13414  df-cj 14437  df-re 14438  df-im 14439  df-sqrt 14573  df-abs 14574  df-struct 16464  df-ndx 16465  df-slot 16466  df-base 16468  df-sets 16469  df-ress 16470  df-plusg 16557  df-mulr 16558  df-starv 16559  df-sca 16560  df-vsca 16561  df-ip 16562  df-tset 16563  df-ple 16564  df-ds 16566  df-unif 16567  df-hom 16568  df-cco 16569  df-0g 16694  df-prds 16700  df-pws 16702  df-mgm 17831  df-sgrp 17880  df-mnd 17891  df-mhm 17935  df-grp 18085  df-minusg 18086  df-sbg 18087  df-subg 18255  df-ghm 18335  df-cmn 18887  df-mgp 19219  df-ur 19231  df-ring 19278  df-cring 19279  df-oppr 19352  df-dvdsr 19370  df-unit 19371  df-invr 19401  df-dvr 19412  df-rnghom 19446  df-drng 19480  df-field 19481  df-subrg 19509  df-staf 19592  df-srng 19593  df-lmod 19612  df-lss 19680  df-sra 19920  df-rgmod 19921  df-cnfld 20522  df-refld 20725  df-dsmm 20852  df-frlm 20867  df-tng 23170  df-tcph 23753  df-rrx 23968  df-line 44954 This theorem is referenced by:  line2  44977
 Copyright terms: Public domain W3C validator