Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrx2linesl Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem rrx2linesl 47709
Description: The line passing through the two different points 𝑋 and π‘Œ in a real Euclidean space of dimension 2, expressed by the slope 𝑆 between the two points ("point-slope form"), sometimes also written as ((π‘β€˜2) βˆ’ (π‘‹β€˜2)) = (𝑆 Β· ((π‘β€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1))). (Contributed by AV, 22-Jan-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
rrx2line.i 𝐼 = {1, 2}
rrx2line.e 𝐸 = (ℝ^β€˜πΌ)
rrx2line.b 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
rrx2line.l 𝐿 = (LineMβ€˜πΈ)
rrx2linesl.s 𝑆 = (((π‘Œβ€˜2) βˆ’ (π‘‹β€˜2)) / ((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1)))
Assertion
Ref Expression
rrx2linesl ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜1) β‰  (π‘Œβ€˜1)) β†’ (π‘‹πΏπ‘Œ) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (π‘β€˜2) = ((𝑆 Β· ((π‘β€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1))) + (π‘‹β€˜2))})
Distinct variable groups:   𝐸,𝑝   𝐼,𝑝   𝑃,𝑝   𝑋,𝑝   π‘Œ,𝑝
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑝)   𝐿(𝑝)
Proof of Theorem rrx2linesl
Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq1 6884 . . . 4 (𝑋 = π‘Œ β†’ (π‘‹β€˜1) = (π‘Œβ€˜1))
21necon3i 2967 . . 3 ((π‘‹β€˜1) β‰  (π‘Œβ€˜1) β†’ 𝑋 β‰  π‘Œ)
3 rrx2line.i . . . 4 𝐼 = {1, 2}
4 rrx2line.e . . . 4 𝐸 = (ℝ^β€˜πΌ)
5 rrx2line.b . . . 4 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
6 rrx2line.l . . . 4 𝐿 = (LineMβ€˜πΈ)
73, 4, 5, 6rrx2line 47706 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) β†’ (π‘‹πΏπ‘Œ) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ ((π‘β€˜1) = (((1 βˆ’ 𝑑) Β· (π‘‹β€˜1)) + (𝑑 Β· (π‘Œβ€˜1))) ∧ (π‘β€˜2) = (((1 βˆ’ 𝑑) Β· (π‘‹β€˜2)) + (𝑑 Β· (π‘Œβ€˜2))))})
82, 7syl3an3 1162 . 2 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜1) β‰  (π‘Œβ€˜1)) β†’ (π‘‹πΏπ‘Œ) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ ((π‘β€˜1) = (((1 βˆ’ 𝑑) Β· (π‘‹β€˜1)) + (𝑑 Β· (π‘Œβ€˜1))) ∧ (π‘β€˜2) = (((1 βˆ’ 𝑑) Β· (π‘‹β€˜2)) + (𝑑 Β· (π‘Œβ€˜2))))})
9 reex 11203 . . . . . . . 8 ℝ ∈ V
10 prex 5425 . . . . . . . . 9 {1, 2} ∈ V
113, 10eqeltri 2823 . . . . . . . 8 𝐼 ∈ V
129, 11elmap 8867 . . . . . . 7 (𝑝 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↔ 𝑝:πΌβŸΆβ„)
13 id 22 . . . . . . . 8 (𝑝:πΌβŸΆβ„ β†’ 𝑝:πΌβŸΆβ„)
14 1ex 11214 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ V
1514prid1 4761 . . . . . . . . . 10 1 ∈ {1, 2}
1615, 3eleqtrri 2826 . . . . . . . . 9 1 ∈ 𝐼
1716a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑝:πΌβŸΆβ„ β†’ 1 ∈ 𝐼)
1813, 17ffvelcdmd 7081 . . . . . . 7 (𝑝:πΌβŸΆβ„ β†’ (π‘β€˜1) ∈ ℝ)
1912, 18sylbi 216 . . . . . 6 (𝑝 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) β†’ (π‘β€˜1) ∈ ℝ)
2019, 5eleq2s 2845 . . . . 5 (𝑝 ∈ 𝑃 β†’ (π‘β€˜1) ∈ ℝ)
2120adantl 481 . . . 4 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜1) β‰  (π‘Œβ€˜1)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (π‘β€˜1) ∈ ℝ)
229, 11elmap 8867 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↔ 𝑋:πΌβŸΆβ„)
23 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑋:πΌβŸΆβ„ β†’ 𝑋:πΌβŸΆβ„)
2416a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑋:πΌβŸΆβ„ β†’ 1 ∈ 𝐼)
2523, 24ffvelcdmd 7081 . . . . . . . 8 (𝑋:πΌβŸΆβ„ β†’ (π‘‹β€˜1) ∈ ℝ)
2622, 25sylbi 216 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) β†’ (π‘‹β€˜1) ∈ ℝ)
2726, 5eleq2s 2845 . . . . . 6 (𝑋 ∈ 𝑃 β†’ (π‘‹β€˜1) ∈ ℝ)
28273ad2ant1 1130 . . . . 5 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜1) β‰  (π‘Œβ€˜1)) β†’ (π‘‹β€˜1) ∈ ℝ)
2928adantr 480 . . . 4 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜1) β‰  (π‘Œβ€˜1)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (π‘‹β€˜1) ∈ ℝ)
309, 11elmap 8867 . . . . . . . 8 (π‘Œ ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↔ π‘Œ:πΌβŸΆβ„)
31 id 22 . . . . . . . . 9 (π‘Œ:πΌβŸΆβ„ β†’ π‘Œ:πΌβŸΆβ„)
3216a1i 11 . . . . . . . . 9 (π‘Œ:πΌβŸΆβ„ β†’ 1 ∈ 𝐼)
3331, 32ffvelcdmd 7081 . . . . . . . 8 (π‘Œ:πΌβŸΆβ„ β†’ (π‘Œβ€˜1) ∈ ℝ)
3430, 33sylbi 216 . . . . . . 7 (π‘Œ ∈ (ℝ ↑m 𝐼) β†’ (π‘Œβ€˜1) ∈ ℝ)
3534, 5eleq2s 2845 . . . . . 6 (π‘Œ ∈ 𝑃 β†’ (π‘Œβ€˜1) ∈ ℝ)
36353ad2ant2 1131 . . . . 5 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜1) β‰  (π‘Œβ€˜1)) β†’ (π‘Œβ€˜1) ∈ ℝ)
3736adantr 480 . . . 4 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜1) β‰  (π‘Œβ€˜1)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (π‘Œβ€˜1) ∈ ℝ)
38 simpl3 1190 . . . 4 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜1) β‰  (π‘Œβ€˜1)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (π‘‹β€˜1) β‰  (π‘Œβ€˜1))
39 2ex 12293 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ V
4039prid2 4762 . . . . . . . . . 10 2 ∈ {1, 2}
4140, 3eleqtrri 2826 . . . . . . . . 9 2 ∈ 𝐼
4241a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑝:πΌβŸΆβ„ β†’ 2 ∈ 𝐼)
4313, 42ffvelcdmd 7081 . . . . . . 7 (𝑝:πΌβŸΆβ„ β†’ (π‘β€˜2) ∈ ℝ)
4412, 43sylbi 216 . . . . . 6 (𝑝 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) β†’ (π‘β€˜2) ∈ ℝ)
4544, 5eleq2s 2845 . . . . 5 (𝑝 ∈ 𝑃 β†’ (π‘β€˜2) ∈ ℝ)
4645adantl 481 . . . 4 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜1) β‰  (π‘Œβ€˜1)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (π‘β€˜2) ∈ ℝ)
4741a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑋:πΌβŸΆβ„ β†’ 2 ∈ 𝐼)
4823, 47ffvelcdmd 7081 . . . . . . . 8 (𝑋:πΌβŸΆβ„ β†’ (π‘‹β€˜2) ∈ ℝ)
4922, 48sylbi 216 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) β†’ (π‘‹β€˜2) ∈ ℝ)
5049, 5eleq2s 2845 . . . . . 6 (𝑋 ∈ 𝑃 β†’ (π‘‹β€˜2) ∈ ℝ)
51503ad2ant1 1130 . . . . 5 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜1) β‰  (π‘Œβ€˜1)) β†’ (π‘‹β€˜2) ∈ ℝ)
5251adantr 480 . . . 4 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜1) β‰  (π‘Œβ€˜1)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (π‘‹β€˜2) ∈ ℝ)
535eleq2i 2819 . . . . . . . 8 (π‘Œ ∈ 𝑃 ↔ π‘Œ ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
5453, 30bitri 275 . . . . . . 7 (π‘Œ ∈ 𝑃 ↔ π‘Œ:πΌβŸΆβ„)
5541a1i 11 . . . . . . . 8 (π‘Œ:πΌβŸΆβ„ β†’ 2 ∈ 𝐼)
5631, 55ffvelcdmd 7081 . . . . . . 7 (π‘Œ:πΌβŸΆβ„ β†’ (π‘Œβ€˜2) ∈ ℝ)
5754, 56sylbi 216 . . . . . 6 (π‘Œ ∈ 𝑃 β†’ (π‘Œβ€˜2) ∈ ℝ)
58573ad2ant2 1131 . . . . 5 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜1) β‰  (π‘Œβ€˜1)) β†’ (π‘Œβ€˜2) ∈ ℝ)
5958adantr 480 . . . 4 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜1) β‰  (π‘Œβ€˜1)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (π‘Œβ€˜2) ∈ ℝ)
60 rrx2linesl.s . . . 4 𝑆 = (((π‘Œβ€˜2) βˆ’ (π‘‹β€˜2)) / ((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1)))
6121, 29, 37, 38, 46, 52, 59, 60affinecomb1 47668 . . 3 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜1) β‰  (π‘Œβ€˜1)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ ((π‘β€˜1) = (((1 βˆ’ 𝑑) Β· (π‘‹β€˜1)) + (𝑑 Β· (π‘Œβ€˜1))) ∧ (π‘β€˜2) = (((1 βˆ’ 𝑑) Β· (π‘‹β€˜2)) + (𝑑 Β· (π‘Œβ€˜2)))) ↔ (π‘β€˜2) = ((𝑆 Β· ((π‘β€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1))) + (π‘‹β€˜2))))
6261rabbidva 3433 . 2 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜1) β‰  (π‘Œβ€˜1)) β†’ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ ((π‘β€˜1) = (((1 βˆ’ 𝑑) Β· (π‘‹β€˜1)) + (𝑑 Β· (π‘Œβ€˜1))) ∧ (π‘β€˜2) = (((1 βˆ’ 𝑑) Β· (π‘‹β€˜2)) + (𝑑 Β· (π‘Œβ€˜2))))} = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (π‘β€˜2) = ((𝑆 Β· ((π‘β€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1))) + (π‘‹β€˜2))})
638, 62eqtrd 2766 1 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜1) β‰  (π‘Œβ€˜1)) β†’ (π‘‹πΏπ‘Œ) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (π‘β€˜2) = ((𝑆 Β· ((π‘β€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1))) + (π‘‹β€˜2))})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆƒwrex 3064  {crab 3426  Vcvv 3468  {cpr 4625  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   ↑m cmap 8822  β„cr 11111  1c1 11113   + caddc 11115   Β· cmul 11117   βˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875  2c2 12271  β„^crrx 25266  LineMcline 47693
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-tpos 8212  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fz 13491  df-seq 13973  df-exp 14033  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-0g 17396  df-prds 17402  df-pws 17404  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18713  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-subg 19050  df-ghm 19139  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-cring 20141  df-oppr 20236  df-dvdsr 20259  df-unit 20260  df-invr 20290  df-dvr 20303  df-rhm 20374  df-subrng 20446  df-subrg 20471  df-drng 20589  df-field 20590  df-staf 20688  df-srng 20689  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-sra 21021  df-rgmod 21022  df-cnfld 21241  df-refld 21498  df-dsmm 21627  df-frlm 21642  df-tng 24448  df-tcph 25052  df-rrx 25268  df-line 47695
This theorem is referenced by:  line2  47718
  Copyright terms: Public domain W3C validator