Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrx2linesl Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem rrx2linesl 47927
Description: The line passing through the two different points 𝑋 and π‘Œ in a real Euclidean space of dimension 2, expressed by the slope 𝑆 between the two points ("point-slope form"), sometimes also written as ((π‘β€˜2) βˆ’ (π‘‹β€˜2)) = (𝑆 Β· ((π‘β€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1))). (Contributed by AV, 22-Jan-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
rrx2line.i 𝐼 = {1, 2}
rrx2line.e 𝐸 = (ℝ^β€˜πΌ)
rrx2line.b 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
rrx2line.l 𝐿 = (LineMβ€˜πΈ)
rrx2linesl.s 𝑆 = (((π‘Œβ€˜2) βˆ’ (π‘‹β€˜2)) / ((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1)))
Assertion
Ref Expression
rrx2linesl ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜1) β‰  (π‘Œβ€˜1)) β†’ (π‘‹πΏπ‘Œ) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (π‘β€˜2) = ((𝑆 Β· ((π‘β€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1))) + (π‘‹β€˜2))})
Distinct variable groups:   𝐸,𝑝   𝐼,𝑝   𝑃,𝑝   𝑋,𝑝   π‘Œ,𝑝
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑝)   𝐿(𝑝)
Proof of Theorem rrx2linesl
Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq1 6890 . . . 4 (𝑋 = π‘Œ β†’ (π‘‹β€˜1) = (π‘Œβ€˜1))
21necon3i 2963 . . 3 ((π‘‹β€˜1) β‰  (π‘Œβ€˜1) β†’ 𝑋 β‰  π‘Œ)
3 rrx2line.i . . . 4 𝐼 = {1, 2}
4 rrx2line.e . . . 4 𝐸 = (ℝ^β€˜πΌ)
5 rrx2line.b . . . 4 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
6 rrx2line.l . . . 4 𝐿 = (LineMβ€˜πΈ)
73, 4, 5, 6rrx2line 47924 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) β†’ (π‘‹πΏπ‘Œ) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ ((π‘β€˜1) = (((1 βˆ’ 𝑑) Β· (π‘‹β€˜1)) + (𝑑 Β· (π‘Œβ€˜1))) ∧ (π‘β€˜2) = (((1 βˆ’ 𝑑) Β· (π‘‹β€˜2)) + (𝑑 Β· (π‘Œβ€˜2))))})
82, 7syl3an3 1162 . 2 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜1) β‰  (π‘Œβ€˜1)) β†’ (π‘‹πΏπ‘Œ) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ ((π‘β€˜1) = (((1 βˆ’ 𝑑) Β· (π‘‹β€˜1)) + (𝑑 Β· (π‘Œβ€˜1))) ∧ (π‘β€˜2) = (((1 βˆ’ 𝑑) Β· (π‘‹β€˜2)) + (𝑑 Β· (π‘Œβ€˜2))))})
9 reex 11227 . . . . . . . 8 ℝ ∈ V
10 prex 5428 . . . . . . . . 9 {1, 2} ∈ V
113, 10eqeltri 2821 . . . . . . . 8 𝐼 ∈ V
129, 11elmap 8886 . . . . . . 7 (𝑝 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↔ 𝑝:πΌβŸΆβ„)
13 id 22 . . . . . . . 8 (𝑝:πΌβŸΆβ„ β†’ 𝑝:πΌβŸΆβ„)
14 1ex 11238 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ V
1514prid1 4762 . . . . . . . . . 10 1 ∈ {1, 2}
1615, 3eleqtrri 2824 . . . . . . . . 9 1 ∈ 𝐼
1716a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑝:πΌβŸΆβ„ β†’ 1 ∈ 𝐼)
1813, 17ffvelcdmd 7089 . . . . . . 7 (𝑝:πΌβŸΆβ„ β†’ (π‘β€˜1) ∈ ℝ)
1912, 18sylbi 216 . . . . . 6 (𝑝 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) β†’ (π‘β€˜1) ∈ ℝ)
2019, 5eleq2s 2843 . . . . 5 (𝑝 ∈ 𝑃 β†’ (π‘β€˜1) ∈ ℝ)
2120adantl 480 . . . 4 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜1) β‰  (π‘Œβ€˜1)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (π‘β€˜1) ∈ ℝ)
229, 11elmap 8886 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↔ 𝑋:πΌβŸΆβ„)
23 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑋:πΌβŸΆβ„ β†’ 𝑋:πΌβŸΆβ„)
2416a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑋:πΌβŸΆβ„ β†’ 1 ∈ 𝐼)
2523, 24ffvelcdmd 7089 . . . . . . . 8 (𝑋:πΌβŸΆβ„ β†’ (π‘‹β€˜1) ∈ ℝ)
2622, 25sylbi 216 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) β†’ (π‘‹β€˜1) ∈ ℝ)
2726, 5eleq2s 2843 . . . . . 6 (𝑋 ∈ 𝑃 β†’ (π‘‹β€˜1) ∈ ℝ)
28273ad2ant1 1130 . . . . 5 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜1) β‰  (π‘Œβ€˜1)) β†’ (π‘‹β€˜1) ∈ ℝ)
2928adantr 479 . . . 4 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜1) β‰  (π‘Œβ€˜1)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (π‘‹β€˜1) ∈ ℝ)
309, 11elmap 8886 . . . . . . . 8 (π‘Œ ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↔ π‘Œ:πΌβŸΆβ„)
31 id 22 . . . . . . . . 9 (π‘Œ:πΌβŸΆβ„ β†’ π‘Œ:πΌβŸΆβ„)
3216a1i 11 . . . . . . . . 9 (π‘Œ:πΌβŸΆβ„ β†’ 1 ∈ 𝐼)
3331, 32ffvelcdmd 7089 . . . . . . . 8 (π‘Œ:πΌβŸΆβ„ β†’ (π‘Œβ€˜1) ∈ ℝ)
3430, 33sylbi 216 . . . . . . 7 (π‘Œ ∈ (ℝ ↑m 𝐼) β†’ (π‘Œβ€˜1) ∈ ℝ)
3534, 5eleq2s 2843 . . . . . 6 (π‘Œ ∈ 𝑃 β†’ (π‘Œβ€˜1) ∈ ℝ)
36353ad2ant2 1131 . . . . 5 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜1) β‰  (π‘Œβ€˜1)) β†’ (π‘Œβ€˜1) ∈ ℝ)
3736adantr 479 . . . 4 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜1) β‰  (π‘Œβ€˜1)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (π‘Œβ€˜1) ∈ ℝ)
38 simpl3 1190 . . . 4 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜1) β‰  (π‘Œβ€˜1)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (π‘‹β€˜1) β‰  (π‘Œβ€˜1))
39 2ex 12317 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ V
4039prid2 4763 . . . . . . . . . 10 2 ∈ {1, 2}
4140, 3eleqtrri 2824 . . . . . . . . 9 2 ∈ 𝐼
4241a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑝:πΌβŸΆβ„ β†’ 2 ∈ 𝐼)
4313, 42ffvelcdmd 7089 . . . . . . 7 (𝑝:πΌβŸΆβ„ β†’ (π‘β€˜2) ∈ ℝ)
4412, 43sylbi 216 . . . . . 6 (𝑝 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) β†’ (π‘β€˜2) ∈ ℝ)
4544, 5eleq2s 2843 . . . . 5 (𝑝 ∈ 𝑃 β†’ (π‘β€˜2) ∈ ℝ)
4645adantl 480 . . . 4 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜1) β‰  (π‘Œβ€˜1)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (π‘β€˜2) ∈ ℝ)
4741a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑋:πΌβŸΆβ„ β†’ 2 ∈ 𝐼)
4823, 47ffvelcdmd 7089 . . . . . . . 8 (𝑋:πΌβŸΆβ„ β†’ (π‘‹β€˜2) ∈ ℝ)
4922, 48sylbi 216 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) β†’ (π‘‹β€˜2) ∈ ℝ)
5049, 5eleq2s 2843 . . . . . 6 (𝑋 ∈ 𝑃 β†’ (π‘‹β€˜2) ∈ ℝ)
51503ad2ant1 1130 . . . . 5 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜1) β‰  (π‘Œβ€˜1)) β†’ (π‘‹β€˜2) ∈ ℝ)
5251adantr 479 . . . 4 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜1) β‰  (π‘Œβ€˜1)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (π‘‹β€˜2) ∈ ℝ)
535eleq2i 2817 . . . . . . . 8 (π‘Œ ∈ 𝑃 ↔ π‘Œ ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
5453, 30bitri 274 . . . . . . 7 (π‘Œ ∈ 𝑃 ↔ π‘Œ:πΌβŸΆβ„)
5541a1i 11 . . . . . . . 8 (π‘Œ:πΌβŸΆβ„ β†’ 2 ∈ 𝐼)
5631, 55ffvelcdmd 7089 . . . . . . 7 (π‘Œ:πΌβŸΆβ„ β†’ (π‘Œβ€˜2) ∈ ℝ)
5754, 56sylbi 216 . . . . . 6 (π‘Œ ∈ 𝑃 β†’ (π‘Œβ€˜2) ∈ ℝ)
58573ad2ant2 1131 . . . . 5 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜1) β‰  (π‘Œβ€˜1)) β†’ (π‘Œβ€˜2) ∈ ℝ)
5958adantr 479 . . . 4 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜1) β‰  (π‘Œβ€˜1)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (π‘Œβ€˜2) ∈ ℝ)
60 rrx2linesl.s . . . 4 𝑆 = (((π‘Œβ€˜2) βˆ’ (π‘‹β€˜2)) / ((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1)))
6121, 29, 37, 38, 46, 52, 59, 60affinecomb1 47886 . . 3 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜1) β‰  (π‘Œβ€˜1)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ ((π‘β€˜1) = (((1 βˆ’ 𝑑) Β· (π‘‹β€˜1)) + (𝑑 Β· (π‘Œβ€˜1))) ∧ (π‘β€˜2) = (((1 βˆ’ 𝑑) Β· (π‘‹β€˜2)) + (𝑑 Β· (π‘Œβ€˜2)))) ↔ (π‘β€˜2) = ((𝑆 Β· ((π‘β€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1))) + (π‘‹β€˜2))))
6261rabbidva 3426 . 2 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜1) β‰  (π‘Œβ€˜1)) β†’ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ ((π‘β€˜1) = (((1 βˆ’ 𝑑) Β· (π‘‹β€˜1)) + (𝑑 Β· (π‘Œβ€˜1))) ∧ (π‘β€˜2) = (((1 βˆ’ 𝑑) Β· (π‘‹β€˜2)) + (𝑑 Β· (π‘Œβ€˜2))))} = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (π‘β€˜2) = ((𝑆 Β· ((π‘β€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1))) + (π‘‹β€˜2))})
638, 62eqtrd 2765 1 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜1) β‰  (π‘Œβ€˜1)) β†’ (π‘‹πΏπ‘Œ) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (π‘β€˜2) = ((𝑆 Β· ((π‘β€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1))) + (π‘‹β€˜2))})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  βˆƒwrex 3060  {crab 3419  Vcvv 3463  {cpr 4626  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415   ↑m cmap 8841  β„cr 11135  1c1 11137   + caddc 11139   Β· cmul 11141   βˆ’ cmin 11472   / cdiv 11899  2c2 12295  β„^crrx 25327  LineMcline 47911
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214  ax-addf 11215  ax-mulf 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-of 7681  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-tpos 8228  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-er 8721  df-map 8843  df-ixp 8913  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-fsupp 9384  df-sup 9463  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12501  df-z 12587  df-dec 12706  df-uz 12851  df-rp 13005  df-fz 13515  df-seq 13997  df-exp 14057  df-cj 15076  df-re 15077  df-im 15078  df-sqrt 15212  df-abs 15213  df-struct 17113  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-mulr 17244  df-starv 17245  df-sca 17246  df-vsca 17247  df-ip 17248  df-tset 17249  df-ple 17250  df-ds 17252  df-unif 17253  df-hom 17254  df-cco 17255  df-0g 17420  df-prds 17426  df-pws 17428  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-mhm 18737  df-grp 18895  df-minusg 18896  df-sbg 18897  df-subg 19080  df-ghm 19170  df-cmn 19739  df-abl 19740  df-mgp 20077  df-rng 20095  df-ur 20124  df-ring 20177  df-cring 20178  df-oppr 20275  df-dvdsr 20298  df-unit 20299  df-invr 20329  df-dvr 20342  df-rhm 20413  df-subrng 20485  df-subrg 20510  df-drng 20628  df-field 20629  df-staf 20727  df-srng 20728  df-lmod 20747  df-lss 20818  df-sra 21060  df-rgmod 21061  df-cnfld 21282  df-refld 21539  df-dsmm 21668  df-frlm 21683  df-tng 24509  df-tcph 25113  df-rrx 25329  df-line 47913
This theorem is referenced by:  line2  47936
  Copyright terms: Public domain W3C validator