MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abelthlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abelthlem3 25815
Description: Lemma for abelth 25823. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
abelth.1 (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
abelth.2 (πœ‘ β†’ seq0( + , 𝐴) ∈ dom ⇝ )
abelth.3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
abelth.4 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝑀)
abelth.5 𝑆 = {𝑧 ∈ β„‚ ∣ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))}
Assertion
Ref Expression
abelthlem3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) β†’ seq0( + , (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (𝑋↑𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
Distinct variable groups:   𝑧,𝑛,𝑀   𝑛,𝑋,𝑧   𝐴,𝑛,𝑧   πœ‘,𝑛   𝑆,𝑛
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑧)   𝑆(𝑧)

Proof of Theorem abelthlem3
Dummy variable π‘Ÿ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 abelth.1 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
2 abelth.2 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ seq0( + , 𝐴) ∈ dom ⇝ )
3 abelth.3 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
4 abelth.4 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝑀)
5 abelth.5 . . . . . . 7 𝑆 = {𝑧 ∈ β„‚ ∣ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))}
61, 2, 3, 4, 5abelthlem2 25814 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (1 ∈ 𝑆 ∧ (𝑆 βˆ– {1}) βŠ† (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)))
76simprd 497 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑆 βˆ– {1}) βŠ† (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1))
8 ssundif 4449 . . . . 5 (𝑆 βŠ† ({1} βˆͺ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) ↔ (𝑆 βˆ– {1}) βŠ† (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1))
97, 8sylibr 233 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† ({1} βˆͺ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)))
109sselda 3948 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) β†’ 𝑋 ∈ ({1} βˆͺ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)))
11 elun 4112 . . 3 (𝑋 ∈ ({1} βˆͺ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) ↔ (𝑋 ∈ {1} ∨ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)))
1210, 11sylib 217 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) β†’ (𝑋 ∈ {1} ∨ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)))
131feqmptd 6914 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (π΄β€˜π‘›)))
141ffvelcdmda 7039 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (π΄β€˜π‘›) ∈ β„‚)
1514mulid1d 11180 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((π΄β€˜π‘›) Β· 1) = (π΄β€˜π‘›))
1615mpteq2dva 5209 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· 1)) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (π΄β€˜π‘›)))
1713, 16eqtr4d 2776 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· 1)))
18 elsni 4607 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ {1} β†’ 𝑋 = 1)
1918oveq1d 7376 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ {1} β†’ (𝑋↑𝑛) = (1↑𝑛))
20 nn0z 12532 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ 𝑛 ∈ β„€)
21 1exp 14006 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ β„€ β†’ (1↑𝑛) = 1)
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (1↑𝑛) = 1)
2319, 22sylan9eq 2793 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ {1} ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (𝑋↑𝑛) = 1)
2423oveq2d 7377 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ {1} ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((π΄β€˜π‘›) Β· (𝑋↑𝑛)) = ((π΄β€˜π‘›) Β· 1))
2524mpteq2dva 5209 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ {1} β†’ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (𝑋↑𝑛))) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· 1)))
2625eqcomd 2739 . . . . . 6 (𝑋 ∈ {1} β†’ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· 1)) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (𝑋↑𝑛))))
2717, 26sylan9eq 2793 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ {1}) β†’ 𝐴 = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (𝑋↑𝑛))))
2827seqeq3d 13923 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ {1}) β†’ seq0( + , 𝐴) = seq0( + , (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (𝑋↑𝑛)))))
292adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ {1}) β†’ seq0( + , 𝐴) ∈ dom ⇝ )
3028, 29eqeltrrd 2835 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ {1}) β†’ seq0( + , (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (𝑋↑𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
31 cnxmet 24159 . . . . . . . 8 (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚)
32 0cn 11155 . . . . . . . 8 0 ∈ β„‚
33 1xr 11222 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ*
34 blssm 23794 . . . . . . . 8 (((abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚) ∧ 0 ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ ℝ*) β†’ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1) βŠ† β„‚)
3531, 32, 33, 34mp3an 1462 . . . . . . 7 (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1) βŠ† β„‚
36 simpr 486 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) β†’ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1))
3735, 36sselid 3946 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
38 oveq1 7368 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑋 β†’ (𝑧↑𝑛) = (𝑋↑𝑛))
3938oveq2d 7377 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑋 β†’ ((π΄β€˜π‘›) Β· (𝑧↑𝑛)) = ((π΄β€˜π‘›) Β· (𝑋↑𝑛)))
4039mpteq2dv 5211 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑋 β†’ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (𝑧↑𝑛))) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (𝑋↑𝑛))))
41 eqid 2733 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (𝑧↑𝑛)))) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (𝑧↑𝑛))))
42 nn0ex 12427 . . . . . . . 8 β„•0 ∈ V
4342mptex 7177 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (𝑋↑𝑛))) ∈ V
4440, 41, 43fvmpt 6952 . . . . . 6 (𝑋 ∈ β„‚ β†’ ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (𝑧↑𝑛))))β€˜π‘‹) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (𝑋↑𝑛))))
4537, 44syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) β†’ ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (𝑧↑𝑛))))β€˜π‘‹) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (𝑋↑𝑛))))
4645seqeq3d 13923 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) β†’ seq0( + , ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (𝑧↑𝑛))))β€˜π‘‹)) = seq0( + , (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (𝑋↑𝑛)))))
471adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
48 eqid 2733 . . . . 5 sup({π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (𝑧↑𝑛))))β€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) = sup({π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (𝑧↑𝑛))))β€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
4937abscld 15330 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) β†’ (absβ€˜π‘‹) ∈ ℝ)
5049rexrd 11213 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) β†’ (absβ€˜π‘‹) ∈ ℝ*)
51 1re 11163 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
52 rexr 11209 . . . . . . 7 (1 ∈ ℝ β†’ 1 ∈ ℝ*)
5351, 52mp1i 13 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) β†’ 1 ∈ ℝ*)
54 iccssxr 13356 . . . . . . 7 (0[,]+∞) βŠ† ℝ*
5541, 47, 48radcnvcl 25799 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) β†’ sup({π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (𝑧↑𝑛))))β€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ (0[,]+∞))
5654, 55sselid 3946 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) β†’ sup({π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (𝑧↑𝑛))))β€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
57 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (abs ∘ βˆ’ ) = (abs ∘ βˆ’ )
5857cnmetdval 24157 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ β„‚ ∧ 0 ∈ β„‚) β†’ (𝑋(abs ∘ βˆ’ )0) = (absβ€˜(𝑋 βˆ’ 0)))
5937, 32, 58sylancl 587 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) β†’ (𝑋(abs ∘ βˆ’ )0) = (absβ€˜(𝑋 βˆ’ 0)))
6037subid1d 11509 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) β†’ (𝑋 βˆ’ 0) = 𝑋)
6160fveq2d 6850 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) β†’ (absβ€˜(𝑋 βˆ’ 0)) = (absβ€˜π‘‹))
6259, 61eqtrd 2773 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) β†’ (𝑋(abs ∘ βˆ’ )0) = (absβ€˜π‘‹))
63 elbl3 23768 . . . . . . . . . 10 ((((abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚) ∧ 1 ∈ ℝ*) ∧ (0 ∈ β„‚ ∧ 𝑋 ∈ β„‚)) β†’ (𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1) ↔ (𝑋(abs ∘ βˆ’ )0) < 1))
6431, 33, 63mpanl12 701 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ β„‚ ∧ 𝑋 ∈ β„‚) β†’ (𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1) ↔ (𝑋(abs ∘ βˆ’ )0) < 1))
6532, 37, 64sylancr 588 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) β†’ (𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1) ↔ (𝑋(abs ∘ βˆ’ )0) < 1))
6636, 65mpbid 231 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) β†’ (𝑋(abs ∘ βˆ’ )0) < 1)
6762, 66eqbrtrrd 5133 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) β†’ (absβ€˜π‘‹) < 1)
681, 2abelthlem1 25813 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 1 ≀ sup({π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (𝑧↑𝑛))))β€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ))
6968adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) β†’ 1 ≀ sup({π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (𝑧↑𝑛))))β€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ))
7050, 53, 56, 67, 69xrltletrd 13089 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) β†’ (absβ€˜π‘‹) < sup({π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (𝑧↑𝑛))))β€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ))
7141, 47, 48, 37, 70radcnvlt2 25801 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) β†’ seq0( + , ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (𝑧↑𝑛))))β€˜π‘‹)) ∈ dom ⇝ )
7246, 71eqeltrrd 2835 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) β†’ seq0( + , (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (𝑋↑𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
7330, 72jaodan 957 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ {1} ∨ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1))) β†’ seq0( + , (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (𝑋↑𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
7412, 73syldan 592 1 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) β†’ seq0( + , (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (𝑋↑𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {crab 3406   βˆ– cdif 3911   βˆͺ cun 3912   βŠ† wss 3914  {csn 4590   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192  dom cdm 5637   ∘ ccom 5641  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  supcsup 9384  β„‚cc 11057  β„cr 11058  0cc0 11059  1c1 11060   + caddc 11062   Β· cmul 11064  +∞cpnf 11194  β„*cxr 11196   < clt 11197   ≀ cle 11198   βˆ’ cmin 11393  β„•0cn0 12421  β„€cz 12507  [,]cicc 13276  seqcseq 13915  β†‘cexp 13976  abscabs 15128   ⇝ cli 15375  βˆžMetcxmet 20804  ballcbl 20806
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-inf2 9585  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-sup 9386  df-inf 9387  df-oi 9454  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-rp 12924  df-xadd 13042  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-fl 13706  df-seq 13916  df-exp 13977  df-hash 14240  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-limsup 15362  df-clim 15379  df-rlim 15380  df-sum 15580  df-psmet 20811  df-xmet 20812  df-met 20813  df-bl 20814
This theorem is referenced by:  abelthlem4  25816  abelthlem9  25822
  Copyright terms: Public domain W3C validator