MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abelthlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abelthlem3 25032
Description: Lemma for abelth 25040. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
abelth.1 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
abelth.2 (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ∈ dom ⇝ )
abelth.3 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
abelth.4 (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
abelth.5 𝑆 = {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))}
Assertion
Ref Expression
abelthlem3 ((𝜑𝑋𝑆) → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑋𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
Distinct variable groups:   𝑧,𝑛,𝑀   𝑛,𝑋,𝑧   𝐴,𝑛,𝑧   𝜑,𝑛   𝑆,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝑆(𝑧)

Proof of Theorem abelthlem3
Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 abelth.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
2 abelth.2 . . . . . . 7 (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ∈ dom ⇝ )
3 abelth.3 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
4 abelth.4 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
5 abelth.5 . . . . . . 7 𝑆 = {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))}
61, 2, 3, 4, 5abelthlem2 25031 . . . . . 6 (𝜑 → (1 ∈ 𝑆 ∧ (𝑆 ∖ {1}) ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)))
76simprd 499 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆 ∖ {1}) ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))1))
8 ssundif 4394 . . . . 5 (𝑆 ⊆ ({1} ∪ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ↔ (𝑆 ∖ {1}) ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))1))
97, 8sylibr 237 . . . 4 (𝜑𝑆 ⊆ ({1} ∪ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)))
109sselda 3918 . . 3 ((𝜑𝑋𝑆) → 𝑋 ∈ ({1} ∪ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)))
11 elun 4079 . . 3 (𝑋 ∈ ({1} ∪ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ↔ (𝑋 ∈ {1} ∨ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)))
1210, 11sylib 221 . 2 ((𝜑𝑋𝑆) → (𝑋 ∈ {1} ∨ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)))
131feqmptd 6712 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛)))
141ffvelrnda 6832 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑛) ∈ ℂ)
1514mulid1d 10651 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑛) · 1) = (𝐴𝑛))
1615mpteq2dva 5128 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · 1)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛)))
1713, 16eqtr4d 2839 . . . . . 6 (𝜑𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · 1)))
18 elsni 4545 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ {1} → 𝑋 = 1)
1918oveq1d 7154 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ {1} → (𝑋𝑛) = (1↑𝑛))
20 nn0z 11997 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℤ)
21 1exp 13458 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℤ → (1↑𝑛) = 1)
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ0 → (1↑𝑛) = 1)
2319, 22sylan9eq 2856 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ {1} ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑋𝑛) = 1)
2423oveq2d 7155 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ {1} ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑛) · (𝑋𝑛)) = ((𝐴𝑛) · 1))
2524mpteq2dva 5128 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ {1} → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑋𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · 1)))
2625eqcomd 2807 . . . . . 6 (𝑋 ∈ {1} → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · 1)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑋𝑛))))
2717, 26sylan9eq 2856 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ∈ {1}) → 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑋𝑛))))
2827seqeq3d 13376 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ {1}) → seq0( + , 𝐴) = seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑋𝑛)))))
292adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ {1}) → seq0( + , 𝐴) ∈ dom ⇝ )
3028, 29eqeltrrd 2894 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ {1}) → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑋𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
31 cnxmet 23382 . . . . . . . 8 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
32 0cn 10626 . . . . . . . 8 0 ∈ ℂ
33 1xr 10693 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ*
34 blssm 23029 . . . . . . . 8 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℝ*) → (0(ball‘(abs ∘ − ))1) ⊆ ℂ)
3531, 32, 33, 34mp3an 1458 . . . . . . 7 (0(ball‘(abs ∘ − ))1) ⊆ ℂ
36 simpr 488 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1))
3735, 36sseldi 3916 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → 𝑋 ∈ ℂ)
38 oveq1 7146 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑋 → (𝑧𝑛) = (𝑋𝑛))
3938oveq2d 7155 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑋 → ((𝐴𝑛) · (𝑧𝑛)) = ((𝐴𝑛) · (𝑋𝑛)))
4039mpteq2dv 5129 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑋 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑧𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑋𝑛))))
41 eqid 2801 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑧𝑛)))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑧𝑛))))
42 nn0ex 11895 . . . . . . . 8 0 ∈ V
4342mptex 6967 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑋𝑛))) ∈ V
4440, 41, 43fvmpt 6749 . . . . . 6 (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑧𝑛))))‘𝑋) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑋𝑛))))
4537, 44syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑧𝑛))))‘𝑋) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑋𝑛))))
4645seqeq3d 13376 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → seq0( + , ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑧𝑛))))‘𝑋)) = seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑋𝑛)))))
471adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
48 eqid 2801 . . . . 5 sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑧𝑛))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑧𝑛))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
4937abscld 14792 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → (abs‘𝑋) ∈ ℝ)
5049rexrd 10684 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → (abs‘𝑋) ∈ ℝ*)
51 1re 10634 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
52 rexr 10680 . . . . . . 7 (1 ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ*)
5351, 52mp1i 13 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → 1 ∈ ℝ*)
54 iccssxr 12812 . . . . . . 7 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
5541, 47, 48radcnvcl 25016 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑧𝑛))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ (0[,]+∞))
5654, 55sseldi 3916 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑧𝑛))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
57 eqid 2801 . . . . . . . . . 10 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
5857cnmetdval 23380 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝑋(abs ∘ − )0) = (abs‘(𝑋 − 0)))
5937, 32, 58sylancl 589 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → (𝑋(abs ∘ − )0) = (abs‘(𝑋 − 0)))
6037subid1d 10979 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → (𝑋 − 0) = 𝑋)
6160fveq2d 6653 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → (abs‘(𝑋 − 0)) = (abs‘𝑋))
6259, 61eqtrd 2836 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → (𝑋(abs ∘ − )0) = (abs‘𝑋))
63 elbl3 23003 . . . . . . . . . 10 ((((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 1 ∈ ℝ*) ∧ (0 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ)) → (𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1) ↔ (𝑋(abs ∘ − )0) < 1))
6431, 33, 63mpanl12 701 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1) ↔ (𝑋(abs ∘ − )0) < 1))
6532, 37, 64sylancr 590 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → (𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1) ↔ (𝑋(abs ∘ − )0) < 1))
6636, 65mpbid 235 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → (𝑋(abs ∘ − )0) < 1)
6762, 66eqbrtrrd 5057 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → (abs‘𝑋) < 1)
681, 2abelthlem1 25030 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ≤ sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑧𝑛))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ))
6968adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → 1 ≤ sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑧𝑛))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ))
7050, 53, 56, 67, 69xrltletrd 12546 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → (abs‘𝑋) < sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑧𝑛))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ))
7141, 47, 48, 37, 70radcnvlt2 25018 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → seq0( + , ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑧𝑛))))‘𝑋)) ∈ dom ⇝ )
7246, 71eqeltrrd 2894 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑋𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
7330, 72jaodan 955 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ {1} ∨ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1))) → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑋𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
7412, 73syldan 594 1 ((𝜑𝑋𝑆) → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑋𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  wo 844   = wceq 1538  wcel 2112  {crab 3113  cdif 3881  cun 3882  wss 3884  {csn 4528   class class class wbr 5033  cmpt 5113  dom cdm 5523  ccom 5527  wf 6324  cfv 6328  (class class class)co 7139  supcsup 8892  cc 10528  cr 10529  0cc0 10530  1c1 10531   + caddc 10533   · cmul 10535  +∞cpnf 10665  *cxr 10667   < clt 10668  cle 10669  cmin 10863  0cn0 11889  cz 11973  [,]cicc 12733  seqcseq 13368  cexp 13429  abscabs 14589  cli 14837  ∞Metcxmet 20080  ballcbl 20082
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-inf2 9092  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608  ax-addf 10609  ax-mulf 10610
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-xadd 12500  df-ico 12736  df-icc 12737  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-fl 13161  df-seq 13369  df-exp 13430  df-hash 13691  df-cj 14454  df-re 14455  df-im 14456  df-sqrt 14590  df-abs 14591  df-limsup 14824  df-clim 14841  df-rlim 14842  df-sum 15039  df-psmet 20087  df-xmet 20088  df-met 20089  df-bl 20090
This theorem is referenced by:  abelthlem4  25033  abelthlem9  25039
  Copyright terms: Public domain W3C validator