MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abelthlem3 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem abelthlem3 26181
Description: Lemma for abelth 26189. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
abelth.1 (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
abelth.2 (πœ‘ β†’ seq0( + , 𝐴) ∈ dom ⇝ )
abelth.3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
abelth.4 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝑀)
abelth.5 𝑆 = {𝑧 ∈ β„‚ ∣ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))}
Assertion
Ref Expression
abelthlem3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) β†’ seq0( + , (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (𝑋↑𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
Distinct variable groups:   𝑧,𝑛,𝑀   𝑛,𝑋,𝑧   𝐴,𝑛,𝑧   πœ‘,𝑛   𝑆,𝑛
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑧)   𝑆(𝑧)
Proof of Theorem abelthlem3
Dummy variable π‘Ÿ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 abelth.1 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
2 abelth.2 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ seq0( + , 𝐴) ∈ dom ⇝ )
3 abelth.3 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
4 abelth.4 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝑀)
5 abelth.5 . . . . . . 7 𝑆 = {𝑧 ∈ β„‚ ∣ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))}
61, 2, 3, 4, 5abelthlem2 26180 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (1 ∈ 𝑆 ∧ (𝑆 βˆ– {1}) βŠ† (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)))
76simprd 494 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑆 βˆ– {1}) βŠ† (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1))
8 ssundif 4486 . . . . 5 (𝑆 βŠ† ({1} βˆͺ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) ↔ (𝑆 βˆ– {1}) βŠ† (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1))
97, 8sylibr 233 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† ({1} βˆͺ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)))
109sselda 3981 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) β†’ 𝑋 ∈ ({1} βˆͺ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)))
11 elun 4147 . . 3 (𝑋 ∈ ({1} βˆͺ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) ↔ (𝑋 ∈ {1} ∨ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)))
1210, 11sylib 217 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) β†’ (𝑋 ∈ {1} ∨ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)))
131feqmptd 6959 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (π΄β€˜π‘›)))
141ffvelcdmda 7085 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (π΄β€˜π‘›) ∈ β„‚)
1514mulridd 11235 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((π΄β€˜π‘›) Β· 1) = (π΄β€˜π‘›))
1615mpteq2dva 5247 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· 1)) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (π΄β€˜π‘›)))
1713, 16eqtr4d 2773 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· 1)))
18 elsni 4644 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ {1} β†’ 𝑋 = 1)
1918oveq1d 7426 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ {1} β†’ (𝑋↑𝑛) = (1↑𝑛))
20 nn0z 12587 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ 𝑛 ∈ β„€)
21 1exp 14061 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ β„€ β†’ (1↑𝑛) = 1)
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (1↑𝑛) = 1)
2319, 22sylan9eq 2790 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ {1} ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (𝑋↑𝑛) = 1)
2423oveq2d 7427 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ {1} ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((π΄β€˜π‘›) Β· (𝑋↑𝑛)) = ((π΄β€˜π‘›) Β· 1))
2524mpteq2dva 5247 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ {1} β†’ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (𝑋↑𝑛))) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· 1)))
2625eqcomd 2736 . . . . . 6 (𝑋 ∈ {1} β†’ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· 1)) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (𝑋↑𝑛))))
2717, 26sylan9eq 2790 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ {1}) β†’ 𝐴 = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (𝑋↑𝑛))))
2827seqeq3d 13978 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ {1}) β†’ seq0( + , 𝐴) = seq0( + , (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (𝑋↑𝑛)))))
292adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ {1}) β†’ seq0( + , 𝐴) ∈ dom ⇝ )
3028, 29eqeltrrd 2832 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ {1}) β†’ seq0( + , (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (𝑋↑𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
31 cnxmet 24509 . . . . . . . 8 (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚)
32 0cn 11210 . . . . . . . 8 0 ∈ β„‚
33 1xr 11277 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ*
34 blssm 24144 . . . . . . . 8 (((abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚) ∧ 0 ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ ℝ*) β†’ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1) βŠ† β„‚)
3531, 32, 33, 34mp3an 1459 . . . . . . 7 (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1) βŠ† β„‚
36 simpr 483 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) β†’ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1))
3735, 36sselid 3979 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
38 oveq1 7418 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑋 β†’ (𝑧↑𝑛) = (𝑋↑𝑛))
3938oveq2d 7427 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑋 β†’ ((π΄β€˜π‘›) Β· (𝑧↑𝑛)) = ((π΄β€˜π‘›) Β· (𝑋↑𝑛)))
4039mpteq2dv 5249 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑋 β†’ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (𝑧↑𝑛))) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (𝑋↑𝑛))))
41 eqid 2730 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (𝑧↑𝑛)))) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (𝑧↑𝑛))))
42 nn0ex 12482 . . . . . . . 8 β„•0 ∈ V
4342mptex 7226 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (𝑋↑𝑛))) ∈ V
4440, 41, 43fvmpt 6997 . . . . . 6 (𝑋 ∈ β„‚ β†’ ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (𝑧↑𝑛))))β€˜π‘‹) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (𝑋↑𝑛))))
4537, 44syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) β†’ ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (𝑧↑𝑛))))β€˜π‘‹) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (𝑋↑𝑛))))
4645seqeq3d 13978 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) β†’ seq0( + , ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (𝑧↑𝑛))))β€˜π‘‹)) = seq0( + , (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (𝑋↑𝑛)))))
471adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
48 eqid 2730 . . . . 5 sup({π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (𝑧↑𝑛))))β€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) = sup({π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (𝑧↑𝑛))))β€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
4937abscld 15387 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) β†’ (absβ€˜π‘‹) ∈ ℝ)
5049rexrd 11268 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) β†’ (absβ€˜π‘‹) ∈ ℝ*)
51 1re 11218 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
52 rexr 11264 . . . . . . 7 (1 ∈ ℝ β†’ 1 ∈ ℝ*)
5351, 52mp1i 13 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) β†’ 1 ∈ ℝ*)
54 iccssxr 13411 . . . . . . 7 (0[,]+∞) βŠ† ℝ*
5541, 47, 48radcnvcl 26165 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) β†’ sup({π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (𝑧↑𝑛))))β€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ (0[,]+∞))
5654, 55sselid 3979 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) β†’ sup({π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (𝑧↑𝑛))))β€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
57 eqid 2730 . . . . . . . . . 10 (abs ∘ βˆ’ ) = (abs ∘ βˆ’ )
5857cnmetdval 24507 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ β„‚ ∧ 0 ∈ β„‚) β†’ (𝑋(abs ∘ βˆ’ )0) = (absβ€˜(𝑋 βˆ’ 0)))
5937, 32, 58sylancl 584 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) β†’ (𝑋(abs ∘ βˆ’ )0) = (absβ€˜(𝑋 βˆ’ 0)))
6037subid1d 11564 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) β†’ (𝑋 βˆ’ 0) = 𝑋)
6160fveq2d 6894 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) β†’ (absβ€˜(𝑋 βˆ’ 0)) = (absβ€˜π‘‹))
6259, 61eqtrd 2770 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) β†’ (𝑋(abs ∘ βˆ’ )0) = (absβ€˜π‘‹))
63 elbl3 24118 . . . . . . . . . 10 ((((abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚) ∧ 1 ∈ ℝ*) ∧ (0 ∈ β„‚ ∧ 𝑋 ∈ β„‚)) β†’ (𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1) ↔ (𝑋(abs ∘ βˆ’ )0) < 1))
6431, 33, 63mpanl12 698 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ β„‚ ∧ 𝑋 ∈ β„‚) β†’ (𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1) ↔ (𝑋(abs ∘ βˆ’ )0) < 1))
6532, 37, 64sylancr 585 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) β†’ (𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1) ↔ (𝑋(abs ∘ βˆ’ )0) < 1))
6636, 65mpbid 231 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) β†’ (𝑋(abs ∘ βˆ’ )0) < 1)
6762, 66eqbrtrrd 5171 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) β†’ (absβ€˜π‘‹) < 1)
681, 2abelthlem1 26179 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 1 ≀ sup({π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (𝑧↑𝑛))))β€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ))
6968adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) β†’ 1 ≀ sup({π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (𝑧↑𝑛))))β€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ))
7050, 53, 56, 67, 69xrltletrd 13144 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) β†’ (absβ€˜π‘‹) < sup({π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (𝑧↑𝑛))))β€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ))
7141, 47, 48, 37, 70radcnvlt2 26167 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) β†’ seq0( + , ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (𝑧↑𝑛))))β€˜π‘‹)) ∈ dom ⇝ )
7246, 71eqeltrrd 2832 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) β†’ seq0( + , (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (𝑋↑𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
7330, 72jaodan 954 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ {1} ∨ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1))) β†’ seq0( + , (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (𝑋↑𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
7412, 73syldan 589 1 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) β†’ seq0( + , (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (𝑋↑𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 843   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  {crab 3430   βˆ– cdif 3944   βˆͺ cun 3945   βŠ† wss 3947  {csn 4627   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  dom cdm 5675   ∘ ccom 5679  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  supcsup 9437  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   Β· cmul 11117  +∞cpnf 11249  β„*cxr 11251   < clt 11252   ≀ cle 11253   βˆ’ cmin 11448  β„•0cn0 12476  β„€cz 12562  [,]cicc 13331  seqcseq 13970  β†‘cexp 14031  abscabs 15185   ⇝ cli 15432  βˆžMetcxmet 21129  ballcbl 21131
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-xadd 13097  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-limsup 15419  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139
This theorem is referenced by:  abelthlem4  26182  abelthlem9  26188
  Copyright terms: Public domain W3C validator