Theorem abelthlem3 25592

Description: Lemma for abelth 25600. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
abelth.1	⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
abelth.2	⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ∈ dom ⇝ )
abelth.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
abelth.4	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
abelth.5	⊢ 𝑆 = {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))}

Assertion

Ref	Expression
abelthlem3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))) ∈ dom ⇝ )

Distinct variable groups:   𝑧,𝑛,𝑀   𝑛,𝑋,𝑧   𝐴,𝑛,𝑧   𝜑,𝑛   𝑆,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝑆(𝑧)

Proof of Theorem abelthlem3

Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abelth.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
2		abelth.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ∈ dom ⇝ )
3		abelth.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
4		abelth.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
5		abelth.5	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))}
6	1, 2, 3, 4, 5	abelthlem2 25591	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 ∈ 𝑆 ∧ (𝑆 ∖ {1}) ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)))
7	6	simprd 496	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∖ {1}) ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))1))
8		ssundif 4418	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ⊆ ({1} ∪ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ↔ (𝑆 ∖ {1}) ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))1))
9	7, 8	sylibr 233	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ({1} ∪ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)))
10	9	sselda 3921	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ ({1} ∪ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)))
11		elun 4083	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ ({1} ∪ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ↔ (𝑋 ∈ {1} ∨ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)))
12	10, 11	sylib 217	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑋 ∈ {1} ∨ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)))
13	1	feqmptd 6837	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴‘𝑛)))
14	1	ffvelrnda 6961	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑛) ∈ ℂ)
15	14	mulid1d 10992	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐴‘𝑛) · 1) = (𝐴‘𝑛))
16	15	mpteq2dva 5174	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · 1)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴‘𝑛)))
17	13, 16	eqtr4d 2781	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · 1)))
18		elsni 4578	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ {1} → 𝑋 = 1)
19	18	oveq1d 7290	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ {1} → (𝑋↑𝑛) = (1↑𝑛))
20		nn0z 12343	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℤ)
21		1exp 13812	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (1↑𝑛) = 1)
22	20, 21	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (1↑𝑛) = 1)
23	19, 22	sylan9eq 2798	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ {1} ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑋↑𝑛) = 1)
24	23	oveq2d 7291	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ {1} ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐴‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)) = ((𝐴‘𝑛) · 1))
25	24	mpteq2dva 5174	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ {1} → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · 1)))
26	25	eqcomd 2744	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ {1} → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · 1)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))
27	17, 26	sylan9eq 2798	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ {1}) → 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))
28	27	seqeq3d 13729	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ {1}) → seq0( + , 𝐴) = seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))))
29	2	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ {1}) → seq0( + , 𝐴) ∈ dom ⇝ )
30	28, 29	eqeltrrd 2840	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ {1}) → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
31		cnxmet 23936	. . . . . . . 8 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
32		0cn 10967	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℂ
33		1xr 11034	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ*
34		blssm 23571	. . . . . . . 8 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℝ*) → (0(ball‘(abs ∘ − ))1) ⊆ ℂ)
35	31, 32, 33, 34	mp3an 1460	. . . . . . 7 ⊢ (0(ball‘(abs ∘ − ))1) ⊆ ℂ
36		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1))
37	35, 36	sselid 3919	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → 𝑋 ∈ ℂ)
38		oveq1 7282	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → (𝑧↑𝑛) = (𝑋↑𝑛))
39	38	oveq2d 7291	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → ((𝐴‘𝑛) · (𝑧↑𝑛)) = ((𝐴‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))
40	39	mpteq2dv 5176	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑧↑𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))
41		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑧↑𝑛)))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑧↑𝑛))))
42		nn0ex 12239	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ0 ∈ V
43	42	mptex 7099	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) ∈ V
44	40, 41, 43	fvmpt 6875	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑧↑𝑛))))‘𝑋) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))
45	37, 44	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑧↑𝑛))))‘𝑋) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))
46	45	seqeq3d 13729	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → seq0( + , ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑧↑𝑛))))‘𝑋)) = seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))))
47	1	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
48		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑧↑𝑛))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑧↑𝑛))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
49	37	abscld 15148	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → (abs‘𝑋) ∈ ℝ)
50	49	rexrd 11025	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → (abs‘𝑋) ∈ ℝ*)
51		1re 10975	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
52		rexr 11021	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ*)
53	51, 52	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → 1 ∈ ℝ*)
54		iccssxr 13162	. . . . . . 7 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
55	41, 47, 48	radcnvcl 25576	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑧↑𝑛))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ (0[,]+∞))
56	54, 55	sselid 3919	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑧↑𝑛))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
57		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
58	57	cnmetdval 23934	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝑋(abs ∘ − )0) = (abs‘(𝑋 − 0)))
59	37, 32, 58	sylancl 586	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → (𝑋(abs ∘ − )0) = (abs‘(𝑋 − 0)))
60	37	subid1d 11321	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → (𝑋 − 0) = 𝑋)
61	60	fveq2d 6778	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → (abs‘(𝑋 − 0)) = (abs‘𝑋))
62	59, 61	eqtrd 2778	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → (𝑋(abs ∘ − )0) = (abs‘𝑋))
63		elbl3 23545	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 1 ∈ ℝ*) ∧ (0 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ)) → (𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1) ↔ (𝑋(abs ∘ − )0) < 1))
64	31, 33, 63	mpanl12 699	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1) ↔ (𝑋(abs ∘ − )0) < 1))
65	32, 37, 64	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → (𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1) ↔ (𝑋(abs ∘ − )0) < 1))
66	36, 65	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → (𝑋(abs ∘ − )0) < 1)
67	62, 66	eqbrtrrd 5098	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → (abs‘𝑋) < 1)
68	1, 2	abelthlem1 25590	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑧↑𝑛))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ))
69	68	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → 1 ≤ sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑧↑𝑛))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ))
70	50, 53, 56, 67, 69	xrltletrd 12895	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → (abs‘𝑋) < sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑧↑𝑛))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ))
71	41, 47, 48, 37, 70	radcnvlt2 25578	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → seq0( + , ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑧↑𝑛))))‘𝑋)) ∈ dom ⇝ )
72	46, 71	eqeltrrd 2840	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
73	30, 72	jaodan 955	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ {1} ∨ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1))) → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
74	12, 73	syldan 591	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))) ∈ dom ⇝ )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 844   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  {crab 3068   ∖ cdif 3884   ∪ cun 3885   ⊆ wss 3887  {csn 4561   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5157  dom cdm 5589   ∘ ccom 5593  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  supcsup 9199  ℂcc 10869  ℝcr 10870  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   · cmul 10876  +∞cpnf 11006  ℝ^*cxr 11008   < clt 11009   ≤ cle 11010   − cmin 11205  ℕ₀cn0 12233  ℤcz 12319  [,]cicc 13082  seqcseq 13721  ↑cexp 13782  abscabs 14945   ⇝ cli 15193  ∞Metcxmet 20582  ballcbl 20584

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-xadd 12849  df-ico 13085  df-icc 13086  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-limsup 15180  df-clim 15197  df-rlim 15198  df-sum 15398  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-met 20591  df-bl 20592

This theorem is referenced by:  abelthlem4  25593  abelthlem9  25599