Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abelthlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abelthlem3 25032
 Description: Lemma for abelth 25040. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
abelth.1 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
abelth.2 (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ∈ dom ⇝ )
abelth.3 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
abelth.4 (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
abelth.5 𝑆 = {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))}
Assertion
Ref Expression
abelthlem3 ((𝜑𝑋𝑆) → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑋𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
Distinct variable groups:   𝑧,𝑛,𝑀   𝑛,𝑋,𝑧   𝐴,𝑛,𝑧   𝜑,𝑛   𝑆,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝑆(𝑧)

Proof of Theorem abelthlem3
Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 abelth.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
2 abelth.2 . . . . . . 7 (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ∈ dom ⇝ )
3 abelth.3 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
4 abelth.4 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
5 abelth.5 . . . . . . 7 𝑆 = {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))}
61, 2, 3, 4, 5abelthlem2 25031 . . . . . 6 (𝜑 → (1 ∈ 𝑆 ∧ (𝑆 ∖ {1}) ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)))
76simprd 499 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆 ∖ {1}) ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))1))
8 ssundif 4394 . . . . 5 (𝑆 ⊆ ({1} ∪ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ↔ (𝑆 ∖ {1}) ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))1))
97, 8sylibr 237 . . . 4 (𝜑𝑆 ⊆ ({1} ∪ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)))
109sselda 3918 . . 3 ((𝜑𝑋𝑆) → 𝑋 ∈ ({1} ∪ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)))
11 elun 4079 . . 3 (𝑋 ∈ ({1} ∪ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ↔ (𝑋 ∈ {1} ∨ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)))
1210, 11sylib 221 . 2 ((𝜑𝑋𝑆) → (𝑋 ∈ {1} ∨ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)))
131feqmptd 6712 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛)))
141ffvelrnda 6832 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑛) ∈ ℂ)
1514mulid1d 10651 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑛) · 1) = (𝐴𝑛))
1615mpteq2dva 5128 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · 1)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛)))
1713, 16eqtr4d 2839 . . . . . 6 (𝜑𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · 1)))
18 elsni 4545 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ {1} → 𝑋 = 1)
1918oveq1d 7154 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ {1} → (𝑋𝑛) = (1↑𝑛))
20 nn0z 11997 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℤ)
21 1exp 13458 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℤ → (1↑𝑛) = 1)
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ0 → (1↑𝑛) = 1)
2319, 22sylan9eq 2856 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ {1} ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑋𝑛) = 1)
2423oveq2d 7155 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ {1} ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑛) · (𝑋𝑛)) = ((𝐴𝑛) · 1))
2524mpteq2dva 5128 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ {1} → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑋𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · 1)))
2625eqcomd 2807 . . . . . 6 (𝑋 ∈ {1} → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · 1)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑋𝑛))))
2717, 26sylan9eq 2856 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ∈ {1}) → 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑋𝑛))))
2827seqeq3d 13376 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ {1}) → seq0( + , 𝐴) = seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑋𝑛)))))
292adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ {1}) → seq0( + , 𝐴) ∈ dom ⇝ )
3028, 29eqeltrrd 2894 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ {1}) → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑋𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
31 cnxmet 23382 . . . . . . . 8 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
32 0cn 10626 . . . . . . . 8 0 ∈ ℂ
33 1xr 10693 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ*
34 blssm 23029 . . . . . . . 8 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℝ*) → (0(ball‘(abs ∘ − ))1) ⊆ ℂ)
3531, 32, 33, 34mp3an 1458 . . . . . . 7 (0(ball‘(abs ∘ − ))1) ⊆ ℂ
36 simpr 488 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1))
3735, 36sseldi 3916 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → 𝑋 ∈ ℂ)
38 oveq1 7146 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑋 → (𝑧𝑛) = (𝑋𝑛))
3938oveq2d 7155 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑋 → ((𝐴𝑛) · (𝑧𝑛)) = ((𝐴𝑛) · (𝑋𝑛)))
4039mpteq2dv 5129 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑋 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑧𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑋𝑛))))
41 eqid 2801 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑧𝑛)))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑧𝑛))))
42 nn0ex 11895 . . . . . . . 8 0 ∈ V
4342mptex 6967 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑋𝑛))) ∈ V
4440, 41, 43fvmpt 6749 . . . . . 6 (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑧𝑛))))‘𝑋) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑋𝑛))))
4537, 44syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑧𝑛))))‘𝑋) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑋𝑛))))
4645seqeq3d 13376 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → seq0( + , ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑧𝑛))))‘𝑋)) = seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑋𝑛)))))
471adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
48 eqid 2801 . . . . 5 sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑧𝑛))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑧𝑛))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
4937abscld 14792 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → (abs‘𝑋) ∈ ℝ)
5049rexrd 10684 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → (abs‘𝑋) ∈ ℝ*)
51 1re 10634 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
52 rexr 10680 . . . . . . 7 (1 ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ*)
5351, 52mp1i 13 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → 1 ∈ ℝ*)
54 iccssxr 12812 . . . . . . 7 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
5541, 47, 48radcnvcl 25016 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑧𝑛))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ (0[,]+∞))
5654, 55sseldi 3916 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑧𝑛))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
57 eqid 2801 . . . . . . . . . 10 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
5857cnmetdval 23380 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝑋(abs ∘ − )0) = (abs‘(𝑋 − 0)))
5937, 32, 58sylancl 589 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → (𝑋(abs ∘ − )0) = (abs‘(𝑋 − 0)))
6037subid1d 10979 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → (𝑋 − 0) = 𝑋)
6160fveq2d 6653 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → (abs‘(𝑋 − 0)) = (abs‘𝑋))
6259, 61eqtrd 2836 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → (𝑋(abs ∘ − )0) = (abs‘𝑋))
63 elbl3 23003 . . . . . . . . . 10 ((((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 1 ∈ ℝ*) ∧ (0 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ)) → (𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1) ↔ (𝑋(abs ∘ − )0) < 1))
6431, 33, 63mpanl12 701 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1) ↔ (𝑋(abs ∘ − )0) < 1))
6532, 37, 64sylancr 590 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → (𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1) ↔ (𝑋(abs ∘ − )0) < 1))
6636, 65mpbid 235 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → (𝑋(abs ∘ − )0) < 1)
6762, 66eqbrtrrd 5057 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → (abs‘𝑋) < 1)
681, 2abelthlem1 25030 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ≤ sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑧𝑛))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ))
6968adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → 1 ≤ sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑧𝑛))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ))
7050, 53, 56, 67, 69xrltletrd 12546 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → (abs‘𝑋) < sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑧𝑛))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ))
7141, 47, 48, 37, 70radcnvlt2 25018 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → seq0( + , ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑧𝑛))))‘𝑋)) ∈ dom ⇝ )
7246, 71eqeltrrd 2894 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑋𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
7330, 72jaodan 955 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ {1} ∨ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1))) → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑋𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
7412, 73syldan 594 1 ((𝜑𝑋𝑆) → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑋𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  {crab 3113   ∖ cdif 3881   ∪ cun 3882   ⊆ wss 3884  {csn 4528   class class class wbr 5033   ↦ cmpt 5113  dom cdm 5523   ∘ ccom 5527  ⟶wf 6324  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  supcsup 8892  ℂcc 10528  ℝcr 10529  0cc0 10530  1c1 10531   + caddc 10533   · cmul 10535  +∞cpnf 10665  ℝ*cxr 10667   < clt 10668   ≤ cle 10669   − cmin 10863  ℕ0cn0 11889  ℤcz 11973  [,]cicc 12733  seqcseq 13368  ↑cexp 13429  abscabs 14589   ⇝ cli 14837  ∞Metcxmet 20080  ballcbl 20082 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-inf2 9092  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608  ax-addf 10609  ax-mulf 10610 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-xadd 12500  df-ico 12736  df-icc 12737  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-fl 13161  df-seq 13369  df-exp 13430  df-hash 13691  df-cj 14454  df-re 14455  df-im 14456  df-sqrt 14590  df-abs 14591  df-limsup 14824  df-clim 14841  df-rlim 14842  df-sum 15039  df-psmet 20087  df-xmet 20088  df-met 20089  df-bl 20090 This theorem is referenced by:  abelthlem4  25033  abelthlem9  25039
 Copyright terms: Public domain W3C validator