MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abelthlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abelthlem3 25015
Description: Lemma for abelth 25023. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
abelth.1 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
abelth.2 (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ∈ dom ⇝ )
abelth.3 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
abelth.4 (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
abelth.5 𝑆 = {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))}
Assertion
Ref Expression
abelthlem3 ((𝜑𝑋𝑆) → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑋𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
Distinct variable groups:   𝑧,𝑛,𝑀   𝑛,𝑋,𝑧   𝐴,𝑛,𝑧   𝜑,𝑛   𝑆,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝑆(𝑧)

Proof of Theorem abelthlem3
Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 abelth.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
2 abelth.2 . . . . . . 7 (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ∈ dom ⇝ )
3 abelth.3 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
4 abelth.4 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
5 abelth.5 . . . . . . 7 𝑆 = {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))}
61, 2, 3, 4, 5abelthlem2 25014 . . . . . 6 (𝜑 → (1 ∈ 𝑆 ∧ (𝑆 ∖ {1}) ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)))
76simprd 498 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆 ∖ {1}) ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))1))
8 ssundif 4432 . . . . 5 (𝑆 ⊆ ({1} ∪ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ↔ (𝑆 ∖ {1}) ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))1))
97, 8sylibr 236 . . . 4 (𝜑𝑆 ⊆ ({1} ∪ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)))
109sselda 3966 . . 3 ((𝜑𝑋𝑆) → 𝑋 ∈ ({1} ∪ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)))
11 elun 4124 . . 3 (𝑋 ∈ ({1} ∪ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ↔ (𝑋 ∈ {1} ∨ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)))
1210, 11sylib 220 . 2 ((𝜑𝑋𝑆) → (𝑋 ∈ {1} ∨ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)))
131feqmptd 6727 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛)))
141ffvelrnda 6845 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑛) ∈ ℂ)
1514mulid1d 10652 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑛) · 1) = (𝐴𝑛))
1615mpteq2dva 5153 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · 1)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛)))
1713, 16eqtr4d 2859 . . . . . 6 (𝜑𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · 1)))
18 elsni 4577 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ {1} → 𝑋 = 1)
1918oveq1d 7165 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ {1} → (𝑋𝑛) = (1↑𝑛))
20 nn0z 11999 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℤ)
21 1exp 13452 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℤ → (1↑𝑛) = 1)
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ0 → (1↑𝑛) = 1)
2319, 22sylan9eq 2876 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ {1} ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑋𝑛) = 1)
2423oveq2d 7166 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ {1} ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑛) · (𝑋𝑛)) = ((𝐴𝑛) · 1))
2524mpteq2dva 5153 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ {1} → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑋𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · 1)))
2625eqcomd 2827 . . . . . 6 (𝑋 ∈ {1} → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · 1)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑋𝑛))))
2717, 26sylan9eq 2876 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ∈ {1}) → 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑋𝑛))))
2827seqeq3d 13371 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ {1}) → seq0( + , 𝐴) = seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑋𝑛)))))
292adantr 483 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ {1}) → seq0( + , 𝐴) ∈ dom ⇝ )
3028, 29eqeltrrd 2914 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ {1}) → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑋𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
31 cnxmet 23375 . . . . . . . 8 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
32 0cn 10627 . . . . . . . 8 0 ∈ ℂ
33 1xr 10694 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ*
34 blssm 23022 . . . . . . . 8 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℝ*) → (0(ball‘(abs ∘ − ))1) ⊆ ℂ)
3531, 32, 33, 34mp3an 1457 . . . . . . 7 (0(ball‘(abs ∘ − ))1) ⊆ ℂ
36 simpr 487 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1))
3735, 36sseldi 3964 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → 𝑋 ∈ ℂ)
38 oveq1 7157 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑋 → (𝑧𝑛) = (𝑋𝑛))
3938oveq2d 7166 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑋 → ((𝐴𝑛) · (𝑧𝑛)) = ((𝐴𝑛) · (𝑋𝑛)))
4039mpteq2dv 5154 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑋 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑧𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑋𝑛))))
41 eqid 2821 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑧𝑛)))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑧𝑛))))
42 nn0ex 11897 . . . . . . . 8 0 ∈ V
4342mptex 6980 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑋𝑛))) ∈ V
4440, 41, 43fvmpt 6762 . . . . . 6 (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑧𝑛))))‘𝑋) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑋𝑛))))
4537, 44syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑧𝑛))))‘𝑋) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑋𝑛))))
4645seqeq3d 13371 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → seq0( + , ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑧𝑛))))‘𝑋)) = seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑋𝑛)))))
471adantr 483 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
48 eqid 2821 . . . . 5 sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑧𝑛))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑧𝑛))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
4937abscld 14790 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → (abs‘𝑋) ∈ ℝ)
5049rexrd 10685 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → (abs‘𝑋) ∈ ℝ*)
51 1re 10635 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
52 rexr 10681 . . . . . . 7 (1 ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ*)
5351, 52mp1i 13 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → 1 ∈ ℝ*)
54 iccssxr 12813 . . . . . . 7 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
5541, 47, 48radcnvcl 24999 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑧𝑛))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ (0[,]+∞))
5654, 55sseldi 3964 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑧𝑛))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
57 eqid 2821 . . . . . . . . . 10 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
5857cnmetdval 23373 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝑋(abs ∘ − )0) = (abs‘(𝑋 − 0)))
5937, 32, 58sylancl 588 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → (𝑋(abs ∘ − )0) = (abs‘(𝑋 − 0)))
6037subid1d 10980 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → (𝑋 − 0) = 𝑋)
6160fveq2d 6668 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → (abs‘(𝑋 − 0)) = (abs‘𝑋))
6259, 61eqtrd 2856 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → (𝑋(abs ∘ − )0) = (abs‘𝑋))
63 elbl3 22996 . . . . . . . . . 10 ((((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 1 ∈ ℝ*) ∧ (0 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ)) → (𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1) ↔ (𝑋(abs ∘ − )0) < 1))
6431, 33, 63mpanl12 700 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1) ↔ (𝑋(abs ∘ − )0) < 1))
6532, 37, 64sylancr 589 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → (𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1) ↔ (𝑋(abs ∘ − )0) < 1))
6636, 65mpbid 234 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → (𝑋(abs ∘ − )0) < 1)
6762, 66eqbrtrrd 5082 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → (abs‘𝑋) < 1)
681, 2abelthlem1 25013 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ≤ sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑧𝑛))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ))
6968adantr 483 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → 1 ≤ sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑧𝑛))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ))
7050, 53, 56, 67, 69xrltletrd 12548 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → (abs‘𝑋) < sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑧𝑛))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ))
7141, 47, 48, 37, 70radcnvlt2 25001 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → seq0( + , ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑧𝑛))))‘𝑋)) ∈ dom ⇝ )
7246, 71eqeltrrd 2914 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑋𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
7330, 72jaodan 954 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ {1} ∨ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1))) → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑋𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
7412, 73syldan 593 1 ((𝜑𝑋𝑆) → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑋𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398  wo 843   = wceq 1533  wcel 2110  {crab 3142  cdif 3932  cun 3933  wss 3935  {csn 4560   class class class wbr 5058  cmpt 5138  dom cdm 5549  ccom 5553  wf 6345  cfv 6349  (class class class)co 7150  supcsup 8898  cc 10529  cr 10530  0cc0 10531  1c1 10532   + caddc 10534   · cmul 10536  +∞cpnf 10666  *cxr 10668   < clt 10669  cle 10670  cmin 10864  0cn0 11891  cz 11975  [,]cicc 12735  seqcseq 13363  cexp 13423  abscabs 14587  cli 14835  ∞Metcxmet 20524  ballcbl 20526
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-inf2 9098  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609  ax-addf 10610  ax-mulf 10611
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4869  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-se 5509  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-isom 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8283  df-map 8402  df-pm 8403  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-sup 8900  df-inf 8901  df-oi 8968  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-rp 12384  df-xadd 12502  df-ico 12738  df-icc 12739  df-fz 12887  df-fzo 13028  df-fl 13156  df-seq 13364  df-exp 13424  df-hash 13685  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589  df-limsup 14822  df-clim 14839  df-rlim 14840  df-sum 15037  df-psmet 20531  df-xmet 20532  df-met 20533  df-bl 20534
This theorem is referenced by:  abelthlem4  25016  abelthlem9  25022
  Copyright terms: Public domain W3C validator