Theorem abelthlem3 26766

Description: Lemma for abelth 26774. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
abelth.1	⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
abelth.2	⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ∈ dom ⇝ )
abelth.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
abelth.4	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
abelth.5	⊢ 𝑆 = {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))}

Assertion

Ref	Expression
abelthlem3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))) ∈ dom ⇝ )

Distinct variable groups:   𝑧,𝑛,𝑀   𝑛,𝑋,𝑧   𝐴,𝑛,𝑧   𝜑,𝑛   𝑆,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝑆(𝑧)

Proof of Theorem abelthlem3

Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abelth.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
2		abelth.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ∈ dom ⇝ )
3		abelth.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
4		abelth.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
5		abelth.5	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))}
6	1, 2, 3, 4, 5	abelthlem2 26765	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 ∈ 𝑆 ∧ (𝑆 ∖ {1}) ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)))
7	6	simprd 501	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∖ {1}) ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))1))
8		ssundif 4442	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ⊆ ({1} ∪ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ↔ (𝑆 ∖ {1}) ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))1))
9	7, 8	sylibr 237	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ({1} ∪ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)))
10	9	sselda 3908	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ ({1} ∪ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)))
11		elun 4152	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ ({1} ∪ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ↔ (𝑋 ∈ {1} ∨ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)))
12	10, 11	sylib 221	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑋 ∈ {1} ∨ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)))
13	1	feqmptd 6954	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴‘𝑛)))
14	1	ffvelcdmda 7085	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑛) ∈ ℂ)
15	14	mulridd 11330	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐴‘𝑛) · 1) = (𝐴‘𝑛))
16	15	mpteq2dva 5197	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · 1)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴‘𝑛)))
17	13, 16	eqtr4d 2798	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · 1)))
18		elsni 4597	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ {1} → 𝑋 = 1)
19	18	oveq1d 7436	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ {1} → (𝑋↑𝑛) = (1↑𝑛))
20		nn0z 12721	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℤ)
21		1exp 14238	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (1↑𝑛) = 1)
22	20, 21	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (1↑𝑛) = 1)
23	19, 22	sylan9eq 2815	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ {1} ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑋↑𝑛) = 1)
24	23	oveq2d 7437	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ {1} ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐴‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)) = ((𝐴‘𝑛) · 1))
25	24	mpteq2dva 5197	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ {1} → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · 1)))
26	25	eqcomd 2766	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ {1} → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · 1)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))
27	17, 26	sylan9eq 2815	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ {1}) → 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))
28	27	seqeq3d 14156	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ {1}) → seq0( + , 𝐴) = seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))))
29	2	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ {1}) → seq0( + , 𝐴) ∈ dom ⇝ )
30	28, 29	eqeltrrd 2861	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ {1}) → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
31		cnxmet 25097	. . . . . . . 8 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
32		0cn 11302	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℂ
33		1xr 11372	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ*
34		blssm 24743	. . . . . . . 8 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℝ*) → (0(ball‘(abs ∘ − ))1) ⊆ ℂ)
35	31, 32, 33, 34	mp3an 1490	. . . . . . 7 ⊢ (0(ball‘(abs ∘ − ))1) ⊆ ℂ
36		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1))
37	35, 36	sselid 3906	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → 𝑋 ∈ ℂ)
38		oveq1 7428	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → (𝑧↑𝑛) = (𝑋↑𝑛))
39	38	oveq2d 7437	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → ((𝐴‘𝑛) · (𝑧↑𝑛)) = ((𝐴‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))
40	39	mpteq2dv 5198	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑧↑𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))
41		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑧↑𝑛)))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑧↑𝑛))))
42		nn0ex 12616	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ0 ∈ V
43	42	mptex 7230	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) ∈ V
44	40, 41, 43	fvmpt 6994	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑧↑𝑛))))‘𝑋) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))
45	37, 44	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑧↑𝑛))))‘𝑋) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))
46	45	seqeq3d 14156	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → seq0( + , ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑧↑𝑛))))‘𝑋)) = seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))))
47	1	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
48		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑧↑𝑛))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑧↑𝑛))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
49	37	abscld 15612	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → (abs‘𝑋) ∈ ℝ)
50	49	rexrd 11363	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → (abs‘𝑋) ∈ ℝ*)
51		1re 11312	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
52		rexr 11359	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ*)
53	51, 52	mp1i 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → 1 ∈ ℝ*)
54		iccssxr 13565	. . . . . . 7 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
55	41, 47, 48	radcnvcl 26750	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑧↑𝑛))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ (0[,]+∞))
56	54, 55	sselid 3906	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑧↑𝑛))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
57		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
58	57	cnmetdval 25095	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝑋(abs ∘ − )0) = (abs‘(𝑋 − 0)))
59	37, 32, 58	sylancl 598	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → (𝑋(abs ∘ − )0) = (abs‘(𝑋 − 0)))
60	37	subid1d 11662	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → (𝑋 − 0) = 𝑋)
61	60	fveq2d 6890	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → (abs‘(𝑋 − 0)) = (abs‘𝑋))
62	59, 61	eqtrd 2795	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → (𝑋(abs ∘ − )0) = (abs‘𝑋))
63		elbl3 24717	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 1 ∈ ℝ*) ∧ (0 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ)) → (𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1) ↔ (𝑋(abs ∘ − )0) < 1))
64	31, 33, 63	mpanl12 715	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1) ↔ (𝑋(abs ∘ − )0) < 1))
65	32, 37, 64	sylancr 599	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → (𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1) ↔ (𝑋(abs ∘ − )0) < 1))
66	36, 65	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → (𝑋(abs ∘ − )0) < 1)
67	62, 66	eqbrtrrd 5128	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → (abs‘𝑋) < 1)
68	1, 2	abelthlem1 26764	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑧↑𝑛))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ))
69	68	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → 1 ≤ sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑧↑𝑛))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ))
70	50, 53, 56, 67, 69	xrltletrd 13294	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → (abs‘𝑋) < sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑧↑𝑛))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ))
71	41, 47, 48, 37, 70	radcnvlt2 26752	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → seq0( + , ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑧↑𝑛))))‘𝑋)) ∈ dom ⇝ )
72	46, 71	eqeltrrd 2861	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
73	30, 72	jaodan 972	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ {1} ∨ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1))) → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
74	12, 73	syldan 603	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))) ∈ dom ⇝ )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  {crab 3412   ⊆ wss 3895   ∖ cdif 4045   ∪ cun 4149  {csn 4584   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185  dom cdm 5650   ∘ ccom 5654  ⟶wf 6535  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  supcsup 9436  ℂcc 11202  ℝcr 11203  0cc0 11204  1c1 11205   + caddc 11207   · cmul 11209  +∞cpnf 11344  ℝ^*cxr 11346   < clt 11347   ≤ cle 11348   − cmin 11545  ℕ₀cn0 12610  ℤcz 12697  [,]cicc 13483  seqcseq 14148  ↑cexp 14208  abscabs 15407   ⇝ cli 15657  ∞Metcxmet 21669  ballcbl 21671

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-inf2 9646  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281  ax-pre-sup 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-isom 6548  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-er 8721  df-map 8853  df-pm 8854  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-sup 9438  df-inf 9439  df-oi 9508  df-card 10024  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-div 11978  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-n0 12611  df-z 12698  df-uz 12970  df-rp 13125  df-xadd 13246  df-ico 13486  df-icc 13487  df-fz 13644  df-fzo 13793  df-fl 13936  df-seq 14149  df-exp 14209  df-hash 14479  df-cj 15272  df-re 15273  df-im 15274  df-sqrt 15408  df-abs 15409  df-limsup 15644  df-clim 15661  df-rlim 15662  df-sum 15860  df-psmet 21676  df-xmet 21677  df-met 21678  df-bl 21679

This theorem is used by:  abelthlem4  26767  abelthlem9  26773