Theorem abelthlem3 25792

Description: Lemma for abelth 25800. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
abelth.1	⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
abelth.2	⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ∈ dom ⇝ )
abelth.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
abelth.4	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
abelth.5	⊢ 𝑆 = {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))}

Assertion

Ref	Expression
abelthlem3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))) ∈ dom ⇝ )

Distinct variable groups:   𝑧,𝑛,𝑀   𝑛,𝑋,𝑧   𝐴,𝑛,𝑧   𝜑,𝑛   𝑆,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝑆(𝑧)

Proof of Theorem abelthlem3

Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abelth.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
2		abelth.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ∈ dom ⇝ )
3		abelth.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
4		abelth.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
5		abelth.5	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))}
6	1, 2, 3, 4, 5	abelthlem2 25791	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 ∈ 𝑆 ∧ (𝑆 ∖ {1}) ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)))
7	6	simprd 496	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∖ {1}) ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))1))
8		ssundif 4445	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ⊆ ({1} ∪ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ↔ (𝑆 ∖ {1}) ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))1))
9	7, 8	sylibr 233	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ({1} ∪ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)))
10	9	sselda 3944	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ ({1} ∪ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)))
11		elun 4108	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ ({1} ∪ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ↔ (𝑋 ∈ {1} ∨ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)))
12	10, 11	sylib 217	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑋 ∈ {1} ∨ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)))
13	1	feqmptd 6910	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴‘𝑛)))
14	1	ffvelcdmda 7035	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑛) ∈ ℂ)
15	14	mulid1d 11172	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐴‘𝑛) · 1) = (𝐴‘𝑛))
16	15	mpteq2dva 5205	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · 1)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴‘𝑛)))
17	13, 16	eqtr4d 2779	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · 1)))
18		elsni 4603	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ {1} → 𝑋 = 1)
19	18	oveq1d 7372	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ {1} → (𝑋↑𝑛) = (1↑𝑛))
20		nn0z 12524	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℤ)
21		1exp 13997	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (1↑𝑛) = 1)
22	20, 21	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (1↑𝑛) = 1)
23	19, 22	sylan9eq 2796	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ {1} ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑋↑𝑛) = 1)
24	23	oveq2d 7373	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ {1} ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐴‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)) = ((𝐴‘𝑛) · 1))
25	24	mpteq2dva 5205	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ {1} → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · 1)))
26	25	eqcomd 2742	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ {1} → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · 1)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))
27	17, 26	sylan9eq 2796	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ {1}) → 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))
28	27	seqeq3d 13914	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ {1}) → seq0( + , 𝐴) = seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))))
29	2	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ {1}) → seq0( + , 𝐴) ∈ dom ⇝ )
30	28, 29	eqeltrrd 2839	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ {1}) → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
31		cnxmet 24136	. . . . . . . 8 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
32		0cn 11147	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℂ
33		1xr 11214	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ*
34		blssm 23771	. . . . . . . 8 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℝ*) → (0(ball‘(abs ∘ − ))1) ⊆ ℂ)
35	31, 32, 33, 34	mp3an 1461	. . . . . . 7 ⊢ (0(ball‘(abs ∘ − ))1) ⊆ ℂ
36		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1))
37	35, 36	sselid 3942	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → 𝑋 ∈ ℂ)
38		oveq1 7364	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → (𝑧↑𝑛) = (𝑋↑𝑛))
39	38	oveq2d 7373	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → ((𝐴‘𝑛) · (𝑧↑𝑛)) = ((𝐴‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))
40	39	mpteq2dv 5207	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑧↑𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))
41		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑧↑𝑛)))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑧↑𝑛))))
42		nn0ex 12419	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ0 ∈ V
43	42	mptex 7173	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) ∈ V
44	40, 41, 43	fvmpt 6948	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑧↑𝑛))))‘𝑋) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))
45	37, 44	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑧↑𝑛))))‘𝑋) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))
46	45	seqeq3d 13914	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → seq0( + , ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑧↑𝑛))))‘𝑋)) = seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))))
47	1	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
48		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑧↑𝑛))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑧↑𝑛))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
49	37	abscld 15321	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → (abs‘𝑋) ∈ ℝ)
50	49	rexrd 11205	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → (abs‘𝑋) ∈ ℝ*)
51		1re 11155	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
52		rexr 11201	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ*)
53	51, 52	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → 1 ∈ ℝ*)
54		iccssxr 13347	. . . . . . 7 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
55	41, 47, 48	radcnvcl 25776	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑧↑𝑛))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ (0[,]+∞))
56	54, 55	sselid 3942	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑧↑𝑛))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
57		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
58	57	cnmetdval 24134	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝑋(abs ∘ − )0) = (abs‘(𝑋 − 0)))
59	37, 32, 58	sylancl 586	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → (𝑋(abs ∘ − )0) = (abs‘(𝑋 − 0)))
60	37	subid1d 11501	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → (𝑋 − 0) = 𝑋)
61	60	fveq2d 6846	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → (abs‘(𝑋 − 0)) = (abs‘𝑋))
62	59, 61	eqtrd 2776	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → (𝑋(abs ∘ − )0) = (abs‘𝑋))
63		elbl3 23745	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 1 ∈ ℝ*) ∧ (0 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ)) → (𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1) ↔ (𝑋(abs ∘ − )0) < 1))
64	31, 33, 63	mpanl12 700	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1) ↔ (𝑋(abs ∘ − )0) < 1))
65	32, 37, 64	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → (𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1) ↔ (𝑋(abs ∘ − )0) < 1))
66	36, 65	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → (𝑋(abs ∘ − )0) < 1)
67	62, 66	eqbrtrrd 5129	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → (abs‘𝑋) < 1)
68	1, 2	abelthlem1 25790	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑧↑𝑛))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ))
69	68	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → 1 ≤ sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑧↑𝑛))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ))
70	50, 53, 56, 67, 69	xrltletrd 13080	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → (abs‘𝑋) < sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑧↑𝑛))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ))
71	41, 47, 48, 37, 70	radcnvlt2 25778	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → seq0( + , ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑧↑𝑛))))‘𝑋)) ∈ dom ⇝ )
72	46, 71	eqeltrrd 2839	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
73	30, 72	jaodan 956	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ {1} ∨ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1))) → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
74	12, 73	syldan 591	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))) ∈ dom ⇝ )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {crab 3407   ∖ cdif 3907   ∪ cun 3908   ⊆ wss 3910  {csn 4586   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5188  dom cdm 5633   ∘ ccom 5637  ⟶wf 6492  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  supcsup 9376  ℂcc 11049  ℝcr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056  +∞cpnf 11186  ℝ^*cxr 11188   < clt 11189   ≤ cle 11190   − cmin 11385  ℕ₀cn0 12413  ℤcz 12499  [,]cicc 13267  seqcseq 13906  ↑cexp 13967  abscabs 15119   ⇝ cli 15366  ∞Metcxmet 20781  ballcbl 20783

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-xadd 13034  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791

This theorem is referenced by:  abelthlem4  25793  abelthlem9  25799