Theorem abelthlem3 26477

Description: Lemma for abelth 26485. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
abelth.1	⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
abelth.2	⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ∈ dom ⇝ )
abelth.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
abelth.4	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
abelth.5	⊢ 𝑆 = {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))}

Assertion

Ref	Expression
abelthlem3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))) ∈ dom ⇝ )

Distinct variable groups:   𝑧,𝑛,𝑀   𝑛,𝑋,𝑧   𝐴,𝑛,𝑧   𝜑,𝑛   𝑆,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝑆(𝑧)

Proof of Theorem abelthlem3

Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abelth.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
2		abelth.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ∈ dom ⇝ )
3		abelth.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
4		abelth.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
5		abelth.5	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))}
6	1, 2, 3, 4, 5	abelthlem2 26476	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 ∈ 𝑆 ∧ (𝑆 ∖ {1}) ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)))
7	6	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∖ {1}) ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))1))
8		ssundif 4488	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ⊆ ({1} ∪ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ↔ (𝑆 ∖ {1}) ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))1))
9	7, 8	sylibr 234	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ({1} ∪ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)))
10	9	sselda 3983	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ ({1} ∪ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)))
11		elun 4153	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ ({1} ∪ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ↔ (𝑋 ∈ {1} ∨ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)))
12	10, 11	sylib 218	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑋 ∈ {1} ∨ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)))
13	1	feqmptd 6977	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴‘𝑛)))
14	1	ffvelcdmda 7104	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑛) ∈ ℂ)
15	14	mulridd 11278	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐴‘𝑛) · 1) = (𝐴‘𝑛))
16	15	mpteq2dva 5242	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · 1)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴‘𝑛)))
17	13, 16	eqtr4d 2780	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · 1)))
18		elsni 4643	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ {1} → 𝑋 = 1)
19	18	oveq1d 7446	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ {1} → (𝑋↑𝑛) = (1↑𝑛))
20		nn0z 12638	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℤ)
21		1exp 14132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (1↑𝑛) = 1)
22	20, 21	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (1↑𝑛) = 1)
23	19, 22	sylan9eq 2797	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ {1} ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑋↑𝑛) = 1)
24	23	oveq2d 7447	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ {1} ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐴‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)) = ((𝐴‘𝑛) · 1))
25	24	mpteq2dva 5242	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ {1} → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · 1)))
26	25	eqcomd 2743	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ {1} → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · 1)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))
27	17, 26	sylan9eq 2797	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ {1}) → 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))
28	27	seqeq3d 14050	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ {1}) → seq0( + , 𝐴) = seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))))
29	2	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ {1}) → seq0( + , 𝐴) ∈ dom ⇝ )
30	28, 29	eqeltrrd 2842	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ {1}) → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
31		cnxmet 24793	. . . . . . . 8 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
32		0cn 11253	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℂ
33		1xr 11320	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ*
34		blssm 24428	. . . . . . . 8 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℝ*) → (0(ball‘(abs ∘ − ))1) ⊆ ℂ)
35	31, 32, 33, 34	mp3an 1463	. . . . . . 7 ⊢ (0(ball‘(abs ∘ − ))1) ⊆ ℂ
36		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1))
37	35, 36	sselid 3981	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → 𝑋 ∈ ℂ)
38		oveq1 7438	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → (𝑧↑𝑛) = (𝑋↑𝑛))
39	38	oveq2d 7447	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → ((𝐴‘𝑛) · (𝑧↑𝑛)) = ((𝐴‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))
40	39	mpteq2dv 5244	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑧↑𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))
41		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑧↑𝑛)))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑧↑𝑛))))
42		nn0ex 12532	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ0 ∈ V
43	42	mptex 7243	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) ∈ V
44	40, 41, 43	fvmpt 7016	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑧↑𝑛))))‘𝑋) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))
45	37, 44	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑧↑𝑛))))‘𝑋) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))
46	45	seqeq3d 14050	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → seq0( + , ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑧↑𝑛))))‘𝑋)) = seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))))
47	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
48		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑧↑𝑛))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑧↑𝑛))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
49	37	abscld 15475	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → (abs‘𝑋) ∈ ℝ)
50	49	rexrd 11311	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → (abs‘𝑋) ∈ ℝ*)
51		1re 11261	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
52		rexr 11307	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ*)
53	51, 52	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → 1 ∈ ℝ*)
54		iccssxr 13470	. . . . . . 7 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
55	41, 47, 48	radcnvcl 26460	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑧↑𝑛))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ (0[,]+∞))
56	54, 55	sselid 3981	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑧↑𝑛))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
57		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
58	57	cnmetdval 24791	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝑋(abs ∘ − )0) = (abs‘(𝑋 − 0)))
59	37, 32, 58	sylancl 586	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → (𝑋(abs ∘ − )0) = (abs‘(𝑋 − 0)))
60	37	subid1d 11609	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → (𝑋 − 0) = 𝑋)
61	60	fveq2d 6910	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → (abs‘(𝑋 − 0)) = (abs‘𝑋))
62	59, 61	eqtrd 2777	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → (𝑋(abs ∘ − )0) = (abs‘𝑋))
63		elbl3 24402	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 1 ∈ ℝ*) ∧ (0 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ)) → (𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1) ↔ (𝑋(abs ∘ − )0) < 1))
64	31, 33, 63	mpanl12 702	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1) ↔ (𝑋(abs ∘ − )0) < 1))
65	32, 37, 64	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → (𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1) ↔ (𝑋(abs ∘ − )0) < 1))
66	36, 65	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → (𝑋(abs ∘ − )0) < 1)
67	62, 66	eqbrtrrd 5167	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → (abs‘𝑋) < 1)
68	1, 2	abelthlem1 26475	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑧↑𝑛))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ))
69	68	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → 1 ≤ sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑧↑𝑛))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ))
70	50, 53, 56, 67, 69	xrltletrd 13203	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → (abs‘𝑋) < sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑧↑𝑛))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ))
71	41, 47, 48, 37, 70	radcnvlt2 26462	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → seq0( + , ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑧↑𝑛))))‘𝑋)) ∈ dom ⇝ )
72	46, 71	eqeltrrd 2842	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
73	30, 72	jaodan 960	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ {1} ∨ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1))) → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
74	12, 73	syldan 591	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))) ∈ dom ⇝ )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  {crab 3436   ∖ cdif 3948   ∪ cun 3949   ⊆ wss 3951  {csn 4626   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5225  dom cdm 5685   ∘ ccom 5689  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  supcsup 9480  ℂcc 11153  ℝcr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  +∞cpnf 11292  ℝ^*cxr 11294   < clt 11295   ≤ cle 11296   − cmin 11492  ℕ₀cn0 12526  ℤcz 12613  [,]cicc 13390  seqcseq 14042  ↑cexp 14102  abscabs 15273   ⇝ cli 15520  ∞Metcxmet 21349  ballcbl 21351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-xadd 13155  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359

This theorem is referenced by:  abelthlem4  26478  abelthlem9  26484