Theorem abelthlem3 26373

Description: Lemma for abelth 26381. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
abelth.1	⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
abelth.2	⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ∈ dom ⇝ )
abelth.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
abelth.4	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
abelth.5	⊢ 𝑆 = {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))}

Assertion

Ref	Expression
abelthlem3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))) ∈ dom ⇝ )

Distinct variable groups:   𝑧,𝑛,𝑀   𝑛,𝑋,𝑧   𝐴,𝑛,𝑧   𝜑,𝑛   𝑆,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝑆(𝑧)

Proof of Theorem abelthlem3

Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abelth.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
2		abelth.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ∈ dom ⇝ )
3		abelth.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
4		abelth.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
5		abelth.5	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))}
6	1, 2, 3, 4, 5	abelthlem2 26372	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 ∈ 𝑆 ∧ (𝑆 ∖ {1}) ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)))
7	6	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∖ {1}) ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))1))
8		ssundif 4437	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ⊆ ({1} ∪ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ↔ (𝑆 ∖ {1}) ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))1))
9	7, 8	sylibr 234	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ({1} ∪ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)))
10	9	sselda 3930	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ ({1} ∪ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)))
11		elun 4102	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ ({1} ∪ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ↔ (𝑋 ∈ {1} ∨ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)))
12	10, 11	sylib 218	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑋 ∈ {1} ∨ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)))
13	1	feqmptd 6898	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴‘𝑛)))
14	1	ffvelcdmda 7025	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑛) ∈ ℂ)
15	14	mulridd 11138	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐴‘𝑛) · 1) = (𝐴‘𝑛))
16	15	mpteq2dva 5188	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · 1)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴‘𝑛)))
17	13, 16	eqtr4d 2771	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · 1)))
18		elsni 4594	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ {1} → 𝑋 = 1)
19	18	oveq1d 7369	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ {1} → (𝑋↑𝑛) = (1↑𝑛))
20		nn0z 12501	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℤ)
21		1exp 14002	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (1↑𝑛) = 1)
22	20, 21	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (1↑𝑛) = 1)
23	19, 22	sylan9eq 2788	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ {1} ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑋↑𝑛) = 1)
24	23	oveq2d 7370	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ {1} ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐴‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)) = ((𝐴‘𝑛) · 1))
25	24	mpteq2dva 5188	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ {1} → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · 1)))
26	25	eqcomd 2739	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ {1} → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · 1)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))
27	17, 26	sylan9eq 2788	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ {1}) → 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))
28	27	seqeq3d 13920	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ {1}) → seq0( + , 𝐴) = seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))))
29	2	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ {1}) → seq0( + , 𝐴) ∈ dom ⇝ )
30	28, 29	eqeltrrd 2834	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ {1}) → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
31		cnxmet 24690	. . . . . . . 8 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
32		0cn 11113	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℂ
33		1xr 11180	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ*
34		blssm 24336	. . . . . . . 8 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℝ*) → (0(ball‘(abs ∘ − ))1) ⊆ ℂ)
35	31, 32, 33, 34	mp3an 1463	. . . . . . 7 ⊢ (0(ball‘(abs ∘ − ))1) ⊆ ℂ
36		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1))
37	35, 36	sselid 3928	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → 𝑋 ∈ ℂ)
38		oveq1 7361	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → (𝑧↑𝑛) = (𝑋↑𝑛))
39	38	oveq2d 7370	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → ((𝐴‘𝑛) · (𝑧↑𝑛)) = ((𝐴‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))
40	39	mpteq2dv 5189	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑧↑𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))
41		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑧↑𝑛)))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑧↑𝑛))))
42		nn0ex 12396	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ0 ∈ V
43	42	mptex 7165	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) ∈ V
44	40, 41, 43	fvmpt 6937	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑧↑𝑛))))‘𝑋) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))
45	37, 44	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑧↑𝑛))))‘𝑋) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))
46	45	seqeq3d 13920	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → seq0( + , ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑧↑𝑛))))‘𝑋)) = seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))))
47	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
48		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑧↑𝑛))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑧↑𝑛))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
49	37	abscld 15350	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → (abs‘𝑋) ∈ ℝ)
50	49	rexrd 11171	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → (abs‘𝑋) ∈ ℝ*)
51		1re 11121	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
52		rexr 11167	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ*)
53	51, 52	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → 1 ∈ ℝ*)
54		iccssxr 13334	. . . . . . 7 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
55	41, 47, 48	radcnvcl 26356	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑧↑𝑛))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ (0[,]+∞))
56	54, 55	sselid 3928	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑧↑𝑛))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
57		eqid 2733	. . . . . . . . . 10 ⊢ (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
58	57	cnmetdval 24688	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝑋(abs ∘ − )0) = (abs‘(𝑋 − 0)))
59	37, 32, 58	sylancl 586	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → (𝑋(abs ∘ − )0) = (abs‘(𝑋 − 0)))
60	37	subid1d 11470	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → (𝑋 − 0) = 𝑋)
61	60	fveq2d 6834	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → (abs‘(𝑋 − 0)) = (abs‘𝑋))
62	59, 61	eqtrd 2768	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → (𝑋(abs ∘ − )0) = (abs‘𝑋))
63		elbl3 24310	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 1 ∈ ℝ*) ∧ (0 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ)) → (𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1) ↔ (𝑋(abs ∘ − )0) < 1))
64	31, 33, 63	mpanl12 702	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1) ↔ (𝑋(abs ∘ − )0) < 1))
65	32, 37, 64	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → (𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1) ↔ (𝑋(abs ∘ − )0) < 1))
66	36, 65	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → (𝑋(abs ∘ − )0) < 1)
67	62, 66	eqbrtrrd 5119	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → (abs‘𝑋) < 1)
68	1, 2	abelthlem1 26371	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑧↑𝑛))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ))
69	68	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → 1 ≤ sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑧↑𝑛))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ))
70	50, 53, 56, 67, 69	xrltletrd 13064	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → (abs‘𝑋) < sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑧↑𝑛))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ))
71	41, 47, 48, 37, 70	radcnvlt2 26358	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → seq0( + , ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑧↑𝑛))))‘𝑋)) ∈ dom ⇝ )
72	46, 71	eqeltrrd 2834	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
73	30, 72	jaodan 959	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ {1} ∨ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1))) → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
74	12, 73	syldan 591	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))) ∈ dom ⇝ )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {crab 3396   ∖ cdif 3895   ∪ cun 3896   ⊆ wss 3898  {csn 4577   class class class wbr 5095   ↦ cmpt 5176  dom cdm 5621   ∘ ccom 5625  ⟶wf 6484  ‘cfv 6488  (class class class)co 7354  supcsup 9333  ℂcc 11013  ℝcr 11014  0cc0 11015  1c1 11016   + caddc 11018   · cmul 11020  +∞cpnf 11152  ℝ^*cxr 11154   < clt 11155   ≤ cle 11156   − cmin 11353  ℕ₀cn0 12390  ℤcz 12477  [,]cicc 13252  seqcseq 13912  ↑cexp 13972  abscabs 15145   ⇝ cli 15395  ∞Metcxmet 21280  ballcbl 21282

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-inf2 9540  ax-cnex 11071  ax-resscn 11072  ax-1cn 11073  ax-icn 11074  ax-addcl 11075  ax-addrcl 11076  ax-mulcl 11077  ax-mulrcl 11078  ax-mulcom 11079  ax-addass 11080  ax-mulass 11081  ax-distr 11082  ax-i2m1 11083  ax-1ne0 11084  ax-1rid 11085  ax-rnegex 11086  ax-rrecex 11087  ax-cnre 11088  ax-pre-lttri 11089  ax-pre-lttrn 11090  ax-pre-ltadd 11091  ax-pre-mulgt0 11092  ax-pre-sup 11093

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-isom 6497  df-riota 7311  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-om 7805  df-1st 7929  df-2nd 7930  df-frecs 8219  df-wrecs 8250  df-recs 8299  df-rdg 8337  df-1o 8393  df-er 8630  df-map 8760  df-pm 8761  df-en 8878  df-dom 8879  df-sdom 8880  df-fin 8881  df-sup 9335  df-inf 9336  df-oi 9405  df-card 9841  df-pnf 11157  df-mnf 11158  df-xr 11159  df-ltxr 11160  df-le 11161  df-sub 11355  df-neg 11356  df-div 11784  df-nn 12135  df-2 12197  df-3 12198  df-n0 12391  df-z 12478  df-uz 12741  df-rp 12895  df-xadd 13016  df-ico 13255  df-icc 13256  df-fz 13412  df-fzo 13559  df-fl 13700  df-seq 13913  df-exp 13973  df-hash 14242  df-cj 15010  df-re 15011  df-im 15012  df-sqrt 15146  df-abs 15147  df-limsup 15382  df-clim 15399  df-rlim 15400  df-sum 15598  df-psmet 21287  df-xmet 21288  df-met 21289  df-bl 21290

This theorem is referenced by:  abelthlem4  26374  abelthlem9  26380