MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abelthlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abelthlem3 26477
Description: Lemma for abelth 26485. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
abelth.1 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
abelth.2 (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ∈ dom ⇝ )
abelth.3 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
abelth.4 (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
abelth.5 𝑆 = {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))}
Assertion
Ref Expression
abelthlem3 ((𝜑𝑋𝑆) → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑋𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
Distinct variable groups:   𝑧,𝑛,𝑀   𝑛,𝑋,𝑧   𝐴,𝑛,𝑧   𝜑,𝑛   𝑆,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝑆(𝑧)

Proof of Theorem abelthlem3
Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 abelth.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
2 abelth.2 . . . . . . 7 (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ∈ dom ⇝ )
3 abelth.3 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
4 abelth.4 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
5 abelth.5 . . . . . . 7 𝑆 = {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))}
61, 2, 3, 4, 5abelthlem2 26476 . . . . . 6 (𝜑 → (1 ∈ 𝑆 ∧ (𝑆 ∖ {1}) ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)))
76simprd 495 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆 ∖ {1}) ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))1))
8 ssundif 4488 . . . . 5 (𝑆 ⊆ ({1} ∪ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ↔ (𝑆 ∖ {1}) ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))1))
97, 8sylibr 234 . . . 4 (𝜑𝑆 ⊆ ({1} ∪ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)))
109sselda 3983 . . 3 ((𝜑𝑋𝑆) → 𝑋 ∈ ({1} ∪ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)))
11 elun 4153 . . 3 (𝑋 ∈ ({1} ∪ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ↔ (𝑋 ∈ {1} ∨ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)))
1210, 11sylib 218 . 2 ((𝜑𝑋𝑆) → (𝑋 ∈ {1} ∨ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)))
131feqmptd 6977 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛)))
141ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑛) ∈ ℂ)
1514mulridd 11278 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑛) · 1) = (𝐴𝑛))
1615mpteq2dva 5242 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · 1)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛)))
1713, 16eqtr4d 2780 . . . . . 6 (𝜑𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · 1)))
18 elsni 4643 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ {1} → 𝑋 = 1)
1918oveq1d 7446 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ {1} → (𝑋𝑛) = (1↑𝑛))
20 nn0z 12638 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℤ)
21 1exp 14132 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℤ → (1↑𝑛) = 1)
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ0 → (1↑𝑛) = 1)
2319, 22sylan9eq 2797 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ {1} ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑋𝑛) = 1)
2423oveq2d 7447 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ {1} ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑛) · (𝑋𝑛)) = ((𝐴𝑛) · 1))
2524mpteq2dva 5242 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ {1} → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑋𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · 1)))
2625eqcomd 2743 . . . . . 6 (𝑋 ∈ {1} → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · 1)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑋𝑛))))
2717, 26sylan9eq 2797 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ∈ {1}) → 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑋𝑛))))
2827seqeq3d 14050 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ {1}) → seq0( + , 𝐴) = seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑋𝑛)))))
292adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ {1}) → seq0( + , 𝐴) ∈ dom ⇝ )
3028, 29eqeltrrd 2842 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ {1}) → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑋𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
31 cnxmet 24793 . . . . . . . 8 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
32 0cn 11253 . . . . . . . 8 0 ∈ ℂ
33 1xr 11320 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ*
34 blssm 24428 . . . . . . . 8 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℝ*) → (0(ball‘(abs ∘ − ))1) ⊆ ℂ)
3531, 32, 33, 34mp3an 1463 . . . . . . 7 (0(ball‘(abs ∘ − ))1) ⊆ ℂ
36 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1))
3735, 36sselid 3981 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → 𝑋 ∈ ℂ)
38 oveq1 7438 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑋 → (𝑧𝑛) = (𝑋𝑛))
3938oveq2d 7447 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑋 → ((𝐴𝑛) · (𝑧𝑛)) = ((𝐴𝑛) · (𝑋𝑛)))
4039mpteq2dv 5244 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑋 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑧𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑋𝑛))))
41 eqid 2737 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑧𝑛)))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑧𝑛))))
42 nn0ex 12532 . . . . . . . 8 0 ∈ V
4342mptex 7243 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑋𝑛))) ∈ V
4440, 41, 43fvmpt 7016 . . . . . 6 (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑧𝑛))))‘𝑋) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑋𝑛))))
4537, 44syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑧𝑛))))‘𝑋) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑋𝑛))))
4645seqeq3d 14050 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → seq0( + , ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑧𝑛))))‘𝑋)) = seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑋𝑛)))))
471adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
48 eqid 2737 . . . . 5 sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑧𝑛))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑧𝑛))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
4937abscld 15475 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → (abs‘𝑋) ∈ ℝ)
5049rexrd 11311 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → (abs‘𝑋) ∈ ℝ*)
51 1re 11261 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
52 rexr 11307 . . . . . . 7 (1 ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ*)
5351, 52mp1i 13 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → 1 ∈ ℝ*)
54 iccssxr 13470 . . . . . . 7 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
5541, 47, 48radcnvcl 26460 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑧𝑛))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ (0[,]+∞))
5654, 55sselid 3981 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑧𝑛))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
57 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
5857cnmetdval 24791 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝑋(abs ∘ − )0) = (abs‘(𝑋 − 0)))
5937, 32, 58sylancl 586 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → (𝑋(abs ∘ − )0) = (abs‘(𝑋 − 0)))
6037subid1d 11609 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → (𝑋 − 0) = 𝑋)
6160fveq2d 6910 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → (abs‘(𝑋 − 0)) = (abs‘𝑋))
6259, 61eqtrd 2777 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → (𝑋(abs ∘ − )0) = (abs‘𝑋))
63 elbl3 24402 . . . . . . . . . 10 ((((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 1 ∈ ℝ*) ∧ (0 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ)) → (𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1) ↔ (𝑋(abs ∘ − )0) < 1))
6431, 33, 63mpanl12 702 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1) ↔ (𝑋(abs ∘ − )0) < 1))
6532, 37, 64sylancr 587 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → (𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1) ↔ (𝑋(abs ∘ − )0) < 1))
6636, 65mpbid 232 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → (𝑋(abs ∘ − )0) < 1)
6762, 66eqbrtrrd 5167 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → (abs‘𝑋) < 1)
681, 2abelthlem1 26475 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ≤ sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑧𝑛))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ))
6968adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → 1 ≤ sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑧𝑛))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ))
7050, 53, 56, 67, 69xrltletrd 13203 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → (abs‘𝑋) < sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑧𝑛))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ))
7141, 47, 48, 37, 70radcnvlt2 26462 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → seq0( + , ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑧𝑛))))‘𝑋)) ∈ dom ⇝ )
7246, 71eqeltrrd 2842 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑋𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
7330, 72jaodan 960 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ {1} ∨ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1))) → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑋𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
7412, 73syldan 591 1 ((𝜑𝑋𝑆) → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑋𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848   = wceq 1540  wcel 2108  {crab 3436  cdif 3948  cun 3949  wss 3951  {csn 4626   class class class wbr 5143  cmpt 5225  dom cdm 5685  ccom 5689  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  supcsup 9480  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  +∞cpnf 11292  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492  0cn0 12526  cz 12613  [,]cicc 13390  seqcseq 14042  cexp 14102  abscabs 15273  cli 15520  ∞Metcxmet 21349  ballcbl 21351
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-xadd 13155  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359
This theorem is referenced by:  abelthlem4  26478  abelthlem9  26484
  Copyright terms: Public domain W3C validator