MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abelthlem3 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem abelthlem3 26178
Description: Lemma for abelth 26186. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
abelth.1 (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
abelth.2 (πœ‘ β†’ seq0( + , 𝐴) ∈ dom ⇝ )
abelth.3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
abelth.4 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝑀)
abelth.5 𝑆 = {𝑧 ∈ β„‚ ∣ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))}
Assertion
Ref Expression
abelthlem3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) β†’ seq0( + , (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (𝑋↑𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
Distinct variable groups:   𝑧,𝑛,𝑀   𝑛,𝑋,𝑧   𝐴,𝑛,𝑧   πœ‘,𝑛   𝑆,𝑛
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑧)   𝑆(𝑧)
Proof of Theorem abelthlem3
Dummy variable π‘Ÿ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 abelth.1 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
2 abelth.2 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ seq0( + , 𝐴) ∈ dom ⇝ )
3 abelth.3 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
4 abelth.4 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝑀)
5 abelth.5 . . . . . . 7 𝑆 = {𝑧 ∈ β„‚ ∣ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))}
61, 2, 3, 4, 5abelthlem2 26177 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (1 ∈ 𝑆 ∧ (𝑆 βˆ– {1}) βŠ† (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)))
76simprd 495 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑆 βˆ– {1}) βŠ† (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1))
8 ssundif 4488 . . . . 5 (𝑆 βŠ† ({1} βˆͺ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) ↔ (𝑆 βˆ– {1}) βŠ† (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1))
97, 8sylibr 233 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† ({1} βˆͺ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)))
109sselda 3983 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) β†’ 𝑋 ∈ ({1} βˆͺ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)))
11 elun 4149 . . 3 (𝑋 ∈ ({1} βˆͺ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) ↔ (𝑋 ∈ {1} ∨ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)))
1210, 11sylib 217 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) β†’ (𝑋 ∈ {1} ∨ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)))
131feqmptd 6961 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (π΄β€˜π‘›)))
141ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (π΄β€˜π‘›) ∈ β„‚)
1514mulridd 11236 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((π΄β€˜π‘›) Β· 1) = (π΄β€˜π‘›))
1615mpteq2dva 5249 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· 1)) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (π΄β€˜π‘›)))
1713, 16eqtr4d 2774 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· 1)))
18 elsni 4646 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ {1} β†’ 𝑋 = 1)
1918oveq1d 7427 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ {1} β†’ (𝑋↑𝑛) = (1↑𝑛))
20 nn0z 12588 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ 𝑛 ∈ β„€)
21 1exp 14062 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ β„€ β†’ (1↑𝑛) = 1)
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (1↑𝑛) = 1)
2319, 22sylan9eq 2791 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ {1} ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (𝑋↑𝑛) = 1)
2423oveq2d 7428 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ {1} ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((π΄β€˜π‘›) Β· (𝑋↑𝑛)) = ((π΄β€˜π‘›) Β· 1))
2524mpteq2dva 5249 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ {1} β†’ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (𝑋↑𝑛))) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· 1)))
2625eqcomd 2737 . . . . . 6 (𝑋 ∈ {1} β†’ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· 1)) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (𝑋↑𝑛))))
2717, 26sylan9eq 2791 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ {1}) β†’ 𝐴 = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (𝑋↑𝑛))))
2827seqeq3d 13979 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ {1}) β†’ seq0( + , 𝐴) = seq0( + , (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (𝑋↑𝑛)))))
292adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ {1}) β†’ seq0( + , 𝐴) ∈ dom ⇝ )
3028, 29eqeltrrd 2833 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ {1}) β†’ seq0( + , (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (𝑋↑𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
31 cnxmet 24510 . . . . . . . 8 (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚)
32 0cn 11211 . . . . . . . 8 0 ∈ β„‚
33 1xr 11278 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ*
34 blssm 24145 . . . . . . . 8 (((abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚) ∧ 0 ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ ℝ*) β†’ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1) βŠ† β„‚)
3531, 32, 33, 34mp3an 1460 . . . . . . 7 (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1) βŠ† β„‚
36 simpr 484 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) β†’ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1))
3735, 36sselid 3981 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
38 oveq1 7419 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑋 β†’ (𝑧↑𝑛) = (𝑋↑𝑛))
3938oveq2d 7428 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑋 β†’ ((π΄β€˜π‘›) Β· (𝑧↑𝑛)) = ((π΄β€˜π‘›) Β· (𝑋↑𝑛)))
4039mpteq2dv 5251 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑋 β†’ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (𝑧↑𝑛))) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (𝑋↑𝑛))))
41 eqid 2731 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (𝑧↑𝑛)))) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (𝑧↑𝑛))))
42 nn0ex 12483 . . . . . . . 8 β„•0 ∈ V
4342mptex 7228 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (𝑋↑𝑛))) ∈ V
4440, 41, 43fvmpt 6999 . . . . . 6 (𝑋 ∈ β„‚ β†’ ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (𝑧↑𝑛))))β€˜π‘‹) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (𝑋↑𝑛))))
4537, 44syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) β†’ ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (𝑧↑𝑛))))β€˜π‘‹) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (𝑋↑𝑛))))
4645seqeq3d 13979 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) β†’ seq0( + , ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (𝑧↑𝑛))))β€˜π‘‹)) = seq0( + , (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (𝑋↑𝑛)))))
471adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
48 eqid 2731 . . . . 5 sup({π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (𝑧↑𝑛))))β€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) = sup({π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (𝑧↑𝑛))))β€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
4937abscld 15388 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) β†’ (absβ€˜π‘‹) ∈ ℝ)
5049rexrd 11269 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) β†’ (absβ€˜π‘‹) ∈ ℝ*)
51 1re 11219 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
52 rexr 11265 . . . . . . 7 (1 ∈ ℝ β†’ 1 ∈ ℝ*)
5351, 52mp1i 13 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) β†’ 1 ∈ ℝ*)
54 iccssxr 13412 . . . . . . 7 (0[,]+∞) βŠ† ℝ*
5541, 47, 48radcnvcl 26162 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) β†’ sup({π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (𝑧↑𝑛))))β€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ (0[,]+∞))
5654, 55sselid 3981 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) β†’ sup({π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (𝑧↑𝑛))))β€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
57 eqid 2731 . . . . . . . . . 10 (abs ∘ βˆ’ ) = (abs ∘ βˆ’ )
5857cnmetdval 24508 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ β„‚ ∧ 0 ∈ β„‚) β†’ (𝑋(abs ∘ βˆ’ )0) = (absβ€˜(𝑋 βˆ’ 0)))
5937, 32, 58sylancl 585 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) β†’ (𝑋(abs ∘ βˆ’ )0) = (absβ€˜(𝑋 βˆ’ 0)))
6037subid1d 11565 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) β†’ (𝑋 βˆ’ 0) = 𝑋)
6160fveq2d 6896 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) β†’ (absβ€˜(𝑋 βˆ’ 0)) = (absβ€˜π‘‹))
6259, 61eqtrd 2771 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) β†’ (𝑋(abs ∘ βˆ’ )0) = (absβ€˜π‘‹))
63 elbl3 24119 . . . . . . . . . 10 ((((abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚) ∧ 1 ∈ ℝ*) ∧ (0 ∈ β„‚ ∧ 𝑋 ∈ β„‚)) β†’ (𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1) ↔ (𝑋(abs ∘ βˆ’ )0) < 1))
6431, 33, 63mpanl12 699 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ β„‚ ∧ 𝑋 ∈ β„‚) β†’ (𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1) ↔ (𝑋(abs ∘ βˆ’ )0) < 1))
6532, 37, 64sylancr 586 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) β†’ (𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1) ↔ (𝑋(abs ∘ βˆ’ )0) < 1))
6636, 65mpbid 231 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) β†’ (𝑋(abs ∘ βˆ’ )0) < 1)
6762, 66eqbrtrrd 5173 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) β†’ (absβ€˜π‘‹) < 1)
681, 2abelthlem1 26176 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 1 ≀ sup({π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (𝑧↑𝑛))))β€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ))
6968adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) β†’ 1 ≀ sup({π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (𝑧↑𝑛))))β€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ))
7050, 53, 56, 67, 69xrltletrd 13145 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) β†’ (absβ€˜π‘‹) < sup({π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (𝑧↑𝑛))))β€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ))
7141, 47, 48, 37, 70radcnvlt2 26164 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) β†’ seq0( + , ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (𝑧↑𝑛))))β€˜π‘‹)) ∈ dom ⇝ )
7246, 71eqeltrrd 2833 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) β†’ seq0( + , (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (𝑋↑𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
7330, 72jaodan 955 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ {1} ∨ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1))) β†’ seq0( + , (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (𝑋↑𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
7412, 73syldan 590 1 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) β†’ seq0( + , (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (𝑋↑𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  {crab 3431   βˆ– cdif 3946   βˆͺ cun 3947   βŠ† wss 3949  {csn 4629   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  dom cdm 5677   ∘ ccom 5681  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7412  supcsup 9438  β„‚cc 11111  β„cr 11112  0cc0 11113  1c1 11114   + caddc 11116   Β· cmul 11118  +∞cpnf 11250  β„*cxr 11252   < clt 11253   ≀ cle 11254   βˆ’ cmin 11449  β„•0cn0 12477  β„€cz 12563  [,]cicc 13332  seqcseq 13971  β†‘cexp 14032  abscabs 15186   ⇝ cli 15433  βˆžMetcxmet 21130  ballcbl 21132
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-inf2 9639  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-er 8706  df-map 8825  df-pm 8826  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-sup 9440  df-inf 9441  df-oi 9508  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-rp 12980  df-xadd 13098  df-ico 13335  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-seq 13972  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-limsup 15420  df-clim 15437  df-rlim 15438  df-sum 15638  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140
This theorem is referenced by:  abelthlem4  26179  abelthlem9  26185
  Copyright terms: Public domain W3C validator