MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lebnum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lebnum 24343
Description: The Lebesgue number lemma, or Lebesgue covering lemma. If 𝑋 is a compact metric space and π‘ˆ is an open cover of 𝑋, then there exists a positive real number 𝑑 such that every ball of size 𝑑 (and every subset of a ball of size 𝑑, including every subset of diameter less than 𝑑) is a subset of some member of the cover. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 30-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
lebnum.j 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
lebnum.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
lebnum.c (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Comp)
lebnum.s (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† 𝐽)
lebnum.u (πœ‘ β†’ 𝑋 = βˆͺ π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
lebnum (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑑) βŠ† 𝑒)
Distinct variable groups:   𝑒,𝑑,π‘₯,𝐷   𝐽,𝑑,π‘₯   π‘ˆ,𝑑,𝑒,π‘₯   πœ‘,𝑑,π‘₯   𝑋,𝑑,𝑒,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑒)   𝐽(𝑒)

Proof of Theorem lebnum
Dummy variables π‘˜ 𝑀 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lebnum.c . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Comp)
2 lebnum.s . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† 𝐽)
3 lebnum.d . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
4 metxmet 23703 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
53, 4syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
6 lebnum.j . . . . . 6 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
76mopnuni 23810 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
85, 7syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
9 lebnum.u . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 = βˆͺ π‘ˆ)
108, 9eqtr3d 2775 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ π‘ˆ)
11 eqid 2733 . . . 4 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
1211cmpcov 22756 . . 3 ((𝐽 ∈ Comp ∧ π‘ˆ βŠ† 𝐽 ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ π‘ˆ) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝑀)
131, 2, 10, 12syl3anc 1372 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘€ ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝑀)
14 1rp 12924 . . . 4 1 ∈ ℝ+
15 simprl 770 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝑀)) β†’ 𝑀 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin))
1615elin1d 4159 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝑀)) β†’ 𝑀 ∈ 𝒫 π‘ˆ)
1716elpwid 4570 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝑀)) β†’ 𝑀 βŠ† π‘ˆ)
1817ad2antrr 725 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝑀)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑀) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝑀 βŠ† π‘ˆ)
19 simplr 768 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝑀)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑀) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝑋 ∈ 𝑀)
2018, 19sseldd 3946 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝑀)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑀) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
215ad3antrrr 729 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝑀)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑀) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
22 simpr 486 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝑀)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑀) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
23 rpxr 12929 . . . . . . . 8 (1 ∈ ℝ+ β†’ 1 ∈ ℝ*)
2414, 23mp1i 13 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝑀)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑀) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 1 ∈ ℝ*)
25 blssm 23787 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 1 ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)1) βŠ† 𝑋)
2621, 22, 24, 25syl3anc 1372 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝑀)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑀) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)1) βŠ† 𝑋)
27 sseq2 3971 . . . . . . 7 (𝑒 = 𝑋 β†’ ((π‘₯(ballβ€˜π·)1) βŠ† 𝑒 ↔ (π‘₯(ballβ€˜π·)1) βŠ† 𝑋))
2827rspcev 3580 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ (π‘₯(ballβ€˜π·)1) βŠ† 𝑋) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜π·)1) βŠ† 𝑒)
2920, 26, 28syl2anc 585 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝑀)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑀) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜π·)1) βŠ† 𝑒)
3029ralrimiva 3140 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝑀)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑀) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜π·)1) βŠ† 𝑒)
31 oveq2 7366 . . . . . . . 8 (𝑑 = 1 β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑑) = (π‘₯(ballβ€˜π·)1))
3231sseq1d 3976 . . . . . . 7 (𝑑 = 1 β†’ ((π‘₯(ballβ€˜π·)𝑑) βŠ† 𝑒 ↔ (π‘₯(ballβ€˜π·)1) βŠ† 𝑒))
3332rexbidv 3172 . . . . . 6 (𝑑 = 1 β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑑) βŠ† 𝑒 ↔ βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜π·)1) βŠ† 𝑒))
3433ralbidv 3171 . . . . 5 (𝑑 = 1 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑑) βŠ† 𝑒 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜π·)1) βŠ† 𝑒))
3534rspcev 3580 . . . 4 ((1 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜π·)1) βŠ† 𝑒) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑑) βŠ† 𝑒)
3614, 30, 35sylancr 588 . . 3 (((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝑀)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑀) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑑) βŠ† 𝑒)
373ad2antrr 725 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝑀)) ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝑀) β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
381ad2antrr 725 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝑀)) ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝑀) β†’ 𝐽 ∈ Comp)
3917adantr 482 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝑀)) ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝑀) β†’ 𝑀 βŠ† π‘ˆ)
402ad2antrr 725 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝑀)) ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝑀) β†’ π‘ˆ βŠ† 𝐽)
4139, 40sstrd 3955 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝑀)) ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝑀) β†’ 𝑀 βŠ† 𝐽)
428ad2antrr 725 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝑀)) ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝑀) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
43 simplrr 777 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝑀)) ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝑀) β†’ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝑀)
4442, 43eqtrd 2773 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝑀)) ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝑀) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝑀)
4515elin2d 4160 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝑀)) β†’ 𝑀 ∈ Fin)
4645adantr 482 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝑀)) ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝑀) β†’ 𝑀 ∈ Fin)
47 simpr 486 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝑀)) ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝑀) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ 𝑀)
48 eqid 2733 . . . . 5 (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑀 inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < )) = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑀 inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))
49 eqid 2733 . . . . 5 (topGenβ€˜ran (,)) = (topGenβ€˜ran (,))
506, 37, 38, 41, 44, 46, 47, 48, 49lebnumlem3 24342 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝑀)) ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝑀) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘’ ∈ 𝑀 (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑑) βŠ† 𝑒)
51 ssrexv 4012 . . . . . . 7 (𝑀 βŠ† π‘ˆ β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ 𝑀 (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑑) βŠ† 𝑒 β†’ βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑑) βŠ† 𝑒))
5239, 51syl 17 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝑀)) ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝑀) β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ 𝑀 (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑑) βŠ† 𝑒 β†’ βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑑) βŠ† 𝑒))
5352ralimdv 3163 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝑀)) ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝑀) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘’ ∈ 𝑀 (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑑) βŠ† 𝑒 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑑) βŠ† 𝑒))
5453reximdv 3164 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝑀)) ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝑀) β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘’ ∈ 𝑀 (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑑) βŠ† 𝑒 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑑) βŠ† 𝑒))
5550, 54mpd 15 . . 3 (((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝑀)) ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝑀) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑑) βŠ† 𝑒)
5636, 55pm2.61dan 812 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝑀)) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑑) βŠ† 𝑒)
5713, 56rexlimddv 3155 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑑) βŠ† 𝑒)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   βˆ– cdif 3908   ∩ cin 3910   βŠ† wss 3911  π’« cpw 4561  βˆͺ cuni 4866   ↦ cmpt 5189  ran crn 5635  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Fincfn 8886  infcinf 9382  1c1 11057  β„*cxr 11193   < clt 11194  β„+crp 12920  (,)cioo 13270  Ξ£csu 15576  topGenctg 17324  βˆžMetcxmet 20797  Metcmet 20798  ballcbl 20799  MetOpencmopn 20802  Compccmp 22753
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134  ax-addf 11135  ax-mulf 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-er 8651  df-ec 8653  df-map 8770  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-fi 9352  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-q 12879  df-rp 12921  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13274  df-ico 13276  df-icc 13277  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-seq 13913  df-exp 13974  df-hash 14237  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-clim 15376  df-sum 15577  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-starv 17153  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-unif 17161  df-hom 17162  df-cco 17163  df-rest 17309  df-topn 17310  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-topgen 17330  df-pt 17331  df-prds 17334  df-xrs 17389  df-qtop 17394  df-imas 17395  df-xps 17397  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-acs 17474  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-submnd 18607  df-mulg 18878  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-cmp 22754  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691
This theorem is referenced by:  xlebnum  24344  lebnumii  24345
  Copyright terms: Public domain W3C validator