Theorem lebnum 24870

Description: The Lebesgue number lemma, or Lebesgue covering lemma. If 𝑋 is a compact metric space and 𝑈 is an open cover of 𝑋, then there exists a positive real number 𝑑 such that every ball of size 𝑑 (and every subset of a ball of size 𝑑, including every subset of diameter less than 𝑑) is a subset of some member of the cover. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 30-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
lebnum.j	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
lebnum.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
lebnum.c	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
lebnum.s	⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ 𝐽)
lebnum.u	⊢ (𝜑 → 𝑋 = ∪ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
lebnum	⊢ (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢)

Distinct variable groups:   𝑢,𝑑,𝑥,𝐷   𝐽,𝑑,𝑥   𝑈,𝑑,𝑢,𝑥   𝜑,𝑑,𝑥   𝑋,𝑑,𝑢,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢)   𝐽(𝑢)

Proof of Theorem lebnum

Dummy variables 𝑘 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lebnum.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
2		lebnum.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ 𝐽)
3		lebnum.d	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
4		metxmet 24229	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
5	3, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
6		lebnum.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
7	6	mopnuni 24336	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
8	5, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = ∪ 𝐽)
9		lebnum.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = ∪ 𝑈)
10	8, 9	eqtr3d 2767	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐽 = ∪ 𝑈)
11		eqid 2730	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
12	11	cmpcov 23283	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑈 ⊆ 𝐽 ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑈) → ∃𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)∪ 𝐽 = ∪ 𝑤)
13	1, 2, 10, 12	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)∪ 𝐽 = ∪ 𝑤)
14		1rp 12962	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ+
15		simprl 770	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑤)) → 𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin))
16	15	elin1d 4170	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑤)) → 𝑤 ∈ 𝒫 𝑈)
17	16	elpwid 4575	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑤)) → 𝑤 ⊆ 𝑈)
18	17	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑤)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑤 ⊆ 𝑈)
19		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑤)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑋 ∈ 𝑤)
20	18, 19	sseldd 3950	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑤)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑋 ∈ 𝑈)
21	5	ad3antrrr 730	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑤)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
22		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑤)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝑋)
23		rpxr 12968	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℝ+ → 1 ∈ ℝ*)
24	14, 23	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑤)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 1 ∈ ℝ*)
25		blssm 24313	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑋)
26	21, 22, 24, 25	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑤)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑋)
27		sseq2 3976	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = 𝑋 → ((𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑢 ↔ (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑋))
28	27	rspcev 3591	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑋) → ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑢)
29	20, 26, 28	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑤)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑢)
30	29	ralrimiva 3126	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑤)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑤) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑢)
31		oveq2 7398	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑑 = 1 → (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) = (𝑥(ball‘𝐷)1))
32	31	sseq1d 3981	. . . . . . 7 ⊢ (𝑑 = 1 → ((𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢 ↔ (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑢))
33	32	rexbidv 3158	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = 1 → (∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢 ↔ ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑢))
34	33	ralbidv 3157	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 1 → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑢))
35	34	rspcev 3591	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑢) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢)
36	14, 30, 35	sylancr 587	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑤)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑤) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢)
37	3	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑤) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
38	1	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑤) → 𝐽 ∈ Comp)
39	17	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑤) → 𝑤 ⊆ 𝑈)
40	2	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑤) → 𝑈 ⊆ 𝐽)
41	39, 40	sstrd 3960	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑤) → 𝑤 ⊆ 𝐽)
42	8	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑤) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
43		simplrr 777	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑤) → ∪ 𝐽 = ∪ 𝑤)
44	42, 43	eqtrd 2765	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑤) → 𝑋 = ∪ 𝑤)
45	15	elin2d 4171	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑤)) → 𝑤 ∈ Fin)
46	45	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑤) → 𝑤 ∈ Fin)
47		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑤) → ¬ 𝑋 ∈ 𝑤)
48		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑤 inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 ∖ 𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < )) = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑤 inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 ∖ 𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))
49		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
50	6, 37, 38, 41, 44, 46, 47, 48, 49	lebnumlem3 24869	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑤) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑢 ∈ 𝑤 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢)
51		ssrexv 4019	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ⊆ 𝑈 → (∃𝑢 ∈ 𝑤 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢 → ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢))
52	39, 51	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑤) → (∃𝑢 ∈ 𝑤 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢 → ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢))
53	52	ralimdv 3148	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑤) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑢 ∈ 𝑤 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢))
54	53	reximdv 3149	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑤) → (∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑢 ∈ 𝑤 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢 → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢))
55	50, 54	mpd 15	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑤) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢)
56	36, 55	pm2.61dan 812	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑤)) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢)
57	13, 56	rexlimddv 3141	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045  ∃wrex 3054   ∖ cdif 3914   ∩ cin 3916   ⊆ wss 3917  𝒫 cpw 4566  ∪ cuni 4874   ↦ cmpt 5191  ran crn 5642  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  Fincfn 8921  infcinf 9399  1c1 11076  ℝ^*cxr 11214   < clt 11215  ℝ⁺crp 12958  (,)cioo 13313  Σcsu 15659  topGenctg 17407  ∞Metcxmet 21256  Metcmet 21257  ballcbl 21258  MetOpencmopn 21261  Compccmp 23280

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153  ax-addf 11154

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-ec 8676  df-map 8804  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9320  df-fi 9369  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-q 12915  df-rp 12959  df-xneg 13079  df-xadd 13080  df-xmul 13081  df-ioo 13317  df-ico 13319  df-icc 13320  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-seq 13974  df-exp 14034  df-hash 14303  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-clim 15461  df-sum 15660  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-hom 17251  df-cco 17252  df-rest 17392  df-topn 17393  df-0g 17411  df-gsum 17412  df-topgen 17413  df-pt 17414  df-prds 17417  df-xrs 17472  df-qtop 17477  df-imas 17478  df-xps 17480  df-mre 17554  df-mrc 17555  df-acs 17557  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-submnd 18718  df-mulg 19007  df-cntz 19256  df-cmn 19719  df-psmet 21263  df-xmet 21264  df-met 21265  df-bl 21266  df-mopn 21267  df-cnfld 21272  df-top 22788  df-topon 22805  df-topsp 22827  df-bases 22840  df-cld 22913  df-ntr 22914  df-cls 22915  df-cn 23121  df-cnp 23122  df-cmp 23281  df-tx 23456  df-hmeo 23649  df-xms 24215  df-ms 24216  df-tms 24217

This theorem is referenced by:  xlebnum  24871  lebnumii  24872