MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lebnum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lebnum 23548
Description: The Lebesgue number lemma, or Lebesgue covering lemma. If 𝑋 is a compact metric space and 𝑈 is an open cover of 𝑋, then there exists a positive real number 𝑑 such that every ball of size 𝑑 (and every subset of a ball of size 𝑑, including every subset of diameter less than 𝑑) is a subset of some member of the cover. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 30-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
lebnum.j 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
lebnum.d (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
lebnum.c (𝜑𝐽 ∈ Comp)
lebnum.s (𝜑𝑈𝐽)
lebnum.u (𝜑𝑋 = 𝑈)
Assertion
Ref Expression
lebnum (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢)
Distinct variable groups:   𝑢,𝑑,𝑥,𝐷   𝐽,𝑑,𝑥   𝑈,𝑑,𝑢,𝑥   𝜑,𝑑,𝑥   𝑋,𝑑,𝑢,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢)   𝐽(𝑢)

Proof of Theorem lebnum
Dummy variables 𝑘 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lebnum.c . . 3 (𝜑𝐽 ∈ Comp)
2 lebnum.s . . 3 (𝜑𝑈𝐽)
3 lebnum.d . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
4 metxmet 22920 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
53, 4syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
6 lebnum.j . . . . . 6 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
76mopnuni 23027 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = 𝐽)
85, 7syl 17 . . . 4 (𝜑𝑋 = 𝐽)
9 lebnum.u . . . 4 (𝜑𝑋 = 𝑈)
108, 9eqtr3d 2857 . . 3 (𝜑 𝐽 = 𝑈)
11 eqid 2820 . . . 4 𝐽 = 𝐽
1211cmpcov 21973 . . 3 ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑈𝐽 𝐽 = 𝑈) → ∃𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) 𝐽 = 𝑤)
131, 2, 10, 12syl3anc 1367 . 2 (𝜑 → ∃𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) 𝐽 = 𝑤)
14 1rp 12372 . . . 4 1 ∈ ℝ+
15 simprl 769 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) → 𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin))
1615elin1d 4153 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) → 𝑤 ∈ 𝒫 𝑈)
1716elpwid 4526 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) → 𝑤𝑈)
1817ad2antrr 724 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) ∧ 𝑋𝑤) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑤𝑈)
19 simplr 767 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) ∧ 𝑋𝑤) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑋𝑤)
2018, 19sseldd 3947 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) ∧ 𝑋𝑤) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑋𝑈)
215ad3antrrr 728 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) ∧ 𝑋𝑤) ∧ 𝑥𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
22 simpr 487 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) ∧ 𝑋𝑤) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑥𝑋)
23 rpxr 12377 . . . . . . . 8 (1 ∈ ℝ+ → 1 ∈ ℝ*)
2414, 23mp1i 13 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) ∧ 𝑋𝑤) ∧ 𝑥𝑋) → 1 ∈ ℝ*)
25 blssm 23004 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋 ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑋)
2621, 22, 24, 25syl3anc 1367 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) ∧ 𝑋𝑤) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑋)
27 sseq2 3972 . . . . . . 7 (𝑢 = 𝑋 → ((𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑢 ↔ (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑋))
2827rspcev 3602 . . . . . 6 ((𝑋𝑈 ∧ (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑋) → ∃𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑢)
2920, 26, 28syl2anc 586 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) ∧ 𝑋𝑤) ∧ 𝑥𝑋) → ∃𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑢)
3029ralrimiva 3169 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) ∧ 𝑋𝑤) → ∀𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑢)
31 oveq2 7141 . . . . . . . 8 (𝑑 = 1 → (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) = (𝑥(ball‘𝐷)1))
3231sseq1d 3977 . . . . . . 7 (𝑑 = 1 → ((𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢 ↔ (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑢))
3332rexbidv 3284 . . . . . 6 (𝑑 = 1 → (∃𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢 ↔ ∃𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑢))
3433ralbidv 3184 . . . . 5 (𝑑 = 1 → (∀𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢 ↔ ∀𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑢))
3534rspcev 3602 . . . 4 ((1 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑢) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢)
3614, 30, 35sylancr 589 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) ∧ 𝑋𝑤) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢)
373ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋𝑤) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
381ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋𝑤) → 𝐽 ∈ Comp)
3917adantr 483 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋𝑤) → 𝑤𝑈)
402ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋𝑤) → 𝑈𝐽)
4139, 40sstrd 3956 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋𝑤) → 𝑤𝐽)
428ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋𝑤) → 𝑋 = 𝐽)
43 simplrr 776 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋𝑤) → 𝐽 = 𝑤)
4442, 43eqtrd 2855 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋𝑤) → 𝑋 = 𝑤)
4515elin2d 4154 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) → 𝑤 ∈ Fin)
4645adantr 483 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋𝑤) → 𝑤 ∈ Fin)
47 simpr 487 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋𝑤) → ¬ 𝑋𝑤)
48 eqid 2820 . . . . 5 (𝑦𝑋 ↦ Σ𝑘𝑤 inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < )) = (𝑦𝑋 ↦ Σ𝑘𝑤 inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))
49 eqid 2820 . . . . 5 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
506, 37, 38, 41, 44, 46, 47, 48, 49lebnumlem3 23547 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋𝑤) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑢𝑤 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢)
51 ssrexv 4013 . . . . . . 7 (𝑤𝑈 → (∃𝑢𝑤 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢 → ∃𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢))
5239, 51syl 17 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋𝑤) → (∃𝑢𝑤 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢 → ∃𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢))
5352ralimdv 3165 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋𝑤) → (∀𝑥𝑋𝑢𝑤 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢 → ∀𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢))
5453reximdv 3260 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋𝑤) → (∃𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑢𝑤 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢 → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢))
5550, 54mpd 15 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋𝑤) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢)
5636, 55pm2.61dan 811 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢)
5713, 56rexlimddv 3278 1 (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 398   = wceq 1537  wcel 2114  wral 3125  wrex 3126  cdif 3910  cin 3912  wss 3913  𝒫 cpw 4515   cuni 4814  cmpt 5122  ran crn 5532  cfv 6331  (class class class)co 7133  Fincfn 8487  infcinf 8883  1c1 10516  *cxr 10652   < clt 10653  +crp 12368  (,)cioo 12717  Σcsu 15022  topGenctg 16690  ∞Metcxmet 20506  Metcmet 20507  ballcbl 20508  MetOpencmopn 20511  Compccmp 21970
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439  ax-inf2 9082  ax-cnex 10571  ax-resscn 10572  ax-1cn 10573  ax-icn 10574  ax-addcl 10575  ax-addrcl 10576  ax-mulcl 10577  ax-mulrcl 10578  ax-mulcom 10579  ax-addass 10580  ax-mulass 10581  ax-distr 10582  ax-i2m1 10583  ax-1ne0 10584  ax-1rid 10585  ax-rnegex 10586  ax-rrecex 10587  ax-cnre 10588  ax-pre-lttri 10589  ax-pre-lttrn 10590  ax-pre-ltadd 10591  ax-pre-mulgt0 10592  ax-pre-sup 10593  ax-addf 10594  ax-mulf 10595
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-tp 4548  df-op 4550  df-uni 4815  df-int 4853  df-iun 4897  df-iin 4898  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5436  df-eprel 5441  df-po 5450  df-so 5451  df-fr 5490  df-se 5491  df-we 5492  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-pred 6124  df-ord 6170  df-on 6171  df-lim 6172  df-suc 6173  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-isom 6340  df-riota 7091  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-mpo 7138  df-of 7387  df-om 7559  df-1st 7667  df-2nd 7668  df-supp 7809  df-wrecs 7925  df-recs 7986  df-rdg 8024  df-1o 8080  df-2o 8081  df-oadd 8084  df-er 8267  df-ec 8269  df-map 8386  df-ixp 8440  df-en 8488  df-dom 8489  df-sdom 8490  df-fin 8491  df-fsupp 8812  df-fi 8853  df-sup 8884  df-inf 8885  df-oi 8952  df-card 9346  df-pnf 10655  df-mnf 10656  df-xr 10657  df-ltxr 10658  df-le 10659  df-sub 10850  df-neg 10851  df-div 11276  df-nn 11617  df-2 11679  df-3 11680  df-4 11681  df-5 11682  df-6 11683  df-7 11684  df-8 11685  df-9 11686  df-n0 11877  df-z 11961  df-dec 12078  df-uz 12223  df-q 12328  df-rp 12369  df-xneg 12486  df-xadd 12487  df-xmul 12488  df-ioo 12721  df-ico 12723  df-icc 12724  df-fz 12877  df-fzo 13018  df-seq 13354  df-exp 13415  df-hash 13676  df-cj 14438  df-re 14439  df-im 14440  df-sqrt 14574  df-abs 14575  df-clim 14825  df-sum 15023  df-struct 16464  df-ndx 16465  df-slot 16466  df-base 16468  df-sets 16469  df-ress 16470  df-plusg 16557  df-mulr 16558  df-starv 16559  df-sca 16560  df-vsca 16561  df-ip 16562  df-tset 16563  df-ple 16564  df-ds 16566  df-unif 16567  df-hom 16568  df-cco 16569  df-rest 16675  df-topn 16676  df-0g 16694  df-gsum 16695  df-topgen 16696  df-pt 16697  df-prds 16700  df-xrs 16754  df-qtop 16759  df-imas 16760  df-xps 16762  df-mre 16836  df-mrc 16837  df-acs 16839  df-mgm 17831  df-sgrp 17880  df-mnd 17891  df-submnd 17936  df-mulg 18204  df-cntz 18426  df-cmn 18887  df-psmet 20513  df-xmet 20514  df-met 20515  df-bl 20516  df-mopn 20517  df-cnfld 20522  df-top 21478  df-topon 21495  df-topsp 21517  df-bases 21530  df-cld 21603  df-ntr 21604  df-cls 21605  df-cn 21811  df-cnp 21812  df-cmp 21971  df-tx 22146  df-hmeo 22339  df-xms 22906  df-ms 22907  df-tms 22908
This theorem is referenced by:  xlebnum  23549  lebnumii  23550
  Copyright terms: Public domain W3C validator