MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lebnum Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lebnum 24480
Description: The Lebesgue number lemma, or Lebesgue covering lemma. If 𝑋 is a compact metric space and π‘ˆ is an open cover of 𝑋, then there exists a positive real number 𝑑 such that every ball of size 𝑑 (and every subset of a ball of size 𝑑, including every subset of diameter less than 𝑑) is a subset of some member of the cover. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 30-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
lebnum.j 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
lebnum.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
lebnum.c (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Comp)
lebnum.s (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† 𝐽)
lebnum.u (πœ‘ β†’ 𝑋 = βˆͺ π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
lebnum (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑑) βŠ† 𝑒)
Distinct variable groups:   𝑒,𝑑,π‘₯,𝐷   𝐽,𝑑,π‘₯   π‘ˆ,𝑑,𝑒,π‘₯   πœ‘,𝑑,π‘₯   𝑋,𝑑,𝑒,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑒)   𝐽(𝑒)
Proof of Theorem lebnum
Dummy variables π‘˜ 𝑀 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lebnum.c . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Comp)
2 lebnum.s . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† 𝐽)
3 lebnum.d . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
4 metxmet 23840 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
53, 4syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
6 lebnum.j . . . . . 6 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
76mopnuni 23947 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
85, 7syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
9 lebnum.u . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 = βˆͺ π‘ˆ)
108, 9eqtr3d 2775 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ π‘ˆ)
11 eqid 2733 . . . 4 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
1211cmpcov 22893 . . 3 ((𝐽 ∈ Comp ∧ π‘ˆ βŠ† 𝐽 ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ π‘ˆ) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝑀)
131, 2, 10, 12syl3anc 1372 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘€ ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝑀)
14 1rp 12978 . . . 4 1 ∈ ℝ+
15 simprl 770 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝑀)) β†’ 𝑀 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin))
1615elin1d 4199 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝑀)) β†’ 𝑀 ∈ 𝒫 π‘ˆ)
1716elpwid 4612 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝑀)) β†’ 𝑀 βŠ† π‘ˆ)
1817ad2antrr 725 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝑀)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑀) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝑀 βŠ† π‘ˆ)
19 simplr 768 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝑀)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑀) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝑋 ∈ 𝑀)
2018, 19sseldd 3984 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝑀)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑀) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
215ad3antrrr 729 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝑀)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑀) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
22 simpr 486 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝑀)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑀) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
23 rpxr 12983 . . . . . . . 8 (1 ∈ ℝ+ β†’ 1 ∈ ℝ*)
2414, 23mp1i 13 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝑀)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑀) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 1 ∈ ℝ*)
25 blssm 23924 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 1 ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)1) βŠ† 𝑋)
2621, 22, 24, 25syl3anc 1372 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝑀)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑀) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)1) βŠ† 𝑋)
27 sseq2 4009 . . . . . . 7 (𝑒 = 𝑋 β†’ ((π‘₯(ballβ€˜π·)1) βŠ† 𝑒 ↔ (π‘₯(ballβ€˜π·)1) βŠ† 𝑋))
2827rspcev 3613 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ (π‘₯(ballβ€˜π·)1) βŠ† 𝑋) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜π·)1) βŠ† 𝑒)
2920, 26, 28syl2anc 585 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝑀)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑀) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜π·)1) βŠ† 𝑒)
3029ralrimiva 3147 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝑀)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑀) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜π·)1) βŠ† 𝑒)
31 oveq2 7417 . . . . . . . 8 (𝑑 = 1 β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑑) = (π‘₯(ballβ€˜π·)1))
3231sseq1d 4014 . . . . . . 7 (𝑑 = 1 β†’ ((π‘₯(ballβ€˜π·)𝑑) βŠ† 𝑒 ↔ (π‘₯(ballβ€˜π·)1) βŠ† 𝑒))
3332rexbidv 3179 . . . . . 6 (𝑑 = 1 β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑑) βŠ† 𝑒 ↔ βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜π·)1) βŠ† 𝑒))
3433ralbidv 3178 . . . . 5 (𝑑 = 1 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑑) βŠ† 𝑒 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜π·)1) βŠ† 𝑒))
3534rspcev 3613 . . . 4 ((1 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜π·)1) βŠ† 𝑒) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑑) βŠ† 𝑒)
3614, 30, 35sylancr 588 . . 3 (((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝑀)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑀) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑑) βŠ† 𝑒)
373ad2antrr 725 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝑀)) ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝑀) β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
381ad2antrr 725 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝑀)) ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝑀) β†’ 𝐽 ∈ Comp)
3917adantr 482 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝑀)) ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝑀) β†’ 𝑀 βŠ† π‘ˆ)
402ad2antrr 725 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝑀)) ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝑀) β†’ π‘ˆ βŠ† 𝐽)
4139, 40sstrd 3993 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝑀)) ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝑀) β†’ 𝑀 βŠ† 𝐽)
428ad2antrr 725 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝑀)) ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝑀) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
43 simplrr 777 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝑀)) ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝑀) β†’ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝑀)
4442, 43eqtrd 2773 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝑀)) ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝑀) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝑀)
4515elin2d 4200 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝑀)) β†’ 𝑀 ∈ Fin)
4645adantr 482 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝑀)) ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝑀) β†’ 𝑀 ∈ Fin)
47 simpr 486 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝑀)) ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝑀) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ 𝑀)
48 eqid 2733 . . . . 5 (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑀 inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < )) = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑀 inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))
49 eqid 2733 . . . . 5 (topGenβ€˜ran (,)) = (topGenβ€˜ran (,))
506, 37, 38, 41, 44, 46, 47, 48, 49lebnumlem3 24479 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝑀)) ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝑀) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘’ ∈ 𝑀 (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑑) βŠ† 𝑒)
51 ssrexv 4052 . . . . . . 7 (𝑀 βŠ† π‘ˆ β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ 𝑀 (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑑) βŠ† 𝑒 β†’ βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑑) βŠ† 𝑒))
5239, 51syl 17 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝑀)) ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝑀) β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ 𝑀 (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑑) βŠ† 𝑒 β†’ βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑑) βŠ† 𝑒))
5352ralimdv 3170 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝑀)) ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝑀) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘’ ∈ 𝑀 (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑑) βŠ† 𝑒 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑑) βŠ† 𝑒))
5453reximdv 3171 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝑀)) ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝑀) β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘’ ∈ 𝑀 (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑑) βŠ† 𝑒 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑑) βŠ† 𝑒))
5550, 54mpd 15 . . 3 (((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝑀)) ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝑀) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑑) βŠ† 𝑒)
5636, 55pm2.61dan 812 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝑀)) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑑) βŠ† 𝑒)
5713, 56rexlimddv 3162 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑑) βŠ† 𝑒)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071   βˆ– cdif 3946   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  π’« cpw 4603  βˆͺ cuni 4909   ↦ cmpt 5232  ran crn 5678  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Fincfn 8939  infcinf 9436  1c1 11111  β„*cxr 11247   < clt 11248  β„+crp 12974  (,)cioo 13324  Ξ£csu 15632  topGenctg 17383  βˆžMetcxmet 20929  Metcmet 20930  ballcbl 20931  MetOpencmopn 20934  Compccmp 22890
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-ec 8705  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-sum 15633  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-cmp 22891  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828
This theorem is referenced by:  xlebnum  24481  lebnumii  24482
  Copyright terms: Public domain W3C validator