MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lebnum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lebnum 24327
Description: The Lebesgue number lemma, or Lebesgue covering lemma. If 𝑋 is a compact metric space and 𝑈 is an open cover of 𝑋, then there exists a positive real number 𝑑 such that every ball of size 𝑑 (and every subset of a ball of size 𝑑, including every subset of diameter less than 𝑑) is a subset of some member of the cover. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 30-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
lebnum.j 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
lebnum.d (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
lebnum.c (𝜑𝐽 ∈ Comp)
lebnum.s (𝜑𝑈𝐽)
lebnum.u (𝜑𝑋 = 𝑈)
Assertion
Ref Expression
lebnum (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢)
Distinct variable groups:   𝑢,𝑑,𝑥,𝐷   𝐽,𝑑,𝑥   𝑈,𝑑,𝑢,𝑥   𝜑,𝑑,𝑥   𝑋,𝑑,𝑢,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢)   𝐽(𝑢)

Proof of Theorem lebnum
Dummy variables 𝑘 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lebnum.c . . 3 (𝜑𝐽 ∈ Comp)
2 lebnum.s . . 3 (𝜑𝑈𝐽)
3 lebnum.d . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
4 metxmet 23687 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
53, 4syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
6 lebnum.j . . . . . 6 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
76mopnuni 23794 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = 𝐽)
85, 7syl 17 . . . 4 (𝜑𝑋 = 𝐽)
9 lebnum.u . . . 4 (𝜑𝑋 = 𝑈)
108, 9eqtr3d 2778 . . 3 (𝜑 𝐽 = 𝑈)
11 eqid 2736 . . . 4 𝐽 = 𝐽
1211cmpcov 22740 . . 3 ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑈𝐽 𝐽 = 𝑈) → ∃𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) 𝐽 = 𝑤)
131, 2, 10, 12syl3anc 1371 . 2 (𝜑 → ∃𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) 𝐽 = 𝑤)
14 1rp 12919 . . . 4 1 ∈ ℝ+
15 simprl 769 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) → 𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin))
1615elin1d 4158 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) → 𝑤 ∈ 𝒫 𝑈)
1716elpwid 4569 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) → 𝑤𝑈)
1817ad2antrr 724 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) ∧ 𝑋𝑤) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑤𝑈)
19 simplr 767 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) ∧ 𝑋𝑤) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑋𝑤)
2018, 19sseldd 3945 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) ∧ 𝑋𝑤) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑋𝑈)
215ad3antrrr 728 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) ∧ 𝑋𝑤) ∧ 𝑥𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
22 simpr 485 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) ∧ 𝑋𝑤) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑥𝑋)
23 rpxr 12924 . . . . . . . 8 (1 ∈ ℝ+ → 1 ∈ ℝ*)
2414, 23mp1i 13 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) ∧ 𝑋𝑤) ∧ 𝑥𝑋) → 1 ∈ ℝ*)
25 blssm 23771 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋 ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑋)
2621, 22, 24, 25syl3anc 1371 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) ∧ 𝑋𝑤) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑋)
27 sseq2 3970 . . . . . . 7 (𝑢 = 𝑋 → ((𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑢 ↔ (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑋))
2827rspcev 3581 . . . . . 6 ((𝑋𝑈 ∧ (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑋) → ∃𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑢)
2920, 26, 28syl2anc 584 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) ∧ 𝑋𝑤) ∧ 𝑥𝑋) → ∃𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑢)
3029ralrimiva 3143 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) ∧ 𝑋𝑤) → ∀𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑢)
31 oveq2 7365 . . . . . . . 8 (𝑑 = 1 → (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) = (𝑥(ball‘𝐷)1))
3231sseq1d 3975 . . . . . . 7 (𝑑 = 1 → ((𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢 ↔ (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑢))
3332rexbidv 3175 . . . . . 6 (𝑑 = 1 → (∃𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢 ↔ ∃𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑢))
3433ralbidv 3174 . . . . 5 (𝑑 = 1 → (∀𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢 ↔ ∀𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑢))
3534rspcev 3581 . . . 4 ((1 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑢) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢)
3614, 30, 35sylancr 587 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) ∧ 𝑋𝑤) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢)
373ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋𝑤) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
381ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋𝑤) → 𝐽 ∈ Comp)
3917adantr 481 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋𝑤) → 𝑤𝑈)
402ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋𝑤) → 𝑈𝐽)
4139, 40sstrd 3954 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋𝑤) → 𝑤𝐽)
428ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋𝑤) → 𝑋 = 𝐽)
43 simplrr 776 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋𝑤) → 𝐽 = 𝑤)
4442, 43eqtrd 2776 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋𝑤) → 𝑋 = 𝑤)
4515elin2d 4159 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) → 𝑤 ∈ Fin)
4645adantr 481 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋𝑤) → 𝑤 ∈ Fin)
47 simpr 485 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋𝑤) → ¬ 𝑋𝑤)
48 eqid 2736 . . . . 5 (𝑦𝑋 ↦ Σ𝑘𝑤 inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < )) = (𝑦𝑋 ↦ Σ𝑘𝑤 inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))
49 eqid 2736 . . . . 5 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
506, 37, 38, 41, 44, 46, 47, 48, 49lebnumlem3 24326 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋𝑤) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑢𝑤 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢)
51 ssrexv 4011 . . . . . . 7 (𝑤𝑈 → (∃𝑢𝑤 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢 → ∃𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢))
5239, 51syl 17 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋𝑤) → (∃𝑢𝑤 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢 → ∃𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢))
5352ralimdv 3166 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋𝑤) → (∀𝑥𝑋𝑢𝑤 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢 → ∀𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢))
5453reximdv 3167 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋𝑤) → (∃𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑢𝑤 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢 → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢))
5550, 54mpd 15 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋𝑤) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢)
5636, 55pm2.61dan 811 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢)
5713, 56rexlimddv 3158 1 (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  wrex 3073  cdif 3907  cin 3909  wss 3910  𝒫 cpw 4560   cuni 4865  cmpt 5188  ran crn 5634  cfv 6496  (class class class)co 7357  Fincfn 8883  infcinf 9377  1c1 11052  *cxr 11188   < clt 11189  +crp 12915  (,)cioo 13264  Σcsu 15570  topGenctg 17319  ∞Metcxmet 20781  Metcmet 20782  ballcbl 20783  MetOpencmopn 20786  Compccmp 22737
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-ec 8650  df-map 8767  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-sum 15571  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-cmp 22738  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675
This theorem is referenced by:  xlebnum  24328  lebnumii  24329
  Copyright terms: Public domain W3C validator