MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lebnum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lebnum 24996
Description: The Lebesgue number lemma, or Lebesgue covering lemma. If 𝑋 is a compact metric space and 𝑈 is an open cover of 𝑋, then there exists a positive real number 𝑑 such that every ball of size 𝑑 (and every subset of a ball of size 𝑑, including every subset of diameter less than 𝑑) is a subset of some member of the cover. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 30-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
lebnum.j 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
lebnum.d (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
lebnum.c (𝜑𝐽 ∈ Comp)
lebnum.s (𝜑𝑈𝐽)
lebnum.u (𝜑𝑋 = 𝑈)
Assertion
Ref Expression
lebnum (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢)
Distinct variable groups:   𝑢,𝑑,𝑥,𝐷   𝐽,𝑑,𝑥   𝑈,𝑑,𝑢,𝑥   𝜑,𝑑,𝑥   𝑋,𝑑,𝑢,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢)   𝐽(𝑢)

Proof of Theorem lebnum
Dummy variables 𝑘 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lebnum.c . . 3 (𝜑𝐽 ∈ Comp)
2 lebnum.s . . 3 (𝜑𝑈𝐽)
3 lebnum.d . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
4 metxmet 24344 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
53, 4syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
6 lebnum.j . . . . . 6 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
76mopnuni 24451 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = 𝐽)
85, 7syl 17 . . . 4 (𝜑𝑋 = 𝐽)
9 lebnum.u . . . 4 (𝜑𝑋 = 𝑈)
108, 9eqtr3d 2779 . . 3 (𝜑 𝐽 = 𝑈)
11 eqid 2737 . . . 4 𝐽 = 𝐽
1211cmpcov 23397 . . 3 ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑈𝐽 𝐽 = 𝑈) → ∃𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) 𝐽 = 𝑤)
131, 2, 10, 12syl3anc 1373 . 2 (𝜑 → ∃𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) 𝐽 = 𝑤)
14 1rp 13038 . . . 4 1 ∈ ℝ+
15 simprl 771 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) → 𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin))
1615elin1d 4204 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) → 𝑤 ∈ 𝒫 𝑈)
1716elpwid 4609 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) → 𝑤𝑈)
1817ad2antrr 726 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) ∧ 𝑋𝑤) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑤𝑈)
19 simplr 769 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) ∧ 𝑋𝑤) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑋𝑤)
2018, 19sseldd 3984 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) ∧ 𝑋𝑤) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑋𝑈)
215ad3antrrr 730 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) ∧ 𝑋𝑤) ∧ 𝑥𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
22 simpr 484 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) ∧ 𝑋𝑤) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑥𝑋)
23 rpxr 13044 . . . . . . . 8 (1 ∈ ℝ+ → 1 ∈ ℝ*)
2414, 23mp1i 13 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) ∧ 𝑋𝑤) ∧ 𝑥𝑋) → 1 ∈ ℝ*)
25 blssm 24428 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋 ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑋)
2621, 22, 24, 25syl3anc 1373 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) ∧ 𝑋𝑤) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑋)
27 sseq2 4010 . . . . . . 7 (𝑢 = 𝑋 → ((𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑢 ↔ (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑋))
2827rspcev 3622 . . . . . 6 ((𝑋𝑈 ∧ (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑋) → ∃𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑢)
2920, 26, 28syl2anc 584 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) ∧ 𝑋𝑤) ∧ 𝑥𝑋) → ∃𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑢)
3029ralrimiva 3146 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) ∧ 𝑋𝑤) → ∀𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑢)
31 oveq2 7439 . . . . . . . 8 (𝑑 = 1 → (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) = (𝑥(ball‘𝐷)1))
3231sseq1d 4015 . . . . . . 7 (𝑑 = 1 → ((𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢 ↔ (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑢))
3332rexbidv 3179 . . . . . 6 (𝑑 = 1 → (∃𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢 ↔ ∃𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑢))
3433ralbidv 3178 . . . . 5 (𝑑 = 1 → (∀𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢 ↔ ∀𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑢))
3534rspcev 3622 . . . 4 ((1 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑢) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢)
3614, 30, 35sylancr 587 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) ∧ 𝑋𝑤) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢)
373ad2antrr 726 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋𝑤) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
381ad2antrr 726 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋𝑤) → 𝐽 ∈ Comp)
3917adantr 480 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋𝑤) → 𝑤𝑈)
402ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋𝑤) → 𝑈𝐽)
4139, 40sstrd 3994 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋𝑤) → 𝑤𝐽)
428ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋𝑤) → 𝑋 = 𝐽)
43 simplrr 778 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋𝑤) → 𝐽 = 𝑤)
4442, 43eqtrd 2777 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋𝑤) → 𝑋 = 𝑤)
4515elin2d 4205 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) → 𝑤 ∈ Fin)
4645adantr 480 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋𝑤) → 𝑤 ∈ Fin)
47 simpr 484 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋𝑤) → ¬ 𝑋𝑤)
48 eqid 2737 . . . . 5 (𝑦𝑋 ↦ Σ𝑘𝑤 inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < )) = (𝑦𝑋 ↦ Σ𝑘𝑤 inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))
49 eqid 2737 . . . . 5 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
506, 37, 38, 41, 44, 46, 47, 48, 49lebnumlem3 24995 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋𝑤) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑢𝑤 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢)
51 ssrexv 4053 . . . . . . 7 (𝑤𝑈 → (∃𝑢𝑤 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢 → ∃𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢))
5239, 51syl 17 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋𝑤) → (∃𝑢𝑤 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢 → ∃𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢))
5352ralimdv 3169 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋𝑤) → (∀𝑥𝑋𝑢𝑤 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢 → ∀𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢))
5453reximdv 3170 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋𝑤) → (∃𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑢𝑤 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢 → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢))
5550, 54mpd 15 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋𝑤) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢)
5636, 55pm2.61dan 813 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢)
5713, 56rexlimddv 3161 1 (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  wrex 3070  cdif 3948  cin 3950  wss 3951  𝒫 cpw 4600   cuni 4907  cmpt 5225  ran crn 5686  cfv 6561  (class class class)co 7431  Fincfn 8985  infcinf 9481  1c1 11156  *cxr 11294   < clt 11295  +crp 13034  (,)cioo 13387  Σcsu 15722  topGenctg 17482  ∞Metcxmet 21349  Metcmet 21350  ballcbl 21351  MetOpencmopn 21354  Compccmp 23394
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-ec 8747  df-map 8868  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-cmp 23395  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332
This theorem is referenced by:  xlebnum  24997  lebnumii  24998
  Copyright terms: Public domain W3C validator