Theorem lebnum 23175

Description: The Lebesgue number lemma, or Lebesgue covering lemma. If 𝑋 is a compact metric space and 𝑈 is an open cover of 𝑋, then there exists a positive real number 𝑑 such that every ball of size 𝑑 (and every subset of a ball of size 𝑑, including every subset of diameter less than 𝑑) is a subset of some member of the cover. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 30-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
lebnum.j	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
lebnum.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
lebnum.c	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
lebnum.s	⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ 𝐽)
lebnum.u	⊢ (𝜑 → 𝑋 = ∪ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
lebnum	⊢ (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢)

Distinct variable groups:   𝑢,𝑑,𝑥,𝐷   𝐽,𝑑,𝑥   𝑈,𝑑,𝑢,𝑥   𝜑,𝑑,𝑥   𝑋,𝑑,𝑢,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢)   𝐽(𝑢)

Proof of Theorem lebnum

Dummy variables 𝑘 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lebnum.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
2		lebnum.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ 𝐽)
3		lebnum.d	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
4		metxmet 22551	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
5	3, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
6		lebnum.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
7	6	mopnuni 22658	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
8	5, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = ∪ 𝐽)
9		lebnum.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = ∪ 𝑈)
10	8, 9	eqtr3d 2816	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐽 = ∪ 𝑈)
11		eqid 2778	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
12	11	cmpcov 21605	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑈 ⊆ 𝐽 ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑈) → ∃𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)∪ 𝐽 = ∪ 𝑤)
13	1, 2, 10, 12	syl3anc 1439	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)∪ 𝐽 = ∪ 𝑤)
14		1rp 12145	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ+
15		inss1 4053	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ⊆ 𝒫 𝑈
16		simprl 761	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑤)) → 𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin))
17	15, 16	sseldi 3819	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑤)) → 𝑤 ∈ 𝒫 𝑈)
18	17	elpwid 4391	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑤)) → 𝑤 ⊆ 𝑈)
19	18	ad2antrr 716	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑤)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑤 ⊆ 𝑈)
20		simplr 759	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑤)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑋 ∈ 𝑤)
21	19, 20	sseldd 3822	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑤)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑋 ∈ 𝑈)
22	5	ad3antrrr 720	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑤)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
23		simpr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑤)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝑋)
24		rpxr 12152	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℝ+ → 1 ∈ ℝ*)
25	14, 24	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑤)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 1 ∈ ℝ*)
26		blssm 22635	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑋)
27	22, 23, 25, 26	syl3anc 1439	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑤)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑋)
28		sseq2 3846	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = 𝑋 → ((𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑢 ↔ (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑋))
29	28	rspcev 3511	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑋) → ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑢)
30	21, 27, 29	syl2anc 579	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑤)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑢)
31	30	ralrimiva 3148	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑤)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑤) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑢)
32		oveq2 6932	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑑 = 1 → (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) = (𝑥(ball‘𝐷)1))
33	32	sseq1d 3851	. . . . . . 7 ⊢ (𝑑 = 1 → ((𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢 ↔ (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑢))
34	33	rexbidv 3237	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = 1 → (∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢 ↔ ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑢))
35	34	ralbidv 3168	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 1 → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑢))
36	35	rspcev 3511	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑢) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢)
37	14, 31, 36	sylancr 581	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑤)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑤) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢)
38	3	ad2antrr 716	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑤) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
39	1	ad2antrr 716	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑤) → 𝐽 ∈ Comp)
40	18	adantr 474	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑤) → 𝑤 ⊆ 𝑈)
41	2	ad2antrr 716	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑤) → 𝑈 ⊆ 𝐽)
42	40, 41	sstrd 3831	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑤) → 𝑤 ⊆ 𝐽)
43	8	ad2antrr 716	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑤) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
44		simplrr 768	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑤) → ∪ 𝐽 = ∪ 𝑤)
45	43, 44	eqtrd 2814	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑤) → 𝑋 = ∪ 𝑤)
46		inss2 4054	. . . . . . 7 ⊢ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ⊆ Fin
47	46, 16	sseldi 3819	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑤)) → 𝑤 ∈ Fin)
48	47	adantr 474	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑤) → 𝑤 ∈ Fin)
49		simpr 479	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑤) → ¬ 𝑋 ∈ 𝑤)
50		eqid 2778	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑤 inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 ∖ 𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < )) = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑤 inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 ∖ 𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))
51		eqid 2778	. . . . 5 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
52	6, 38, 39, 42, 45, 48, 49, 50, 51	lebnumlem3 23174	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑤) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑢 ∈ 𝑤 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢)
53		ssrexv 3886	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ⊆ 𝑈 → (∃𝑢 ∈ 𝑤 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢 → ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢))
54	40, 53	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑤) → (∃𝑢 ∈ 𝑤 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢 → ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢))
55	54	ralimdv 3145	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑤) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑢 ∈ 𝑤 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢))
56	55	reximdv 3197	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑤) → (∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑢 ∈ 𝑤 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢 → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢))
57	52, 56	mpd 15	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑤) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢)
58	37, 57	pm2.61dan 803	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑤)) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢)
59	13, 58	rexlimddv 3218	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  ∀wral 3090  ∃wrex 3091   ∖ cdif 3789   ∩ cin 3791   ⊆ wss 3792  𝒫 cpw 4379  ∪ cuni 4673   ↦ cmpt 4967  ran crn 5358  ‘cfv 6137  (class class class)co 6924  Fincfn 8243  infcinf 8637  1c1 10275  ℝ^*cxr 10412   < clt 10413  ℝ⁺crp 12141  (,)cioo 12491  Σcsu 14828  topGenctg 16488  ∞Metcxmet 20131  Metcmet 20132  ballcbl 20133  MetOpencmopn 20136  Compccmp 21602

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-inf2 8837  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351  ax-pre-sup 10352  ax-addf 10353  ax-mulf 10354

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-iin 4758  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-se 5317  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-isom 6146  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-of 7176  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-supp 7579  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-2o 7846  df-oadd 7849  df-er 8028  df-ec 8030  df-map 8144  df-ixp 8197  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-fsupp 8566  df-fi 8607  df-sup 8638  df-inf 8639  df-oi 8706  df-card 9100  df-cda 9327  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-div 11035  df-nn 11379  df-2 11442  df-3 11443  df-4 11444  df-5 11445  df-6 11446  df-7 11447  df-8 11448  df-9 11449  df-n0 11647  df-z 11733  df-dec 11850  df-uz 11997  df-q 12100  df-rp 12142  df-xneg 12261  df-xadd 12262  df-xmul 12263  df-ioo 12495  df-ico 12497  df-icc 12498  df-fz 12648  df-fzo 12789  df-seq 13124  df-exp 13183  df-hash 13440  df-cj 14250  df-re 14251  df-im 14252  df-sqrt 14386  df-abs 14387  df-clim 14631  df-sum 14829  df-struct 16261  df-ndx 16262  df-slot 16263  df-base 16265  df-sets 16266  df-ress 16267  df-plusg 16355  df-mulr 16356  df-starv 16357  df-sca 16358  df-vsca 16359  df-ip 16360  df-tset 16361  df-ple 16362  df-ds 16364  df-unif 16365  df-hom 16366  df-cco 16367  df-rest 16473  df-topn 16474  df-0g 16492  df-gsum 16493  df-topgen 16494  df-pt 16495  df-prds 16498  df-xrs 16552  df-qtop 16557  df-imas 16558  df-xps 16560  df-mre 16636  df-mrc 16637  df-acs 16639  df-mgm 17632  df-sgrp 17674  df-mnd 17685  df-submnd 17726  df-mulg 17932  df-cntz 18137  df-cmn 18585  df-psmet 20138  df-xmet 20139  df-met 20140  df-bl 20141  df-mopn 20142  df-cnfld 20147  df-top 21110  df-topon 21127  df-topsp 21149  df-bases 21162  df-cld 21235  df-ntr 21236  df-cls 21237  df-cn 21443  df-cnp 21444  df-cmp 21603  df-tx 21778  df-hmeo 21971  df-xms 22537  df-ms 22538  df-tms 22539

This theorem is referenced by:  xlebnum  23176  lebnumii  23177