Theorem lebnum 23569

Description: The Lebesgue number lemma, or Lebesgue covering lemma. If 𝑋 is a compact metric space and 𝑈 is an open cover of 𝑋, then there exists a positive real number 𝑑 such that every ball of size 𝑑 (and every subset of a ball of size 𝑑, including every subset of diameter less than 𝑑) is a subset of some member of the cover. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 30-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
lebnum.j	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
lebnum.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
lebnum.c	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
lebnum.s	⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ 𝐽)
lebnum.u	⊢ (𝜑 → 𝑋 = ∪ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
lebnum	⊢ (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢)

Distinct variable groups:   𝑢,𝑑,𝑥,𝐷   𝐽,𝑑,𝑥   𝑈,𝑑,𝑢,𝑥   𝜑,𝑑,𝑥   𝑋,𝑑,𝑢,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢)   𝐽(𝑢)

Proof of Theorem lebnum

Dummy variables 𝑘 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lebnum.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
2		lebnum.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ 𝐽)
3		lebnum.d	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
4		metxmet 22941	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
5	3, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
6		lebnum.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
7	6	mopnuni 23048	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
8	5, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = ∪ 𝐽)
9		lebnum.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = ∪ 𝑈)
10	8, 9	eqtr3d 2835	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐽 = ∪ 𝑈)
11		eqid 2798	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
12	11	cmpcov 21994	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑈 ⊆ 𝐽 ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑈) → ∃𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)∪ 𝐽 = ∪ 𝑤)
13	1, 2, 10, 12	syl3anc 1368	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)∪ 𝐽 = ∪ 𝑤)
14		1rp 12381	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ+
15		simprl 770	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑤)) → 𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin))
16	15	elin1d 4125	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑤)) → 𝑤 ∈ 𝒫 𝑈)
17	16	elpwid 4508	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑤)) → 𝑤 ⊆ 𝑈)
18	17	ad2antrr 725	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑤)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑤 ⊆ 𝑈)
19		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑤)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑋 ∈ 𝑤)
20	18, 19	sseldd 3916	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑤)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑋 ∈ 𝑈)
21	5	ad3antrrr 729	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑤)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
22		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑤)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝑋)
23		rpxr 12386	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℝ+ → 1 ∈ ℝ*)
24	14, 23	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑤)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 1 ∈ ℝ*)
25		blssm 23025	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑋)
26	21, 22, 24, 25	syl3anc 1368	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑤)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑋)
27		sseq2 3941	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = 𝑋 → ((𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑢 ↔ (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑋))
28	27	rspcev 3571	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑋) → ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑢)
29	20, 26, 28	syl2anc 587	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑤)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑢)
30	29	ralrimiva 3149	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑤)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑤) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑢)
31		oveq2 7143	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑑 = 1 → (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) = (𝑥(ball‘𝐷)1))
32	31	sseq1d 3946	. . . . . . 7 ⊢ (𝑑 = 1 → ((𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢 ↔ (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑢))
33	32	rexbidv 3256	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = 1 → (∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢 ↔ ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑢))
34	33	ralbidv 3162	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 1 → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑢))
35	34	rspcev 3571	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑢) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢)
36	14, 30, 35	sylancr 590	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑤)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑤) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢)
37	3	ad2antrr 725	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑤) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
38	1	ad2antrr 725	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑤) → 𝐽 ∈ Comp)
39	17	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑤) → 𝑤 ⊆ 𝑈)
40	2	ad2antrr 725	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑤) → 𝑈 ⊆ 𝐽)
41	39, 40	sstrd 3925	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑤) → 𝑤 ⊆ 𝐽)
42	8	ad2antrr 725	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑤) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
43		simplrr 777	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑤) → ∪ 𝐽 = ∪ 𝑤)
44	42, 43	eqtrd 2833	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑤) → 𝑋 = ∪ 𝑤)
45	15	elin2d 4126	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑤)) → 𝑤 ∈ Fin)
46	45	adantr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑤) → 𝑤 ∈ Fin)
47		simpr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑤) → ¬ 𝑋 ∈ 𝑤)
48		eqid 2798	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑤 inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 ∖ 𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < )) = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑤 inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 ∖ 𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))
49		eqid 2798	. . . . 5 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
50	6, 37, 38, 41, 44, 46, 47, 48, 49	lebnumlem3 23568	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑤) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑢 ∈ 𝑤 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢)
51		ssrexv 3982	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ⊆ 𝑈 → (∃𝑢 ∈ 𝑤 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢 → ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢))
52	39, 51	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑤) → (∃𝑢 ∈ 𝑤 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢 → ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢))
53	52	ralimdv 3145	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑤) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑢 ∈ 𝑤 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢))
54	53	reximdv 3232	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑤) → (∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑢 ∈ 𝑤 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢 → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢))
55	50, 54	mpd 15	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑤) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢)
56	36, 55	pm2.61dan 812	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑤)) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢)
57	13, 56	rexlimddv 3250	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106  ∃wrex 3107   ∖ cdif 3878   ∩ cin 3880   ⊆ wss 3881  𝒫 cpw 4497  ∪ cuni 4800   ↦ cmpt 5110  ran crn 5520  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  Fincfn 8492  infcinf 8889  1c1 10527  ℝ^*cxr 10663   < clt 10664  ℝ⁺crp 12377  (,)cioo 12726  Σcsu 15034  topGenctg 16703  ∞Metcxmet 20076  Metcmet 20077  ballcbl 20078  MetOpencmopn 20081  Compccmp 21991

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-inf2 9088  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7389  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-supp 7814  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-oadd 8089  df-er 8272  df-ec 8274  df-map 8391  df-ixp 8445  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fsupp 8818  df-fi 8859  df-sup 8890  df-inf 8891  df-oi 8958  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-exp 13426  df-hash 13687  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-clim 14837  df-sum 15035  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-hom 16581  df-cco 16582  df-rest 16688  df-topn 16689  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-topgen 16709  df-pt 16710  df-prds 16713  df-xrs 16767  df-qtop 16772  df-imas 16773  df-xps 16775  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-submnd 17949  df-mulg 18217  df-cntz 18439  df-cmn 18900  df-psmet 20083  df-xmet 20084  df-met 20085  df-bl 20086  df-mopn 20087  df-cnfld 20092  df-top 21499  df-topon 21516  df-topsp 21538  df-bases 21551  df-cld 21624  df-ntr 21625  df-cls 21626  df-cn 21832  df-cnp 21833  df-cmp 21992  df-tx 22167  df-hmeo 22360  df-xms 22927  df-ms 22928  df-tms 22929

This theorem is referenced by:  xlebnum  23570  lebnumii  23571