Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lebnum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lebnum 23175
 Description: The Lebesgue number lemma, or Lebesgue covering lemma. If 𝑋 is a compact metric space and 𝑈 is an open cover of 𝑋, then there exists a positive real number 𝑑 such that every ball of size 𝑑 (and every subset of a ball of size 𝑑, including every subset of diameter less than 𝑑) is a subset of some member of the cover. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 30-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
lebnum.j 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
lebnum.d (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
lebnum.c (𝜑𝐽 ∈ Comp)
lebnum.s (𝜑𝑈𝐽)
lebnum.u (𝜑𝑋 = 𝑈)
Assertion
Ref Expression
lebnum (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢)
Distinct variable groups:   𝑢,𝑑,𝑥,𝐷   𝐽,𝑑,𝑥   𝑈,𝑑,𝑢,𝑥   𝜑,𝑑,𝑥   𝑋,𝑑,𝑢,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢)   𝐽(𝑢)

Proof of Theorem lebnum
Dummy variables 𝑘 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lebnum.c . . 3 (𝜑𝐽 ∈ Comp)
2 lebnum.s . . 3 (𝜑𝑈𝐽)
3 lebnum.d . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
4 metxmet 22551 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
53, 4syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
6 lebnum.j . . . . . 6 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
76mopnuni 22658 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = 𝐽)
85, 7syl 17 . . . 4 (𝜑𝑋 = 𝐽)
9 lebnum.u . . . 4 (𝜑𝑋 = 𝑈)
108, 9eqtr3d 2816 . . 3 (𝜑 𝐽 = 𝑈)
11 eqid 2778 . . . 4 𝐽 = 𝐽
1211cmpcov 21605 . . 3 ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑈𝐽 𝐽 = 𝑈) → ∃𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) 𝐽 = 𝑤)
131, 2, 10, 12syl3anc 1439 . 2 (𝜑 → ∃𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) 𝐽 = 𝑤)
14 1rp 12145 . . . 4 1 ∈ ℝ+
15 inss1 4053 . . . . . . . . . 10 (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ⊆ 𝒫 𝑈
16 simprl 761 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) → 𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin))
1715, 16sseldi 3819 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) → 𝑤 ∈ 𝒫 𝑈)
1817elpwid 4391 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) → 𝑤𝑈)
1918ad2antrr 716 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) ∧ 𝑋𝑤) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑤𝑈)
20 simplr 759 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) ∧ 𝑋𝑤) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑋𝑤)
2119, 20sseldd 3822 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) ∧ 𝑋𝑤) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑋𝑈)
225ad3antrrr 720 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) ∧ 𝑋𝑤) ∧ 𝑥𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
23 simpr 479 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) ∧ 𝑋𝑤) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑥𝑋)
24 rpxr 12152 . . . . . . . 8 (1 ∈ ℝ+ → 1 ∈ ℝ*)
2514, 24mp1i 13 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) ∧ 𝑋𝑤) ∧ 𝑥𝑋) → 1 ∈ ℝ*)
26 blssm 22635 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋 ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑋)
2722, 23, 25, 26syl3anc 1439 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) ∧ 𝑋𝑤) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑋)
28 sseq2 3846 . . . . . . 7 (𝑢 = 𝑋 → ((𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑢 ↔ (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑋))
2928rspcev 3511 . . . . . 6 ((𝑋𝑈 ∧ (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑋) → ∃𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑢)
3021, 27, 29syl2anc 579 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) ∧ 𝑋𝑤) ∧ 𝑥𝑋) → ∃𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑢)
3130ralrimiva 3148 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) ∧ 𝑋𝑤) → ∀𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑢)
32 oveq2 6932 . . . . . . . 8 (𝑑 = 1 → (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) = (𝑥(ball‘𝐷)1))
3332sseq1d 3851 . . . . . . 7 (𝑑 = 1 → ((𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢 ↔ (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑢))
3433rexbidv 3237 . . . . . 6 (𝑑 = 1 → (∃𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢 ↔ ∃𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑢))
3534ralbidv 3168 . . . . 5 (𝑑 = 1 → (∀𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢 ↔ ∀𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑢))
3635rspcev 3511 . . . 4 ((1 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑢) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢)
3714, 31, 36sylancr 581 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) ∧ 𝑋𝑤) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢)
383ad2antrr 716 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋𝑤) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
391ad2antrr 716 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋𝑤) → 𝐽 ∈ Comp)
4018adantr 474 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋𝑤) → 𝑤𝑈)
412ad2antrr 716 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋𝑤) → 𝑈𝐽)
4240, 41sstrd 3831 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋𝑤) → 𝑤𝐽)
438ad2antrr 716 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋𝑤) → 𝑋 = 𝐽)
44 simplrr 768 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋𝑤) → 𝐽 = 𝑤)
4543, 44eqtrd 2814 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋𝑤) → 𝑋 = 𝑤)
46 inss2 4054 . . . . . . 7 (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ⊆ Fin
4746, 16sseldi 3819 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) → 𝑤 ∈ Fin)
4847adantr 474 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋𝑤) → 𝑤 ∈ Fin)
49 simpr 479 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋𝑤) → ¬ 𝑋𝑤)
50 eqid 2778 . . . . 5 (𝑦𝑋 ↦ Σ𝑘𝑤 inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < )) = (𝑦𝑋 ↦ Σ𝑘𝑤 inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))
51 eqid 2778 . . . . 5 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
526, 38, 39, 42, 45, 48, 49, 50, 51lebnumlem3 23174 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋𝑤) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑢𝑤 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢)
53 ssrexv 3886 . . . . . . 7 (𝑤𝑈 → (∃𝑢𝑤 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢 → ∃𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢))
5440, 53syl 17 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋𝑤) → (∃𝑢𝑤 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢 → ∃𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢))
5554ralimdv 3145 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋𝑤) → (∀𝑥𝑋𝑢𝑤 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢 → ∀𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢))
5655reximdv 3197 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋𝑤) → (∃𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑢𝑤 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢 → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢))
5752, 56mpd 15 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋𝑤) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢)
5837, 57pm2.61dan 803 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢)
5913, 58rexlimddv 3218 1 (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  ∀wral 3090  ∃wrex 3091   ∖ cdif 3789   ∩ cin 3791   ⊆ wss 3792  𝒫 cpw 4379  ∪ cuni 4673   ↦ cmpt 4967  ran crn 5358  ‘cfv 6137  (class class class)co 6924  Fincfn 8243  infcinf 8637  1c1 10275  ℝ*cxr 10412   < clt 10413  ℝ+crp 12141  (,)cioo 12491  Σcsu 14828  topGenctg 16488  ∞Metcxmet 20131  Metcmet 20132  ballcbl 20133  MetOpencmopn 20136  Compccmp 21602 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-inf2 8837  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351  ax-pre-sup 10352  ax-addf 10353  ax-mulf 10354 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-iin 4758  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-se 5317  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-isom 6146  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-of 7176  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-supp 7579  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-2o 7846  df-oadd 7849  df-er 8028  df-ec 8030  df-map 8144  df-ixp 8197  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-fsupp 8566  df-fi 8607  df-sup 8638  df-inf 8639  df-oi 8706  df-card 9100  df-cda 9327  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-div 11035  df-nn 11379  df-2 11442  df-3 11443  df-4 11444  df-5 11445  df-6 11446  df-7 11447  df-8 11448  df-9 11449  df-n0 11647  df-z 11733  df-dec 11850  df-uz 11997  df-q 12100  df-rp 12142  df-xneg 12261  df-xadd 12262  df-xmul 12263  df-ioo 12495  df-ico 12497  df-icc 12498  df-fz 12648  df-fzo 12789  df-seq 13124  df-exp 13183  df-hash 13440  df-cj 14250  df-re 14251  df-im 14252  df-sqrt 14386  df-abs 14387  df-clim 14631  df-sum 14829  df-struct 16261  df-ndx 16262  df-slot 16263  df-base 16265  df-sets 16266  df-ress 16267  df-plusg 16355  df-mulr 16356  df-starv 16357  df-sca 16358  df-vsca 16359  df-ip 16360  df-tset 16361  df-ple 16362  df-ds 16364  df-unif 16365  df-hom 16366  df-cco 16367  df-rest 16473  df-topn 16474  df-0g 16492  df-gsum 16493  df-topgen 16494  df-pt 16495  df-prds 16498  df-xrs 16552  df-qtop 16557  df-imas 16558  df-xps 16560  df-mre 16636  df-mrc 16637  df-acs 16639  df-mgm 17632  df-sgrp 17674  df-mnd 17685  df-submnd 17726  df-mulg 17932  df-cntz 18137  df-cmn 18585  df-psmet 20138  df-xmet 20139  df-met 20140  df-bl 20141  df-mopn 20142  df-cnfld 20147  df-top 21110  df-topon 21127  df-topsp 21149  df-bases 21162  df-cld 21235  df-ntr 21236  df-cls 21237  df-cn 21443  df-cnp 21444  df-cmp 21603  df-tx 21778  df-hmeo 21971  df-xms 22537  df-ms 22538  df-tms 22539 This theorem is referenced by:  xlebnum  23176  lebnumii  23177
 Copyright terms: Public domain W3C validator