Theorem cnvbramul 32543

Description: Multiplication property of the converse bra function. (Contributed by NM, 31-May-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
cnvbramul	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn)) → (◡bra‘(𝐴 ·fn 𝑇)) = ((∗‘𝐴) ·ℎ (◡bra‘𝑇)))

Proof of Theorem cnvbramul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvbracl 32539	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) → (◡bra‘𝑇) ∈ ℋ)
2		cjcl 15185	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
3		brafnmul 32379	. . . . . . 7 ⊢ (((∗‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (◡bra‘𝑇) ∈ ℋ) → (bra‘((∗‘𝐴) ·ℎ (◡bra‘𝑇))) = ((∗‘(∗‘𝐴)) ·fn (bra‘(◡bra‘𝑇))))
4	2, 3	sylan 592	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (◡bra‘𝑇) ∈ ℋ) → (bra‘((∗‘𝐴) ·ℎ (◡bra‘𝑇))) = ((∗‘(∗‘𝐴)) ·fn (bra‘(◡bra‘𝑇))))
5		cjcj 15220	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘(∗‘𝐴)) = 𝐴)
6	5	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (◡bra‘𝑇) ∈ ℋ) → (∗‘(∗‘𝐴)) = 𝐴)
7	6	oveq1d 7435	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (◡bra‘𝑇) ∈ ℋ) → ((∗‘(∗‘𝐴)) ·fn (bra‘(◡bra‘𝑇))) = (𝐴 ·fn (bra‘(◡bra‘𝑇))))
8	4, 7	eqtrd 2800	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (◡bra‘𝑇) ∈ ℋ) → (bra‘((∗‘𝐴) ·ℎ (◡bra‘𝑇))) = (𝐴 ·fn (bra‘(◡bra‘𝑇))))
9	1, 8	sylan2 605	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn)) → (bra‘((∗‘𝐴) ·ℎ (◡bra‘𝑇))) = (𝐴 ·fn (bra‘(◡bra‘𝑇))))
10		bracnvbra 32541	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) → (bra‘(◡bra‘𝑇)) = 𝑇)
11	10	oveq2d 7436	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) → (𝐴 ·fn (bra‘(◡bra‘𝑇))) = (𝐴 ·fn 𝑇))
12	11	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn)) → (𝐴 ·fn (bra‘(◡bra‘𝑇))) = (𝐴 ·fn 𝑇))
13	9, 12	eqtrd 2800	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn)) → (bra‘((∗‘𝐴) ·ℎ (◡bra‘𝑇))) = (𝐴 ·fn 𝑇))
14	13	fveq2d 6890	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn)) → (◡bra‘(bra‘((∗‘𝐴) ·ℎ (◡bra‘𝑇)))) = (◡bra‘(𝐴 ·fn 𝑇)))
15		hvmulcl 31441	. . . 4 ⊢ (((∗‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (◡bra‘𝑇) ∈ ℋ) → ((∗‘𝐴) ·ℎ (◡bra‘𝑇)) ∈ ℋ)
16	2, 1, 15	syl2an 608	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn)) → ((∗‘𝐴) ·ℎ (◡bra‘𝑇)) ∈ ℋ)
17		cnvbrabra 32540	. . 3 ⊢ (((∗‘𝐴) ·ℎ (◡bra‘𝑇)) ∈ ℋ → (◡bra‘(bra‘((∗‘𝐴) ·ℎ (◡bra‘𝑇)))) = ((∗‘𝐴) ·ℎ (◡bra‘𝑇)))
18	16, 17	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn)) → (◡bra‘(bra‘((∗‘𝐴) ·ℎ (◡bra‘𝑇)))) = ((∗‘𝐴) ·ℎ (◡bra‘𝑇)))
19	14, 18	eqtr3d 2802	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn)) → (◡bra‘(𝐴 ·fn 𝑇)) = ((∗‘𝐴) ·ℎ (◡bra‘𝑇)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ∩ cin 3905  ^◡ccnv 5662  ‘cfv 6541  (class class class)co 7420  ℂcc 11118  ∗ccj 15176   ℋchba 31347   ·_ℎ csm 31349   ·_fn chft 31370  ContFnccnfn 31381  LinFnclf 31382  bracbr 31384

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7743  ax-inf2 9618  ax-cc 10435  ax-cnex 11176  ax-resscn 11177  ax-1cn 11178  ax-icn 11179  ax-addcl 11180  ax-addrcl 11181  ax-mulcl 11182  ax-mulrcl 11183  ax-mulcom 11184  ax-addass 11185  ax-mulass 11186  ax-distr 11187  ax-i2m1 11188  ax-1ne0 11189  ax-1rid 11190  ax-rnegex 11191  ax-rrecex 11192  ax-cnre 11193  ax-pre-lttri 11194  ax-pre-lttrn 11195  ax-pre-ltadd 11196  ax-pre-mulgt0 11197  ax-pre-sup 11198  ax-addf 11199  ax-mulf 11200  ax-hilex 31427  ax-hfvadd 31428  ax-hvcom 31429  ax-hvass 31430  ax-hv0cl 31431  ax-hvaddid 31432  ax-hfvmul 31433  ax-hvmulid 31434  ax-hvmulass 31435  ax-hvdistr1 31436  ax-hvdistr2 31437  ax-hvmul0 31438  ax-hfi 31507  ax-his1 31510  ax-his2 31511  ax-his3 31512  ax-his4 31513  ax-hcompl 31630

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-om 7870  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8164  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-1o 8460  df-2o 8461  df-oadd 8464  df-omul 8465  df-er 8701  df-map 8833  df-pm 8834  df-ixp 8903  df-en 8951  df-dom 8952  df-sdom 8953  df-fin 8954  df-fsupp 9330  df-fi 9379  df-sup 9410  df-inf 9411  df-oi 9480  df-card 9942  df-acn 9945  df-pnf 11265  df-mnf 11266  df-xr 11267  df-ltxr 11268  df-le 11269  df-sub 11463  df-neg 11464  df-div 11892  df-nn 12254  df-2 12323  df-3 12324  df-4 12325  df-5 12326  df-6 12327  df-7 12328  df-8 12329  df-9 12330  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12733  df-uz 12884  df-q 12994  df-rp 13038  df-xneg 13158  df-xadd 13159  df-xmul 13160  df-ioo 13397  df-ico 13399  df-icc 13400  df-fz 13557  df-fzo 13705  df-fl 13848  df-seq 14061  df-exp 14121  df-hash 14390  df-cj 15179  df-re 15180  df-im 15181  df-sqrt 15315  df-abs 15316  df-clim 15568  df-rlim 15569  df-sum 15767  df-struct 17234  df-sets 17251  df-slot 17269  df-ndx 17281  df-base 17297  df-ress 17318  df-plusg 17350  df-mulr 17351  df-starv 17352  df-sca 17353  df-vsca 17354  df-ip 17355  df-tset 17356  df-ple 17357  df-ds 17359  df-unif 17360  df-hom 17361  df-cco 17362  df-rest 17502  df-topn 17503  df-0g 17521  df-gsum 17522  df-topgen 17523  df-pt 17524  df-prds 17527  df-xrs 17583  df-qtop 17588  df-imas 17589  df-xps 17591  df-mre 17665  df-mrc 17666  df-acs 17668  df-mgm 18725  df-sgrp 18814  df-mnd 18830  df-submnd 18884  df-mulg 19183  df-cntz 19436  df-cmn 19901  df-psmet 21569  df-xmet 21570  df-met 21571  df-bl 21572  df-mopn 21573  df-fbas 21574  df-fg 21575  df-cnfld 21578  df-top 23106  df-topon 23123  df-topsp 23145  df-bases 23158  df-cld 23231  df-ntr 23232  df-cls 23233  df-nei 23310  df-cn 23439  df-cnp 23440  df-lm 23441  df-t1 23526  df-haus 23527  df-tx 23775  df-hmeo 23968  df-fil 24059  df-fm 24151  df-flim 24152  df-flf 24153  df-xms 24533  df-ms 24534  df-tms 24535  df-cfil 25470  df-cau 25471  df-cmet 25472  df-grpo 30921  df-gid 30922  df-ginv 30923  df-gdiv 30924  df-ablo 30973  df-vc 30987  df-nv 31020  df-va 31023  df-ba 31024  df-sm 31025  df-0v 31026  df-vs 31027  df-nmcv 31028  df-ims 31029  df-dip 31129  df-ssp 31150  df-ph 31241  df-cbn 31291  df-hnorm 31396  df-hba 31397  df-hvsub 31399  df-hlim 31400  df-hcau 31401  df-sh 31635  df-ch 31649  df-oc 31680  df-ch0 31681  df-hfmul 32162  df-nmfn 32273  df-nlfn 32274  df-cnfn 32275  df-lnfn 32276  df-bra 32278

This theorem is used by:  kbass6  32549