Theorem cdlemk26-3 42154

Description: Part of proof of Lemma K of [Crawley] p. 118. Eliminate the 𝑥 requirements from cdlemk25-3 42152. (Contributed by NM, 10-Jul-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdlemk3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemk3.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cdlemk3.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cdlemk3.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
cdlemk3.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemk3.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemk3.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk3.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk3.s	⊢ 𝑆 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑖 ∈ 𝑇 (𝑖‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑓)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑓 ∘ ◡𝐹))))))
cdlemk3.u1	⊢ 𝑌 = (𝑑 ∈ 𝑇, 𝑒 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑗 ∈ 𝑇 (𝑗‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑒)) ∧ (((𝑆‘𝑑)‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑒 ∘ ◡𝑑))))))

Assertion

Ref	Expression
cdlemk26-3	⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷))) → ((𝐷𝑌𝐺)‘𝑃) = ((𝐶𝑌𝐺)‘𝑃))

Distinct variable groups:   𝑒,𝑑,𝑓,𝑖, ∧   ≤ ,𝑖   ∨ ,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖   𝐴,𝑖   𝑗,𝑑,𝐷,𝑒,𝑓,𝑖   𝑓,𝐹,𝑖   𝐺,𝑑,𝑒,𝑗   𝑖,𝐻   𝑖,𝐾   𝑓,𝑁,𝑖   𝑃,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖   𝑅,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖   𝑇,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖   𝑊,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖   ∧ ,𝑗   ≤ ,𝑗   ∨ ,𝑗   𝐴,𝑗   𝑗,𝐹   𝑗,𝐻   𝑗,𝐾   𝑗,𝑁   𝑃,𝑗   𝑅,𝑗   𝑆,𝑑,𝑒,𝑗   𝑇,𝑗   𝑗,𝑊   𝐹,𝑑,𝑒   ≤ ,𝑒   𝐶,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖,𝑗   𝑓,𝐺,𝑖

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑒, 𝑓, 𝑑)   𝐵(𝑒, 𝑓, 𝑖, 𝑗, 𝑑)   𝑆(𝑓, 𝑖)   𝐻(𝑒, 𝑓, 𝑑)   𝐾(𝑒, 𝑓, 𝑑)   ≤ (𝑓, 𝑑)   𝑁(𝑒, 𝑑)   𝑌(𝑒, 𝑓, 𝑖, 𝑗, 𝑑)

Proof of Theorem cdlemk26-3

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp11l 1303	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷))) → 𝐾 ∈ HL)
2		simp11r 1304	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷))) → 𝑊 ∈ 𝐻)
3		cdlemk3.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
4		cdlemk3.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5		cdlemk3.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
6		cdlemk3.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
7	3, 4, 5, 6	cdlemftr3 41813	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑥 ∈ 𝑇 (𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐷))))
8	1, 2, 7	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷))) → ∃𝑥 ∈ 𝑇 (𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐷))))
9		simp111 1321	. . . 4 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ (𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐷)))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
10		simp112 1322	. . . 4 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ (𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐷)))) → (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇))
11		simp13l 1307	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷))) → 𝐺 ∈ 𝑇)
12	11	3ad2ant1 1151	. . . . 5 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ (𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐷)))) → 𝐺 ∈ 𝑇)
13		simp13r 1308	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷))) → 𝐶 ∈ 𝑇)
14	13	3ad2ant1 1151	. . . . 5 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ (𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐷)))) → 𝐶 ∈ 𝑇)
15		simp2 1155	. . . . 5 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ (𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐷)))) → 𝑥 ∈ 𝑇)
16	12, 14, 15	3jca 1146	. . . 4 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ (𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐷)))) → (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇))
17		simp121 1324	. . . 4 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ (𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐷)))) → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))
18		simp122 1325	. . . 4 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ (𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐷)))) → ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
19		simp23l 1313	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷))) → 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))
20	19	3ad2ant1 1151	. . . . 5 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ (𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐷)))) → 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))
21		simp23r 1314	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷))) → 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵))
22	21	3ad2ant1 1151	. . . . 5 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ (𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐷)))) → 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵))
23		simp3l 1220	. . . . 5 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ (𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐷)))) → 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))
24	20, 22, 23	3jca 1146	. . . 4 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ (𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐷)))) → (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
25		simp13l 1307	. . . 4 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ (𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐷)))) → ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹)))
26		simp13r 1308	. . . 4 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ (𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐷)))) → (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷))
27		simp3r3 1302	. . . . 5 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ (𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐷)))) → (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐷))
28		simp3r1 1300	. . . . 5 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ (𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐷)))) → (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹))
29		simp3r2 1301	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ (𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐷)))) → (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐺))
30	29	necomd 3014	. . . . 5 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ (𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐷)))) → (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑥))
31	27, 28, 30	3jca 1146	. . . 4 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ (𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐷)))) → ((𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑥)))
32		cdlemk3.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
33		cdlemk3.j	. . . . 5 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
34		cdlemk3.m	. . . . 5 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
35		cdlemk3.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
36		cdlemk3.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑖 ∈ 𝑇 (𝑖‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑓)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑓 ∘ ◡𝐹))))))
37		cdlemk3.u1	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (𝑑 ∈ 𝑇, 𝑒 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑗 ∈ 𝑇 (𝑗‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑒)) ∧ (((𝑆‘𝑑)‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑒 ∘ ◡𝑑))))))
38	3, 32, 33, 34, 35, 4, 5, 6, 36, 37	cdlemk25-3 42152	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ ((𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑥)))) → ((𝐷𝑌𝐺)‘𝑃) = ((𝐶𝑌𝐺)‘𝑃))
39	9, 10, 16, 17, 18, 24, 25, 26, 31, 38	syl333anc 1430	. . 3 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ (𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐷)))) → ((𝐷𝑌𝐺)‘𝑃) = ((𝐶𝑌𝐺)‘𝑃))
40	39	rexlimdv3a 3171	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷))) → (∃𝑥 ∈ 𝑇 (𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐷))) → ((𝐷𝑌𝐺)‘𝑃) = ((𝐶𝑌𝐺)‘𝑃)))
41	8, 40	mpd 16	1 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷))) → ((𝐷𝑌𝐺)‘𝑃) = ((𝐶𝑌𝐺)‘𝑃))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∃wrex 3090   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189   I cid 5549  ^◡ccnv 5654   ↾ cres 5657   ∘ ccom 5659  ‘cfv 6555  ℩crio 7396  (class class class)co 7440   ∈ cmpo 7442  Basecbs 17413  lecple 17461  joincjn 18511  meetcmee 18512  Atomscatm 40511  HLchlt 40598  LHypclh 41232  LTrncltrn 41349  trLctrl 41406

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-riotaBAD 40201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-undef 8315  df-map 8874  df-proset 18494  df-poset 18513  df-plt 18528  df-lub 18544  df-glb 18545  df-join 18546  df-meet 18547  df-p0 18623  df-p1 18624  df-lat 18632  df-clat 18699  df-oposet 40424  df-ol 40426  df-oml 40427  df-covers 40514  df-ats 40515  df-atl 40546  df-cvlat 40570  df-hlat 40599  df-llines 40746  df-lplanes 40747  df-lvols 40748  df-lines 40749  df-psubsp 40751  df-pmap 40752  df-padd 41044  df-lhyp 41236  df-laut 41237  df-ldil 41352  df-ltrn 41353  df-trl 41407

This theorem is used by:  cdlemk27-3  42155