Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemk26-3 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cdlemk26-3 40267
Description: Part of proof of Lemma K of [Crawley] p. 118. Eliminate the π‘₯ requirements from cdlemk25-3 40265. (Contributed by NM, 10-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemk3.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cdlemk3.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdlemk3.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdlemk3.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdlemk3.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdlemk3.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdlemk3.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemk3.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemk3.s 𝑆 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑖 ∈ 𝑇 (π‘–β€˜π‘ƒ) = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘“)) ∧ ((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑓 ∘ ◑𝐹))))))
cdlemk3.u1 π‘Œ = (𝑑 ∈ 𝑇, 𝑒 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑗 ∈ 𝑇 (π‘—β€˜π‘ƒ) = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘’)) ∧ (((π‘†β€˜π‘‘)β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑒 ∘ ◑𝑑))))))
Assertion
Ref Expression
cdlemk26-3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·))) β†’ ((π·π‘ŒπΊ)β€˜π‘ƒ) = ((πΆπ‘ŒπΊ)β€˜π‘ƒ))
Distinct variable groups:   𝑒,𝑑,𝑓,𝑖, ∧   ≀ ,𝑖   ∨ ,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖   𝐴,𝑖   𝑗,𝑑,𝐷,𝑒,𝑓,𝑖   𝑓,𝐹,𝑖   𝐺,𝑑,𝑒,𝑗   𝑖,𝐻   𝑖,𝐾   𝑓,𝑁,𝑖   𝑃,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖   𝑅,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖   𝑇,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖   π‘Š,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖   ∧ ,𝑗   ≀ ,𝑗   ∨ ,𝑗   𝐴,𝑗   𝑗,𝐹   𝑗,𝐻   𝑗,𝐾   𝑗,𝑁   𝑃,𝑗   𝑅,𝑗   𝑆,𝑑,𝑒,𝑗   𝑇,𝑗   𝑗,π‘Š   𝐹,𝑑,𝑒   ≀ ,𝑒   𝐢,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖,𝑗   𝑓,𝐺,𝑖
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑒,𝑓,𝑑)   𝐡(𝑒,𝑓,𝑖,𝑗,𝑑)   𝑆(𝑓,𝑖)   𝐻(𝑒,𝑓,𝑑)   𝐾(𝑒,𝑓,𝑑)   ≀ (𝑓,𝑑)   𝑁(𝑒,𝑑)   π‘Œ(𝑒,𝑓,𝑖,𝑗,𝑑)
Proof of Theorem cdlemk26-3
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp11l 1281 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2 simp11r 1282 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·))) β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
3 cdlemk3.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
4 cdlemk3.h . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
5 cdlemk3.t . . . 4 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
6 cdlemk3.r . . . 4 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
73, 4, 5, 6cdlemftr3 39926 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑇 (π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ ((π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜π·))))
81, 2, 7syl2anc 583 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑇 (π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ ((π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜π·))))
9 simp111 1299 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑇 ∧ (π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ ((π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜π·)))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
10 simp112 1300 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑇 ∧ (π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ ((π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜π·)))) β†’ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇))
11 simp13l 1285 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·))) β†’ 𝐺 ∈ 𝑇)
12113ad2ant1 1130 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑇 ∧ (π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ ((π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜π·)))) β†’ 𝐺 ∈ 𝑇)
13 simp13r 1286 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·))) β†’ 𝐢 ∈ 𝑇)
14133ad2ant1 1130 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑇 ∧ (π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ ((π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜π·)))) β†’ 𝐢 ∈ 𝑇)
15 simp2 1134 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑇 ∧ (π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ ((π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜π·)))) β†’ π‘₯ ∈ 𝑇)
1612, 14, 153jca 1125 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑇 ∧ (π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ ((π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜π·)))) β†’ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ π‘₯ ∈ 𝑇))
17 simp121 1302 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑇 ∧ (π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ ((π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜π·)))) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
18 simp122 1303 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑇 ∧ (π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ ((π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜π·)))) β†’ ((π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))
19 simp23l 1291 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·))) β†’ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
20193ad2ant1 1130 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑇 ∧ (π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ ((π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜π·)))) β†’ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
21 simp23r 1292 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·))) β†’ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
22213ad2ant1 1130 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑇 ∧ (π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ ((π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜π·)))) β†’ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
23 simp3l 1198 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑇 ∧ (π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ ((π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜π·)))) β†’ π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
2420, 22, 233jca 1125 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑇 ∧ (π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ ((π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜π·)))) β†’ (𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))
25 simp13l 1285 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑇 ∧ (π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ ((π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜π·)))) β†’ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ)))
26 simp13r 1286 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑇 ∧ (π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ ((π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜π·)))) β†’ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·))
27 simp3r3 1280 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑇 ∧ (π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ ((π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜π·)))) β†’ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜π·))
28 simp3r1 1278 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑇 ∧ (π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ ((π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜π·)))) β†’ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ))
29 simp3r2 1279 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑇 ∧ (π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ ((π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜π·)))) β†’ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΊ))
3029necomd 2988 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑇 ∧ (π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ ((π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜π·)))) β†’ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘₯))
3127, 28, 303jca 1125 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑇 ∧ (π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ ((π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜π·)))) β†’ ((π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘₯)))
32 cdlemk3.l . . . . 5 ≀ = (leβ€˜πΎ)
33 cdlemk3.j . . . . 5 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
34 cdlemk3.m . . . . 5 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
35 cdlemk3.a . . . . 5 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
36 cdlemk3.s . . . . 5 𝑆 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑖 ∈ 𝑇 (π‘–β€˜π‘ƒ) = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘“)) ∧ ((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑓 ∘ ◑𝐹))))))
37 cdlemk3.u1 . . . . 5 π‘Œ = (𝑑 ∈ 𝑇, 𝑒 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑗 ∈ 𝑇 (π‘—β€˜π‘ƒ) = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘’)) ∧ (((π‘†β€˜π‘‘)β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑒 ∘ ◑𝑑))))))
383, 32, 33, 34, 35, 4, 5, 6, 36, 37cdlemk25-3 40265 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ ((π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘₯)))) β†’ ((π·π‘ŒπΊ)β€˜π‘ƒ) = ((πΆπ‘ŒπΊ)β€˜π‘ƒ))
399, 10, 16, 17, 18, 24, 25, 26, 31, 38syl333anc 1399 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑇 ∧ (π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ ((π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜π·)))) β†’ ((π·π‘ŒπΊ)β€˜π‘ƒ) = ((πΆπ‘ŒπΊ)β€˜π‘ƒ))
4039rexlimdv3a 3151 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·))) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑇 (π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ ((π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜π·))) β†’ ((π·π‘ŒπΊ)β€˜π‘ƒ) = ((πΆπ‘ŒπΊ)β€˜π‘ƒ)))
418, 40mpd 15 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·))) β†’ ((π·π‘ŒπΊ)β€˜π‘ƒ) = ((πΆπ‘ŒπΊ)β€˜π‘ƒ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2932  βˆƒwrex 3062   class class class wbr 5138   ↦ cmpt 5221   I cid 5563  β—‘ccnv 5665   β†Ύ cres 5668   ∘ ccom 5670  β€˜cfv 6533  β„©crio 7356  (class class class)co 7401   ∈ cmpo 7403  Basecbs 17143  lecple 17203  joincjn 18266  meetcmee 18267  Atomscatm 38623  HLchlt 38710  LHypclh 39345  LTrncltrn 39462  trLctrl 39519
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-riotaBAD 38313
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-undef 8253  df-map 8818  df-proset 18250  df-poset 18268  df-plt 18285  df-lub 18301  df-glb 18302  df-join 18303  df-meet 18304  df-p0 18380  df-p1 18381  df-lat 18387  df-clat 18454  df-oposet 38536  df-ol 38538  df-oml 38539  df-covers 38626  df-ats 38627  df-atl 38658  df-cvlat 38682  df-hlat 38711  df-llines 38859  df-lplanes 38860  df-lvols 38861  df-lines 38862  df-psubsp 38864  df-pmap 38865  df-padd 39157  df-lhyp 39349  df-laut 39350  df-ldil 39465  df-ltrn 39466  df-trl 39520
This theorem is referenced by:  cdlemk27-3  40268
  Copyright terms: Public domain W3C validator